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Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
133
6 Sucessões e Funções
6.1 O número e como limite de uma sucessão
No âmbito do programa actual de Matemática A do Ensino Secundário
([15]), surgem diversos limites que sugerem uma abordagem numérica. Um
destes limites é o da sucessão definida pelo termo geral
n
nn
u
+=1
1 .
Assim, o número e (número de Neper) é apresentado aos alunos como sendo
o limite desta sucessão. O estudo da sua convergência ultrapassa o âmbito do
actual programa de Matemática A do Ensino Secundário. No entanto, alguns
manuais ([8], [29] e [38]) referem que esta sucessão é monótona (crescente) e
limitada (o conjunto dos termos está contido no intervalo [ [3,2 ) e, por
conseguinte, a sucessão de termo geral n
nn
u
+=1
1 é convergente e o seu
limite é um número maior do que dois e não superior a três (a demonstração
deste resultado encontra-se em [66] pp. 48-50). A partir daqui o aluno poderá
utilizar a calculadora gráfica para estimar o valor de e com um determinado
número de casas decimais correctas.
Vejamos as actividades propostas em dois manuais do 11º ano
([29] p. 271 e [38] p. 55):
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
134
Actividade 29 – Com o número e
1º Obtém com a calculadora vários termos da sucessão n
n
+1
1 de modo a
confirmares que é uma sucessão crescente, majorada e de modo a fazeres uma
estimativa do valor de e.
2º Compara o valor que estimaste para e com o que podes obter na calculadora,
usando a função xe .
(...)
Calculadora
Calculemos alguns termos da sucessão n
n
+1
1 usando a calculadora gráfica do
modo seguinte (procedimentos para a Texas TI-83):
���� Tecle MODE e escolha Seq e Dot.
���� Em y= , vem =nu , e introduz-se a sucessão (1+1÷n)^n definindo em
WINDOW 100,1 == nMaxnMin e o rectângulo de visualização [ ] [ ]3,010,0 × .
���� Teclando GRAPH vê-se um gráfico sobre o qual estão representados os
pontos isolados do gráfico da sucessão, ou seja, os pontos de abcissa natural.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
135
���� Com a tecla TRACE podemos percorrer, quanto queiramos, o gráfico,
verificando-se que não se encontram valores de nu inferiores a 2 nem
superiores a 3.
���� Pode também, simplesmente, editar em y= a função x
xY
+=1
11 , teclar 2ND
TBLSET e escolher 1=TblMin e 1=Tbl para fazer nx = , variável natural do
gráfico de Y1. Tecle 2ND TABLE e verá uma tabela como a apresentada a
seguir:
���� Volte a teclar 2ND TBLSET e mude para 100=Tbl 200=TblMin e teclando
de novo 2ND TABLE obterá nova tabela, como a apresentada a seguir:
O objectivo destas duas actividades consiste em obter uma
aproximação para o limite de ( )nn11+ , partindo do facto de que uma sucessão
toma valores tão próximos do seu limite quanto se queira, desde que se tome
um termo de uma ordem suficientemente elevada. No entanto, uma vez que se
utiliza uma calculadora que tem uma precisão finita, aquele facto não
corresponde à verdade. Para determinadas ordens, os valores apresentados
pela calculadora afastam-se muito do número e . Uma vez que o aluno não
está familiarizado com este tipo de sucessões e desconhece o valor exacto do
número e , ele poderá ser induzido em erro pelos resultados que obtém com a
calculadora gráfica. Assim, o aluno deverá ser consciencializado pelo professor
de que, embora a calculadora possa permitir ter uma ideia do limite de uma
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
136
sucessão, nalguns casos, devido aos erros de arredondamento, ela poderá
apresentar um valor que pouco ou nada tem a ver com a realidade.
Em [12] e [66] (p. 52) sugere-se a utilização de diferentes valores de n
que são todos potências de 10. A tabela 6.1 mostra as aproximações dos
termos da sucessão obtidos pela calculadora gráfica Texas TI – 83, para
alguns destes valores (a negrito encontram-se os dígitos correctos de
5904523547182818284.2≈e ).
n n
n
+1
1
10 2.59374246
210 2.704813829
310 2.716923932
410 2.718145927
510 2.718268237
610 2.718280469
710 2.718281693
810 2.718281815
910 2.718281827
1010 2.718281828
1110 2.718281828
1210 2.718281828
1310 2.760577856
1410 1
1510 1
1610 1
1710 1
... ...
Tabela 6.1 – Valores obtidos pela Texas TI-83
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
137
Como se pode apreciar as aproximações obtidas vão melhorando à
medida que n cresce; de facto, para kn 10= , com k desde 1 até 10, as
aproximações obtidas apresentam k algarismos correctos. Como a máquina
apresenta os resultados com 10 algarismos, atingimos de facto com 1010=n o
limite da precisão proporcionada pela máquina. Na verdade, se usarmos
1110=n , obtemos no visor da máquina a mesma aproximação já obtida com
1010=n . Uma vez que internamente os cálculos são efectuados com 14 dígitos
é possível extrair mais um algarismo correcto para o valor de e (ver secção
3.6.3), tendo-se
2.7182818284.
Da mesma maneira, com 1210=n podemos, procedendo de maneira análoga,
obter mais um algarismo e, o número assim construído é
2.71828182845.
Para kn 10= com 14≥k ( k inteiro), obtém-se sempre o valor 1 na máquina.
Isto deve-se ao facto de, para estes valores de k , ter-se 110
11 =+
k por ser
k10
1 menor do que o epsilon da máquina. Para 1310=n obtém-se a
aproximação 2.760577856. Como se explica este resultado? Para calcular o
valor de k
k
10
10
11
+
a máquina usa as funções logaritmo natural e exponencial: primeiro determina
o valor de
+=
ky
10
11ln , sendo o resultado final dado por yk
e ×10 .
A partir do conhecido desenvolvimento em série de potências de θ
( ) ...432
1ln432
+θ
−θ
+θ
−θ=θ+
e considerando k−=θ 10 , temos
...3
10
2
1010
32
++−=−−
−kk
ky
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
138
o que mostra que para k suficientemente grande tem-se
ky −≈ 10
com um erro absoluto ( )kO 210− 21, a que corresponde um erro relativo da ordem
de k−10 . Em particular, para 13=k o logaritmo natural de 13101 −+ é igual a
1310− com um erro absoluto da ordem de 2610− . Porém, na Texas TI – 83
obtém-se
com um erro relativo aproximadamente igual a 01544.0 . Este erro relativo será
extraordinariamente ampliado no cálculo do produto yk ×10 e finalmente
propagar-se-á ao valor calculado da exponencial.
Se usarmos valores de n que não sejam potências de 10, podemos ter
algumas surpresas. Por exemplo, com 352=n obtemos na Texas TI – 83
717924089.21
1 =
+
n
n.
