��6,08/$d­2�180e5,&$�'2�(1783,0(172�62%�&21',d­2�'(�)/8;2��'������������,QWURGXomR�

Neste capítulo apresenta-se uma simulação numérica do entupimento de

um meio poroso causado por deposição de partículas sólidas presentes no fluido

de injeção sob condição de fluxo unidimensional. Para definição da geometria do

problema consideram-se os dados do corpo de prova de arenito ensaiado sob

condição de fluxo 1D e descritos em Spagnolo (2001).

Neste estudo analisam-se os efeitos da variação de concentração de

partículas em suspensão no fluido de injeção, da taxa de injeção, do fator de

dano e do coeficiente de filtragem no processo de declínio de injetividade da

rocha arenito.

����(VWXGR�3DUDPpWULFR�

������*HRPHWULD�GR�3UREOHPD�

O estudo paramétrico simula a injeção com partículas sólidas em

suspensão numa amostra cilíndrica de arenito com 2,54 cm de diâmetro e 5 cm

de comprimento com as seguintes propriedades: módulo de elasticidade

03D( 80,19261= , coeficiente de Poisson 20,0=ν , módulos de deformação

74

volumétrica do grão e das partículas depositadas iguais a 03D3300 e

03D3300 , respectivamente, viscosidade do fluido V03D ⋅−910 , o tamanho das

partículas injetadas é de Pµ5,7 e o tamanho dos grãos de rocha em cerca de

Pµ1420 . A permeabilidade deste arenito é de P'250 e sua porosidade %20 .

A figura (5.1) apresenta a malha de elementos finitos utilizada nas

simulações numéricas, formada por 263 elementos quadrilaterais de 8 nós

(elementos quadráticos). Elementos auxiliares de material fictícios (Frydman HW�DO, 2001) foram também considerados para representação das condições de

contorno no final da amostra, onde a concentração e o fluxo de partículas não

podem ser prescritos diretamente (valores desconhecidos). Incrementos de

tempo ∆t = 60s foram usados na integração das equações governantes até o

tempo total da análise fixado em 6 dias.

Figura 5.1– Malha de elementos finitos utilizada nas simulações

������,QIOXrQFLD�GD�&RQFHQWUDomR�GH�3DUWtFXODV�HP�6XVSHQVmR�

Na primeira fase da simulação numérica foi estudado o declínio de

injetividade na rocha com o aumento da concentração de partículas sólidas no

fluido de injeção. As concentrações consideradas foram 1, 3, 5, 8 e 10 ppm com

taxa de injeção de 18 ml/h. O fator de dano ��=β e coeficiente de filtragem

126,20 −= Pλ foram também utilizados para obtenção dos gráficos mostrados

na figura 5.2.

75

0.9700

0.9750

0.9800

0.9850

0.9900

0.9950

1.0000

0 100 200 300 400 500 600����� ����� �� ������������ ����� �����������������

� !"# $% &' ( $) *% +%' ,'

-.�����/0�����1 �����20�����-430�����

Figura 5.2– Declínio de injetividade YHUVXV volume injetado/volume de poros com a variação da concentração de partículas

Observa-se que no traçado das curvas de declínio de injetividade YHUVXV

volume injetado/volume de poros obtém-se retas com inclinações que se

acentuam à medida que cresce a concentração de partículas sólidas no fluido de

injeção. A justificativa de tal comportamento é simples, pois aumentando-se a

concentração de partículas no fluido de injeção haverá um entupimento maior

dos poros da rocha, trazendo, em conseqüência, redução de permeabilidade e

aumento do declínio de injetividade. Estes resultados numéricos obtidos

concordam qualitativamente bem com observações experimentais em ensaios

de campo ou laboratório. O processo de filtração interna é, nestes resultados, o

fenômeno preponderante.

������,QIOXrQFLD�GR�)DWRU�GH�'DQR� β �

Na segunda fase da simulação numérica foi estudado o declínio de

injetividade da rocha com o aumento do fator de dano. O fator de dano é um

parâmetro de filtração interna, introduzido para incorporar os efeitos da mudança

76

da tortuosidade devido ao processo de retenção das partículas suspensas no

fluido de injeção.

