551194-APOSTILA_DE_INTRODUÇÃO_A_ESTATÍSTICA_IFCE.2015

7/25/2019 551194-APOSTILA_DE_INTRODUO_A_ESTATSTICA_IFCE.2015

1/161

ESTATSTICA BSICA

Professor: Narcelio de Arajo [email protected]

2015


2/161

2

SUMRIO

INTRODUO ............................................................................................03

UNIDADE 1: A NATUREZA DA ESTATSTICA ...................................05

UNIDADE 2: POPULAO E AMOSTRA .............................................12

UNIDADE 3: SRIES ESTATSTICAS....................................................19

UNIDADE 4: GRFICOS ...........................................................................31

UNIDADE 5: DISTRIBUIO DE FREQUENCIA ................................46

UNIDADE 6: MEDIDAS DE POSIO ...................................................66

UNIDADE 7: MEDIDAS DE DISPERSO OU VARIABILIDADE....... 94

UNIDADE 8: PROBABILIDADE ............................................................109

UNIDADE 9: DISTRIBUIO BINOMIAL E NORMAL ...................118

UNIDADE 10: CORRELAO E REGRESSO ..................................143

REFERENCIAS .........................................................................................158

ANEXOS .....................................................................................................159


3/161

3

INTRODUO

Na antiguidade os povos j registravam o nmero de habitantes, nascimentos,bitos. Faziam "estatsticas". Na idade mdia as informaes eram tabuladas com

finalidades tributrias e blicas.No sculo XVI surgem as primeiras anlises sistemticas, as primeiras tabelas e osnmeros relativos.

No sculo XVIII a estatstica com feio cientfica batizada por GODOFREDOACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeirasrepresentaes grficas e os clculos de probabilidades. A estatstica deixa de seruma simples tabulao de dados numricos para se tornar "O estudo de como sechegar a concluso sobre uma populao, partindo da observao de partes dessa

populao (amostra)".

Ao longo do sculo XX, os mtodos estatsticos foram desenvolvidos como umamistura de cincia, tecnologia e lgica para a soluo e investigao de problemasem vrias reas do conhecimento humano (Stigler, 1986). Ela foi reconhecida comoum campo da cincia neste perodo, mas sua histria tem incio bem anterior a 1900.

A estatstica moderna uma tecnologia quantitativa para a cincia experimental eobservacional que permite avaliar e estudar as incertezas e os seus efeitos noplanejamento e interpretao de experincias e de observaes de fenmenos danatureza e da sociedade.

A estatstica no uma caixa-preta, nem bola de cristal, nem mgica. Tampouco um conjunto de tcnicas teis para algumas reas isoladas ou restritas da cincia.Por exemplo, ao contrrio do que alguns imaginam, a estatstica no um ramo damatemtica onde se investigam os processos de obteno, organizao e anlise dedados sobre uma determinada populao. A estatstica tambm no se limita a umconjunto de elementos numricos relativos a um fato social, nem a nmeros, tabelase grficos usados para o resumo, organizao e apresentao dos dados de umapesquisa, embora este seja um aspecto da estatstica que pode ser facilmentepercebido no cotidiano (basta abrir os jornais e revistas para ver o "bombardeio" deestatsticas). Ela uma cincia multidisciplinar: um mesmo programa decomputador que permite a anlise estatstica de dados de um fsico poderia tambmser usado por um economista, agrnomo, qumico, gelogo, matemtico, bilogo,socilogo, psiclogo e cientista poltico. Mesmo que as interpretaes dessasanlises sejam diferentes por causa das diferenas entre as reas do conhecimento,os conceitos empregados, as limitaes das tcnicas e as consequncias dessasinterpretaes so essencialmente as mesmas.


4/161

4

Segundo Rao (1999), a estatstica uma cincia que estuda e pesquisa sobre: olevantamento de dados com a mxima quantidade de informao possvel para umdado custo; o processamento de dados para a quantificao da quantidade deincerteza existente na resposta para um determinado problema; a tomada de decisessob condies de incerteza, sob o menor risco possvel. Finalmente, a estatstica tem

sido utilizada na pesquisa cientfica, para a otimizao de recursos econmicos, parao aumento da qualidade e produtividade, na otimizao em anlise de decises, emquestes judiciais, previses e em muitas outras reas.


5/161

5

I - A NATUREZA DA ESTATSTICA

A palavra estatstica formou-se da mesma raiz latina da palavra Estado(Organizao Poltica): status; porque, originalmente, as estatsticas eramcolhidas para as finalidades relacionadas com o Estado (com objetivos militares,

tributrios, recenseamentos, entre outros).

PANORAMA HISTRICO

Todas as cincias tm suas razes na histria do homem.A Matemtica, que considerada a cincia que une clareza do raciocnio a snteseda linguagem, originou-se do convvio social, das trocas, da contagem, com carterprtico, utilitrio, emprico.A estatstica, ramo da matemtica aplicada, teve origem semelhante.Desde a antiguidade, vrios povos j registravam o nmero de habitantes, denascimentos, de bitos, faziam estimativas das riquezas individual e social,distriburam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavaminquritos quantitativos por processos que, hoje, chamaramos de "estatsticas".Na idade mdia colhiam-se informaes, geralmente com finalidades tributrias oublicas.A partir do sculo XVI comearam a surgir as primeiras anlises sistemticas defatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tbuase tabelas e os primeiros nmeros relativos.No sculo XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feio

verdadeiramente cientfica. Godofredo Achenwall batizou a nova cincia (oumtodo) com o nome de Estatstica, determinando o seu objetivo com as cincias.As tabelas tornam-se mais completas, surgiram as representaes grficas e oclculo das probabilidades, e a estatstica deixa de ser uma simples catalogao dedados numricos para se tornar o estudo de como se chegar a concluso sobre umapopulao, partindo da observao de partes dessa populao (amostra).Atualmente, o pblico leigo (leitor de jornais e revistas) posiciona-se em doisextremos divergentes e igualmente errneos quanto a validade das conclusesestatsticas: ou cr em sua infalibilidade ou afirma que elas nada provam. Os queassim pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do mtodo estatstico;ignoram a Estatstica, quer terica quer prtica, ou a conhecem muitosuperficialmente.Na era da energia nuclear, os estudos estatsticos tm avanado rapidamente e, comseus processos e tcnicas, tm contribudo para a organizao dos negcios erecursos do mundo moderno.


6/161

6

MTODO ESTATSTICO

O Mtodo Cientfico

Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na antiguidade por acaso e,outros, por necessidades prticas, sem aplicao de um mtodo.

Atualmente, quase todo acrscimo de conhecimento resulta da observao e doestudo. Se bem que muito desse conhecimento possa ter sido observado inicialmentepor acaso, a verdade que desenvolvemos processos cientficos para seu estudo epara adquirirmos tais conhecimentos. Podemos ento dizer que:

Mtodo: um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegara um fim que se deseja, ou seja, um meio mais eficaz para atingirdeterminada meta.

Dos mtodos cientficos, vamos destacar o Mtodo experimental e o Mtodoestatstico. O Mtodo Experimental - o mtodo preferido pela fsica, Qumica, etc.

