6 Abril 2006Integração Numérica - Áreas e Equações1 Integração Numérica – Áreas e...

6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 1

Integração Numérica – Áreas e Equações

Pedro BarahonaDI/FCT/UNL

Introdução aos Computadores e à Programação2º Semestre 2005/2006


Áreas e Integração

• Como é sabido a superfície delimitada pelo gráfico de uma função pode ser obtida através de uma integração.

• Com efeito, denotando por A(x) a área da função f desde o ponto x= x0 até ao ponto x temos

dA = A(x+h) – A(x) f(x) h

x0x x + h

A dA

f(x)



• Naturalmente, o erro só é eliminado na passagem ao limite, isto é, quando h 0.

• Assim de A(x+h) – A(x) f(x) h obtemos

dx

dA

h

hAhxAxf

h

)()(lim)(

0

x0x x + h

A dA

f(x)



• Ora se a função f é a derivada em ordem a x da função A (área), temos inversamente que

a função A é a primitiva de f em ordem a x

• Desta forma, para determinar a área debaixo da função f, basta-nos determinar a primitiva de f e subtrair os seus valores nos limites de x, o que se denota habitualmente por

bx

ax

bx

ax

ba xFdxxfA

)()(A

a b



Exemplo:

• Para determinarmos a área abaixo da curva

y = f(x) = 3x

entre x = 1 e x = 5, 1. obtemos primeiro

1. e portanto

362

13

2

53

23)(

225

1

25

1

51

x

x

x

x

xdxxfA

23)(

2xxF

15

3

1 3 5

A = 4*(3+15)/2 = 36



• Infelizmente, todo este processo depende de se conseguir obter uma forma analítica para a função F(x), primitiva de f(x).

• Num conjunto significativo de situações tal não é possível, pelo que a integração se tem de fazer , não por métodos analíticos, mas sim através de métodos numéricos aproximados.

A

a b


Áreas e Integração• A integração pode ser pois aproximada por uma soma (aliás o

símbolo de integração corresponde ao S de soma estilizado). Denotando por ai a área dos rectângulos, com “canto inferior esquerdo” no ponto xi, temos

x0 x1 xn-2 xn-1 xn

1

0

limni

ii

naA



• Mas ai f(xi) (xi+1-xi) = f(xi) dx e portanto a soma pode reescrever-se como

que no limite corresponde ao integral referido atrás

O cálculo da área “debaixo de uma função”, e portanto a integração numérica dessa função podem ser aproximados por uma soma.

dxxfaAni

ii

ni

ii

1

0

1

0

)(

dxxfdxxfAni

ii

dx

bx

ax

1

00

)(lim)(


Exemplo: Cálculo de • O valor de pode ser obtido através da área de um

círculo de raio 1 (cujo valor é exactamente ).

• Na prática é preferível obter o valor de pi/4, área do quarto de circulo, limitado pela função

no intervalo entre

x = 0

e

x = 1 .

21)( xxfy

4


Exemplo: Cálculo de

function p = pi_area(n) a = 0; x = 0; dx = (1-0) / n; for i = 0 : n-1 x = x + dx; a = a + sqrt(1-x^2)*dx; endfor p = 4 * a;endfunction

4

dxxfaAni

ii

ni

ii

1

0

1

0

)(


Integração de Equações Diferenciais

• Apesar de ilustrado com o cálculo de áreas, o cálculo integral tem uma utilidade muito mais geral, sendo por exemplo aplicável a praticamente todos os domínios da Física.

• Os exemplos atrás ilustrado correspondem de facto a um caso particular de equações diferenciais, Estas são equações em que são utilizadas não (apenas) as funções mas (também) as suas derivadas.

• Por exemplo, a área do trapézio poderia ser obtida através da equação

através de um processo de integração, ou seja, determinação da função A(x), e subtraindo os seus valores nos pontos x = 1 e x = 5.

xdx

xdA3

)(


Integração de Equações Diferenciais• Em Física é muito frequente defrinirem-se grandezas como

função não de outras grandezas mas também da sua variação.