Os danos à formação provocados por operações em poços podem ser

classificados como seguintes:

a) Dano à formação devido ao fluido de perfuração – a lama de perfuração

é geralmente mantida acima da pressão da formação de modo a prevenir que o

fluido do reservatório escoe para dentro do poço. Partículas com diâmetros

inferiores aos poros da formação penetram nos poros da rocha durante este

processo formando um reboco interno, enquanto que partículas com diâmetros

maiores que os poros são retidas nas paredes do poço formando o reboco

externo.

b) Dano à formação durante a produção – o dano à formação devido à

produção engloba a migração de finos, produção de areia e aparecimento de

substâncias orgânicas e inorgânicas. Danos por elementos inorgânicos não

causam apenas o entupimento dos poros da formação, mas também influenciam

a absorção da rocha.

c) Dano à formação durante a injeção de água – água do mar ou de

formação é injetada para manutenção da pressão e deslocamento do óleo e gás.

A água injetada pode conter partículas sólidas, partículas de óleo, bactérias,

escamas de peixe e íons dos mais variados tipos, cada um tendo seu próprio

potencial de redução de permeabilidade.

Neste estudo a concentração de partículas no fluido de injeção utilizada foi

de 1 ppm, a taxa de injeção 18 ml/h e coeficiente de filtragem de 20,26 m-1. Os

fatores de dano considerados, obtendo-se os resultados numéricos

representados nos gráficos da figura 5.3.

Nesta figura nota-se que a variação do declínio de injetividade com o fator

de dano β , majorando-se o declínio de injetividade com o aumento do valor do

fator de dano. A explicação deste comportamento é novamente simples, pois

com o aumento da tortuosidade dos canais de poros devido à retenção de

partículas, ocorre a diminuição da permeabilidade do meio e,

consequentemente, um acréscimo do declínio de injetividade da rocha.

77

0.9860

0.9880

0.9900

0.9920

0.9940

0.9960

0.9980

1.0000

0 100 200 300 400 500 6005�6�7 8�9:<; =�>�:�?�@�A�6�B C�6�7 8�9:A�:�D�6�E�6�F

G HIJK LM NO HP LQ HRM SMO TO H

UWVXZYUWV\[]Y^YUWV`_4Y^YUWV.a^Y^YUWV`b4Y^Y

Figura 5.3 – Declínio de injetividade YHUVXV volume injetado/volume de poros com a variação do fator de dano β

������,QIOXrQFLD�GR�&RHILFLHQWH�GH�)LOWUDJHP�

Na terceira fase do estudo paramétrico foi investigado o declínio de

injetividade na rocha com o aumento do coeficiente de filtragem.

Sabe-se que o coeficiente de filtragem λ é um parâmetro local, variável no

tempo em função do processo de deposição de partículas, este por sua vez

dependente da velocidade do fluido, da distribuição do tamanho das partículas,

da estrutura dos poros e das interações entre as partículas, fluido e superfície

dos poros.

O coeficiente de filtragem pode apresentar-se em unidades de [T-1] ou [L-1],

denotados respectivamente por cλ e dλ , dependendo da natureza da função

que descreve a taxa de deposição das partículas no meio poroso para a

modelagem de perda de injetividade. A relação entre cλ e dλ foi expressa

através da equação (2.12 b).

O estudo numérico para obtenção dos gráficos da figura 5.4 foi realizado

com taxa de injeção de 18 ml/h, fator de dano 80 e concentração de partículas

78

de 1 ppm. Os coeficientes de filtragem utilizados para simulação foram 10,13;

20,26; 30,40; 50,66 e 202,67 m-1, respectivamente, considerando-se portanto

que eλλ = .