Mtodo experimental: consiste em manter constantes todas as causas

(fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possadescobrir seus efeitos, caso existam.

O Mtodo Estatstico

Muitas vezes temos necessidade de descobrir fatos em um campo em que o mtodo

experimental no se aplica (nas cincias sociais), j que os vrios fatores que afetamo fenmeno em estudo no podem permanecer constantes enquanto fazemos variar acausa que, naquele momento, nos interessa.Como exemplo, podemos citar a determinao das causas que definem o preo deuma mercadoria. Para aplicarmos o mtodo experimental, teramos de fazer variar aquantidade da mercadoria e verificar se tal fato iria influenciar seu preo.Contudo, seria necessrio que no houvesse alterao nos outros fatores. Assim,deveria existir, no momento da pesquisa, uma uniformidade dos salrios, o gostodos consumidores deveria permanecer constante, seria necessria a fixao do nvel

geral dos preos das outras necessidades etc. Mas isso tudo impossvel.Nesses casos, lanamos mo de outro mtodo, embora mais difcil e menos preciso,denominado mtodo estatstico.

Mtodo estatstico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes,

admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variaese procurando determinar, no resultado final, que influncias cabem a cadauma delas.


7/161

7

A ESTATSTICA

Exprimindo por meio de nmeros as observaes que se fazem de elementos com,pelo menos, uma caracterstica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculinode uma comunidade), obtemos os chamados dadosreferentes a esses elementos.

Podemos dizer, ento, que:A Estatstica uma parte da matemtica aplicada que fornece mtodos para a coleta,organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dosmesmos na tomada de decises.

A Estatstica Descritiva se encarrega de fazer a coleta, organizao edescrio dos dados.

A Estatstica Indutiva ou Inferencial se encarrega de fazer a anlise e

interpretao dos dados.

Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatstica, o fazem no sentido daorganizao e descrio dos dados (estatstica do Ministrio da educao,estatsticas dos acidentes de trfego etc.), desconhecendo queo aspecto essencialda Estatstica o de proporcionar mtodos inferenciais, que permitamconcluses que transcendam os dados obtidos inicialmente.Assim, a anlise e a interpretao dos dados estatsticos tornam possvel odiagnstico de uma empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento de seusproblemas (condies de funcionamento, produtividade), a formulao de solues

apropriadas e um planejamento objetivo de ao.

Fases do Mtodo estatstico:

Podemos distinguir no mtodo estatstico as seguintes fases:

1Coleta de Dados

Aps cuidadoso planejamento e a devida determinao das caractersticas

mensurveis do fenmeno coletivamente tpico que se quer pesquisar, damos incio coleta dos dadosnumricos necessrios sua descrio.

A coleta de dados pode ser direta ou indireta.


8/161

8

1.1Direta:

Quando ela feita sobre elementos informativos de registro obrigatrio(nascimentos, casamentos e bitos, importao e exportao de mercadorias),elementos pertinentes aos pronturios dos alunos de uma escola ou, ainda, quandoos dados so coletados pelo prprio pesquisador atravs de inquritos e

questionrios, como o caso das notas de verificao e de exames, do censodemogrfico, etc.

A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:

Contnua (registro): quando feita continuamente, tal como a de nascimentos,bitos e a frequncia dos alunos s aulas;

Peridica: quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos(de 10 em 10 anos) e as avaliaes peridicas; recenseamento demogrfico,

censo industrial; Ocasional: quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma

conjuntura ou a uma emergncia, como no caso de epidemias que assolam oudizimam rebanhos inteiros.

1.2Indireta:

Quando inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou conhecimento deoutros fenmenos relacionados com o fenmeno estudado. Como por exemplo,podemos citar a pesquisa sobre mortalidade infantil, que feita atravs de dadoscolhidos por uma coleta direta.

2Crtica dos Dados

Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, procura de possveisfalhas e imperfeies, a fim de no incorrermos em erros grosseiros ou de certovulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.

A crtica dos dados se divide em: externa e interna

Crtica externaquando visa s causas dos erros por parte do informante, pordistrao ou m interpretao das perguntas que lhe foram feitas.

Crtica interna quando visa observar os elementos originais dos dados da

coleta.


9/161

9

3Apurao dos Dados

Nada mais do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposiomediante critrios de classificao.

Resumo dos dados atravs de sua contagem eagrupamento. a condensao e tabulao de dados. Pode ser manual,eletromecnica ou eletrnica.

4Exposio ou Apresentao dos Dados

Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem serapresentados sob forma de tabelas (unidade 3) e grficos (unidade 4), pois tornammais fcil o exame daquilo que est sendo objeto de tratamento estatstico e ulteriorobteno de medidas de posio (unidade 6) e medidas de disperso (unidade 7).

5Anlise dos Resultados

Como j dissemos, o objetivo ltimo da estatstica tirar concluses sobre o todo(populao) a partir de informaes fornecidas por parte representativa do todo(amostra). Assim, realizadas as etapas anteriores (estatstica descritiva), fazemosuma anlise dos resultados obtidos, atravs dos mtodos da Estatstica Indutiva ouInferencial, que tem por base a induo ou inferncia, e tiramos desses resultadosconcluses e previses.

A ESTATSTICA NAS EMPRESAS

No mundo atual, a empresa uma das vigas-mestras da economia dos povos.A direo de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais,exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decises, e o conhecimentoe o uso da estatstica facilitaro seu trplice trabalho de organizar, dirigir e controlara empresa.

Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opinies,podemos conhecer a realidade geogrfica e social, os recursos naturais, humanos e

financeiros disponveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, eestabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcanadosa curto, mdio ou longo prazo.

A estatstica ajudar em tal trabalho, como tambm na seleo e organizao daestratgia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das tcnicas deverificao e avaliao da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dospossveis lucros e/ou perdas.


10/161

10

Tudo isso que se pensou, se planejou, precisa ficar registrado, documentado paraevitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e domaterial e, ainda, para controle eficiente do trabalho.

O esquema do planejamento o plano, que pode ser resumido, com auxlio da

estatstica, em tabelas e grficos, que facilitaro a compreenso visual dos clculosmatemtico-estatsticos que lhes deram origens.

O homem de hoje, em suas mltiplas atividades, lana mo de processos e tcnicasestatsticas, e s estudando-os evitaremos o erro das generalizaes apressadas arespeito de tabelas e grficos apresentados em jornais, revistas e televiso,frequentemente cometido quando se conhece apenas por cima um pouco deEstatstica.


11/161

11

EXERCCIOS

1. Complete:O mtodo experimental o mais usado por cincias como: ____________________.

2. As cincias humanas e sociais, para obter os dados que buscam, lanam mo de

que mtodo?

3. O que Estatstica?

4. Cite as fases do mtodo estatstico.

5. Para voc, o que coletar dados?

6. Para que serve a crtica dos dados?

7. O que apurar dados?

8. Como podem ser apresentados ou expostos os dados?

9. As concluses, as inferncias pertencem a que parte da Estatstica?

10. Cite trs ou mais atividades do planejamento empresarial em que a Estatstica sefaz necessria.

11. O mtodo estatstico tem como um de seus fins:

a) Estudar os fenmenos estatsticos.b)Estudar qualidades concretas dos indivduos que formam grupos.c) Determinar qualidades abstratas dos indivduos que formam grupos.d)Determinar qualidades abstratas de grupos de indivduos.e) Estudar fenmenos numricos.


