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6 Aplicaes de

Integrao

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6.2 Volumes

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Volumes

Na tentativa de encontrar o volume de um slido, nos

deparamos com o mesmo tipo de problema que para

calcular reas. Temos uma ideia intuitiva do significado de

volume, mas devemos torn-la precisa usando o clculo

para chegar definio exata de volume.

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Volumes

Comeamos com um tipo simples de slido chamado

cilindro (ou, mais precisamente, um cilindro reto).

Como ilustrado na Figura 1(a),

um cilindro delimitado por uma

regio plana B1, denominada base, e

uma regio congruente B2 em um

plano paralelo. O cilindro consiste em

todos os pontos nos segmentos de reta

perpendiculares base que unem B1 a B2.

Se a rea da base A e a altura do cilindro (distncia de

B1 a B2) h, ento, o volume V do cilindro definido como

V = Ah

Figura 1(a)

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Volumes

Em particular, se a base um crculo com raio r, ento o

cilindro um cilindro circular com o volume V = r2h [veja a Figura 1(b)], e se a base um retngulo com

comprimento l e largura w, ento o cilindro uma caixa

retangular (tambm chamado paraleleppedo retangular)

com o volume V = lwh [veja a Figura 1(c)].

Figura 1(b) Figura 1(c)

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Volumes

Para um slido S que no um cilindro, ns primeiro

cortamos S em pedaos e aproximamos cada parte por

um cilindro. Estimamos o volume de S adicionando os

volumes dos cilindros. Chegamos ao volume exato de S

atravs de um processo de limite em que o nmero de

peas torna-se grande.

Comeamos interceptando S com um plano e a obtendo

uma regio plana que chamada seco transversal

de S.

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Volumes

Seja A(x) a rea da seco transversal de S no plano Px

perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x, onde

a x b. (Veja a Figura 2. Pense em fatiar S com uma

faca passando por x e calcule a rea de uma fatia.) A rea

da seco transversal A(x) ir variar quando x aumenta de

a at b.

Figura 2

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Volumes

Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais x usando os planos Px1, Px2, . . . para fatiar o slido. (Pense em fatiar

um pedao de po.) Se escolhermos pontos amostrais xi

em [xi 1, xi], poderemos aproximar a i -sima fatia Si (a

parte de S que est entre os planos Pxi1 e Pxi ) a um

cilindro com rea de base A (xi) e altura x. (Veja a Figura 3.)

Figura 3

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Volumes

O volume desse cilindro A (xi) x, assim uma

aproximao para a nossa concepo intuitiva de volume

da i -sima fatia Si

V (Si) A (xi*) x.

Adicionando os volumes dessas fatias, obtemos uma

aproximao para o volume total (isto , o que pensamos

intuitivamente como volume):

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Volumes

Esta aproximao parece quando n . (Pense nas

fatias tornando-se cada vez mais finas.) Portanto,

definimos o volume como o limite dessas somas quando

n . Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann

como uma integral definida, e dessa forma temos a

seguinte definio.

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Volumes

Quando usamos a frmula de volume

importante lembrar que A(x) a rea de uma seco

transversal mvel, obtida fatiando em x

perpendicularmente ao eixo x.

Observe que, para um cilindro, a rea da seco

transversal constante: A(x) = A para todo x. Ento, nossa

definio de volume resulta em ;

isso coincide com a frmula V = Ah.

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Exemplo 1

Mostre que o volume de uma esfera de raio r . .

SOLUO: Se colocarmos a esfera de maneira que o

seu centro se encontre na origem

(veja a Figura 4), (veja a Figura 4),

ento o plano Px intercepta a esfera

em um crculo cujo raio (Teorema

de Pitgoras)

Portanto, a rea da seco

transversal

A(x) = y2 Figura 4

= (r2 x2)

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Exemplo 1 Soluo

Usando a definio de volume com a = r e b = r, temos

(O integrando par.)

continuao

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Volumes

A Figura 5 ilustra a definio de volume quando o slido

uma esfera com raio r = 1. Pelo resultado do Exemplo 1,

sabemos que o volume da esfera , que aproximadamente 4,18879.

Figura 5

Aproximando o volume de uma esfera com raio 1

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Volumes

Aqui as fatias so cilindros circulares, ou discos, e as trs

partes da Figura 5 mostram as interpretaes geomtricas

das somas de Riemann

quando n = 5, 10 e 20 se escolhermos os pontos amostrais

xi como os pontos mdios Observe que medida que

aumentamos o nmero de cilindros de aproximantes, a

soma de Riemann correspondente se torna mais prxima

do volume verdadeiro.

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Volumes

Os slidos so todos chamados de slidos de revoluo

porque so obtidos pela rotao de uma regio em torno

de um eixo. Em geral, calculamos o volume de um slido

de revoluo usando a frmula bsica da definio

e encontramos a rea da seo transversal A(x) ou A(y)

por uma das seguintes maneiras:

Se a seco transversal um disco, encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos

A = (raio)2.

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Volumes

Se a seco transversal uma arruela, encontramos o raio interno rint e o raio externo rext a partir de um esboo

(como na Figura 10), e calculamos a rea da arruela

subtraindo a rea do disco interno da rea do disco

externo:

A = (raio externo)2 (raio interno)2 .

Figura 10