0.9955

0.9960

0.9965

0.9970

0.9975

0.9980

0.9985

0.9990

0.9995

1.0000

0 100 200 300 400 500 600fhgji k�lnmpo q4rsm�tsu�v�g�w x�gyi k�l\mnv�mpz�gy{sg�|

} ~��� �� �� ~��� ~�� ��� �� ~

��������� ������0����� ������<����� ������<����� ������0������� �4�

Figura 5.4– Declínio de injetividade YHUVXV volume injetado/volume de poros com a variação do coeficiente de filtragem λ

Observa-se na figura 5.4 que as curvas são lineares e apresentam

inclinações mais acentuadas à medida que o coeficiente de filtragem aumenta.

Um acréscimo do coeficiente de filtragem indica que a deposição de partículas

no meio poroso é mais intensa, com ocorrência de maior entupimento dos poros

da formação, redução de permeabilidade e declínio da injetividade, como

resultado.

������,QIOXrQFLD�GD�7D[D�GH�,QMHomR�

Na quarta fase do estudo numérico foi pesquisado o declínio de

injetividade na rocha com o aumento da taxa de injeção. A taxa de injeção de

79

água é um parâmetro de projeto relevante por influir diretamente no tempo de

vida útil do poço injetor.

A concentração de partículas no fluido injetado foi considerada de 1 ppm, o

fator de dano e o coeficiente de filtragem utilizados na simulação foram 80 e

20,26 m-1, respectivamente, e os valores das taxas de injeção assumidos foram

15, 18, 38, 50 e 118 ml/h.

0.9965

0.9970

0.9975

0.9980

0.9985

0.9990

0.9995

1.0000

0 100 200 300 400 500 600����� ���0 �¡ ¢Z£� �¤�¥�¦���§ ¨���� ���0 ¦� <©���ª���«

¬ ­®¯° ±² ³´ ­µ ±¶ ­·² ¸²´ ¹´ ­

º4»�\� §�¼º4½�\� §�¼¾�½�\� §�¼»�¿�\� §�¼º�º4½�\� §�¼

Figura 5.5 – Declínio de injetividade YHUVXV volume injetado/volume de poros com a variação da taxa de injeção

Observa-se da figura 5.5 relação linear entre o declínio de injetividade e o

volume injetado/volume de poros com a variação da taxa de injeção. Quanto

maior a taxa de injeção considerada, menor a deposição de partículas no interior

da amostra de rocha, menor a redução de permeabilidade durante o fluxo e, em

conseqüência, também menor o declínio de injetividade observado.

����2EWHQomR�GRV�3DUkPHWURV�λ �H� β �$WUDYpV�GH�$QiOLVH�,QYHUVD�

O modelo de filtração interna depende essencialmente de 2 parâmetros: o

coeficiente de filtragem λ e o fator de dano β .

80

A determinação experimental em laboratório do coeficiente de filtragem é

feita com base na medição da concentração de partículas no fluido de saída da

amostra (Wennberg, 1998), enquanto que o fator de dano β é estimado com

auxílio das leituras de poropressão ao longo do comprimento da amostra.

Segundo Pavel HW� DO (2001) uma determinação independente destes 2

parâmetros não é correta, recomendando que valores de λ e β sejam

determinados simultaneamente com base nas leituras de poropressão efetuadas

no início (face de injeção), meio e final da amostra ensaiada.

A seguir é considerado um exemplo para o cálculo dos parâmetros λ e β

a partir do método proposto por Pavel HW�DO (2001).

������([HPSOR�GH�'HWHUPLQDomR�GRV�3DUkPHWURV�λ �H� β �

Considera-se uma amostra cilíndrica de arenito de 2,54 cm de diâmetro e 5

cm de comprimento, com permeabilidade de 250 mD e porosidade de 20 %. A

taxa de injeção utilizada foi de 18 ml/h, com concentração de partículas de

1ppm, fator de dano ��=β e coeficiente de filtragem ÀP����� −=λ .

Foram numericamente determinadas as poropressões nas seções

transversais situadas no início, meio e final da amostra, conforme indicado na

figura 5.6.