12/161

12

IIPOPULAO E AMOSTRA

1VARIVEL

A cada fenmeno corresponde um nmero de resultados possveis. Assim, porexemplo:

-para um fenmeno sexo so doisos resultados possveis: masculinoe feminino;

- para o fenmeno nmero de filhos h um nmero de resultadospossveis expressos atravs dos nmeros naturais: 0,1,2,3,....,n;

- para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois osresultados podem tomar um nmero infinito de valores numricos dentro de umdeterminado intervalo.

Varivel: , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um

fenmeno. Uma varivel qualquer caracterstica de um elemento observado(pessoa, objeto ou animal).

Algumas variveis, como sexo e designao de emprego, simplesmente enquadramos indivduos em categorias. Outras, como altura e renda anual, tomam valoresnumricos com os quais podemos fazer clculos.

Uma varivel pode ser: qualitativa ou quantitativa

Qualitativa: quando seus valores so expressos por atributos; ex.: sexo(masculino ou feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha,parda) etc.;

Quantitativa: quando seus valores so expressos em nmeros; ex.: salriosdos operrios, idade, altura, etc. Divide-se em discreta e contnua:

Discreta ou descontnua: seus valores so expressos geralmente atravsde nmeros inteiros no negativos. Resulta normalmente de contagens.

Ex.: nmero de alunos de uma escola que pode assumir qualquer umdos valores do conjunto N = {1, 2, 3, ..., 58,...}, mas nunca valorescomo 2,5 ou 3,78 ou 4,325 etc.

Contnua: resulta normalmente de uma mensurao, e a escala

numrica de seus possveis valores corresponde ao conjunto R dosnmeros reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valorentre dois limites. Ex.: peso dos alunos de uma escola, pois um aluno


13/161

13

tanto pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg, dependendo dapreciso da medida.

De modo geral, as mediesdo origem a variveis contnuas e as contagens ouenumeraes, a variveis discretas.

Designamos as variveis por letras latinas, em geral, as ltimas: x, y, z.

Por exemplo, sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possveis de um dado fenmeno.Fazendo uso da letra x para indicar a varivel relativa ao fenmeno considerado,temos:

x {2, 3, 5, 8}

Exerccio resolvido:

1. Classifique as variveis em qualitativas e quantitativas (contnuas ou discretas):a) Cor dos olhosQualitativab) ndice de liquidez nas indstrias CearensesQuantitativa contnuac) Produo de caf no BrasilQuantitativa contnuad) Nmero de defeitos em aparelhos de TVQuantitativa discretae) Comprimento dos pregos produzidos por uma empresaQuantitativa contnuaf) O ponto obtido em cada jogada de um dadoquantitativa discreta

Resolva:

1. Classifique as variveis em qualitativas e quantitativas (contnuas ou discretas):a) Cor dos cabelosb) Nmero de filhosc) Nmero de peas produzidas por horad) Dimetro de uma peae) Nmero de volumes de uma bibliotecaf) produo de algodo em um ano

2POPULAO E AMOSTRA

Dois conceitos devem estar bem claros: o de populao e o de amostra, pois delesque so extrados os dados que do origem s diversas relaes estatsticas, como amdia, o desvio-padro, etc., e que, em ltima anlise, possibilitam descreve-las sobos mais diversos aspectos.


14/161


15/161

15

Numeramos os alunos de 01 a 90 (populao);

Colocamos os noventa nmeros, em pedaos iguais de um mesmo papel,dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaosde papel e retiramos, um a um, 9 nmeros que representaro a amostra. Nestecaso, 10% desta populao.

Quando o nmero de elementos da amostra grande, esse tipo de sorteio torna-semuito trabalhoso. A fim de facilit-lo, foi elaborada uma tabela Tabela deNmeros Aleatrios -, construda de modo que os dez algarismos (de 0 a 9) sodistribudos ao acaso nas linhas e colunas (ver anexo).Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismoqualquer da mesma, a partir do qual iremos considerar nmeros de dois, trs ou maisalgarismos, conforme nossa necessidade. Os nmeros assim obtidos iro indicar oselementos da amostra.A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para esquerda ou vice

versa), verticalmente (de cima para baixo ou vice versa), diagonalmente (no sentidoascendente ou descendente) ou formando o desenho de uma letra qualquer. A opo,porm, deve ser feita antes de iniciado o processo.Assim, para o nosso exemplo, considerando a 18 linha, tomamos os nmeros dedois algarismos (tantos algarismos quantos formam o maior nmero da populao),obtendo:

63 08 66 01 46 22 33 01 54 51 13 47 81

Evidentemente, ser abandonado um numeral que j tenha aparecido. Temos, ento:63 08 66 01 46 22 33 54 51

Medindo as alturas dos alunos correspondentes aos nove nmeros sorteados,obtemos uma amostra de 10% das estaturas dos noventa alunos.

3.2Amostragem proporcional estratificada

Muitas vezes a populao se divide em subpopulaesestratos

Como provvel, que a varivel em estudo apresente, de estrato em estrato, um

comportamento heterogneo e, dentro de cada estrato, um comportamentohomogneo, convm que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideraotais estratos.

exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcionalestratificada, que, alm de considerar a existncia de estratos, obtm elementos daamostra proporcional ao nmero de elementos desses estratos.


16/161

16

Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10 % do exemploanterior, supondo que dos 90 alunos, temos 54 meninos e 36 meninas.So, portanto, dois estratos, (sexo masculino e sexo feminino). Temos:

SEXO POPULAO 10 % AMOSTRA

MASCULINO 54

10 x 54 = 5,4

100 5FEMININO 36

10 x 36 = 3,6100

4

TOTAL 9010 x 90 = 9

1009

Resolva:

1. Pesquise o peso de seus colegas de classe (incluindo o seu) e retire uma amostra

de 30% da populao.Sugesto: Use a tabela de Tabela de Nmeros Aleatrios (5 e 6 colunas, de baixopara cima).

2. Pesquise a estatura de seus colegas de classe (incluindo o seu) e retire umaamostra de 15% da populao.Sugesto: Use a tabela de Tabela de Nmeros Aleatrios (25 linha, da esquerdapara a direita).

3Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1 srie, 32 na 2, 30 na 3, 28

na 4, 35 na 5, 32 na 6, 31 na 7 e 27 na 8. Obtenha uma amostra de 40 alunos epreencha o quadro a seguir.


17/161

17

3.3Amostragem sistemtica

Quando os elementos da populao j se acham ordenados, no h necessidade deconstruir o sistema de referncia. So exemplos os pronturios mdicos de umhospital, os nmeros de uma rua, uma linha de produo, etc.Nestes casos, a seleo dos elementos que constituiro a amostra pode ser feita por

um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamossistemtica.

