Modelos de Estoques

Lista de Exerccios

Exerccios resolvidos

R.1 Deng monta computadores e precisa de 800 placas-me por ano e estima um custo de obteno de $25 por pedido. O estoque financiado por emprstimos com taxa de 12% a.a.. Os custos de armazenagem, baseados no espao adequado para estoque mximo so de $1,50/unidade.ano, e o preo de compra de $100/unidade. Achar

a) o lote econmico de compra;b) o custo total anual de estoque;c) o nmero de pedidos colocado por ano.

Resoluo: No problema so relevantes os seguintes custos em cada ciclo:custo de obteno (pedido): $25/pedido;custo financeiro (baseado no estoque mdio !): 0,12.100 = $12/unidade.anocusto de armazenagem (baseado no estoque mximo !): $1,5/unidade.ano,custo de compra: $100/unidade.

Em um ano temos uma demanda de 800 placas e um nmero de pedidos igual a 800/Q, onde Q o tamanho do lote, logo o custo total no ano pode ser escrito como:CT = 25 (800/Q) + 12. Q + 1,5. Q + 100.(800) =

= 20.000/Q + 7,5. Q + 80.000

O lote econmico pode ser obtido fazendo CTQ

=0, o que resulta em

Q = =20 000

7 551 6

.,

, placas / pedido.

Substituindo Q na expresso do custo total obtemos:CT = 20.000/ 51,6 + 7,5 (51,6) + 80.000 = $ 80.774,60 /anoO nmero de pedidos por ano ser dado por 800/51,6 = 15,5 pedidos/ano

R.2 M.A.Beiro monta microcomputadores para revenda. Nos prximos 100 dias ele espera vender 1000 micros, cada um deles com uma configurao bsica contendo 2 drives e 1 monitor. Os custos do M.A.Beiro so de $600 para cada monitor e $100 para cada drive. Alm disto ele estima que os custos de efetuar os pedidos so de $540 e $500 para monitor e drive, respectivamente e ainda que os custos de manuteno so da ordem de 8% do valor dos produtos nos prximos 100 dias.

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Modelos Determinsticos

a) Determinar a poltica tima para cada um dos produtos, bem como o custo total dos dois produtos.b) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente de o fornecedor de monitores dar desconto de 10% para compras superiores a $100.000,00. c) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente de por razes operacionais as compras de monitores e drives terem de ser feitas conjuntamente. d) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente do fato de qualquer dos itens s ser fornecido em lotes com mltiplos de 100 unidades.

Resoluo: a) As expresses para calcular o lote econmico, o tempo entre pedidos e o custo total para cada um dos produtos so dadas respectivamente por:

QiT

c D

ko js j

j

j=2 , t

TQDj

j

j= , CT c

DQ

k iTQ

iTc

k Dj s jj

jj

j s jj j= + + +2 2

logo temos:csj kj Dj Qoj toj CTj

Monitor 540 600 1.000 150 un. 15 dias $607.221,60Drive 500 100 2.000 500 un. 25 dias $204.020,00

b) Dar descontos para compras superiores a $100.000,00 equivalente a dar descontos para compras acima de 100.000/540 = 186 monitores. O lote econmico para o novo valor de kM = $540,00 dado por

QoM =2

0 08540 1000

540,. = 158,11. Para definirmos qual a melhor poltica devemos

comparar o custo de comprar-mos 150 monitores por lote (poltica tima para o custo unitrio de $600), com o custo de comprar-mos 186 monitores por lote (poltica tima para o custo unitrio de $540, face a restrio de que este preo s vale para compras superiores a $100.000).