• Por exemplo,

– a velocidade é a variação da posição em ordem ao tempo

– a aceleração é a variação da velocidade em ordem ao tempo

• Tendo em conta que a força é proporcional à aceleração, o movimento de um corpo (isto é, a função de posição ao longo do tempo x(t) ) pode ser determinado a partir das forças que actuam sobre um corpo.

dt

tvdta

)()(

dt

txdtv

)()(


Integração de Equações Diferenciais• Por exemplo, no caso da queda de um grave (por acção da

gravidade), a única força que actua é a força da gravidade, que se pode considerar constante para um determinado à superfície da Terra.

F = m g

• Sendo a força e a aceleração (g) constantes, pode-se determinar facilmente a velocidade de um corpo através de

dttadtdt

tvdtv

dt

tvdta )(

)()(

)()(


Integração de Equações Diferenciais• Neste caso, sendo a aceleração é constante a(t) = g, pelo que a sua

primitiva pode ser determinada analiticamente

em que v0 é a velocidade inicial (no instante t = 0).

• Da mesma forma se pode obter a posição do ponto, através da integração da função velocidade

sendo x0 a posição inicial (no instante t = 0).

0)( vtgdtgtv

002

0 2

1)()( xtvgtdtvtgdttvtx


Integração de Equações Diferenciais• Esta integração pode naturalmente ser feita através dos métodos

numéricos discutidos anteriormente.

0

)()( vtgdtgdt

dt

tvdtv

function v = velocidade(t, v0, n)

t = 0;

v = v0;

dt = t/n;

for i = 1 : n

v = v + g * dt % g = dv/dt

endfor

endfunction


Integração de Equações Diferenciais• A posição do grave é obtida identicamente.

function x = posicao(tf, x0, v0, n)

x = x0;

dt = tf/n;

for i = 1 : n

x = x + velocidade(t,v0,i)* dt

t = t + dt;

endfor

endfunction

dttvdtdt

txdtx )(

)()(


Integração de Equações Diferenciais• A eficiência desta função é muito baixa. Com efeito, para se obter

a posição xi é necessário determinar a velocidade vi que se determina com i somas (a0 dt+ a1dt + a2 dt + ... + ai dt).

for i = 1 : i v = v + g * dt % ai = g endfor

• Para calcular a posição xi+1 é necessário determinar a velocidade em xi+1. Mas em vez de reaproveitar a soma anterior, adicionando um termo ai+1 dt, o programa vai calcular novamente a soma desde o início, isto é, soma de i+1 termos.

• Obviamente, a eficiência aumentará bastante se combinarmos os dois ciclos num só.



• O programa abaixo faz essa combinação

function x = posicao_2(tf, x0, v0, n)

g = 9.8

v = v0;

x = x0;

dt = tf/n;

for i = 1 : n

v = v + g * dt;

x = x + v * dt; % velocidade(t,v0,n)* dt

% t = t + dt; t não é usado !

endfor

endfunction



• A integração numérica, tem naturalmente a desvantagem de não ser exacta, sendo necessário algum cuidado para garantir que a aproximação obtida é “conveniente”.

• Por outro lado, ela é muito mais flexível que a integração analítica, já que não requer a obtenção de “primitivas” ou métodos analíticos de resolução de equações diferenciais.

• Por exemplo, assumamos que com a resistência do ar, existe uma força contrária à queda, proporcional à velocidade, ou seja

f = mg – rv



• Como, pelas leis de Newton, f = m a teríamos

ma = mg - rv

e portanto

a = g – kv % com k = r /m

o que poderia ser escrito como

podendo x(t) ser obtido por integração desta equação diferencial.

• Por métodos numéricos, basta substituir a fórmula da aceleração no programa anterior!

dt

dxkg

dt

xd

2

2



• O programa abaixo faz essa alteração, acrescentando o coeficiente de atrito k, como parâmetro de entrada

function x = posicao_3(tf, x0, v0, k, n)

g = 9.8

v = v0;

x = x0;

dt = tf/n;

for i = 1 : n

v = v + (g - k*v) * dt % a = g – k*v

x = x + v * dt

endfor

endfunction

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