Assim, no caso de uma linha de produo, podemos, a cada dez itens produzidos,retirar um para pertencer a uma amostra da produo diria. Neste caso, estaramosfixando o tamanho da amostra em 10% da populao.

Exemplo: Supomos uma rua com 500 casas, das quais desejamos obter uma amostraformada por 20 casas para uma pesquisa de opinio.

Neste caso, podemos usar o seguinte procedimento: Como 500/20 = 25, escolhemos por sorteio casual um nmero de 01 a 25;

Este nmero indicar a primeira casa da amostra, vamos supor a casa denmero 6;

Os demais elementos da amostra seriam considerados de 25 em 25; Assim, as demais casas da amostra seriam as casas de nmeros 31 (6+25), 56

(31+25), 81 (56+25), etc.

EXERCCIOS

1 Uma escola abriga 824 alunos. Obtenha uma amostra correspondente a 1% dapopulao.Sugesto: Use a 8 coluna, a partir da 1 linha, da Tabela de Nmeros Aleatrios (decima para baixo).

2Em uma escola h oitenta alunos. Obtenha uma amostra de doze alunos.Sugesto: Use a Tabela de Nmeros Aleatrios (escolha a linha e a coluna).

3Identifique o tipo de amostragem utilizada em cada situao: simples ao acaso,

sistemtica ou proporcional estratificada.a) Dentre 240 pessoas escaladas para um sorteio de jri, 120 so brancas, 80

so negras e 40 so morenas.b) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que esto na

fila de espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10pessoas da fila.

c) O sorteio de um livro dentre os 40 alunos de Estatstica de uma turma doIFCE.


18/161

18

4Uma empresa tem 3.414 colaboradores repartidos nos seguintes departamentos:Administrao (914), Transporte (348), Produo (1401) e Outros (751). Deseja-seextrair uma amostra entre os colaboradores para verificar o grau de satisfao emrelao qualidade da refeio servida no refeitrio. Retire uma amostra de:

a) 10% colaboradores?

b) 854 colaboradores desta empresa.

5O diretor de uma escola, na qual esto matriculados 280 meninos e 320 meninas,desejoso de conhecer as condies de vida extraescolar de seus alunos e nodispondo de tempo para entrevistar todas as famlias, resolveu fazer umlevantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse diretor,os elementos componentes da amostra.

6Uma amostra de 32 elementos foi retirada de uma populao de 2432 elementos.

Na ordenao geral, qual dos elementos abaixo pertence amostra, sabendo-se queo elemento de ordem 1420 a ela pertence?1648; 290; 725; 2025; 1120.

7Uma populao se encontra dividida em quatro estratos, com tamanhos 90N1 ,

120N2 , 60N3 e 480N4 . Ao se realizar uma amostragem proporcional

estratificada, doze elementos compem a amostra do primeiro estrato. Qual onmero de elementos da amostra dos outros estratos?

8 Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo s suas escolas de ensinofundamental:

ESCOLASN DE ESTUDANTES

MASCULINO FEMININOA 80 95B 102 120C 110 92D 134 228E 150 130

F 300 290Total 876 955

Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.


19/161

19

III - SRIES ESTATSTICAS

TABELAS

Um dos objetivos da estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveispodem assumir, para que tenhamos uma viso global da variao dessa ou dessas

variveis. Depois dos dados organizados, faz-se necessrio que essas informaessejam apresentadas em formato de tabelas, pois iro nos fornecer rpidas e segurasinformaes a respeito das variveis em estudo, permitindo-nos determinaesadministrativas e pedaggicas mais coerentes e cientficas.

TABELA: um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo

linhase colunasde maneira sistemtica.

Uma tabela compe-se de: corpo, cabealho, coluna indicadora, linhas, casa ouclula e ttulo. Deste modo, uma tabela deve apresentar o seguinte esquema de

representao:1. Corpo: conjunto de linhas e colunas que contm informaes sobre a

varivel em estudo;

2.

Cabealho: parte superior da tabela que especifica o contedo dascolunas;

3. Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o contedo daslinhas;

4.

Linhas: retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal,de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;

5. Casa ou clula: cruzamento de uma coluna com uma linha, destinado aum s nmero (nunca deve ficar em branco);

6. Ttulo: designao do fato observado, local e poca, localizado no topoda tabela.

H ainda que se considerar os elementos complementares, que so a fonte, as notase as chamadas, colocadas, de preferncia, no seu rodap.

Rodap: espao reservado, em seguida ao fecho da tabela, para insero de notas denatureza informativa;

Fonte: entidade responsvel pelo levantamento dos dados ou pela elaborao databela;

Notas: so informaes de natureza geral, destinada a conceituar ou esclarecer ocontedo das tabelas, ou indicar a metodologia adotada;


20/161

20

Chamadas: informaes de natureza especfica sobre determinada parte da tabela,destinada a conceituar ou esclarecer dados.

De acordo com as normas da Fundao IBGE, nas casas ou clulas da tabeladevemos colocar:

Um trao horizontal (-) quando o valor zero,no s quanto natureza dascoisas, como quanto ao resultado do inqurito;

Zero (0) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidadeutilizada. Se os valores so expressos em numerais decimais, precisamosacrescentar parte decimal um nmero correspondente de zeros (0,0; 0,00;0,000; .....);

Obs.: Os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial devem ser abertos.

SRIES ESTATSTICAS

Denominamos sries estatsticas toda tabela que apresenta a distribuio de umconjunto de dados estatsticos em funo da poca, do localou da espcie.

Da, podemos inferir que numa srie estatstica observamos a existncia de trselementos ou fatores: o tempo, o espaoe a espcie.

Dividem-se em sries homgradas e conjugadas.

Sries Homgradas: so aquelas em que a varivel descrita apresenta variaodiscreta ou descontnua. Podem ser do tipo temporal, geogrfica ouespecfica.


21/161

21

a) Srie Temporal: Identifica-se pelo carter varivel do fator cronolgico. O locale a espcie (fenmeno) so elementos fixos. Esta srie tambm chamada dehistrica, cronolgica, marcha ou evolutiva.

Preos Mdios do Frango em So Paulo2003 a 2008

ANOS PREO (R$)

2003 2,5620042005200620072008

2,642,672,533,203,64

b) Srie Geogrfica: Apresenta como elemento varivel o fator geogrfico. A poca

e o fato (espcie) so elementos fixos. Tambm chamada de espacial, territorialou de localizao.

Durao Mdia dos Estudos Superiores - 1994

PASES N DE ANOS

Itlia 7,5Alemanha 7,0

Frana 7,0Holanda 5,9Inglaterra Menos de 4

Fonte: Revista Veja.

c) Srie Especfica: O carter varivel apenas o fato ou espcie. Tambm chamada de srie categrica.

Rebanhos Brasileiros - 2006

ESPCIES QUANTIDADE

Bovinos 205.886.244Bubalinos 1.156.870

Aves 821.541.630Sunos 35.173.824Ovinos 16.019.170

Caprinos 10.401.449

Fonte: IBGE.


22/161

22

Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma nica tabela, a variao devalores de mais de uma varivel, isto , fazer uma conjugao de duas ou maissries.