( )CTM 186 5401000186

540 0 08186

20 08

5402

540 1000 546 942 40= + + + =* , * , * . ,

Logo, a melhor poltica comprar 186 monitores por lote, o que implica em uma reduo de aproximadamente 10% (1 - 546.942,60/607.221,60 ) nos custos de estoque dos monitores ou de aproximadamente 7,5 % nos custos totais.

c) Se as compras dos componentes deve ser feita conjuntamente devemos ter: tM = tD,

logo QD

QD

Q QMM

D

DD M= = 2 , substituindo Q QD M= 2 na expresso do custo total

teremos:

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Modelos de Estoques

CT cDQ

k iTQ

iTc

k D cDQ

k iTQ

iTc

k Ds MM

MM

M s MM M s D

D

MD

M s DD D= + + + + + + +2 2 2

22 2

ou CT Q QM M= + +

1040 00032 800 041 60

. .. , , o que implica em

Q Q to o oM D= = =180 28 360 56 5 54, , , , , dias , CT = $811.579,36 ou um acrscimo de 0,04% no custo total.

d) Neste caso como os drives j esto sendo comprados em lotes que so mltiplos de 100, s necessrio analisar as compras de monitores. Devemos analisar duas situaes: compras de lotes de 100 e de 200 monitores.

como CTM(100) = $ 607.821,60 e CTM(200) = $ 607.521,60

Logo a melhor poltica comprar 200 monitores com um crscimo no custo total de 0,037%.

R.3 Um fabricante de auto peas necessita de um item que pode ser feito na prpria fbrica ou comprado de um fornecedor. A demanda pelo item de 2.500 unidades/ano e o custo de manuteno do estoque de $0,50/unidade.ano. No so permitidas faltas do produto. Outros parmetros de interesse so:

Dados \ Compra Opo: Compra Opo: Fabricao PrpriaCusto Unitrio ($/unidade) 8,50 8,48

Custo de pedido (fabricao) ($/ciclo) 4 16

a) Qual a taxa de produo que torna equivalentes (em termos de custo total) comprar ou fabricar?b) Qual o lote econmico de fabricao, o estoque mximo a ser produzido e o intervalo entre fabricaes.

Resoluo: a) O lote timo de compra dado por Qoc =2 4 2500

0 5* *

, = 200 unidades, e

o custo correspondente de CTc = $21.350/ano.

Seja y dp= 1 , as expresses para o lote econmico e o custo total de

fabricao podem ser escritas ento como:

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Modelos Determinsticos

Qdp

y e CTy y

yyo ff =

= = + + = +2 16 2500

0 5 1400

16 2500400

0 5400

28 48 2500 200 21 200

2* *

,/

*, , * .

f

azendo CTf = 21350 temos y = 0,75 logo 1 0 75 2 286 = =dp

p d, , ,

como d = 2.500 unidades/ano, ento p = 5.715 unidades/ano = 476,25 unidades/ms.

b) Q y to of f= = = =400 533 33 533 33 2500 0 2133/ , , / , unidades / lote; anos = 2,56 meses

o estoque mximo pode ser calculado pela expresso

Hdp

Q y Q=

= = =1 0 75 400 3002 , * unidades.

R.4 Um montador de micro computadores compra muitas das peas que lhe so necessrias de supridores externos. Para uma destas peas um supridor habitual oferece descontos no preo unitrio de acordo com a seguinte tabela:

Quantidade (unidades) at 499 de 500 749 acima de 750Preo Unitrio ($/unidade) 10,00 9,25 8,75

O montador estima que necessitar de 2.400 peas no prximo ano. Seu custo de fazer um pedido de $350,00 e seu custo mensal de manuteno desta pea em estoque estimado em 2% do custo de aquisio da pea (considerando o valor da pea e o custo unitrio de pedido).a) Calcule o valor do lote econmico e o custo total respectivo.b) Suponha agora que o montador procure melhorar seus custos e se proponha a obter um novo lote econmico 6% superior ao calculado em (a). Qual a nova faixa de preos que deve ser oferecida pelo supridor de modo a atender ao montador? c) Qual a economia do montador com a nova faixa calculada em (b) ?