Tendo em conta que
113510 10210 <<
seria de esperar que a aproximação obtida seria tão boa quanto a aproximação
obtida com 1010=n que proporciona, como já se disse, 10 algarismos
correctos. Para além disto, o aluno ficará surpreendido por verificar que,
relativamente aos valores calculados pela máquina, tem-se 1035 10
10
2
35 10
11
2
11
+<
+
o que contradiz a informação que lhe foi dada antes sobre o crescimento da
sucessão! Por outro lado, com 13102×=n obtém-se na Texas TI – 83
6207901.71
1 =
+
n
n,
resultado que não está de acordo com a informação fornecida anteriormente
ao aluno de que todos os termos da sucessão estão no intervalo [ [3,2 !
21 O erro é da ordem de grandeza de
k210−.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
139
Quais as razões que explicam estes resultados? Ou seja, por que é que
a partir de uma certa ordem, as aproximações obtidas para os termos da
sucessão ( )nn11+ não convergem para o número de Neper, apesar da
sucessão ser monótona crescente e limitada? Por outro lado, por que existem
valores de n (como por exemplo 352=n ) para os quais as aproximações
obtidas são muito más? Para respondermos a estas questões, é necessário
recorrer ao conceito de condicionamento de uma função já referido na secção
4.4. Para isso, generalizemos o problema e consideremos a função real de
variável real h de domínio +ℜ definida por
x
xxh
+=1
1)( . (6.1)
Temos que
ex
x
x=
+
+∞→
11lim .
Vejamos que a função h é bem condicionada. Escrevendo (6.1) na forma
( )
+
+
== xx
x eexh
x1
1ln1
1ln
obtém-se que
( ) ( ) ( )
+−
+=
+
−+
+=
1
111ln.
1
1
.1
1ln.'2
xxxh
x
xxx
xxhxh , para 0>x .
Então
( ) ( )( ) 1
11ln
)(
1
111ln).(.
'.
+−
+=
+−
+
==x
x
xxh
xxxhx
xh
xhxxk
x
h .
Portanto, temos
( ) 01lnlim =−=+∞→
exkhx
.
E, por conseguinte, podemos concluir que para valores de x grandes, a função
h é muito bem condicionada.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
140
Assim sendo, como se podem explicar os resultados obtidos
anteriormente? Ou seja, se a função é bem condicionada, por que razão para
alguns valores de x os resultados produzidos nada têm a ver com o número
de Neper?
Para se conseguir encontrar uma justificação para esta situação,
necessitamos de estudar o condicionamento da função g de duas variáveis
reais definida por
( ) xyyxg =, , onde ( )xfx
y =+=1
1 , com +ℜ∈yx, .
Temos que
11
1lim =
+
+∞→ xx.
Vejamos que a função f é bem condicionada para valores grandes de x .
Tem-se que
( )2
1'
xxf −=
e, portanto,
( ) ( )( ) 1
1
11
1
'. 2
+=
+
−⋅
==x
x
xx
xf
xfxxk f .
Então,
( ) 0lim =+∞→
xk fx
.
Estudemos agora o condicionamento da função g . Como já foi referido na
secção 4.4.4, o erro absoluto da função g é dado por (ver 4.9)
( ) ( ) ( ) ( )yxy
gyyx
x
gxyxgyyxxg ,,,,
∂
∂⋅δ+
∂
∂⋅δ≈−δ+δ+ .
Referimos também na secção já mencionada que para estudar o erro relativo
no valor da função é mais fácil analisar o efeito do erro relativo em cada uma
das variáveis separadamente. Assim temos:
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
141
• Erro relativo no valor da função na variável x
( ) ( )( )
( )
( )xy
x
x
y
yyx
x
x
yxg
yxx
gx
yxg
yxgyxxgx
x
δ⋅≈δ
⋅≈δ∂
∂⋅
≈−δ+
lnln..
.,
,
,
,,.
Então, se 1→y , tem-se que o erro relativo da função tende para zero,
mesmo que xδ seja grande.
• Erro relativo no valor da função na variável y
( ) ( )( )
( )
( ) y
yx
y
y
y
yxy
y
y
yxg
yxy
gx
yxg
yxgyyxgx
x δ⋅≈
δ⋅≈
δ∂
∂⋅
≈−δ+ −1..
.,
,
,
,,
Para o mesmo erro relativo na variável y , o erro relativo no valor da função
cresce na mesma proporção de x . Logo para valores de x grandes, o erro
relativo da função é enorme.
Consideremos, por exemplo, 910=x e 9101 −+=y . Então tem-se
( ) 999 107.2101,10 −− ×≈+∂
∂
x
g
( ) 999 101,1101,10 ×≈+∂
∂ −
y
g
e, por conseguinte, pequenas perturbações xδ produzem um erro pequeno,
enquanto que pequenas perturbações yδ provocam enormes erros nos
resultados.
Este facto explica os resultados que se obtém, por exemplo, no cálculo
do valor da função para 9105.1 ×=x e 9103
21 −×+=y . De facto, neste caso
tem-se que 0=δx , enquanto que 1010333.3 −×=δy (note-se 3
2 não possui
representação exacta neste sistema). Neste caso, o valor exacto, com 16
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
142
algarismos significativos correctos22 de ),( yxg é 2.718282052464607. No caso
da máquina Texas TI – 83, obtemos o valor 2.718417745, que possui apenas 4
algarismos significativos correctos e cujo erro relativo é aproximadamente
5105 −× . E portanto, um erro yδ da ordem de 1010− na variável y , provocou um
erro relativo da ordem de 510− .
No caso extremo de 1410=x , na máquina Texas TI – 83, por exemplo,
tem-se que 11
1 =+x
e 1)( =xh com um erro relativo de 100%, ou seja, nenhum
algarismo significativo correcto.
Em síntese, o cálculo de valores da função ( ) xyyxg =, , onde x
y1
1+= ,
para valores de x grandes produz um erro relativo enorme no valor da função.
Uma vez que a função x
xxh
+=1
1)( é bem condicionada, podemos concluir
que o cálculo do número de Neper através desta expressão é instável. Assim
sendo, torna-se necessário procurar uma fórmula que seja estável.
Consideremos a função x
xxh
+=1
1)( , com +ℜ∈x . Então tem-se
+=⇔
+=
xxy
xy
x1
1ln.ln1
1 .
A partir do conhecido desenvolvimento em série de potências de θ
( ) ...432
1ln432
+θ
−θ
+θ
−θ=θ+
temos que
...4
1
3
1
2
11...
4
1
3
1
2
1111ln.