Sries conjugadas: Tambm chamadas de tabelas de dupla entrada. So

apropriadas apresentao de duas ou mais sries de maneira conjugada,

havendo duas ordens de classificao: uma horizontal e outra vertical. Oexemplo abaixo de uma srie geogrfico-temporal.

Terminais Telefnicos em Servio1991 - 93

FILIAIS 1991 1992 1993

Norte 342.938 375.658 403.494Nordeste 1.287.813 1.379.101 1.486.649Sudeste 6.234.501 6.729.467 7.231.634

Sul 1.497.315 1.608.989 1.746.232Centro-Oeste 713.357 778.925 884.822

Fonte: Ministrio das Comunicaes.


23/161

23

Resolva:

1Classifique as sries


24/161

24

2 Procure exemplos de sries estatsticas em jornais e revistas e copie-os,classificando essas sries.

3 - Considere a srie abaixo:

Vendas de Automveis no 1 bimestre de 2015 em So Paulo

MARCA VENDAS(mil und.)

FIAT 17VW 23GM 12

TOTAL 52

a)

Classifique a srie;

b) Represente esta srie atravs de grfico de setores.

4Considere a srie abaixo:

Vendas no Ano de 2014 (em mil unidades)

FILIAIS JAN FEV MAR

SO PAULO 10 15 7FORTALEZA 8 5 4

RIO DE JANEIRO 12 13 10TOTAL 30 33 21

a)

Classifique a srie;b)

Represente esta srie atravs de grfico de colunas;

c)

Represente esta srie atravs de grfico de barras;

5 Verificou-se, em 1993, o seguinte movimento de importao de mercadorias:14.839.804 t, oriundas da Arbia Saudita; 10.547.889 t, dos Estados Unidos; e561.024 t, do Japo, no valor de US$ 1.518.843.000. Confeccione a sriecorrespondente e classifique-a, sabendo que os dados acima foram fornecidos peloMinistrio da Fazenda.


25/161

25

6 -

Complete-a com uma coluna de percentagens com uma casa decimal e faa a

compensao, se necessrio.

DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS

Dados absolutos: so dados resultantes da coleta direta da fonte, sem outra

manipulao seno a contagem ou medida.

A leitura dos dados absolutos sempre enfadonha e inexpressiva; embora essesdados traduzam um resultado exato e fiel, no tm a virtude de ressaltar de imediatoas suas concluses numricas. Da o uso imprescindvel que faz a Estatstica dosdados relativos.

Dados relativos: so os resultados de comparaes por quocientes (razes)que se estabelecem entre dados absolutos e tm por finalidade realar oufacilitar as comparaes entre quantidades.

Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens, ndices,coeficientes e taxas.


26/161

26

1Percentagens

Considere a srie:

MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A2014

NVEL N. DE ALUNOS

Fundamental 19286Ensino mdio 1681

Superior 234TOTAL 21201

Dados fictcios.

Calculemos as percentagens dos alunos de cada nvel:

Fundamental19286 x 100 = 90,96 = 91,0

21201

Ensino mdio1681 x 100 = 7,92 = 7,921201

Superior234 x 100 = 1,10 = 1,121201

Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na srie em estudo:

MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A2014NVEL N. DE ALUNOS %

Fundamental 19286 91,0Ensino mdio 1681 7,9

Superior 234 1,1TOTAL 21201 100

Dados fictcios.

Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A, 91

esto no ensino fundamental, 8 aproximadamente esto no ensino mdio e 1aproximadamente est matriculado no ensino superior.

O emprego da porcentagem de grande valia quando nosso intuito destacar aparticipao da parte no todo.


27/161

27

Resolva:

1 - Complete a tabela abaixo

ESCOLAS N. DE ALUNOSDADOS RELATIVOS

POR 1 POR 100A 175 0,098 9,8B 222C 202D 362E 280F 540

TOTAL 1781 1,000 100,0

2ndices

Os ndicesso razes entre duas grandezas tais que uma no inclui a outra.

So exemplos de ndices:

ndice ceflico= dimetro transversal do crnio x 100dimetro longitudinal do crnio

Quociente intelectual= idade mental x 100idade cronolgica

Densidade demogrfica= populao totalSuperfcie (rea)

ndice econmicos:

Produo per capta = valor total da produopopulao

Consumo per capta = consumo do bempopulao

Renda per capta = renda____populao


28/161

28

Receita per capta = receita__populao

3Coeficientes

Os coeficientesso razes entre o nmero de ocorrncias e o nmero total (nmero

de ocorrncias e nmero de no-ocorrncias).

So exemplos de coeficientes:

Coeficiente de natalidade= nmero de nascimentospopulao total

Coeficiente de mortalidade= nmero de bitos__populao total

Coeficiente educacionais:Coeficiente de evaso escolar = n. de alunos evadidos__

n. inicial de matrculas

Coeficiente de aproveitamento escolar = n. de alunos aprovadosn. final de matrculas

Coeficiente de recuperao escolar = n. de alunos recuperados_n. de alunos em recuperao

4Taxas

As taxasso os coeficientes multiplicados por uma potncia de 10 (10, 100, 1000etc.) para tornar o resultado mais inteligvel.

So exemplos de taxas:

Taxa de natalidade = Coeficiente de natalidade X 1000

Taxa de mortalidade = Coeficiente de mortalidade X 1000Taxa de evaso escolar = Coeficiente de evaso escolar X 100


29/161

29

Exerccio Resolvido:

1 O estado Aapresentou 733.986 matriculados na 1 srie, no incio do ano de

2012, e 683.816 no fim do ano. O Estado Bapresentou, respectivamente, 436.127 e

412.457 matriculados. Qual o Estado que apresentou maior evaso escolar?

A: TEE = (733.986683.816) x 100 = 6,8%733.986

B: TEE = (436.127412.457) x 100 = 5,4%436.127

O Estado que apresentou maior evaso escolar foi A.

EXERCCIOS

1Considere a srie estatstica:

SRIES ALUNOS MATRIC. %

1 5462 3283 2804 120

TOTAL 1274Complete-a, determinando as percentagens com uma casa decimale fazendo acompensao, se necessrio.

2Uma escola apresentava, no final do ano, o seguinte quadro:

SRIESMATRICULAS

JANEIRO DEZEMBRO

1 480 4752 458 456

3 436 4304 420 420

TOTAL 1794 1781

a) Calcule a taxa de evaso por srieb) Calcule a taxa de evaso da escola


30/161

30

3 Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos peloIBGE):

Populao: 15.957,6 mil habitantes;

Superfcie: 586.624 Km2; Nascimentos: 292.036;

bitos: 99.281.

Calcule:a) O ndice da densidade demogrfica;b) A taxa de natalidade;c) A taxa de mortalidade.


31/161

31

IV - GRFICOS ESTATSTICOS

1- Conceito:

O grfico um mtodo de representao de dados estatsticos em forma visual, pormeio de figuras geomtricas. Devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas

estatsticas. uma forma de apresentao dos dados estatsticos, cujo objetivo o de produzir,no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida e viva dofenmeno em estudo, j que os grficos falam mais compreenso que as sries.

