6- EDO’s: TEORIA E TRATAMENTO NUMÉRICO...
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6- EDO’s: TEORIA E TRATAMENTO NUMÉRICO
Introdução
Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = m.a . Se u = u(t) é a posição no instante t de uma partícula de massa m submetida a uma força F, temos
=
dtdu
utFdt
udm ,,
2
2
(1)
onde a força F pode ser função de t, u, e da velocidade dtdu
. A fim de determinar o movimento da
partícula sob a ação da força F é necessário encontrar a função u que obedeça (1). O nosso objetivo é discutir propriedades de soluções de equações diferenciais ordinárias e descrever alguns métodos que se mostram eficientes para encontrar as soluções do ponto de vista analítico e numérico. 6.1- CONCEITOS BÁSICOS
6.1.1 – Definições e Classificação das Equações Diferenciais
Definição 6.1.1.1: Uma das classificações mais evidentes se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável independente ou de diversas variáveis independentes. No primeiro caso, na equação diferencial só aparecem derivadas ordinárias e a equação é a equação diferencial ordinária (E.D.O.). No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial (E.D.P.). Um exemplo de uma E.D.O. é dado pela equação
)()(1)()(
2
2
tEtQCdt
tdQR
dttQd
L =++ , (2)
enquanto que um exemplo de e.d.p. é uma equação do tipo potencial
0),(),(
2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
yyxu
xyxu
. (3)
Definição 6.1.1.2: Uma outra classificação é a que depende do número de funções desconhecidas que estão envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma função, basta uma equação. Quando forem duas ou mais as funções desconhecidas, é necessário ter um sistema de equações diferenciais. Por exemplo, as equações de Lotka-Volterra (ou predador-presa), importantes modelos de ecologia, têm a forma:
yxycdtdy
yxxadtdx
...
...
γ
α
+−=
−= , (4)
onde x(t) e y(t) são as populações da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, c, α , γ estão baseadas em observações empíricas e dependem das espécies particulares que estão sendo estudadas.
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Definição 6.1.1.3: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Neste sentido, uma equação da forma
F[t, u(t), u’(t), u’’(t), ...., u(n)(t)] = 0 (5) é uma equação diferencial ordinária de ordem n. Observação: É conveniente denotar u(t) por y e conseqüentemente suas derivadas ficam escritas em função de y. Geralmente consideramos equações diferenciais que se apresentam na forma
),...,,,,( )1(''')( −= nn yyyyxfy (6) Definição 6.1.1.4: Uma solução de uma equação diferencial ordinária do tipo (6), no intervalo
βα << t , é uma função φ tal que 'φ , ''φ , ..., )(nφ existem e satisfazem a )](),...,(),(),(,[)( )1(''')( tttttft nn −= φφφφφ (7)
para todo t em βα << t . A menos que se faça afirmação em contrário, vamos admitir que a função f da equação (6) é uma função real, e estaremos interessados em obter soluções reais y = )(tφ . Exemplo 6.1.1:
1. Mostre que R(t) = ce-kt é solução da equação kRdtdR
−= , para ∞<<∞− t .
2. As funções )cos()(1 tty = e )sen()(2 tty = são soluções da equação .0'' =+ yy Definição 6.1.1.5: Uma E.D.O. do tipo F[t, y, y’, y’’, ...., y(n)] = 0 é linear se F for uma função linear das variáveis y, y’, y’’, ...., y(n), ou seja, uma E.D.O. linear de ordem n, é
)()(...)()( )1(1
)(0 tgytaytayta n
nn =+++ − (8) Uma equação que não tenha a forma (8), será uma E.D.O. não linear.
Exemplo 6.1.2: A E.D.O. do tipo 4'''''' 2 tyyyey t =++ é não linear. Definição 6.1.1.6: O Problema de encontrar uma solução )(xy φ= para uma equação diferencial
),...,,,,( )1(''')( −= nn yyyyxfy sujeito a uma condição inicial 00 )( yxy = , isto é, 00 )( yx =φ , é chamado de Problema de Valor Inicial(P.V.I.). 6.1.2– Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções
Embora sejamos capazes de verificar que certas funções simples são soluções, em geral não dispomos prontamente de uma solução. A pergunta que se faz é a seguinte:
Uma equação da forma (6) sempre terá solução? A resposta é não e a justificativa segue.
Como saber quando existe tal solução? Podem haver três questões envolvidas nesta resposta. A questão da Existência: Se um determinado problema é expresso por uma equação
diferencial ordinária (ou sistema de E.D.O.), pode ter ou não solução, pois pode haver erro na formulação do problema.
A questão da Unicidade: admitindo que uma E.D.O. tenha solução, seria única ? Uma terceira questão estaria ligada ao caráter mais prático: como encontrar uma solução?
Caso exista, respondeu-se ao problema de existência. No entanto, pode existir mas não ser possível de expressar como função ou ainda, combinação de funções conhecidas.
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Teorema 6.1.2.1: (de Existência e Unicidade de Solução para uma E.D.O. Linear de Ordem Um):
Seja uma E.D.O. da forma ),(' yxfy = (9)
onde a função f(x, y) está definida em um domínio D do plano xy que contém o ponto ( 00 , yx ). Se a função f(x, y) satisfaz as condições:
• f(x, y) é uma função contínua de duas variáveis em D;
• f(x, y) admite derivada parcial yf
∂∂
contínua com relação a x e y em D.
Então existe uma, e somente uma solução )(xy ϕ= da equação que satisfaz a condição
00 )( yxy = . Exemplo 6.1.3: Considere a E.D.O. de 1a ordem
y' = x.y +e-y.
O segundo membro da equação f(x, y) = x.y + e-y e sua derivada parcial yexyf −−=
∂∂
são contínuas
com relação a x e a y em todos os pontos do plano xy . Em virtude do teorema de existência e unicidade, o conjunto em que a equação tem solução única é todo o plano xy .
6.2- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM E 2A ORDEM
6.2.1– Equações de 1a Ordem a Variáveis Separáveis
Às vezes é conveniente usar como variável x em vez de t para designar a variável independente de uma equação diferencial. Neste caso, a equação geral de primeira ordem assume a forma
),( yxfdxdy
= . (1)
Se a equação (1) é não-linear, isto é, se f não é uma função linear da variável dependente y, não existe um método geral para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo direto de integração pode ser usado.