32432+−+−=
+−+−⋅=
+
xxxxxxxx
xx
22 Valor obtido com o software Mathematica.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
143
Por exemplo, para 1410=x , temos que
233
1
2
11
111ln.
xxxT
xx +−≈
≈
+
com um erro de truncatura
( )4342
3143105.21025.0
104
1
4
1 −− ×=×=×
=x
.
Então obtemos a aproximação
1103
1
102
11
10
12814143 ≈
×+
×−=
T .
Logo eey == 1 .
Com a Texas TI – 83 é possível obter uma aproximação com 14 dígitos
correctos:
É claro que todo o estudo efectuado anteriormente, poderia ter sido
realizado utilizando a máquina Casio CFX – 9850. Neste caso, as
aproximações obtidas para os termos da sucessão de termo geral ( )nn11+ ,
para alguns valores de n tal que kn 10= , com 17,...0=k (ver tabela 6.2), são
iguais aos resultados obtidos na Texas TI – 83, diferindo somente para
1310=n . Esta diferença deve-se ao facto da Casio CFX - 9850 possuir mais um
algarismo na mantissa e, por conseguinte, o logaritmo natural de 13101 −+ é
igual a 1310− com um erro absoluto da ordem de 2610− . É claro que era de
esperar que os resultados obtidos na determinação de um valor aproximado
para o número de Neper fossem diferentes em cada uma das máquinas, uma
vez que o epsilon é diferente.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
144
n n
n
+1
1
10 2.59374246
210 2.704813829
310 2.716923932
410 2.718145927
510 2.718268237
610 2.718280469
710 2.718281693
810 2.718281815
910 2.718281827
1010 2.718281828
1110 2.718281828
1210 2.718281828
1310 2.718281828
1410 1
1510 1
1610 1
1710 1
... ...
Tabela 6.2 – Valores obtidos pela Casio CFX - 9850
À semelhança do que se passava com a Texas TI – 83, a Casio CFX -
9850 permite obter uma aproximação para o valor de e com dez dígitos
correctos, podendo de modo análogo ao descrito para a Texas TI – 83, ser
possível “extrair” mais dois dígitos correctos. Para 1410≥n os termos da
sucessão são todos iguais a 1. Na verdade nesta máquina, para 131025.1 ×>n ,
tem-se que 111 =+n
, uma vez que 14108 −×=ε . Note-se que
1313
141025.110125.0
108
11×=×=
×=
ε −.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
145
Por outro lado, analogamente ao que se passa na Texas TI – 83,
valores de n para os quais n1 não possuem representação exacta produzem,
em virtude dos erros de arredondamento, aproximações más para o número de
Neper. ‡
6.2 Limites de funções
Como vimos na secção anterior, a calculadora pode ser usada para
estudar, do ponto de vista experimental, o limite de uma função.
Vejamos dois exemplos em que o uso da calculadora poderá levar a
conclusões erradas.
Exemplo 1
Consideremos a função real de variável real definida por ([65])
( ) ( )12
+= senxx
xf .
Para começar a ter uma ideia do ( )xfx +∞→lim , podemos calcular o valor da
função para valores de x tão grandes quanto queiramos. Nas tabelas
seguintes encontram-se os valores da função para kx 10= , com 11:0=k .
Com base nestes resultados, os alunos poderiam ser levados a concluir
que a função é monótona crescente e que ( ) +∞=+∞→
xfxlim . Na verdade, a função
f não converge para ∞+ quando +∞→x , embora tome valores tão grandes
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
146
quanto queiramos, possuindo infinitos zeros, como podemos constatar pela
observação do gráfico obtido na Casio CFX – 9850 (figura 6.1).
Fig. 6.1 - Gráfico da função f na janela de visualização [ ] [ ]50,050,0 ×
Assim sendo, a escolha dos valores de x é de extrema importância no
estudo do limite de uma função. Neste exemplo o problema é facilmente
ultrapassado quando se considera o gráfico da função.‡
Exemplo 2
Estudemos agora a função ( )xxe
xg310
1−
= , relativamente ao seu limite
quando ±→ 0x através da observação do seu gráfico (este exemplo é dado
em [1]; no presente trabalho apresentamos uma análise mais detalhada). O
gráfico desta função é muito semelhante ao da função ( )x
xh1
= se forem
usados os rectângulos de visualização pré-definidos Init e Standard (os
gráficos foram obtidos na Casio CFX – 9850)23.
Fig. 6.2 - Gráfico de g com a janela Init Fig. 6.3 - Gráfico de g com a janela Standard
23 Os gráficos obtidos na Texas TI – 83 são semelhantes.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
147
Fig. 6.4 - Gráfico de h com a janela Init Fig. 6.5 - Gráfico de h com a janela Standard
Por que razão os valores destas duas funções são muito semelhantes?
Pelo conhecido desenvolvimento em série de potências tem-se
...!32
132
+θ
+θ
+θ+=θe
e, por conseguinte, para x
310−
=θ , tem-se
...6
10
2
10101
3
9
2
6310 3
++++=−−−
−
xxxe x
Portanto
++++=
−−−
−
32
963
101
6
10
2
1010
3
xO
xxxxe x
Então
( )x
xO
xxxxe
xg
x
1
1
6
10
2
1010
11
32
963
10 3≈
++++
==−−
−
−
Através da observação do gráfico da função g , poderíamos concluir que
( ) +∞=+→xg
x 0lim e ( ) −∞=
−→xg
x 0lim
No entanto, uma das conclusões não está correcta. De facto, considerando a
mudança de variável x
y310
1= , tem-se
( ) 0010lim101
limlim 33
10
100
3
=×===+∞→→→ ++ yy
xxx e
y
xe
xg .
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
148
É claro que só com a observação do gráfico e sem a ajuda da análise
matemática, dificilmente se concluía este limite. Será que se consegue
encontrar um rectângulo de visualização adequado? Estudemos a monotonia
da função g . Tem-se que
( )xgx
xxg ⋅
−=
−
2
310)(' .
Mostra-se que a função g admite um máximo para 310−=x e tem-se
( ) 879441171.36710 3 ≈−g . Então, utilizando uma janela de visualização mais
apropriada, é possível ter uma ideia mais correcta sobre o que se passa na
vizinhança do ponto zero (figura 6.6).
Fig. 6.6 - Gráfico de g com a janela [ ] [ ]370,0105;0 3 ×× −
Este problema ficaria também solucionado se considerássemos uma
tabela dos valores da função g para valores de kx −= 10 , com 6:1=k .
A mensagem ERROR que surge no cálculo de g para 610−=x deve-se
ao facto de que a máquina não produz o valor de 1000e , uma vez que este é
muito superior ao maior número que pode ser representado nesta máquina24.
Esta limitação leva a que não se possa considerar valores de x mais próximos
do ponto zero e superiores ao épsilon da máquina.‡
24 A máquina só determina o valor de
xe para 2585092.23010100 ≤<− x (ver anexo C).