Figura 5.6 – Seções utilizadas para cálculo dos valores de poropressão em �W� ≤≤ dias

81

1.9730E-03

1.9740E-03

1.9750E-03

1.9760E-03

1.9770E-03

1.9780E-03

1.9790E-03

1.9800E-03

0 1 2 3 4 5 6 7Á�Â�ÃÄ�ÅÆ Ç�È É�Ê�Ë

Ì ÍÎÍÏÎÐÑÑÒ ÍÓÍÔÓÕ ÖÔ Í× ØØÙÍÑÚ ÎØÛÜÌ ØÝ

Figura 5.7 – Variação da poropressão no início da amostra com o tempo

9.7480E-04

9.7500E-04

9.7520E-04

9.7540E-04

9.7560E-04

9.7580E-04

9.7600E-04

9.7620E-04

9.7640E-04

9.7660E-04

9.7680E-04

0 1 2 3 4 5 6 7Á�Â�ÃÄ�ÅÆ Ç�È É�Ê�Ë

Ì ÍÎÍÏÎÐÑÑÒ ÍÓÍÙÐÔ Í× ØØÙÍÑÚ ÎØÛÜÌ ØÝ

Figura 5.8 – Variação da poropressão no meio da amostra com o tempo

82

0.0000E+00

5.0000E-09

1.0000E-08

1.5000E-08

2.0000E-08

2.5000E-08

3.0000E-08

3.5000E-08

4.0000E-08

0 1 2 3 4 5 6 7Þ�ß�àá�âã ä�å æ�ç�è

é êëêìëíîîï êðêñ ò ðóôõ óóöêî÷ ëóøùé óú

Figura 5.9 – Variação da poropressão no final da amostra com o tempo

Obtidos as poropressões, calculam-se os valores da porosidade média da

amostra e dos trechos inicial e final (figura 5.6), através da seguinte equação:

S/T.

∆∆µ= (5.1)

onde T é a taxa de injeção empregada, µ viscosidade do fluido, S∆ a

queda de pressão medida entre as seções consideradas e /∆ a distância entre

as mesmas.

Desta forma é possível obter-se o gráfico da variação da permeabilidade

média com o tempo na figura 5.10. Considerando–se todo o comprimento da

amostra. Neste caso a permeabilidade média inicial de 250mD diminuir para

249,3353mD ao final de 6 dias de fluxo.

83

2.4930E+02

2.4940E+02

2.4950E+02

2.4960E+02

2.4970E+02

2.4980E+02

2.4990E+02

2.5000E+02

2.5010E+02

0 1 2 3 4 5 6 7û�ü�ýÿþ�������� ���

���� ��� ����� �

���������� �� ������ ��

Figura 5.10 – Variação com o tempo da permeabilidade média, ao longo do comprimento da amostra

Através do gráfico de permeabilidade média YHUVXV tempo determina-se

então a relação declínio de injetividade ( )�α �YHUVXV volume injetado/volume de

poros, considerando-se as seguintes expressões (Pang e Sharma, 1994):

!..=α (5.2)

onde ". é a permeabilidade média inicial da amostra e . a

permeabilidade média ao longo do seu comprimento em cada trecho

considerado,

e

/$WT7

φ= (5.3)

onde 7 é o volume injetado/volume de poros, T a taxa de injeção, W o

tempo de injeção, φ a porosidade da amostra, $ a seção transversal da

amostra e / o seu comprimento.

84

Com base nas relações 5.2 e 5.3 é possível traçar-se o gráfico de declínio

de injetividade YHUVXV volume injetado/volume de poros, conforme figura (5.11).

Esta curva, quando padronizada em termos de -�..

#$

==α

representa a

chamada curva de impedância (figura 5.12).