Em primeiro lugar, reescrevemos a equação (1) na forma
M(x,y)+N(x,y)dxdy
= 0 . (2)
É sempre possível conseguir isto fazendo M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y, a equação (2) se torna
M(x) + N(y) dxdy
= 0 . (3)
Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial M(x) dx + N(y)dy = 0 (4)
na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada variável podem ser separados pelo sinal de igualdade. Exemplo 6.1.4:
Mostrar que a equação 2
2
1 yx
dxdy
−= é de variável separável e encontre sua solução.
126
Exemplo 6.1.5: Mostre que a solução da E.D.O. com condição inicial
−=−
++=
1)0()1(2
243 2
yy
xxdxdy
é dada por 4221)( 23 +++−= xxxxy . Exemplo 6.1.6:
Achar a solução do problema de valor inicial
=+
=
1)0(21
cos2
yyxy
dxdy
.
Resposta.: )1||(lnarcsen)( 2 −+= yyyx .
6.2.2- Exercícios
6.2.2.1) xy
dxdy
= Sol.: y = c.x
6.2.2.2) (1 + y) dx – (1-x) dy = 0 Sol.: xxc
y−+
=1
6.2.2.3) 3'. yyyx =− Sol.: 21 ycxy +=
6.2.2.4) 0).(cot)(cos.sen)( 22 =+ dyygxdxyxtg . Sol.: cxy += 22 secseccos
6.2.2.5)
=
=+
1)0(
)1(
y
edxdy
ye xx
Sol.: )2
1ln(
212 xey +
=−
6.2.2.6) yx
dxdy 2
= Sol.: cxy =− 32 23
6.2.2.7) 0)sen(2 =+ xydxdy
Sol.: 0)cos(1
≠=+ yseCxy
; y = 0.
6.2.2.8) )2(cos).(cos 22 yxdxdy
= Sol.:
+±=
≠=−−
4
)12(0)2cos(
)2sen(2)2(2
ny
yseCxxytg
π
6.2.2.9) y
x
eyex
dxdy
+−
=−
Sol.: Ceexy xy =−+− − )(222
6.2.2.10) )1( 3
2'
xyx
y+
= Sol.: Cxy =+− 32 1ln23
6.2.2.11) 212' )1(. yyx −= Sol.: 1];sen[ln ±=+= yCxy
6.2.2.12)
==+
3/)2/(0 cos(3y)dy dx sen(2x)
ππy; Sol.: 3)2cos(3)3sen(2 += xy
127
6.2.2.13)
−=
+=
21
)0(
4)1(
3
2'
y
yxx
y Sol.:
212 +
−=x
y
6.2.2.14)
=+−
=
0)0(23
2'
yy
ey
x
Sol.: 01232 =−−++ xeyy x
6.2.3– Equações de 1a Ordem Homogêneas Definição 6.2.3.1: Uma função f(x,y) diz-se homogênea de grau n nas variáveis x e y se para todo
ℜ∈λ , 0>λ , temos: ),(),( yxfyxf nλλλ = ,
onde n = grau de homogeneidade. Exemplo 6.2.1:
a) Se 3 33),( yxyxf += então,
temos, ⇒=+=+= ),()(()((),( 3 333 33 yxfyxyxyxf λλλλλλ f é homogênea de grau 1.
b) 2
33
.),(
yxyx
yxf−
= é homogênea de grau zero.
Definição 6.2.3.2: Também podemos chamar uma E.D.O. de homogênea se f(x,y) é uma função homogênea de grau zero ou se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, onde M e N são funções homogêneas de mesmo grau. 6.2.3.1- Método de Resolução
Impõe-se uma solução do tipo y = u(x). x, sendo que a equação diferencial antes escrita na forma:
),( yxfdxdy
= ,
onde dxdu
xudxdy
.+= e ),(),( yxfyxf λλ= (hipótese), tomamos x1=λ , ficando
),1(),( xyfyxf = e como
xy
u = , temos que f(x,y) = f(1,u).
A E.D.O. passa a ser escrita como:
uufdxdu
xufdxdu
xu −=⇒=+ ),1(.),1(. , que é uma E.D.O. de variáveis separáveis. Assim,
integrando chegamos à:
∫ ∫ +=−
Cxdx
uufdu
),1(.
Substituindo u por xy
, após a integração, obtém-se a solução da E.D.O. original.
128
6.2.3.2 Exercícios
6.2.3.2.1) 22 yx
xydxdy
−= Solução: ||ln2 cyyx −=
6.2.3.2.2)
==−+
0)4(0..2)( 22
yydyxdxyx
Solução: x
xy4
1. −=
6.2.3.2.3) 0)()( =−−+ dyxydxyx Solução: 2
2 1)(2)(xC
xy
xy
=++−
6.2.3.2.4) 0)()32( =−++ dyxydxyx Solução: ||ln|2
2|ln
2
2
Cxuu
uu=
+
+
6.2.3.2.5) 03)( 233 =++ dyxydxyx Solução: 32 )
)(1
1(21
)(cx
xxy −=
6.2.3.2.6) 0))cos(.())cos(.( =+− dyxy
xdxxy
yx Solução: ||ln)sen( xCxy −=
6.2.4- Equações de 1a Ordem Lineares com Coeficientes Variáveis Definição 6.2.4.1: Uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação da forma
)()(' xQyxPy =+ , onde P(x) e Q(x) são funções contínuas. Se, na definição anterior, assumirmos Q(x) = 0 para todo x, podemos separar as variáveis e integrar então como segue (desde que y≠ 0):
∫ +−=⇒−=⇒−=⇒=+ CdxxPydxxPdyy
xPdxdy
yyxP
dxdy
ln)(ln)(1
)(1
0)(
Expressamos a constante de integração sob a forma ln|C|a fim de modificar, como a seguir, a forma da última equação:
CeyeCy
dxxPCy
dxxPCydxxPdxxP
=∫⇒∫=⇒−=⇒−=− ∫∫− )()(
.)(ln)(||ln||ln .
Observemos em seguida que, pela regra do produto, ∫+=∫+∫=∫+∫=∫ dxxPdxxPdxxPdxxP
x
dxxP
x
dxxP
x eyxPyexyPeyeDyeyDyeD)(')()(')()()(
))(()()()()( .