Resoluo:a) D = 2.400 peas/ano = 200 peas/ms,; cs = $350/pedido, i = 2% a.m.

Qo> = =7502 350 2008 75 0 02

894 4* *, * ,

, pecas / mes

substituindo na expresso do custo total temos: CT = $1.910,02/ms = $22.920,30/ano.

b) Qn = 1,06*894,4 = 948,1 peas/lote2 350 200

0 02948 1 79

44

* *,

, $7, /k

k= = peca

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Modelos de Estoques

c) CTn = $1.709,19 /ms, logo a economia com o nova faixa de preos de (1910,25 - 1709,19) = $ 200,84/ms.

R.5 Seja o modelo de estoques com restries (para n produtos), cuja equao do custo total dada por:

CT CT CT cDQ

k iTQ

iTc

k Djj n

j s j

j

jj

j s jj j= = + + +

=

1 2 2,, onde

onde: Dj Demanda do produto j; csj Custo de preparao da produo do produto j; kj Custo unitrio do produto j; Qoj Lote econmico do produto j; i Frao do custo unitrio que corresponde ao custo de manuteno do estoque dos produtos em considerao.

Suponha que uma unidade do produto j ocupa o espao wj. Ao considerar-se que o espao mdio disponvel para o armazenamento dos n produtos S o problema resultante pode ser formulado da seguinte maneira:

Min CT CT

s a w Q S

jj n

j nj j

=

=

=

1

1

12

,

,. :

Consideremos agora uma restrio adicional relativa a disponibilidade de tempos de mquina. Sabe-se que certa quantidade de tempo necessria para a preparao das mquinas antes do incio da fabricao de um novo lote. Se o tempo de preparao das mquinas para um lote do produto j vj e o tempo total disponvel por ms para este tipo de atividade (para os n produtos) V: a) Escreva a equao da restrio correspondente para os n produtos em considerao. (Sugesto: comece escrevendo uma expresso para o nmero mdio de preparaes por ms para o produto j em funo de D e Q ).b) Formule o problema de minimizao do custo total para os n produtos, de modo que sejam respeitadas tanto a restrio de espao mximo disponvel, quanto a do tempo total V de preparao das mquinas. c) Utilizando multiplicadores de Lagrange convenientemente escolhidos incorpore ambas as restries equao do custo total e obtenha a frmula correspondente ao lote econmico do produto j .

Uma opo alternativa seria alugar espao fora da companhia, a um custo unitrio de A.d) Escreva a nova equao do custo total considerando, em adio aos custos includos na equao de CT acima, os custos incorridos com aluguel de espao

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Modelos Determinsticos

fora da companhia. (Calcule o custo do aluguel em termos do espao mdio a ser ocupado).e) Partindo da equao obtida em (d), deduza a frmula correspondente ao lote econmico do produto j.f) Seja agora uma companhia que armazena produtos cujos dados so

apresentados abaixo:Produto Di csj kk wj

1 200 100 12 52 400 25 7 35

Sabe-se que i = 0,005. Para A = 0,0005, de que espao mnimo S a companhia deve dispor para ser mais econmico armazenar em suas prprias instalaes? Sugesto: Inicie calculando o valor dos lotes econmicos dos produtos 1 e 2 para os valores dados acima, utilizando a frmula obtida em (e).

Resoluo:a) O nmero mdio de preparaes por ms para cada produto j dado por: Dj / Qj,

logo o tempo total de preparaes em um ms (Dj / Qj) vj . A restrio do tempo total de mquina pode ser escrita:

DQ

v Vjjj n

j=

1,

b) O novo problema pode ser formulado como:Min CT CT

s a w Q S

jj n

j nj j

=

=

=

1

1

12

,

,. :

DQ

v Vjjj n

j=

1,

c) Sejam os multiplicadores de Lagrange definidos da seguinte forma:

sj j

j n

j jj n

S Q w

S Q w=

=