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
149
No exemplo seguinte consideramos um exercício da Prova Modelo do
Exame Nacional do 12º ano de 2001 ([25]).
Exemplo 3
Considere a função f , de domínio ℜ , definida por ( )( )4ln
2sin3
+
+=
xe
xx
xf .
a. Sabe-se que existe ( )xfx +∞→lim e que o seu valor é um número inteiro.
Recorrendo à sua calculadora, conjecture-o. Explique como procedeu.
b. Será conclusivo, para a determinação do valor de ( )xfx +∞→lim , um método
que se baseie exclusivamente na utilização da calculadora? Justifique a
sua resposta.
Relativamente à primeira parte da questão, esta poderia ser resolvida
por dois processos: através do gráfico ou de uma tabela. Vejamos somente o
processo através do gráfico (utilizando a Texas TI - 83):
Fig. 6.7 - Gráfico de f usando a janela [ ] [ ]3,1100,0 −×
Ao observar o gráfico, podemos conjecturar que existe uma assimptota de
equação 1=y . Para confirmar esta conjectura podemos traçar esta recta:
Fig. 6.8 - Gráfico de f e da recta 1=y usando a janela [ ] [ ]3,1100,0 −×
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
150
Assim podemos dizer que é plausível prever que ( ) 1lim =+∞→
xfx
.
Em relação à outra questão, é claro que a resposta é não. A
determinação de um limite não pode ser baseado exclusivamente na
visualização do gráfico na calculadora, ou pelos valores encontrados na tabela,
pois estas imagens mostram-nos uma sequência finita de valores e não uma
sucessão de valores de x que tendem para ∞+ , não se aplicando assim um
pressuposto fundamental, presente na definição de limite de uma função num
ponto, segundo Heine.
A resolução proposta em [25] refere que “o comportamento de uma
função até um certo valor de x , por muito grande que seja, não permite
garantir o comportamento dessa função, desse valor em diante. Assim, a
simples utilização da calculadora não permite garantir o valor do limite, porque
qualquer janela de visualização reporta-se a um intervalo limitado.”
Embora neste caso, o valor do limite sugerido pelo gráfico esteja
correcto, noutros casos, como fica ilustrado em outros exemplos apresentados,
o gráfico pode sugerir um valor diferente do valor correcto.‡
6.3 Estudo de pontos críticos e assimptotas
Um dos aspectos a que o programa de Matemática A do Ensino
Secundário dá muita importância é ao estudo dos pontos críticos e
assimptotas. Vejamos dois exemplos ilustrativos dos problemas que podem
ocorrer na utilização das calculadoras gráficas neste contexto.
Exemplo 1
Consideremos a função real de variável real definida por
( ) 43log800
11 2 −++= xxxf ,
cuja representação gráfica na janela pré-definida Standard (com a máquina
Casio CFX - 9850) não difere muito do gráfico da função 21)( xxg += (exemplo
apresentado em [1]; no presente trabalho apresentamos uma análise mais
detalhada).
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
151
Fig. 6.9 - Gráfico de f Fig. 6.10 - Gráfico de g
Serão os pontos críticos das duas funções os mesmos? Algum dos
gráficos tem assimptotas? Uma vez mais, a representação gráfica induz em
erro. De facto, o domínio da função g é ℜ e como a função é contínua em
todo o seu domínio, o gráfico não admite assimptotas verticais. Por outro lado,
o domínio da função f é
ℜ3
4\ , sendo de facto
3
4=x uma assimptota
vertical do gráfico de f , uma vez que ( ) −∞=→
xfx
3
4lim . No entanto, nenhum
rectângulo de visualização poderá ilustrar esta situação, uma vez que quando
x tende para 0 (por valores positivos) xlog tende muito lentamente para ∞− .
De facto, se considerarmos valores de x próximos de 3
4 tais que δ−=
3
4minX
e δ+=3
4maxX , para 0>δ pequeno mas necessariamente maior do que o
épsilon da máquina, tem-se
( )δ+
δ−+=
δ− 3log
800
1
3
41
3
42
f e ( )δ+
δ++=
δ+ 3log
800
1
3
41
3
42
f .
Portanto considerando, por exemplo 3
10 9−
=δ , obtemos
7665.2800
9
9
1010
9
8
9
161
3
4 189 ≈−+×−+=
δ−
−−f
e
7773.2800
9
9
1010
9
8
9
161
3
4 189 ≈−+×++=
δ+
−−f .
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
152
Por aqui se vê que, para ser
δ±
3
4f grande terá de ser δ muito mais
pequeno do que 910− . Porém, não é possível representar o gráfico com
δ−=3
4minX e δ+=
3
4maxX com δ inferior a 810− .‡
Exemplo 2
Consideremos agora a função real de variável real definida por
( ) ( )29ln xxh −= , cuja representação gráfica na Casio CFX – 9850 encontra-se
na figura 6.11 ([66] p. 135).
Fig. 6.11 - Gráfico de h na janela Init
A escolha de outros rectângulos de visualização não nos permite retirar
conclusões acerca do comportamento da função na proximidade de 3− e 3 ,
pelas mesmas razões apontadas no exemplo anterior. Assim para
conhecermos o comportamento da função é necessário calcular os limites,
quando +−→ 3x e −→ 3x , para se poder concluir que as rectas 3−=x e 3=x
são assimptotas verticais do gráfico. ‡
6.4 Estudo de zeros e resolução de equações
Um dos temas muitas vezes abordado ao longo de todo o Ensino
Secundário é o da resolução de equações através da calculadora. Vejamos o
seguinte exemplo.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
153
Exemplo 1
Pretende-se resolver a equação xx =sin (este exemplo surge em [1]
onde o autor efectua um estudo da equação recorrendo somente a uma
máquina, a Texas Instruments TI – 81). Existem dois métodos diferentes para
resolver este problema25:
1º introduzimos as funções xy sin= e xy = na calculadora gráfica e
determinamos o ponto de intersecção;
2º Introduzimos a função xxy −= sin e determinamos os seus zeros.
Analisemos os dois processos em ambas as máquinas uma vez que os
resultados obtidos são distintos.
Em relação ao primeiro processo, a Casio CFX – 9850 efectua
automaticamente a intersecção dos dois gráficos, através do comando
G – Solv (ISCT). Na figura 6.12 encontram-se os gráficos das duas funções
obtidos utilizando a janela trigonométrica.
Fig. 6.12 - Gráficos obtidos pela Casio CFX – 9850 com a janela Trig
Como se explica que seja diferente de zero o valor encontrado? O valor
da abcissa do ponto de intersecção é dado pela função G – Solv
(desconhecemos se o método utilizado é o da bissecção ou outro) e depende
da janela de visualização considerada e também do critério de paragem
implementado em G – Solv. De facto, considerando a janela de visualização
Init já é possível obter o resultado exacto (figura 6.13).