Conseqüentemente, multiplicando ambos os membros de )()(' xQyxPy =+ por ∫ dxxPe
)(, a
equação resultante pode ser escrita como ∫=∫ dxxPdxxP
x exQyeD)()(
)()( . Integrando ambos os membros, obtemos a seguinte solução implícita da E.D.O. de a1 ordem :
∫ +∫=∫ KdxexQeydxxPdxxP )()(
).(. ,
para uma constante K. Resolvendo esta equação em relação a y, somos levados a uma solução
explícita. A expressão ∫ dxxPe
)( é um fator integrante da equação diferencial.
Exemplo 6.2.2:
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Resolva a E.D.O. 223 xyxdxdy
=− .
Como P(x) = -3x2, calculamos o fator integrante 323 xdxx
ee −−=∫ .
Multiplicando ambos os membros da E.D.O. obtém-se: 33333 222 ).(3 xx
xxxx exyeDexyex
dxdy
e −−−−− =⇒=− .
Integrando ambos os lados, obtemos
∫ +−=⇒+−== −−− 3333
.31
)(31
. 2 xxxx eCxyCedxexey .
Exemplo 6.2.3: Resolva a E.D.O. 03..5 5'2 =++ xyxyx , com x≠ 0. Dividindo ambos os membros por x2, obtemos:
3' 35
xyx
y −=+ .
O fator integrante é dado por 5|ln|5
5
|| xee xdxx ==∫
. Se x > 0, então |x|5 = x5. Se x < 0, |x|5 = - x5. Em qualquer caso, a multiplicação por |x|5 de ambos os membros da forma padronizada dá
8584'5 3)(35. xyxDxyxyx x −=⇒−=+ . Integrando ambos os membros da igualdade acima, obtemos como solução:
∫ +−=⇒+−=−=5
4985
3)(
33.
xCx
xyCx
dxxyx .
Exemplo 6.2.4: Resolva a equação diferencial )cos(..2)sec()(.' xxxxtgyy +=+ .
Cálculo do fator integrante: |)sec(|)|sec(|ln xee xtgxdx==∫ .
Desprezando o valor absoluto e multiplicando por ambos os lados, chegamos à xxxyDxxxxxtgxyxy x .2)(sec))sec(.()sec().cos(2)(sec)().sec(.)sec( 22' +=⇒+=+ .
Integrando ambos os membros, obtém-se: )cos()()sen()()()sec(. 22 xCxxxyCxxtgxy ++=⇒++= .
6.2.4.1- Técnica Alternativa Para Resolução de uma E.D.O. Linear De 1A Ordem
Suponha que y(x) = u(x).v(x), onde v(x) é uma solução particular da E.D.O. .0)(' =+ yxPy
Derivando y com relação à x, obtém-se:
...dxdu
vdxdv
udxdy
+=
Considerando a E.D.O. )().( xQyxPdxdy
=+ e substituindo a derivada de y com relação a x,
obtemos:
)(.).(. xQvuxPdxdu
vdxdv
u =++
)(.).( xQdxdu
vvxPdxdv
u =+
+
130
Determinação de v(x): Imponha que a expressão entre colchetes seja zero, isto é:
dxxPv
dvvxP
dxdv
).(0).( −=⇒=+
Substitua a expressão de v(x) encontrada na equação:
)(. xQdxdu
v =
e determine u(x). Finalizando, obtemos y(x) = u(x).v(x). 6.2.4.2- Exercícios
6.2.4.2.1) )cos(.5)(cot. xexgydxdy
=+ Solução: ]).[sec(cos)( cos cexxy x +−=
6.2.4.2.2) 0.3..5. 5'2 =++ xyxyx Solução: 5
4
3)(
xcx
xy +−=
6.2.4.2.3) )ln(' xyxy =+ Solução; 1ln)( −+=xc
xxy
6.2.4.2.4) 0))cos(.( 2 =−+ xdydxyxx Solução; cxxxxy += sen)(
6.2.4.2.5) 0).3.2( 323 =−−+ dxxyxydyx Solução: 21
33
..2
)( xexcx
xy +=
6.2.4.2.6) xxxydxdy
x 23. 23 −++= Solução: xcxxxx
xy .)ln(.2.32
)( 23
+−+=
6.2.4.2.7) 0).2(.2 =−=− dxexydxxdy x Solução: 2
.)( xx ecexy +=
6.2.4.2.8) xeyy 2' 2 =+ Sol.: xx
cee
xy 22
4)( −+=
6.2.4.2.9) 23' =− yy Sol.: xcexy 3
32
)( +−=
6.2.4.2.10) 5' 3. xyyx =− Sol.: 35
2)( cx
xxy +=
6.2.4.2.11) )sec(cos)(cot' xxgyy =+ Sol.: )sen(
)(xcx
xy+
=
6.2.4.2.12) xexyyx =++'. Sol.: xcx
xe
xyx
+−=2
)(
6.2.4.2.13) 0).2(2 =−+ dxeyxdyx x Sol.:2
)(x
cexy
x +=
6.2.4.2.14) )sen()(.' xxtgyy =+ Sol.: ])sec(|)[lncos()( cxxxy += 6.2.4.2.15) 0))cos(.( 2 =−+ xdydxyxx Sol.: cxxxxy += )sen(.)(
6.2.4.2.1) xexyxyx 3' .)32(. −=++ Sol.: xexcx
xy 323
)( −
+=
6.2.4.2.16) 0)sen(().( =−+ dxxydyxtg Sol.:)sen(
)sen(21
)(x
cxxy +=
6.2.4.2.17) 322' .3 xexyxy −+=+ Sol.:
3
)(31
)( xecxxy −++=
6.2.4.2.18)
=+=−
2)1(. 2'
yxxyyx
Sol.: )1)ln(.()( ++= xxxxy
131
6.2.4.2.19)
==++ −
0)1(.. '
yeyxyyx x
Sol.: )1
1()(x
exy x −= −
6.2.4.2.20) A equação diferencial dt
dVCI
dtdI
R =+ descreve um circuito elétrico que consiste em
uma força eletromotriz V com uma resistência R e capacitância C ligadas em série. Se V é constante e se I(0) = I0, expresse I como função de t.