0.9970

0.9975

0.9980

0.9985

0.9990

0.9995

1.0000

1.0005

0 100 200 300 400 500 600%'&)( *,+.-0/ 1324-65 798:&9; <=&( *,+.->8,-0?=&@ &=A

B CDEF GH IJ CH GK CLH MHJ NJ CNIE IGOIJ I

DIPQRHPCGL IJ NNPISL RN

Figura 5.11 – Declínio de injetividade ao longo do comprimento da amostra YHUVXV volume injetado/volume de poros

J = 5.20784E-06T + 1.00000E+00

0.9995

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

0 100 200 300 400 500 600TVUXW Y�Z\[�] ^9_`[a`b�cdU�e f�UXW YdZ\[gcd[ih�UXjkU�l\m4ndo

p qrstu vwx yz{|

Figura 5.12 – Variação da impedância - com o volume injetado/volume de poros (T)

85

Do gráfico de impedância YHUVXV� volume injetado/volume de poros

determina-se o coeficiente angular da reta ( )}��[�������P −= que,

introduzido na equação 2.53 reproduzida abaixo, permite estudar o

comportamento do fator de dano β com a variação do coeficiente de filtragem

λ (figura 5.13). Ressalta-se neste fato que o valor de P não é uma constante,

variando conforme as condições de cada ensaio.

( )

−

=− ~��

H�&

Pλ

λβ (5.4)

�

0

50

100

150

200

0 100 200 300 400 500 600�������� ��� �d�)���\������� � �������d��������`����i� �`�

� �� ���  � �¡�¢£ ¤¥

Figura 5.13 – Variação do fator de dano com o coeficiente de filtragem

Observa-se na figura (5.13) que a função ( )λββ = decresce

monotonicamente, iniciando em ∞→β , quando �→λ , e terminando em

&P=β , quando ∞→λ .

O mesmo procedimento é utilizado para o estudo da variação da

impedância nos trechos inicial e final da amostra de rocha.

86

Os gráficos, e respectivas equações, podem ser observados na figura 5.14

de onde imediatamente se retira que ¦§ ��[�������P −=ψ , para o trecho inicial

e ¨© ��[�������P −=ψ , para o trecho final da amostra.

J = 5.20784E-06T + 1.00000E+00

J = 3.21502E-06T + 1.00000E+00

J = 7.15352E-06T + 1.00000E+00

0.9995

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

1.0035

1.0040

0 100 200 300 400 500 600ª�«)¬ ­®.¯±° ²3³4¯9´ µ,¶:«9· ¸,«�¬ ­:®>¯>¶,¯±¹=«)º4«=»½¼ ¾¿

À ÁÂÃÄÅ ÆÇÈ ÉÊËÌ

ÍÏÎÑÐÏÒ�ÒdÒ3Ó'ÎÑÔ�Õ Ö ÒÍ6Ö ×�ØÑÙ�Î�Ú Û Ü3ÒÑÝÍ6Ö ×�ØÑÙ�ÎÞÛ ÜÏÛ ØÑÛ ÒÑÝ

Figura 5.14 – Variação da impedância com o volume injetado/volume de poros

A variação do fator de dano com o coeficiente de filtragem para toda a

amostra é determinada com base na equação 5.4, enquanto que para trechos

inicial e final utiliza-se a equação 2.54, reproduzida abaixo. Os gráficos da

variação do fator de dano estão ilustrados nas figuras 5.15 e 5.16

( )

−

=− ßáà

H�&

Pψλλβ

(5.5)

87

ââ9ã

0

50

100

150

200

0 100 200 300 400 500 600äÞåæ=çkè é)è æ)ê=ë4æ±ì)æ0çkè í ëkî4ï:ðæñóò±ô õ�ö ÷ ø

ù úû üýþ ÿþ ú�ü�� �� Toda a amostra

Trecho inicial

Figura 5.15 – Variação do fator de dano com o coeficiente de filtragem considerando toda a amostra e apenas o seu trecho inicial

�� �

0

40

80

120

160

200

0 100 200 300 400 500 600��� ��� ��� ������������ � ���������� �"!$#&% ')(

* +, -./ 0/ +1-23 45

Toda a amostra

Trecho final

Figura 5.16 – Variação do fator de dano com o coeficiente de filtragem considerando toda a amostra e apenas o seu trecho final

88

Conforme pode-se facilmente observar na figura 5.15, não é possível

determinar-se um valor único do coeficiente de filtragem e do fator de dano com

base nos resultados calculados de poropressão para toda a amostra e apenas o

seu trecho inicial ( )FP���[� << .