25 No exame nacional do 12º ano surgem frequentemente questões onde é necessário resolver, através da calculadora gráfica, uma equação não algébrica.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
154
Fig. 6.13 - Gráficos obtidos pela Casio CFX – 9850 com a janela Init
Na Texas TI – 83 o procedimento é algo diferente. De facto nesta
máquina, para efectuar a intersecção dos gráficos de duas funções utiliza-se o
comando CALCULATE (5: intersect), onde há necessidade de indicar quais as
“curvas” para as quais queremos obter os pontos de intersecção (figura 6.14)
e, por último, é preciso indicar o ponto que pensamos estar próximo da
intersecção dos dois gráficos (figura 6.15). Assim com a Texas TI – 83
obtemos o ponto de intersecção correcto (figura 6.16)26.
Fig. 6.14 - Gráficos obtidos na Texas TI – 83 Fig. 6.15 - Gráficos obtidos na Texas TI – 83
Fig. 6.16 - Gráficos obtidos na Texas TI - 83
No que concerne ao segundo processo as duas calculadoras procedem
de forma semelhante ao primeiro processo. Assim na Casio CFX – 9850 é
26 Os gráficos das figuras 6.14, 6.15 e 6.16 foram obtidos na janela trigonométrica.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
155
somente necessário efectuar o comando G – Solv (ROOT) e a máquina calcula
automaticamente todos os zeros da função (figura 6.17).
Fig. 6.17 - Gráfico obtido pela Casio CFX – 9850 na janela Trig
No caso da Texas TI – 83 é necessário indicar um intervalo que
contenha o zero (figuras 6.18 e 6.19), assim como uma aproximação inicial,
digamos 0x , que pertença a este intervalo e que se encontre o mais próximo
possível do zero que queremos calcular (figura 6.20), obtendo o valor correcto
(figura 6.21).
Fig. 6.18 – Escolha do “limite esquerdo” Fig. 6.19 – Escolha do “limite direito”
Fig. 6.20 – Escolha de 00 =x Fig. 6.21 – Zero da função xsenxy −=
Na figura 6.22 encontra-se a aproximação obtida para o zero da função,
com o intervalo que surge nas figuras 6.18 e 6.19 e com 131.0 ≈x .
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
156
Fig. 6. 22 – Aproximação para o zero de xsenxy −=
Se considerássemos outros valores de 0x obteríamos outras
aproximações para o zero da função todas da ordem de 610− (certamente o
“critério de paragem” implementado na calculadora envolve uma tolerância
desta ordem de grandeza). ‡
6.5 Resolução de inequações
A apresentação do conjunto de valores que são a solução de uma
inequação coloca alguns problemas que se ilustram a seguir.
Exemplo 1
Suponhamos que se pretendia resolver a inequação ( ) 0≤xf , onde f é
definida por ([14]):
( ) 9101552 234 ++−−= xxxxxf .
Usando a calculadora Casio CFX – 9850, obtém-se a representação gráfica
que se encontra na figura 6.23.
Fig. 6.23 - Gráfico de f na janela [ ] [ ]15,755,5 −×−
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
157
Para determinarmos os zeros da função usa-se a opção G-solv (ROOT),
obtendo os valores:
9810658647.1−≈a , 5489037994.0−≈b , 0361702313.1≈c e 9937994329.3≈d .
Portanto, o conjunto solução da inequação dada é [ ] [ ]dcbaS ,, ∪= .
Porém, não sendo possível representar exactamente os valores de cba ,, e d
há que tomar cuidado com a forma de apresentação do conjunto solução da
inequação ([53]). Se, por exemplo, quisermos usar aproximações com apenas
dois algarismos significativos, podemos escrever o conjunto S da seguinte
forma, usando as regras usuais de arredondamento,
[ ] [ ]0.4,0.155.0,21 ∪−−=S .
Todavia este conjunto não contém todas as soluções da inequação,
uma vez que as soluções do conjunto ] ]b,55.0− não pertencem a 1S . Pior do
que isto é 1S conter números que não são solução da inequação, por exemplo
2−=x .
A melhor forma de “resolver” este problema seria apresentar um
subconjunto das soluções na forma [ ] [ ]9.3,1.155.0,9.12 ∪−−=S , que é na
verdade o maior subconjunto de soluções que se pode representar usando
números com apenas dois algarismos significativos. ‡
Uma maneira, que nos parece correcta, de abordar o problema de
resolução de inequações é ilustrada pelo seguinte exercício que foi colocado
aos alunos num exame do 12º ano ([25] p. 183):
Exemplo 2
Considere as funções ℜ→ℜ+:f e ℜ→ℜ:g , definidas por:
( ) xxf ln= e ( ) 32 −= xxg .
Utilizando as capacidades gráficas da calculadora, investigue se todo o
número x do intervalo [ ]8.1,1.0 é solução da inequação ( ) ( )xgxf > . Indique a
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
158
conclusão a que chegou e explique como procedeu. Deverá incluir na sua
explicação os gráficos obtidos na calculadora.
Um dos processos de resolução seria, por exemplo, determinar os
valores de x para os quais ( )( ) 0>− xgf . Consideremos o gráfico da função
gf − , obtido na Casio CFX – 9850 (figura 6.24).
Fig. 6.24 - Gráfico de gf − na janela [ ] [ ]1.3,1.34,0 −×
A calculadora obtém os zeros 0499112491.≈a e 9096975943.1≈b . O
conjunto que contém todas as soluções da condição seria ] [ba, , sendo o
intervalo [ ]8.1,1.0 um seu subconjunto.‡
6.6 Continuidade de uma função
Uma das grandes limitações da calculadora, diz respeito à continuidade
de uma função. De facto, parece impossível estudar a continuidade de uma
função com base apenas em gráficos gerados por uma calculadora. O melhor
que se pode fazer é usar a calculadora para confirmar o que já se sabe (e
mesmo isto nem sempre é possível).
Além do exemplo da função ( ) 43log800
11 2 −++= xxxg , já referido
anteriormente, existem outros exemplos já apresentados no capítulo 5. ‡
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
159
6.7 Derivadas
6.7.1 Introdução
Uma das potencialidades das calculadoras gráficas prende-se com a
possibilidade de calcular uma aproximação numérica da derivada da função
num ponto, assim como representar graficamente a função derivada. Por
exemplo, é possível representar num mesmo ecrã os gráficos de uma função e
da sua derivada, o que permite ilustrar as conhecidas relações entre o sinal da
derivada e a monotonia da função. Ambas as calculadoras utilizadas neste
trabalho fazem isto com facilidade. Consideremos, por exemplo, o gráfico da
função 2xy = e da sua derivada xy 2'= :
Fig. 6.25 – Gráficos obtidos na Casio CFX - 9850
Fig. 6.26 – Gráficos obtidos na Texas TI - 83
Todavia, como advertem os manuais de ambas as máquinas, podemos
obter resultados erróneos em pontos em que a função dada não é contínua ou
não é diferenciável. Estas situações são perfeitamente “normais” se tivermos
presente que a generalidade das calculadoras gráficas são máquinas
essencialmente numéricas e incapazes de realizar a análise de uma função.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
160
O objectivo desta secção é, portanto, tentar explicar as razões que
provocam estes resultados errados, nomeadamente o que está na base deste
cálculo numérico de derivadas, reforçando a ideia de que o estudo gráfico das
funções deve ser sempre acompanhado de um tratamento analítico cuidadoso.