Resp.: RCt
eItI−
= .)( 0 6.2.5 – Equações de 1a Ordem Exatas e Fatores Integrantes
Considere a equação diferencial de a1 ordem do tipo 022 '2 =++ xyyyx . (1) Esta equação não é separável. No entanto observe que a função 22 .),( yxxyx +=ϕ satisfaz a propriedade que:
xyx
∂∂
=+ϕ22 e xy
y2=
∂∂ϕ
. (2)
Assim a E.D.O. pode ser escrita como
0)()( 2222 =+∂∂
++∂∂
dxdy
xyxy
xyxx
. (3)
Admitindo que y seja função de x (utilizando a Regra da Cadeia), pode-se escrever a (3) na forma
0)( 22 =+ xyxdxd
. (4)
Portanto, cxyx =+ 22 , (5)
onde c é uma constante arbitrária, é uma expressão implícita (solução) de (1). Ao resolver (1), a etapa principal foi o reconhecimento da existência de uma função
),( yxϕ que obedecia (2). De modo mais geral, considere a equação diferencial
M(x,y)+N(x,y) 'y = 0. (6) Suponha que se possa identificar uma função ),( yxϕ tal que
),(),( yxMyxx
=∂∂ϕ
e ),(),( yxNyxy
=∂∂ϕ
, (7)
de modo que ),( yxϕ = c obedeça a equação y = )(xφ , como uma função derivável de x. Então:
M(x,y)+N(x,y) 'y = )](,[ xxdxd
dxdy
yxφϕ
ϕϕ=
∂∂
+∂∂
,
sendo que (6) pode ser reescrita como:
0)](,[ =xxdxd
φϕ . (8)
Neste caso, (6) é uma equação diferencial exata. A solução de (6) ou de sua equivalente (8) é dada implicitamente por cyx =),(ϕ , (9) onde c é uma constante arbitrária.
132
No exemplo estudado, foi fácil encontrar a sua solução, devido ao reconhecimento da função desejada ϕ . Para os casos em que isto não é possível, existe um teorema para verificação desta condição: Teorema 6.2.5.1: Sejam M, N, My, Nx funções contínuas no domínio retangular (conexo) R:
βα << x , δγ << y , então a equação
M(x,y)+N(x,y) 'y =0 é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,
),(),( yxNyxM xy = (10) em cada ponto de R. Isto é, existe uma função ϕ , que satisfaça
),(),( yxMyxx
=∂∂ϕ
e ),(),( yxNyxy
=∂∂ϕ
,
se, e somente se, M e N satisfizerem (10). Exemplo 6.2.5: a) Resolver a equação diferencial 0)1)(sen(2)cos(. '2 =−+++ yexxxexy yy . É fácil ver que
),(.2)cos(),( yxNexxyxM xy
y =+= , de modo que a equação é exata. Assim, há uma função ),( yxϕ tal que:
yx xexyyx 2)cos(.),( +=ϕ
1)sen(),( 2 −+= yy exxyxϕ .
Integrando a primeira equação, obtemos: ).(.)sen(),( 2 yhexxyyx y ++=ϕ
Derivando ϕ em relação a y e utilizando a segunda equação, obtemos:
1)sen()(.)sen(),( 2'2 −+=++= yyy exxyhexxyxϕ
Assim, yyhyh −=⇒−= )(1)(' . A constante de integração pode ser omitida, pois qualquer solução da equação diferencial é satisfatória e não precisamos de uma solução geral. Sendo assim, obtemos como solução
yexxyyx y −+= .)sen(),( 2ϕ , que é uma solução do tipo implícita.
b) Resolver a equação diferencial 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy .
Neste caso yxyxM y 23),( += e yxyxN x += 2),( .
Portanto xy NM ≠ e a equação não é exata. Para ver que não é possível resolvê-la pelo método
anterior, procuremos uma ϕ tal que 23 yxyx +=ϕ e xyxy += 2ϕ . Integrando xϕ em relação à x vem:
)(23
),( 22 yhxyyxyx ++=ϕ (*)
onde h é uma função arbitrária de y. Afim de satisfazer yϕ , calculamos a derivada de (*) com relação à y e comparamos. Assim
xyxyhxyx +=++ 2'2 )(223
,
133
ou xyxyh −−= 2'
21
)( . Como o 2o membro depende de x e y, é impossível encontrar h(y). Portanto
não há uma função ),( yxϕ que satisfaça as derivadas parciais. Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial que não seja exata numa exata, multiplicando-a por um fator integrante apropriado. Multipliquemos a equação
0),(),( =+ dyyxNdxyxM (11) por uma função µ e tentemos encontrá-la de modo que
0),().,(),().,( =+ dyyxNyxdxyxMyx µµ (12) seja exata. Sabe-se, de antemão, que a equação acima será exata se, e somente se,
xy NM )()( µµ = , (13)
isto é, µ deverá obedecer à seguinte equação diferencial de a1 ordem 0)( =−+− µµµ xyxy NMNM . (14)
Se uma função µ satisfizer à (14), então (12) será exata. A solução de (12) poderá então ser obtida pelo método anteriormente descrito. A solução encontrada satisfaz (11) pois o fator integrante µ será cancelado. Supondo que µ dependa somente de x e do fato que xy NM )()( µµ = , obtém-se
µµ
N
NM
dxd xy−=
que é o fator integrante procurado. Exemplo 6.2.6:
Encontre o fator integrante e resolva a equação 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy . (*)
Já sabemos que esta equação não é exata. Determinamos um fator integrante que dependa exclusivamente de x. Ao determinar a expressão
xxyxyxyx
yxN
yxNyxM xy 1)2(23),(
),(),(2
=+
+−+=
−,
observamos que o fator integrante depende exclusivamente de x e para encontrá-lo basta resolver a equação diferencial
xxxdx
d=⇒= )(µ
µµ.
Multiplicando (*) por )(xµ , obtém-se:
0)()3( '2322 =+++ yyxxxyyx que é exata e, após sua resolução, encontra-se
cyxyx =+ 223
21
.
