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Problemas de O-mizao

Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

Roteiro para resolver problemas de o-mizao

1. Compreenda o problema a) O que desconhecido? b) Quais as quantidades dadas? c) Quais as condies dadas?

2. Faa um diagrama ou desenho ilustrativo

3. Introduza uma notao a) Atribua smbolos para a quantidade a ser otimizada (maximizada ou minimizada); b) Atribua smbolos para outras quantidades desconhecidas; c) Coloque os smbolos no diagrama.

4. Expresse a quantidade a ser otimizada (Q) em funo dos outros smbolos.

5. Se Q estiver expresso em funo de mais de uma varivel, encontre no problema

relaes entre as variveis e elimine todas menos uma da expresso de Q.

6. Encontre os valores mximo ou mnimo global (absoluto) da funo.

Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que est na margem de um rio reto. Ele no precisa de cerca ao longo do rio. Quais so as dimenses do campo que tem maior rea?

Compreendendo o problema:

a) O que desconhecido?

rea

dimenses do retngulo

b) Quais as quantidades dadas?

cerca: 1.200 m

campo retangular sem cerca em um dos lados (rio reto)

c) Quais as condies dadas?

Diagrama:


x x

y

A

Notao:

x altura do retngulo

y comprimento do retngulo

A rea do retngulo

Expresse a quantidade a ser otimizada em funo dos outros smbolos:

A(x,y)

x + x + y = 2x + y

Encontre no problema relaes entre as variveis e elimine todas menos uma da expresso.

= xy

= 1200


x x

y

A

A(x,y) = xy

2x + y = 1200

y = 1200 2x

A(x,y) = x (1200 2x)

A(x) = 2x2 + 1200x

Domnio de A?

A(x) 0 2x2 + 1200x 0 x(2x+ 1200) 0

x 0Como , 2x+ 1200 0 x 600

Portanto, o domnio de A(x) o intervalo fechado [0, 600]


x x

y

A A(x) = 2x2 + 1200x , 0 x 600

Encontre os valores mximo ou mnimo global (absoluto) da funo.

0 x 600,

Pontos crticos:

A(x) = 1200 4x

A(x) = 0 x = 300A(300) = 2 (300)2 + 1200 300 = 180000

Extremidades do intervalo:

A(0) = 0

A(600) = 0 Logo, a rea mxima A(300) = 180.000 m2.

Exemplo 2. Uma lata cilndrica feita para receber 1 litro de leo. Encontre as dimenses que minimizaro o custo do metal para produzir a lata.

Compreendendo o problema:

a) O que desconhecido? rea da lata

b) Quais as quantidades dadas?

Volume: 1 litro

Lata cilndrica

c) Quais as condies dadas?

Diagrama:


Notao:

r raio do cilindro

h altura do cilindro

A rea do cilindro


A(r, h) = 2(r2) + (2r)h


V = r2h = 1000 ml


A(r, h) = 2(r2) + (2r)h

r2h = 1000 ml

h =1000

r2

A(r) = 2r2 + 2r

1000

r2

= 2r2 +

2000

r

Domnio de A?

r > 0


, r > 0


A(r) = 2r2 +

2000

r

Pontos crticos:

A(r) = 4r 2000r2

=4r3 2000

r2

A(r) = 4r3 2000r2

= 0 r = 3500/

Quando , A(r) < 0 e quando , A(r) > 0 r < 3500/ r > 3

500/

Pelo Teste da Primeira Derivada, ponto de mnimo local. Alm disso, como a funo vinha sempre decrescendo a esquerda deste mnimo, e sempre crescendo direita, este mnimo global (absoluto).

r = 3500/



r = 3500/Quando :

h =1000

r2=

1000

(500/)23

Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos: Suponha que c seja um nmero crtico de uma funo contnua f definida em um certo intervalo.

a) Se f(x) > 0 para todo x < c e f(x) < 0 para todo x > c, ento f(c) o valor mximo absoluto (global) de f.

b) Se f(x) < 0 para todo x < c e f(x) > 0 para todo x > c, ento f(c) o valor mnimo absoluto (global) de f.

Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parbola y2=2x mais prximo de (1, 4).


y2=2x


Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parbola y2=2x mais prximo de (1, 4).


y3 8 = 0 y = 2

Aplicando o Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos:

f(y) < 0 para todo y < 2 e f(y) > 0 para todo y > 2, logo y = 2 mnimo global (absoluto).

Exemplo 4. Um homem lana seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir to rpido quanto possvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e ento seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e ento andar at B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rpido possvel? (Estamos supondo que a velocidade da gua desprezvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.)

Seja x = |CD|

x

Queremos descobrir quem o x que minimiza o tempo t para atingir B.

Precisamos percorrer duas distncias:

|AD| e |DB|

t =|AD|6

+|DB|8

Lembrando que o tempo dado por s/v , o tempo total dado por:


x

t =|AD|6

+|DB|8

x = |CD|: Se

|AD| =x2 + 9

|DB| = 8 xlogo,

t(x) =

x2 + 9

6+

8 x8

Domnio?

[0, 8]


x

t(x) =

x2 + 9

6+

8 x8

Vamos encontrar o valor x que minimiza o tempo, calculando pontos crticos e extremidades do intervalo.

x [0, 8],

t(x) =1

6 12x2 + 9

2x 18

=x

6x2 + 9

18

t(x) = 0 x6x2 + 9

=1

8 x

2

36(x2 + 9)=

1

64

16x2 = 9(x2 + 9) 7x2 = 81 x = 97


x

t(x) =

x2 + 9

6+

8 x8

Extremidades:

x [0, 8],

t(8) =

73

6 1, 42

t(97) 1, 33

Logo, o homem deve aportar no ponto ao sul de C. 97

t(0) =3

2= 1, 5

Exemplo 5. Encontre a rea do maior retngulo que pode ser inscrito em um semicrculo de raio r.

rea do retngulo?

, y 0

Retngulo inscrito em um semicrculo: 2 vrtices no semicrculo, 2 vrtices no eixo x.

, y 0

A(x,y) = 2xy

A(x) = 2xr2 x2

Domnio?

Exemplo 5. Encontre a rea do maior retngulo que pode ser inscrito em um semicrculo de raio r.

= 0

Achando x que maximiza , :

r2 2x2 = 0

Calculando pontos extremos:

A(r2) = 2

r2

r2 r

2

2= 2

r2

r2

Extremidades do intervalo:

A(x) = 2xr2 x2

Logo, a rea mxima atingida quando e vale r2.

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