Para tornarmos possvel uma representao grfica, estabelecemos umacorrespondncia entre os termos da srie e determinada figura geomtrica, de talmodo que cada elemento da srie seja representado por uma figura proporcional.

A representao grfica deve obedecer a certos requisitos fundamentais como:

Simplicidade o grfico deve ser destitudo de detalhes de importnciasecundria, assim como traos desnecessrios que possam levar o observadora uma anlise morosa ou com erros. Deve proporcionar que o observadoranalise rapidamente o fenmeno apresentado;

Clarezadeve proporcionar que o observador tenha uma correta leitura dosvalores representativos do fenmeno;

Veracidadedeve expressar a verdade sobre o fenmeno em estudo.

Uso indevido de Grficos:Podem trazer uma ideia falsa dos dados que esto sendoanalisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de umproblema de construo de escalas.

2 - Classificao dos grficos:

Os principais grficos so os Diagramas, Estereogramas, Pictogramas eCartogramas.

2.1 - Diagramas:So grficos geomtricos dispostos, no mximo, em duas dimenses; para suaconstruo, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. So os mais usados narepresentao de sries estatsticas. Eles podem ser em linhas, em barras horizontais,em barras verticais (colunas), em setores (pizza), e polar.


32/161

32

Grficos em linhas ou lineares

O grfico em linha constitui uma aplicao do processo de representao dasfunes num sistema de coordenadas cartesianas.

Como sabemos, nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retasso os eixos coordenadose o ponto de interseco, a origem. O eixo horizontal denominado eixo das abscissas(ou eixo dos x) e o vertical, eixo das ordenadas(oueixo dos y). Para exemplificar considere a srie:

Determinamos, graficamente, todos os pontos da srie, usando as coordenadas,ligamos todos esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que ir nos daruma poligonal, que o grfico em linha ou em curva correspondente a srie do

exemplo.


33/161

33

So frequentemente usados para representao de sries cronolgicas com umgrande nmero de perodos de tempo. As linhas so mais eficientes do que ascolunas, quando existem intensas flutuaes nas sries ou quando h necessidade dese representarem vrias sries em um mesmo grfico.

Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variao de doisfenmenos, a parte interna da figura formada pelos grficos desses fenmenos denominada derea de excesso.

Grficos em colunas ou barras

a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos verticalmente(emcolunas) ou horizontalmente(em barras).

Quando em colunas, os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionaisaos respectivos dados.

Quando em barras, os retngulos tm a mesma altura e os comprimentos soproporcionais aos respectivos dados.

Exemplo: Grfico em colunas


34/161

34

Exemplo: Grfico em barras


35/161

35

NOTAS:

Quando as legendas no so breves usa-se de preferncia os grficos em

barras horizontais;

A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e a

decrescente, se for geogrfica ou categrica;

A distncia entre as colunas (ou barras), por questes estticas, no dever sermenor que a metade nem maior que os dois teros da largura (ou da altura)dos retngulos.

Grficos em barras ou colunas mltiplas

Eles diferem dos grficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de

apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem pararepresentar comparativamente dois ou mais atributos.


36/161

36

Grficos em setores

Este grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre quedesejamos ressaltar a participao do dado no total.

O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas soas partes. Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aosdados da srie. Obtemos cada setor por meio de uma regra de trs simples e direta,lembrando que o total da srie corresponde a 360.

O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete dados.

Obs.: As sries temporais geralmente no so representadas por este tipo de grfico.


37/161

37

GrficoPolar:

o grfico ideal para representar sries temporais cclicas, isto , sriestemporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade,

como, por exemplo, a variao da precipitao pluviomtrica ao longo do ano ou datemperatura ao longo do dia, a arrecadao da Zona Azul durante a semana, oconsumo de energia eltrica durante o ms ou o ano, o nmero de passageiros deuma linha de nibus ao longo da semana etc.

O grfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares.

Exemplo: Dada a srie:

PRECIPITAO PLUVIOMTRICAMUNICPIO DE PORTO ALEGRE1995

MESES PRECIPITAO(mm)

JaneiroFevereiro

MaroAbrilMaioJunhoJulho

AgostoSetembroOutubro

NovembroDezembro

174,836,983,9

462,7418,1418,4538,7

323,839,766,183,3

201,2FONTE: IBGE

Traamos uma circunferncia de raio arbitrrio (damos preferncia ao raiode comprimento proporcional mdia dos valores da srie. Neste caso,Mdia = 124,5);

Construmos uma semirreta partindo de 0 (polo) e com uma escala (eixopolar);

Dividimos a circunferncia em tantos arcos quantas forem as unidades

temporais; Traamos, a partir do centro 0 (polo), semirretas passando pelos pontos da

diviso;


38/161

38

Marcamos os valores correspondentes da varivel, iniciando pela semirreta

horizontal (eixo polar); Ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta;

Se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linhainterrompida.

Assim, para nosso exemplo, temos:

PRECIPITAO PLUVIOMTRICA DOMUNICPIO DE PORTO ALEGRE -

1995

0

200

400

600Janeiro

Fevereiro

Maro

Abril

Maio

Junho

Julho

Agosto

Setembro

Outubro

Novembro

Dezembro

FONTE: IBGE

2.2 - Estereogramas:So grficos geomtricos dispostos em trs dimenses, pois representam volume.So usados nas representaes grficas das tabelas de dupla entrada. Em algunscasos este tipo de grfico fica difcil de ser interpretado dada a pequena preciso queoferecem.

2.3 - Pictogramas:

So construdos a partir de figuras representativas da intensidade do fenmeno. Estetipo de grfico tem a vantagem de despertar a ateno do pblico leigo, pois suaforma atraente e sugestiva. Os smbolos devem ser autoexplicativos. Adesvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma viso geral do fenmeno,e no de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:


39/161

39


40/161

40

POPULAO DO BRASIL1950 - 1980

ANOS HABITANTES(milhares)

1950196019701980

51.94470.19193.139119.071

FONTE: IBGE

POPULAO DO BRASIL19501980

1950

1960

1970

1980

Cada smbolo representa 10.000.000 de habitantesFONTE: IBGE

Na verdade, o grfico referente tabela acima essencialmente um grfico embarras; porm, as figuras o tornam mais atrativo, o que, provavelmente, despertar aateno do leitor para o seu exame.

Na confeco de grficos pictricos temos que utilizar muita criatividade,procurando obter uma otimizao na unio da arte com a tcnica.

2.4 - Cartogramas: So ilustraes relativas a cartas geogrficas (mapas). Oobjetivo desse grfico o de figurar os dados estatsticos diretamente relacionadoscom reas geogrficas ou polticas.

Distinguimos duas aplicaes:a.

representar os dados absolutos (populao) neste caso, lanamosmo, em geral, dos pontos, em nmero proporcional aos dados.

b.

representar dados relativos (densidade) - neste caso, lanamos mo,em geral, de hachurasou cores.


41/161

41


42/161

42

EXERCCIOS

1Represente a srie abaixo usando o grfico em linha:

COMRCIO EXTERIORBRASIL1984 -93

ANOS QUANTIDADE (1000t)EXPORTAO IMPORTAO

84 141.737 53.98885 146.351 48.87086 133.832 60.59787 142.378 61.97588 169.666 58.09589 177.033 57.29390 168.095 57.184

91 165.974 63.27892 167.295 68.05993 182.561 77.813

Fonte: Min. Indstria, Comrcio e Turismo.