6.2.5.1- Exercícios
Determinar se as equações são exatas ou não. Para as equações exatas, encontre a solução: 6.2.5.1.1) 0)22()32( ' =−++ yyx Sol.: Cyyxx =−++ 23 22 6.2.5.1.2) 0)22()42( ' =−++ yyxyx Sol.: Não é exata 6.2.5.1.3) 0)36()223( 222 =+−++− dyxydxxyx Sol.: Cyyxyxx =+++− 322 323 6.2.5.1.4) 0)22()22( '22 =+++ yxyxyxy Sol.: Cxyyx =+ 222 6.2.5.1.5) 0))cos(2)cos(())sen(2)sen(( =++− dyxyedxxyye xx
134
Sol.: Cxyye x =+ )cos(2)sen( ; y = 0. 6.2.5.1.6) 0))sen(3()3)sen(( =−−+ dyyexdxyye xx Sol.: Não é exata 6.2.5.1.7) 0)3)2cos(()2)2sen(2)2cos(( =−++− dyxxedxxxexye xyxyxy Sol.: Cyxxe xy =−+ 3)2cos( 2
6.2.5.1.8) 0)2(ln)6( =−++ dyxdxxxy
, x > 0 Sol.: Cyxxy =−+ 23ln. 2
6.2.5.1.9) 0)ln())ln(( =+++ dyxyxydxxyyx , x > 0, y > 0 Sol.: Não é exata
6.2.5.1.10) 0)( 2
322=
+
+
yx
ydyxdx Sol.: Cyx =+ 22
Encontre o valor de b para o qual a equação é exata e resolver cada equação com o valor
encontrado: 6.2.5.1.11) 0)()( 222 =+++ dyxyxdxybxxy Sol.: b=3; Cyxyx =+ 322 2 6.2.5.1.12) 0)( 22 =++ dybxedxxye xyxy Sol.: b=1; Cxe xy =+ 22 6.2.6– Equações de 2a Ordem Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Definição 6.2.6.1: Uma equação diferencial ordinária de 2a ordem tem a forma
),,(2
2
dxdy
yxfdx
yd= (1)
onde f é uma função conhecida. Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f é linear em y e suas derivadas, isto é, quando
yxqdxdy
xpxgdxdy
yxf )()()(),,( −−= , (2)
onde g, p e q são funções da variável independente x. Neste caso, a equação (1) fica )()()( '" xgyxqyxpy =++ (3)
Definição 6.2.6.2: Se a equação (1) não tem a forma (3), então ela é denominada não linear. Para uma E.D.O. de 2a ordem, um problema de valor inicial é constituído por um par de condições iniciais
00 )( yxy = e 10' )( yxy = (4)
onde 0y e 1y são números dados. Observação: Note que são necessárias duas condições iniciais para uma equação de segunda ordem, pois falando em termos gerais, são necessárias duas integrações para se chegar a solução. Um exemplo de ocorrência de uma equação linear de 2a ordem é dado pelo movimento de um corpo ligado a uma mola, e muitos outros sistemas oscilantes simples, que é descrito por uma equação da forma:
)(2
2
tFkudtdu
dtud
m =++ γ , (5)
onde m, γ e k são constantes e F é uma função.
135
Definição 6.2.6.3: Uma E.D.O. linear de 2a ordem é homogênea se o termo g(x) em (3) for nulo para todo x. Não sendo assim, a equação é não-homogênea. Observação: O termo g(x) é denominado não-homogêneo. Consideremos a E.D.O. linear homogênea de 2a ordem
0'" =++ qypyy (*) Propriedades 6.2.6.4: 1. Se y1 e y2 são soluções particulares da E.D.O. linear homogênea de 2a ordem (*) então y1 + y2 também é solução da equação. 2. Se y1 é uma solução de (*) e C é uma constante, o produto Cy1 é também solução desta equação.
6.2.6.1- A Independência Linear e o Wronskiano
Definição 6.2.6.1.1: Duas soluções y1 e y2 de (*) denominam-se linearmente independentes (L.I.)
no intervalo [a,b] se sua razão teconsyy
tan2
1 ≠ . Em caso contrário, as soluções chamam
linearmente dependentes (L.D.). Em outras palavras, duas soluções y1 e y2 são L.D. se λ∃ tal que
λ=2
1
yy
quando x ∈ [a,b].
Exemplo 6.2.7:
A equação 0" =− yy admite como soluções ex , e-x , 3.ex e 5.e-x. As funções ex e e-x são L.I.
em todo o domínio e por esta razão xx
x
eee 2=− que varia com x ℜ∈ . Ao passo que xe e 3 xe são L.D.
pois 33
=x
x
ee
(constante).
Definição 6.2.6.1.2: Se 21 yey são funções de x, então o determinante
W( '2
'1
2121 ),
yyyy
yy =
denomina-se determinante do Wronski ou Wronskiano das funções dadas. Propriedades: 1. Se as funções y1 e y2 são L.D. em [a,b], então o Wronskiano em [a,b] é zero. De fato, se 12 yy λ= donde λ é constante, então '
1'2 yy λ= e
0),( '1
'1
11'1
'1
11'2
'1
2121 ====
yyyy
yyyy
yyyy
yyW λλλ
.
2. Se o Wronskiano W(y1,y2) das soluções y1 e y2 da equação homogênea não se anula em um ponto x = x0 de [a, b], então ele não se anula para qualquer valor de x neste intervalo.
136
Observação: Se o Wronskiano é nulo para certo valor de x = x0, então este determinante também é igual a zero para qualquer valor de x no intervalo considerado. 3. Se as soluções y1 e y2 de (*) são L.I. em [a,b], então o Wronskiano formado por estas soluções não se anulará em nenhum ponto do intervalo. 4. Se y1 e y2 são soluções de (*), então
2211 ycycy += , onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, é uma solução geral de (*).
6.2.6.2– Raízes da Equação Característica – Tipos de Soluções
Neste momento, vamos dirigir nossas atenções para o caso em que os termos que
acompanham yyy ,, '" de (*) são constantes, ou seja, estaremos interessados em resolver uma E.D.O. de 2a ordem do tipo
0. '" =++ cybyya , (6) onde a, b, c são constantes dadas. Antes de mostrarmos a forma de solução, consideremos o seguinte exemplo:
0" =− yy (7) Para esta equação, têm-se a=1, b=0 e c=-1. Com um pouco de meditação, observamos que
uma função que satisfaz (7) é y(t) = et. Seguindo o mesmo raciocínio, observamos que y(t) = e-t também satisfaz (7). Com o tempo, veremos que a combinação destas duas soluções também satisfaz (7). Com isto, verifica-se que soluções do tipo )()()( 2211 tyctycty += apresentam uma solução de (7) na forma geral. Observação: Para determinar os valores das constantes são necessárias duas condições iniciais. Voltando à equação (6), já vimos que soluções do tipo exponencial, são válidas. Suponhamos que rtey = , onde r é o parâmetro a ser determinado. Temos que rtrey =' e
rtery 2" = . Levando as expressões de y, y’ e y” em (6), obtém-se:
( ) 0 0 202 =++ →=++ ≠ cbrarecbrarrtert
(8) A equação (8) é denominada equação característica. A solução desta equação característica
envolve um estudo do sinal do “delta” da equação. Caso 1: ⇒>∆ 0 raízes reais e distintas. Suponha r1 e r2 as duas raízes. Neste caso tem-se como solução trety 1)(1 = e trety 2)(2 = e portanto, a solução geral fica
trtr ecectyctycty 21212211 )()()( +=+= . (9)
Observação: Verifique que (9) satisfaz (6). Exemplos 6.2.8: a) Encontre a solução da E.D.O. 065 '" =++ yyy , sujeita às condições iniciais:
3)0(2)0( ' == yey .