Para a elaboração desta secção teve-se em especial atenção o artigo escrito
por A. P. Rosa ([56]).
6.7.2 Derivada simétrica e Derivação numérica
No manual da Texas TI – 83 ([67] p. 63) é mencionado que a aplicação
Nderiv (expressão, variável, valor, ε), designada por derivada numérica,
devolve uma derivada aproximada da expressão relativamente à variável, para
um determinado valor. Se nada for especificado 310−=ε . O manual refere
ainda que a aplicação Nderiv utiliza a derivação simétrica (que aproxima o
valor da derivada numérica como a inclinação da recta secante através da
fórmula das diferenças centradas ( )( ) ( )
ε
ε−−ε+=
2' 00
0
xfxfxf ) e que à medida
que ε diminui, normalmente a aproximação torna-se mais precisa. No manual
da Casio CFX – 9850 ([11] pp. 62-63) surge igualmente a referência a este
método numérico para o cálculo de derivadas. Comecemos então por
introduzir o conceito de derivada simétrica ([33] p. 12).
Definição 1
Seja f uma função definida num intervalo aberto I e I∈α . O limite
( ) ( )h
hfhf
h 2lim
0
−α−+α→
, quando existe e é finito, chama-se derivada simétrica
de f no ponto α.
Exemplo 1
Seja ( ) 2xxf = . Então a sua derivada simétrica é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x
h
xh
h
hxhx
h
hfhf
hhh2
2
22lim
2lim
2lim
0
22
00==
−−+=
−α−+α→→→
.‡
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
161
Definição 2
Se f tiver derivada simétrica em todos os pontos do intervalo I , f
diz-se s – diferenciável em I e define-se a função derivada simétrica
ℜ→If s :' pondo ( ) ( ) ( )h
hxfhxfxf
hs
2lim'
0
−−+=
→, Ix∈∀ .
Observando esta definição conclui-se que o método numérico usado
pelas calculadoras para aproximar valores de derivadas, é uma discretização
da derivação simétrica. Se f for diferenciável (no sentido usual), isto é, se
existir ( ) ( )
h
xfhxf
h
−+→0lim então pode verificar-se que
( ) ( ) ( ) ( )h
xfhxf
h
hxfhxf
hh
−+=
−−+→→ 00lim
2lim .
Porém, existem funções que não são deriváveis mas admitem derivada
simétrica.
Proposição 1 ([56])
Seja I um intervalo aberto e ℜ→If : uma função. Se f tem derivadas
laterais finitas em Ia∈ , então f é s-diferenciável em a e
( )( ) ( )2
'''
afafaf de
s
+= , onde ( )af e' e ( )af d' são as derivadas laterais usuais
de f no ponto a , à esquerda e à direita, respectivamente.
Demonstração
Calculemos os limites laterais, quando 0→h , de ( ) ( )
h
hafhaf
2
−−+. Tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−+
−+⋅=
−−+++ →→ h
hafaf
h
afhaf
h
hafhaf
hh 2
1lim
2lim
00.
Em relação ao ( ) ( ) ( )af
h
afhafd
h'lim
0=
−++→
. Por outro lado, através da mudança
de variável hk −= , tem-se que:
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
162
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afk
afkaf
k
kafaf
h
hafafe
kkh'limlimlim
000 .=
−+=
−
+−=
−−−−+ →→→
.
Portanto
( ) ( ) ( ) ( )2
''
2lim0
afaf
h
hafhaf ed
h
+=
−−++→
.
De modo análogo se prova que
( ) ( ) ( ) ( )2
''
2lim0
afaf
h
hafhaf ed
h
+=
−−+−→
.
Logo, o resultado pretendido decorre da igualdade destes dois limites.‡
Note-se que esta proposição mostra que a existência de derivadas
laterais finitas é condição suficiente para a existência de derivada simétrica,
não sendo, como é sabido, condição suficiente para a existência da derivada
usual.
Corolário 1 ([56])
Se f é diferenciável em Ia∈ , então f também é s-diferenciável em a
e ( )afaf s')(' = .
Demonstração
Se f é diferenciável em a , as derivadas laterais em a são finitas e
iguais. Logo, o resultado decorre imediatamente da proposição anterior.‡
A partir da proposição 1, conclui-se que a derivação simétrica é uma
extensão própria da derivação usual, ou seja, a classe das funções
simetricamente diferenciáveis inclui estritamente a das funções diferenciáveis.
Assim, não é de admirar que as máquinas gráficas obtenham resultados
erróneos no cálculo numérico de derivadas, uma vez que o algoritmo utilizado
pelas máquinas produz uma aproximação da derivada simétrica e não da
derivada usual. Vejamos o que acontece com a função módulo, que não é
diferenciável para 0=x , mas que admite derivadas laterais finitas.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
163
Exemplo 2 ([56])
Seja ℜ→ℜ:f , definida por ( ) xxf = . Então f é diferenciável em
{ }0\ℜ , s-diferenciável em ℜ , tendo-se
( )
<−
>=
01
01'
xse
xsexf
e ( )
<−=
>
=
01
00
01
'
xse
xse
xse
xf s
.
Assim sendo, a derivada simétrica da função módulo na origem terá de
ser zero. De facto, nas duas máquinas utilizadas neste estudo, a derivada para
0=x é zero (figuras 6.27 e 6.28).
Fig. 6.27 - Gráfico de f obtido na Casio CFX – 9850 Fig. 6.28 - Gráfico de f obtido na Texas TI -83
As máquinas gráficas também permitem representar graficamente a
função derivada. Assim neste caso tínhamos que:
Fig. 6.29 - Gráfico de 'f obtido na Casio CFX – 9850 Fig. 6.30 - Gráfico de 'f obtido na Texas TI -83
ou seja, em ambas as calculadoras, a função f é diferenciável na origem.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
164
Note-se que, contrariamente ao que se passa com a derivada usual, a
derivada simétrica não verifica o Teorema de Darboux27 ([33]), ou seja, pode
passar de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios. Este
teorema é semelhante ao Teorema de Bolzano das funções contínuas. Note-
se, porém, que a derivada duma função diferenciável não é necessariamente
contínua, como acontece, por exemplo, com a função ℜ→ℜ:f , definida por
( )
=
≠=
00
01
sin2
xse
xsex
xxf
. ‡
Um aspecto no qual a derivada simétrica é muito diferente da derivada
usual está relacionado com a continuidade. Sabe-se que uma função
diferenciável é contínua. No entanto, um resultado análogo não é verdadeiro
para derivadas simétricas. Basta por exemplo considerar a função
( )
<−
≥=
0
0
xsex
xsexxf .