2Represente as tabelas usando o grfico em colunas:

a) ENTREGA DE GASOLINA PARA CONSUMO BRASIL1988 -91

ANOS VOLUME (1000m3)88 9.267,789 9.723,190 10.121,391 12.345,4

Fonte: IBGE.

b)

PRODUO BRASILEIRA DE PETRLEO1991 -93

ANOS QUANT. (1000m3)91 36.180,492 36.410,593 37.164,3

Fonte: Petrobrs.


43/161

43

3Represente as tabelas usando o grfico em barras:

a)

PRODUO DE OVOS NO BRASIL - 1992

REGIESQUANT.

(1000dzias)

Norte 57.297

Nordeste 414.804Sudeste 984.659

Sul 615.978Centro-Oeste 126.345

Fonte: IBGE.

b)

PRODUO DE VECULOS DE AUTOPROPUSOBRASIL 1993

TIPOS QUANTIDADE

Automveis 1.100.278Comerciais leves 224.387

Comerciais pesados 66.771Fonte: ANFAVEA.

4Represente as tabelas usando o grfico de setores:

a) REA TERRESTRE BRASIL1992

REGIES RELATIVA (%)

Norte 45,25Nordeste 18,28Sudeste 10,85

Sul 6,76Centro-Oeste 18,86

Fonte: IBGE.

b) PRODUO BRASILEIRA DE FERRO-GUSA -1993

ESTADO PRODUO (1000t)

Minas Gerais 12.888Esprito Santo 3.174Rio de Janeiro 5.008

So Paulo 2.912Fonte: Instituo Brasileiro de Siderurgia.


44/161

44

5Represente as tabelas usando o grfico em colunas mltiplas:

PROPORO DOS DOMICLIOS POR CONDIO DE OCUPAOBRASIL 1990 -91

ANOSNATUREZA

PRPRIOS (%) ALUGADOS (%) CEDIDOS (%)

90 62,7 22,9 14,491 70,3 16,5 13,2

Fonte: IBGE.

6 - Considerando os conhecimentos sobre o espao agrrio brasileiro e os dadosapresentados no grfico, o somatrio das opes corretas, no perodo indicado :

01 - Ocorreu um aumento da produtividade agrcola devido significativamecanizao de algumas lavouras, como a da soja.02 - Verificou-se um incremento na produo de gros proporcionalmente incorporao de novas terras produtivas.04 - No perodo de 90 a 96 a produo teve um aumento absoluto maior do que noperodo de 96 a 02.

08- Registrou-se elevada produo de gros em virtude do uso intensivo de mo-de-obra pelas empresas rurais.16 - No perodo de 90 a 96 a produo teve um aumento relativo menor do que noperodo de 96 a 02.32 - Houve um salto na produo de gros, a partir de 91, em decorrncia do total deexportaes feitas por pequenos agricultores.64 - Constataram-se ganhos tanto na produo quanto na produtividade agrcolaresultante da efetiva reforma agrria executada.
http://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/certo.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/certo.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/errado.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/certo.htmlhttp://calculemais.com.br/exercicios-de-matematica/certo.html


45/161

45

7 - Um novo "boom" desponta nas estatsticas dos ltimos vestibulares. Desde osurgimento de Dolly, a polmica ovelha clonada a partir da clula de um animaladulto, a carreira de cincias biolgicas recebe cada vez mais candidatos e esta reafirma-se como a cincia do prximo milnio.O grfico a seguir ilustra o nmero de inscritos nos ltimos quatro vestibulares que

disputaram as vagas oferecidas pela Universidade de So Paulo (USP) e pelasUniversidades Federais do Rio de Janeiro (UFRJ), de Minas Gerais (UFMG) e doRio Grande do Sul (UFRGS).

Com base nessas informaes, julgue os itens e d o somatrio das opescorretas:01 - De 1997 a 1998, o crescimento percentual do nmero de inscritos na USP foimaior que o da UFRGS.02 - Todos os segmentos de reta apresentados no grfico tm inclinao positiva.04 - Durante todo perodo analisado, a UFMG foi a universidade que apresentou omaior crescimento percentual, mas no o maior crescimento absoluto.08 - Em nmeros absolutos a UFMG foi a que apresentou maior crescimento de1996 a 1999.16 - Os crescimentos percentuais anuais na UFRJ diminuram a cada ano.32 - Os crescimentos percentuais anuais na USP aumentaram a cada ano.64 - Considerando a srie numrica formada pelos nmeros de inscritos em cinciasbiolgicas nestas Universidades nos ltimos quatro vestibulares, constatamos que se

trata de uma srie conjugada geogrfica-temporal.


46/161

46

V - DISTRIBUIO DE FREQUENCIA

Vamos considerar, neste captulo, em particular, a forma pela qual podemosdescrever os dados estatsticos resultantes de variveis quantitativas, como o casode notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas,salrios recebidos pelos operrios de uma fbrica, etc.

1Tabela Primitiva e Rol

Considere a estatura de quarenta alunos, que compem uma amostra dos alunos doIFCE, resultando a seguinte tabela de valores:

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO IFCE

166 160 161 150 162 160 165 167 164 160162 161 168 163 156 173 160 155 164 168155 152 163 160 155 155 169 151 170 164

154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

A esse tipo de tabela, onde os elementos no foram numericamente organizados,denominamos de tabela primitiva, ou seja, Tabela primitiva ou dados brutos uma tabela ou relao de elementos que no foram numericamente organizados.

Assim, conhecidos os valores de uma varivel, difcil formarmos uma ideia exatado comportamento do grupo como um todo, a partir de dados no ordenados. Emrazo disso, pouca informao se consegue obter inspecionando os dados anotados.Mesmo uma informao to simples como a de saber o valor mximo e mnimo

requer certo exame dos dados da tabela.

ROL: a tabela ou relao obtida aps a ordenao dos dados, em ordem crescenteou decrescente.

Para o exemplo acima temos:


150 151 152 153 154 155 155 155 155 156156 156 157 158 158 160 160 160 160 160

161 161 161 161 162 162 163 163 164 164164 165 166 167 168 168 169 170 172 173Essa classificao dos dados proporciona algumas vantagens concretas com relao sua forma original:

- possvel visualizar de forma ampla as variaes de consumo;- Os valores extremos so percebidos de imediato;- possvel observar a tendncia de concentrao dos valores.


47/161

47

Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) equal a maior (173 cm); que a amplitude de variao foi de 173 150 = 23 cm; e,ainda, a ordem que um valor particular ocupa no grupo. Com um exame maisacurado, vemos que h uma concentrao das estaturas em algum valor entre 160cm e 165 cm e, mais ainda, que h poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170

cm.

Apesar de o rol propiciar ao analista mais informaes e com menor esforo deconcentrao do que os dados brutos, ainda assim persiste o problema de a anliseter que se basear nas 40 observaes. O problema se agravar quando o nmero dedados for muito grande.