137
b) Encontre a solução do P.V.I.
=
=
=+−
21
)0(
2)0(
0384
'
'"
y
y
yyy
Solução: 223
25
21
)(tt
eety +−= .
Caso 2: ⇒=∆ 0 raízes reais e iguais. Neste caso. Tem-se que acb 42 = e então a
brr
221 −== .
Assim, obtemos como solução, para a E.D.O. do tipo xrexy =)(1 . A solução rxexxy .)(2 = também satisfaz. Portanto a solução geral para este caso é:
rxexccxy ).()( 21 += . (10) Caso 3: ⇒<∆ 0 raízes complexas. Neste caso, observamos que uma das raízes terá a forma
βα ir +=1 (a outra raiz será βα ir −=−
1 ), onde ℜ∈βα , . Assim teremos como solução:
)].sen()()cos()[()]sen()(cos())sen()(cos([
][
212121
21)(
2)(
1
xccixccexixcxixce
ececeececyxx
xixixxixi
ββββββ αα
ββαβαβα
−++=−+−++=
+=+= −−+
Como 21 cc + e )( 21 cci − devem ser reais, impomos que 21 cc + 1C= e i 221 )( Ccc =− e então
)]sen()cos([)( 21 xCxCexy x ββα += , (11) deve ser a solução para o caso em que 0<∆ . 6.2.6.3- Exercícios
Resolva as E.D.O.’s lineares de 2a ordem abaixo: 6.2.6.3.1) 034 '" =+− yyy
6.2.6.3.2)
==
=++
1)0(0)0(
052
'
'"
yy
yyy
6.2.6.3.3) 0=− yy IV
138
6.2.6.3.4) 032 '" =−+ yyy 6.2.6.3.5) 023 '" =++ yyy 6.2.6.3.6) 06 '" =−− yyy 6.2.6.3.7) 032 '" =+− yyy 6.2.6.3.8) 05 '" =+ yy 6.2.6.3.9) 0994 '" =+− yyy 6.2.6.3.10) 022 '" =−− yyy
Nos problemas abaixo, encontrar a solução das E.D.O. de 2a ordem:
6.2.6.3.11) 022 '" =+− yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcety t +=
6.2.6.3.12) 062 '" =+− yyy Sol. )]5sen()5cos([)( 21 tctcety t += 6.2.6.3.13) 082 '" =−+ yyy Sol. tt ececty 4
22
1)( −+= 6.2.6.3.14) 022 '" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcety t += − 6.2.6.3.15) 0136 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 21
3 tctcety t += −
6.2.6.3.16) 094 " =+ yy Sol. )23
sen()23
cos()( 21t
ct
cty +=
6.2.6.3.17) 025,12 '" =++ yyy Sol. )]2
sen()2
cos([)( 21t
ct
cety t += −
6.2.6.3.18) 0499 '" =−+ yyy Sol. 34
23
1)(tt
ececty−
+=
6.2.6.3.19) 025,1'" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 212 tctcety
t+= −
6.2.6.3.20) 025,64 '" =++ yyy Sol. )]23
sen()23
cos([)( 212 t
ct
cety t += −
6.2.6.3.21)
===+
1)0(;0)0(04
'
"
yyyy
Sol. )2sen(21
)( tty =
6.2.6.3.22)
===++
0)0(;1)0(054
'
'"
yyyyy
Sol. )]sen(2)[cos()( 2 ttety t += −
6.2.6.3.23)
===+−
2)2(;0)2(052
'
'"
ππ yyyyy
Sol. )2sen()( 2 tety t π−−=
6.2.6.3.24)
−===+
4)3(;2)3(0
'
"
ππ yyyy
Sol. )sen()32()cos()321()( ttty −−+=
6.2.6.3.25)
===++
1)0(;3)0(025,1
'
'"
yyyyy
Sol. )]sen(25
)cos(3[)( 2 ttetyt
+=−
6.2.6.3.26)
−===++
2)4(;2)4(022
'
'"
ππ yyyyy
Sol. )sen(2)cos(2)( )4()4( tetety tt −− +=ππ
6.2.6.3.27) 02 '" =+− yyy Sol. ][)( 21 tccety t +=
6.2.6.3.28) 069 '" =++ yyy Sol. ][)( 213 tccetyt
+=−
6.2.6.3.29) 0344 '" =−− yyy Sol. 23
22
1)(tt
ececty +=−
139
6.2.6.3.30) 09124 '" =++ yyy Sol. ][)( 212
3tccety
t+=
−
6.2.6.3.31) 0102 '" =+− yyy Sol. )]3sen()3cos([)( 21 tctcety t += 6.2.6.3.32) 096 '" =+− yyy Sol. ][)( 21
3 tccety t +=
6.2.6.3.33) 04174 '" =++ yyy Sol. tt
eccety 421
4)( −−
+=
6.2.6.3.34) 092416 '" =++ yyy Sol. ][)( 214
3tccety
t+=
−
6.2.6.3.35) 042025 '" =+− yyy Sol. ][)( 215
2tccety
t+=
6.2.6.3.36) 022 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 212 tctcety
t+=
−
6.2.7– Equações de 2a Ordem Lineares Não Homogêneas com Coeficientes Constantes 6.2.7.1 - Método dos Coeficientes Indeterminados
A forma geral da equação é )('" tgqypyy =++ .