Proposição 2 ([56])
Seja ℜ→ℜ:f uma função par. Então f é s-diferenciável na origem e
( ) 00' =sf .
Demonstração
Por definição tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
2lim
2
00lim0'
00=
−−=
−−+=
→→ h
hfhf
h
hfhff
hhs ,
uma vez que ( ) ( )hfhf −= , ℜ∈∀h .‡
27 Seja f uma função diferenciável num intervalo (aberto) I , a e b dois pontos de I tais que
( ) ( )bfaf '' ≠ . Então, qualquer que seja o número k compreendido entre ( )af ' e ( )bf ' , existe pelo menos
um ponto c compreendido entre a e b tal que ( ) kcf =' .
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
165
A função módulo que referimos no exemplo anterior verifica a
proposição anterior, uma vez que é uma função par. Um outro exemplo de uma
função que verifica a proposição anterior é a função ℜ→ℜ:g , definida por
( )
∉−
∈=
Qxse
Qxsexg
1
1.
Esta função é par e, portanto, s-diferenciável na origem, não sendo todavia aí
contínua (como sucede com qualquer ponto do seu domínio).
Assim sendo, podemos concluir que uma função par s-diferenciável na
origem não é necessariamente contínua neste ponto. Relativamente às
funções ímpares, a situação é diferente. De facto, verifica-se que a
s-diferenciabilidade na origem implica a diferenciabilidade na origem.
Proposição 3 ([56])
Seja ℜ→ℜ:f uma função ímpar e s-diferenciável na origem. Então, f
é diferenciável na origem e ( ) ( )0'0' sff = .
Demonstração
Uma vez que f é ímpar, tem-se que ( ) 00 =f e portanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'2
00lim
2lim
2limlim
00lim0'
00
000
shh
hhh
fh
hfhf
h
hfhf
h
hfhf
h
hf
h
fhff
=−−+
=−−
=
=+
==−+
=
→→
→→→
.‡
A proposição seguinte é uma generalização da proposição 2:
Proposição 4 ([56])
Seja ℜ→ℜ:f uma função tal que para um certo número k se
tem ( ) ( )xkfxkf +=− , ℜ∈∀x (ou seja, o gráfico de f é simétrico em relação
à recta vertical de equação kx = ). Então f é s-diferenciável no ponto k e
( ) 0' =kf s .
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
166
Demonstração
Por definição tem-se:
( ) ( ) ( )0
2lim'
0=
−−+=
→ h
hkfhkfkf
hs ,
uma vez que por hipótese ( ) ( )xkfxkf +=− , ℜ∈∀x .‡
Proposição 5 ([56])
Seja ℜ→ℜ:f uma função diferenciável e a um número real qualquer.
Dado ℜ∈k , com ( )afk ≠ , defina-se uma função ℜ→ℜ:~f pondo
( )( )
=
≠=
axsek
axsexfxf
~.
Então f~
, embora não sendo diferenciável em a , é s-diferenciável nesse ponto
e ( ) ( )afaf s ''~
= .
Demonstração
É certo que f~
não é diferenciável em a porque não é contínua nesse
ponto. Relativamente à s-diferenciabilidade, tem-se que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afafh
hafhaf
h
hafhafaf s
hhs ''
2lim
2
~~
lim'~
00==
−−+=
−−+=
→→.‡
Estas duas últimas proposições permitem construir uma grande
diversidade de exemplos em que o processo de derivação numérica usando a
discretização da derivada simétrica conduz a resultados erróneos.
Vejamos um outro exemplo cujo resultado é surpreendente.
Exemplo 3 ([56])
Consideremos a função ℜ→ℜ:g , definida por
( )
=
≠=
00
01
xse
xsexxg
.
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
167
Como a função não é contínua na origem, ela não admite aí derivada. Vejamos
se g é s-diferenciável na origem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+∞===
−−=
−−+=
→→→→ 20000
1lim
2
2
lim2
lim2
00lim0'
hh
h
h
hghg
h
hghgg
hhhhs .
Determinemos agora nas duas máquinas a derivada para 0=x (figuras 6.31 e
6.32).
Fig. 6.31 - Gráfico de 'g obtido na Casio CFX – 9850 Fig. 6.32 - Gráfico de 'g obtido na Texas TI - 83
Qual a razão do resultado obtido pela máquina Texas TI - 83? Dado um
número positivo ε , ( )( ) ( )
2
111
1
2
00,0,,
ε=
ε
ε−−ε+=ε
YYXYnDeriv , o que nos leva
ao valor 610 para a derivada se tivermos em conta que o valor pré-fixado de ε
é 310− ([65] p. 63).‡
Exemplo 4 ([56])
Consideremos agora a função ℜ→ℜ+0:h , definida por ( ) xxxh = .
Sabemos, através do estudo analítico, que a função admite derivada lateral à
direita. Será que podíamos retirar esta conclusão a partir da calculadora?
Fig. 6.33 - Gráfico de 'h obtido na Texas TI - 83
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
168
Por que razão a máquina não determina a derivada na origem?
Recordando a definição 1, a função necessita estar definida num intervalo
aberto I e I∈0 . Neste caso, ambas as condições não são satisfeitas e, por
conseguinte, não é possível definir a derivada simétrica para 0=x .‡
Exemplo 5
Do ponto de vista gráfico, é também possível verificar se uma dada
função admite derivada num determinado ponto. Assim, se uma função f é
diferenciável em 0x , fazendo ampliações sucessivas na vizinhança do ponto
0x , o gráfico de f torna-se cada vez mais próximo da recta de equação
( ) ( )( )000 ')( xxxfxfxt −+= :
Se ampliarmos um gráfico de uma função junto a um ponto onde ela
está definida mas não é diferenciável, esse gráfico não se parece com uma
recta. Este critério gráfico, poderá falhar em alguns casos, já que a calculadora
poderá mostrar como linha recta um gráfico que na realidade não o é.
Um exemplo desta situação é a função ( ) 1110 4 +−= − xxf ([65] p. 33).
Se considerarmos o rectângulo de visualização, na Texas TI – 83, ZStandard e
fizermos sucessivas ampliações, o gráfico parece sempre uma recta (figuras
6.34 e 6.35).
