Lista 5 - Teoria de Aneis - 2012/2013

Professor: Marcelo M.S. AlvesData: 26/02/2013

1. Dados a e b racionais positivos, mostre que os numeros a seguir sao algebricos:

(a)√a+√b

(b) 3√a+√b

(c)√a+√b

2. Sendo α =√

2 +√

2,

(a) Determine o polinomio minimal de α sobre Q e determine [Q(α) : Q].

(b) Determine [Q(α) : Q(√

2)].

3. Sendo α =3√

3 +√

6,

(a) Determine o polinomio minimal de α sobre Q;

(b) Determine [Q(α) : Q] e [Q(α) : Q(√

6)].

4. Determine o grau e tambem uma base das extensoes a seguir; nao deixe de provar que euma base (isto e, que e conjunto gerador e que e LI sobre o corpo K).

(a) Q(√

2, 3√

2) sobre K = Q.

(b) Q( 4√

2, i√

2) sobre K = Q.

(c) Q(√

2,√

3) sobre K = Q.

(d) Q(√

2,√

3) sobre K = Q(√

6).

5. (Alguns numeros irracionais)

(a) Use o criterio de Eisenstein para mostrar que se α = m√p, com p primo (positivo) e

m ≥ 2, entao α e irracional (sugestao: qual o polinomio minimal de α?)

(b) Generalizando, seja a ∈ N tal que sua fatoracao e da forma a = p1pn22 · · · p

nkk , onde

os pj’s sao numeros primos (positivos) distintos, n1 = 1 e nj ≥ 1 para j = 2, . . . , k.Prove que α = m

√a e irracional para todo m ≥ 2.

6. Seja L ⊃ K uma extensao finita e seja α ∈ L − K. Mostre diretamente, sem usar ohomomorfismo de avaliacao, que K[α] = {f(α); f(x) ∈ K[x]}. Sugestao: usando apenasas propriedades que definem um subanel e o fato que α ∈ K[α] e K ⊂ K[α], comece pormostrar que cada potencia de α esta em K[α].

7. Sejam p, q primos positivos e f(x) = xp − q.

(a) Mostre que as raızes de f(x) estao no corpo Q( p√q, u), onde u = exp(2πi/p).

(b) Reciprocamente, mostre que se L e um subcorpo de C que contem as raızes de f(x),entao L contem Q( p

√q, u).

8. Seja L ⊃ K uma extensao finita. Mostre que [L : K] = 1 se e somente se L = K.

9. Seja L ⊃ K uma extensao finita, e seja f(x) ∈ K[x] um polinomio irredutıvel sobre K.

(a) Mostre que se f(x) tem uma raiz α em L, entao o grau de f(x) divide o grau daextensao L ⊃ K. (sugestao: considere o corpo K(α)).

(b) Use isso para dar outra prova de que√

2 /∈ Q( 3√

2), e que 3√

2 /∈ Q(√

2).

10. Mostre que o polinomio minimal de um numero algebrico sempre e irredutıvel.

11. Prove que a extensao C ⊃ R e algebrica.

12. Seja α = a+ bi, com b 6= 0. Prove que R(α) = C.

13. Suponha que a extensao L ⊃ K e finita e que [L : K] = p, p primo. Mostre que se α ∈ Le α /∈ K entao L = K(α).

14. Mostre que Q(√

2,√

3) = Q(α), onde α =√

2 +√

3. Sugestao:

(i) Mostre que Q(α) ⊂ Q(√

2,√

3).

(ii) Para a inclusao inversa, mostre que√

6 esta em Q(α) (eleve α ao quadrado).

(iii) Continuando, calcule o produto√

6α, que esta em Q(α), e conclua que√

3 esta emQ(α); deduza disso que

√2 ∈ Q(α), e que portanto Q(

√2,√

3) ⊂ Q(α).

15. Generalizando o item anterior, mostre que Q(√a,√b) = Q(

√a+√b) para quaisquer a, b

racionais positivos.

16. Se M e uma matriz real n×n e p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn ∈ R[x], define-se p(M) como

p(M) = a0I + a1M + · · · + anMn, onde I e a matriz identidade de ordem n. Pode-se

mostrar que a aplicacao p(x) 7→ p(M) e um homomorfismo de R[x] em Mn(R) (com Mfixo).

(a) Mostre que o conjunto IM = {p(x) ∈ R[x]; p(M) = 0} e um ideal de R[x].

(b) Mostre que IM 6= 0. Sugestao: mostre que o conjunto {I,M,M2, . . . ,Mn2} e linear-mente dependente em Mn(R).

(c) Mostre que existe um polinomio monico m(x) ∈ IA tal que IM = 〈m(x)〉. Este e opolinomio minimal de M .

(d) Ao contrario do que acontece para numeros algebricos, nao podemos concluir quem(x) e irredutıvel. Por que o argumento usado em numeros algebricos nao funcionaaqui?

17. (extensoes de corpos e matrizes) Seja L ⊃ K uma extensao de grau n, e seja β ={v1, . . . , vn} uma base de L sobre K.

(a) Mostre que se α ∈ L, a aplicacao Tα : L→ L dada por Tα(v) = αv e K-linear (e ateL-linear, mas nao precisaremos disso).

(b) Seja Endk(L) o anel dos operadores K-lineares de L em L (onde o produto deoperadores e a composicao). Mostre que a aplicacao que leva α em Tα,

T : L → EndK(L)

α 7→ Tα

e um homomorfismo injetor (para a injetividade: se Tα esta no nucleo, calcule Tα(1)).

(c) Pode-se mostrar que a aplicacao θ : EndK(L)→Mn(K) que leva um operador emsua matriz na base β e um homomorfismo injetor. Conclua que L e isomorfo a umsubanel de Mn(K).

(d) Encontre um subanel de M2(Z2) que e isomorfo ao corpo de 4 elementos K =Z2[x]/〈x2 + x+ 1〉.

(e) Encontre um subanel de M3(Q) que e isomorfo ao corpo Q( 3√

2).