Suponhamos que g(t) seja produto de uma função exponencial por um polinômio, tendo a forma
tn etPtg α)()( = , (1)
onde )(tPn é um polinômio de grau n. Alguns casos podem ocorrer: 1. O número α não é uma raíz da equação característica 02 =++ qprr . Então se torna necessário encontrar uma solução particular da forma:
tn
nnp eAtAtAty α)...()( 1
10 +++= − = tn etQ α)( (2)
O trabalho agora se concentra em determinar os coeficientes do polinômio. Esta tarefa consiste em substituir py na equação original, ou seja, deriva-se tantas vezes quanto for a ordem da derivada e iguala-se com o lado direito da E.D.O. lembrando uma regra fundamental: “Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes são iguais termo a termo”. 2. O número α é uma raíz simples da equação característica. Para esta situação, a solução que deve satisfazer a E.D.O.terá a forma: t
nnn
p eAtAtAtty α)....()( 110 +++= − = t
n etQt α)( (3) Novamente, o trabalho concentra-se em derivar a expressão (3) de modo a determinar seus coeficientes, impondo como solução da E.D.O.. 3. O número α é uma raíz dupla da equação característica. Nesta situação, a solução que deve satisfazer a E.D.O. terá a forma: t
nnn
p eAtAtAtty α)....()( 110
2 +++= − = tn etQt α)(2 (4)
Na tabela abaixo, encontram-se resumidos as soluções particulares para o caso não homogêneo:
140
g(t) Raíz Solução Particular ( )(ty p ) t
nnn eatata α)...( 1
10 +++ − α≠21 rer tn
nn eAtAtA α)...( 110 +++ −
αα == 21 rour tn
nn eAtAtAt α)...( 110 +++ −
α=r (α é raíz dupla) tn
nn eAtAtAt α)...( 110
2 +++ − Suponhamos agora que g(t) seja da forma ]sen)(cos)([ xxQxxPe x ββα + onde P(x) e Q(x) são polinômios. Deve-se encontrar uma solução para o caso particular onde a forma desta solução depende da raiz do polinômio característico. O problema é que, como temos na função f(t) que é produto de uma exponencial por uma função trigonométrica do tipo sen xβ ou cos xβ , a raiz a ser considerada deverá necessariamente ter a forma βα i+ , sendo que α deverá ser comparada à parte real ou o coeficiente da exponencial e β deverá ser comparado com o argumento do ângulo. Por exemplo, se tivermos uma função, para o caso não homogêneo, da forma
)4cos()( 5 tetg t= e as raízes do polinômio característico forem da forma 5 ± 4i, obteremos como solução particular uma função da forma:
))]4sen()4cos(([)( 5 tBtAetty t += , que será determinada quando descobrirmos o valor das constantes A e B. Agora considere por exemplo a situação, para o caso não homogêneo, onde )3(cos)( ttf = e as raízes do polinômio característico são da forma 2± 3i. Neste caso, teremos uma solução, para o caso particular, da forma
)3sen()3cos()( tBtAty += , onde novamente, basta determinar os valores de A e B. Observação: Se aparecer polinômios multiplicando as funções trigonométricas, será necessário impor na solução particular, polinômios de mesmo grau que do caso não homogêneo, e compará-los a fim de determinar o valor dos coeficientes. Resumindo, para este caso temos os seguintes resultados: g (t)
Raízes −−
+ βα i Solução Particular ( )(ty p )
]sen)(cos)([ ttQttPe t ββα + βαβα ii +=+−−
]sen)(cos)([ ttQttPte t ββα−−
+
βαβα ii +≠+−−
]sen)(cos)([ ttQttPe t ββα−−
+ 6.2.7.2- Exercícios
Resolva as equações abaixo:
6.2.7.2.1) xyyy =++ 34 '" Sol.: 94
31)( 3
21 −++= −− xececxy xx
6.2.7.2.2) xexyy 32" )1(9 +=+ Sol.: xexxxcxcxy 3221 )
815
271
181
()3sen()3cos()( +−++=
6.2.7.2.3) xexyyy )2(67 '" −=+− Sol.: xxx exxececxy )259
101
()( 621 +−++=
141
6.2.7.2.4) xeyyy 265 '" =+− Sol.: xxx eececxy ++= 32
21)(
6.2.7.2.5) teyyy −=−− 22'" Sol.: ttt teececty −− −+=32
)( 22
1
6.2.7.2.6) 3" xkyy =+ Sol.: xk
xk
xKcxKcxy2
321
61)sen()cos()( −++=
6.2.7.2.7) )cos(252 '" xyyy =++
Sol.: )sen(51
)cos(52
)2sen()2cos([)( 21 xxxcxcexy x +++= −
6.2.7.2.8) )2cos(4" xyy =+ Sol.: )2sen(41
)2sen()2cos()( 21 xxxcxcxy ++=
6.2.7.2.9) )cos(3 2" xeyy x=− Sol.: ]sen53
cos103
[)( 221 xxeececxy xxx +++= −
6.2.7.3 - Método da Variação dos Parâmetros
A forma geral da equação é )('" tgqypyy =++ .