Sucessões e Funções
Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas
169
Fig. 6.34 - Gráfico de f na janela ZStandard Fig. 6.35 - Gráfico de f na janela ZDecimal
embora a função não seja diferenciável para 1=x . Neste caso, no entanto, é
possível obter uma representação gráfica mais adequada a esta função
utilizando o ZoomFit28 (figura 6.36).
Fig. 6.36 - Gráfico de f na janela ZoomFit
No entanto, este processo não funciona se ultrapassarmos, por exemplo,
os limites da representação de números na máquina. Assim, se considerarmos
a função ( ) 1110 20 +−= − xxg , o gráfico apresentado será sempre a recta de
equação 1=y , uma vez que 110 20 −− x é calculado como zero a não ser que
x seja muito grande.‡
6.7.3 Razões da utilização da derivada simétrica
Tendo em consideração os exemplos anteriores, porque se utiliza a
derivada simétrica (também designada fórmula das diferenças centradas) em
vez da derivada usual? A proposição seguinte permite perceber que a
utilização da derivada simétrica, de um modo geral, permite obter melhores
aproximações.
28 No caso da Casio CFX – 9850, Zoom Auto.
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170
Proposição 6
Seja I um intervalo aberto, ℜ→If : uma função de classe 3C e Ia∈ .
Seja ainda h um número positivo tal que Ihaha ∈+− , . Então:
1. ( ) ( ) ( ) ( )hfh
h
afhafaf ξ−
−+= ''
2' , para um certo [ ]hahak +−∈ξ , .
2. ( ) ( ) ( ) ( )hfh
h
hafhafaf ξ−
−−+= '''
62'
2
, para um certo [ ]hahak +−∈ξ , .
Estas fórmulas são clássicas e deduzem-se a partir da fórmula de Taylor.
A regra de derivação numérica correspondente à expressão 1 é exacta se
f for um polinómio de grau não superior a 1 e a regra de derivação numérica
correspondente à expressão 2 é exacta para polinómios de grau não
superior a 2.
De um modo geral, a proposição 6 significa que, cada vez que se reduz,
por exemplo, para metade o valor de h , é de esperar que o erro da primeira
aproximação seja cerca de metade do anterior, enquanto o erro da segunda
aproximação se deverá reduzir a 41 do que era. Em contrapartida a segunda
fórmula não utiliza o valor de ( )xf , o que pode conduzir, como já vimos, a
situações absurdas de se obter um valor numérico para a derivada de uma
função num ponto onde essa função não é sequer contínua.
Um outro problema que surge aquando da derivação numérica na
calculadora são os erros de arredondamento que podem surgir no cálculo de
ha + , ha − , ( )haf + e ( )haf − . Vejamos o que se passa no caso da fórmula
( ) ( )h
hafhaf
2
−−+. Quando se efectuam os cálculos, a calculadora não
determina ( )haf + e ( )haf − mas sim as aproximações ( ) 1δ++ haf e
( ) 2δ+− haf . Então, aquilo que é efectivamente calculado é
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171
( )( ) ( ) ( ) ( )
hh
hafhaf
h
hafhafaf
222'~ 2121 δ−δ
+−−+
=δ−−−δ++
= ,
substituindo na segunda expressão obtemos
( ) ( ) ( )hfh
hafaf ξ−
δ−δ−= '''
62'~
'2
21 .
Assim, quando 0→h , a última parcela converge para zero, mas tal não
acontece, em geral, com a segunda parcela. O problema dos erros de
arredondamento assume particular importância neste contexto porque ocorre
cancelamento subtractivo já que ( ) ( )hafhaf −≈+ para h pequeno.
Na prática, verifica-se que em cada caso concreto, existe um valor óptimo
de h abaixo do qual a aproximação começa a piorar, até se atingir um ponto
em que, do ponto de visto numérico, aha =± e então a aproximação da
derivada é sempre calculada como zero. Esta situação pode ser ilustrada pelo
exemplo seguinte ([65] p. 50):
Exemplo 6
Consideremos a função ℜ→ℜ:f definida por
( ) 1125 3 +π+= xxxf .
Sabemos que ( ) π=0'f . Calculemos, para diversos valores de h , os valores
de ( )hd , aproximação da derivada de f em zero e ( )he , o módulo do erro
dessa aproximação, através das expressões:
( ) ( ) ( )h
hfhfhd
2
00 −−+= e ( ) ( ) ( ) ( )0'
2
00f
h
hfhfhe −
−−+= .
Os resultados obtidos (através da Texas TI - 83) encontram-se na tabela
6.3 (note-se que 8981415926535.3≈π , estando a negrito os algarismos
correctos).
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h ( )hd ( )he 110− 4.391592654 1.25
210− 3.154092654 21025.1 −×
310− 3.141717654 410250000052.1 −×
410− 3.141593904 6102502102.1 −×
510− 3.141592668 81044102.1 −×
610− 3.141592675 81014102.2 −×
710− 3.1415928 710464102.1 −×
810− 3.1415915 6101535898.1 −×
910− 3.141595 6103464102.2 −×
1010− 3.1418 410073464102.2 −×
1110− 3.1405 3100926536.1 −×
1210− 3.12 21015926536.2 −×
1310− 0 3.141592654
1410− 0 3.141592654
1510− 0 3.141592654
1610− 0 3.141592654
Tabela 6.3 - Alguns valores de ( )hd e ( )he
Uma outra forma de calcular ( )hd , podia ser através da função nDeriv,
fazendo variar o valor de h (figura 6.37).
Fig. 6.37 – Gráfico obtido na Texas TI - 83
Como podemos observar na tabela, para os valores de h tabelados, até
510− , o erro da derivação numérica diminui (a melhor aproximação que se
obtém tem 8 algarismos significativos), mas depois começa a aumentar, até
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173
que se obtém sempre o valor de 0, a partir de ε≤= −1310h como aproximação
da derivada. É conveniente alertar os alunos para o facto de que a derivação
incorporada na calculadora é apenas aproximada e que o valor obtido com
310−=h é suficiente para a maioria da utilizações práticas. Neste caso,
obtínhamos
Fig. 6.38 – Gráfico obtido na Texas TI - 83
ou seja, uma aproximação apenas com 4 algarismos.‡
6.8 Convergência de séries
Já referimos anteriormente que em ambas as calculadoras utilizadas
neste trabalho tem-se que 99
min 10−=N . Perante este facto, o valor da sucessão
nun
1= , para 9910>n , é sempre igual a zero. Assim sendo, a série harmónica
divergente ∑∞
=1
1
n n ([65] p. 15), seria convergente uma vez que tem os termos
todos nulos a partir de uma certa ordem. Então, como na calculadora toda a
série ∑∞
=1nnu com 0→nu é convergente, poderemos afirmar que a calculadora
“transforma” a condição necessária para uma série ser convergente, numa
condição suficiente. ‡
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