Entretanto, as curvas da figura 5.16, preparadas com os resultados

relativos a toda a amostra e apenas ao seu trecho final, permitem corretamente

determinar os valores de ��=β e 6

P����� −=λ , anteriormente utilizados com

dados de entrada do programa computacional desenvolvido.

O fato de, nesta análise inversa, os valores de λ e β serem recuperados

é um indicador que as implementações numéricas pelo método dos elementos

finitos foram adequadamente executados e que o método proposto por Pavel HW DO (2001) para determinação simultânea do coeficiente de filtragem e do fator de

dano é teoricamente fundamentado.

����&RPSDUDomR�GH�0RGHORV�GH�3HUPHDELOLGDGH�

Neste exemplo foi feito um estudo comparativo dos efeitos de modelos de

permeabilidade no declínio de injetividade, considerando diferentes valores de

concentração de partículas presentes na água de injeção, utilizando 2 diferentes

modelos de permeabilidade: o modelo de Pang (1996), implementado em versão

anterior do programa computacional, e o modelo de Pang e Sharma (1994),

implementado na versão do programa computacional desenvolvido nesta

dissertação e com o qual os exemplos dos itens 5.2 e 5.3 foram estudados.

O modelo de Pang (1996), descrito anteriormente no item 2.4.2.3, é

baseado na adaptação da equação de Blake-Kozeny, introduzindo-se no modelo

de permeabilidade os efeitos da redução da porosidade livre e dos aumentos da

superfície específica e da tortuosidade.

O modelo de Pang e Sharma (1994), descrito anteriormente no item 2.3.3,

admite que a redução da permeabilidade possa ser matematicamente descrita

pela equação abaixo

78 ��

..

φβ+= (5.6)

89

onde 9. é a permeabilidade inicial, β o fator de dano e :φ a porosidade

das partículas depositadas.

Em ambos os modelos um fator de dano β é considerado, mas enquanto

que na formulação de Pang e Sharma (1994) este parâmetro representa

genericamente os danos causados ao meio poroso, no modelo de Pang (1996) o

fator de dano está diretamente associado aos efeitos das mudanças de

tortuosidade nos canais de fluxo.

A comparação da variação do declínio de injetividade com o aumento da

concentração das partículas presentes no fluido de injeção, incorporando os dois

modelos de permeabilidade, está ilustrada na figura 5.17. Nela observa-se que

os resultados numéricos para declínio de injetividade são bastante mais

acentuados quando a formulação de Pang (1996) é utilizada, enquanto que os

valores previstos pelo modelo de Pang e Sharma (1994) tendem a ser bastante

mais conservadores à medida que a taxa de concentração de partículas

aumenta. O declínio de injetividade previsto com concentração de 10 ppm no

modelo de Pang e Sharma (1994), por exemplo, é ainda inferior àquele previsto

pelo modelo de Pang (1996) com apenas metade do valor de concentração de

partículas (5 ppm).

Estes resultados portanto confirmam o fato de que a escolha do modelo de

redução de permeabilidade é fator fundamental na simulação de processos

associados com a deposição de partículas em meios porosos.

0.9300

0.9400

0.9500

0.9600

0.9700

0.9800

0.9900

1.0000

1.0100

0 100 200 300 400 500 600;�<>= ?A@CBED FHG BJI KMLN<MO PQ<R= ?Q@CBCLABESA<RT <AU

V WXYZ [\ ]^ W\ [_ W`\ a\^ b^ W

1 ppm1 ppm3 ppm5 ppm3 ppm

5 ppm

8 ppm10 ppm

8 ppm

10 ppm

Pang (1996)Pang e Sharma, 1994

Figura 5.17 – Declínio de injetividade utilizando diferentes formulações de permeabilidade