Objetivo: Determinar uma solução particular de uma equação não homogênea. Vantagem: é um método geral, ou seja, não exige hipóteses detalhadas sobre a forma da solução. Idéia Básica: Substituir os coeficientes da solução encontrada no caso homogêneo por funções
)(1 tu e )(2 tu de modo que a solução reescrita, seja solução da não homogênea. Exemplo 6.2.9:
Considere a E.D.O. )sec(cos34" tyy =+ , (1)
cuja solução para o caso homogêneo ( 04" =+ yy ), (2)
tem a forma )2sen()2cos()( 21 tctcty += . (3)
A idéia do método é impor como solução, para o caso particular, uma equação da forma )2sen()()2cos()()( 21 ttuttuty += , (4)
de modo que esta torne solução para o caso não homogêneo. Derivando (4) uma vez, obtém-se:
)2sen()()2cos()()2cos()(2)2sen()(2)( '2
'121
' ttuttuttuttuty +++−= . (5) Imponha que
0)2sen()()2cos()( '2
'1 =+ ttuttu (6)
De (5), obtemos )2cos()(2)2sen()(2)( 21
' ttuttuty +−= (7) Derivando (7), obtemos:
)2cos()(2)2sen()(2)2sen()(4)2cos()(4)( '2
'121
" ttuttuttuttuty +−−−= . (8) Introduzindo as equações (8) e (4) em (1), obtém-se:
)sec(cos3)2cos()(2)2sen()(2 '2
'1 tttuttu =+− (9)
Neste ponto, queremos escolher u1(t) e u2(t) de modo a satisfazer (6) e (9) simultaneamente. De (6),
142
)2sen()2cos(
)()( '1
'2 t
ttutu −= (10)
Levando (10) em (9), chegamos à:
)cos(32
)2sen()sec(cos3)('
1 ttt
tu −=−= (11)
Retornando em (10), com )('1 tu , obtém-se para )('
2 tu :
)sen(3)sec(cos23
)sen(2))(sen21(3
)2sen()2cos()cos(3
)(2
'2 tt
tt
ttt
tu −=−
== (12)
Integrando (11) e (12), obtém-se: 11 )sen(3)( cttu +−= (13)
22 )cos(3|)(cot)sec(cos|ln23
)( cttgttu ++−= (14)
Assim,
)2sen()2cos()2sen()]cos(3|)(cot)sec(cos|ln23
[)2cos()sen(3)( 21 tctctttgtttty +++−+−= (15)
A expressão (15) é uma solução geral para a equação (1). Pensando agora no caso geral, consideremos a equação:
)('" tgqypyy =++ (16) Admitindo que a solução da equação homogênea tem a forma:
)()()( 2211 tyctyctyh += (17) e levando em conta que o M.V.P. impõe como solução para o caso não homogêneo uma solução do tipo
)()()()()( 2211 tytutytuty p += , (18)
devemos determinar )(1 tu e )(2 tu . Derivando (18) em relação a t, obtém-se:
)()()()()()()()()( '22
'112
'21
'1
' tytutytutytutytuty p +++= . (19)
Como no exemplo anterior, consideramos nula a soma que envolve os termos )('1 tu e )('
2 tu , ou seja, 0)()()()( 2
'21
'1 =+ tytutytu . (20)
Derivando a expressão (19), levando em consideração (20), obtém-se:
)()()()()()()()()( "22
"11
'2
'2
'1
'1
" tytutytutytutytuty p +++= . (21) Levando em conta as expressões (18), (19) e (21), chegamos à: )()()()()()]()()()[()]()()()[( '
2'2
'1
'12
'2
"221
'1
"11 tgtytutytutqytpytytutqytpytytu =+++++++ (22)
Cada expressão entre colchetes de (22) é nula, pois y1 e y2 são soluções da equação homogênea. Portanto, a equação (22) se reduz à
)()()()()( '2
'2
'1
'1 tgtytutytu =+ . (23)
De modo a determinar as expressões de u1(t) e u2(t), devemos resolver o sistema:
=+=+
)()()()()(0)()()()(
'2
'2
'1
'1
2'21
'1
tgtytutytutytutytu
. (24)
Observe que o determinante deste sistema é
),( 21'2
'1
21 yyWyyyy
= ,
que é o Wronskiano das soluções y1 e y2.
143
Observação: Lembre-se que para que o sistema tenha solução única, devemos ter W(y1,y2) ≠ 0. Resolvendo este sistema, chegamos facilmente às expressões:
),()()(
21
2'1 yyW
tgtyu −= e
),()()(
21
1'2 yyW
tgtyu = (25)
Integrando estas expressões, chegamos à:
∫−=),()()(
)(21
21 yyW
tgtytu e ∫=
),()()(
)(21
12 yyW
tgtytu (26)
que substituindo em (18) determinam a solução para o caso particular de (16). 6.2.7.4- Exercícios
Resolva as equações abaixo: 6.2.7.4.1) )(cot" xgyy =+ Sol.: xxgxxcxcxy sen|)(cot)sec(cos|lnsencos)( 21 −++= . 6.2.7.4.2) )(" xtgyy =+ Sol.: xxtgxxcxcxy cos|)()sec(|lnsencos)( 21 +−+= . 6.2.7.4.3) )3(sec99 2" tyy =+ Sol.: )3sen()3cos()3sen(|)3()3sec(|ln1)( 21 tctctttgtty ++++−= 6.2.7.4.4) tetyyy 22'" 44 −−=++ Sol.: |]|ln[)( 21
2 ttccety t −+= −
6.2.7.4.5) )2
sec(2"4t
yy =+
Sol.: )2
sen(.4)2
cos(.|)2
cos(|ln8)2
sen()2
cos()( 21t
tttt
ct
cty +++=
6.3- Redução de um Sistema de Equações à uma Equação de Ordem n Um modo fácil de integrar o sistema de n equações diferenciais
)(1
tfxadtdx
ij
n
jij
i += ∑=
para i = 1, 2, 3, ..., n. (1)
consiste em reduzi-lo a uma equação de ordem n. Este método conduz a resolução do sistema para uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o sistema de duas equações abaixo:
++=
++=
)2.1( )(
)1.1( )(
tgdycxdtdy
tfbyaxdtdx
Aqui, a, b, c, d são coeficientes constantes; f(t), g(t) são funções dadas. De (1.1), vemos que
))((1
tfaxdtdx
by −−= (2)
Introduzindo y na segunda equação do sistema e dtdy
pela derivada do segundo membro de
(1), obtemos uma equação diferencial de 2a ordem em x(t):
144
0)(2
2
=+++ tPCxdtdx
Bdt
xdA , (3)
onde A, B, C são constantes.
Observação: ),,( 21 CCtxx = e, introduzindo em (1) o valor encontrado de x, assim como dtdx
,
encontramos y. Exemplo 6.3.1:
Resolva o sistema de equações:
+=
+=
)( 1
)( 1
IIxdtdy
Iydtdx
.
De (I), tira-se
1−=dtdx
y (III)
Derivando (III) e substituindo em (II), resulta em uma equação diferencial linear de a2 ordem com coeficientes constantes:
012
2
=−− xdt
xd, (IV)
cuja solução geral tem a forma: 1)( 21 −+= − tt eCeCtx ,
sendo que de (III), obtém-se para y a seguinte expressão: 1)( 21 −−= −tt eCeCty ,
obtendo assim tanto x(t), quanto y(t). Exemplo 6.3.2:
Consideremos a E.D.O. linear de segunda ordem: 2''' −=+ xyxy , para x > 0.
Fazendo a substituição z = y’, obtemos a E.D.O. linear de a1 ordem: x.z’ + z = x – 2,
cuja solução geral (que utiliza o método do fator integrante) é:
−+∫= ∫
∫−dxe
xCexz
dxxdx
x12
1)(1
,
onde um cálculo simples nos fornece z (x) = 22
−+x
xC
e portanto,
∫ ++−== 1
2
ln.24
)()( CxCxx
dxxzxy .