2Distribuio de Frequncia

um tipo de tabela que condensa uma coleo de dados conforme as frequncias(repeties de seus valores).

No exemplo que trabalhamos, a varivel em questo, estatura, ser observada eestudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em umacoluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o nmero de vezes que aparecerepetido. Logo podemos definir o termo frequncia.

Frequncia: a quantidade que fica relacionada a um determinado valor davarivel.

Distribuio de frequncia sem intervalos de classe: a simples condensao dosdados conforme as repeties de seus valores.


48/161

48

Veja para o nosso exemplo:

VARIVEL FREQUENCIA150 1151 1152 1

153 1154 1155 4156 3157 1158 2160 5161162

42

163 2164 3165 1166 1167 1168 2169 1170 1172 1173 1

TOTAL 40

Para um ROL de tamanho razovel esta distribuio de frequncia inconveniente,j que exige muito espao.

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 |---- 158, em vez de dizermos quea estatura de um aluno de 154 cm; de quatro alunos, 155 cm; de trs alunos, 156cm; e de um aluno, 157 cm, diremos que nove alunos tm estaturas entre 154 cm,inclusive, e 158 cm.

Deste modo, estaremos agrupando os valores da varivel em intervalos, sendo que,em Estatstica, preferimos chamar de intervalos de classes.

Distribuio de frequncia com intervalos de classe: Quando o tamanho daamostra elevado mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vriosintervalos de classe.


49/161

49


CLASSES FREQUENCIAS150 |---- 154 4154 |---- 158 9158 |---- 162 11162 |---- 166 8166 |---- 170 5170 |---- 174 3

Total 40

Ao agruparmos os valores da varivel em classes, ganhamos em simplicidade, masperdemos em pormenores. Assim, na tabela de distribuio de frequncia semclasses, podemos verificar, facilmente, que quatro alunos tm 161 cm de altura eque no existe nenhum aluno com 171 cm de altura. J na distribuio de frequnciacom classes no podemos ver se algum aluno tem a estatura de 159 cm. No entanto,

sabemos, com segurana, que onze alunos tm estatura compreendida entre 158 e162 cm.

Nota: Quando os dados esto organizados em uma distribuio de frequncia, socomumente denominados dados agrupados.

Foram vistas as seguintes formas de apresentao dos dados:

ROL (dados isolados);

Agrupamento simples (sem classes);

Agrupamentos em classes.

Mas h ainda outra tcnica alternativa de apresentao e organizao de dados: oDiagrama de Ramos e Folhas. A obteno do diagrama rpida e fcil. Nodiagrama de ramos e folhas, cada dado separado em duas partes: Ramo: a parteda esquerda e Folhas: a parte da direita. Em seguida as folhas so colocadas emseus respectivos ramos.Veja o exemplo: Vamos considerar o nmero de alunos presentes em 20 palestras.

68 82 75 43 59 80 69 60 73 54

51 93 70 32 63 61 76 87 65 71

Como todos os dados possuem dois algarismos, podemos dividir cada dado emalgarismo da dezena e da unidade. Portanto, o algarismo da dezena ser o ramoe aunidade ser a folha. Vamos usar o dado 68 como exemplo:

ramo6 8

folha


50/161

50

Colocamos todos os ramos distintos em uma coluna, ou seja, verticalmente umabaixo do outro, em ordem crescente, e traamos uma linha vertical, comorepresentado abaixo nas etapas (a, b, c, d) da construo do diagrama de ramos efolhas. Em (a) colocamos apenas os ramos distintos; em (b) colocamos a primeirafolha (8) do dado 68; em (c) colocamos a folha correspondente ao dado 82 e,finalmente em (d) apresentamos o resultado final do diagrama com todos os dados.

3 3 3 3 24 4 4 4 35 5 5 5 9 4 16 6 8 6 8 6 8 9 0 3 1 57 7 7 7 5 3 0 6 18 8 8 2 8 2 0 79 9 9 9 3

(a) (b) (c) (d)

Observe que o nmero de folhas deve ser igual ao nmero de dados.

3Elementos de uma Distribuio de Frequncia com Intervalos de Classe:

Os valores exemplificados a seguir so referentes a Distribuio de frequncias comdas estaturas de 40 alunos do IFCE.

3.1Classe

As classes so representadas simbolicamente por i , sendo i = 1, 2, 3, ..., k.(onde K o nmero total de classes da distribuio).

No exemplo, a distribuio formada por seis classes, ento temos k= 6 e ointervalo de classe154 |---- 158 define a 2 classe, ou seja, i = 2.

3.2Limites de classe

Classe de frequncia ou, simplesmente, classes so os intervalos de variao davarivel.

Limites de classe so os extremos de cada classe.


51/161

51

O menor nmero o limite inferior da classe (li) e o maior nmero, limitesuperior da classe(Li).

Na terceira classe, por exemplo, temos: 158 |---- 162, l3 = 158 e L3 = 162.

Nota: Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resoluo 886/66do IBGE, em termos de desta quantidade at menos aquela, empregando, paraisso, o smbolo |---- (incluso de li e excluso de Li). Assim, o indivduo com umaestatura de 158 cm est incluso na terceira classe (i = 3) e no na segunda.

O quarto intervalo 162 |---- 166, por exemplo, pode ser tambm ser representadodesta maneira: [162,166[.

3.3Amplitude do intervalo de classe

Ela obtida atravs da diferena entre o limite superior e inferior da classe e simbolizada por hi.Assim:

Na distribuio de frequncia com classes o hiser igual em todas as classes, como

mostrado a seguir:h1= 154 - 150 = 4

h2= 158 - 154 = 4

.......

h6= 174 - 170 = 4

3.4Amplitude total da distribuio

Amplitude do intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe a

medida do intervalo que define a classe.

Amplitude total da distribuio (AT) a diferena entre o limite superior daltima classe (limite superior mximo) e o limite inferior da primeira classe

(limite inferior mnimo).AT = Lmax- lmin.

hi= Li- li


52/161

52

No exemplo, temos AT= 174150 = 24 cm

Nota: evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos arelao:

Temos:

3.5Amplitude amostral

Em nosso exemplo AA= 173 - 150 = 23 cm.

Obs.:ATsempre ser maior que AA.

3.6Ponto mdio da classe

Para obtermos o ponto mdio de uma classe, calculamos a mdia aritmtica doslimites da classe:

No intervalo da 2 classe 154 |---- 158 o ponto mdio x2 calculado:

x2= (l2 + L2)/2 = (154 + 158)/2 = 156 cm

Obs.: O ponto mdio da classe o valor que a representa para efeito de clculos demedidas de posio e disperso ou variabilidade.

3.7Frequncia simples ou absoluta

AT = khi

Amplitude amostral (AA) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimoda amostra (obtidos atravs do ROL).

AA = Xmax- Xmin

Ponto mdio da classe (xi), como o prprio nome indica, o ponto que divide ointervalo de classe em duas partes iguais.

xi= li + Li2

Frequncia simples ou frequncia absoluta ou simplesmente, frequncia de umaclasse ou de um valor individual o nmero de observaes correspondentes aessa classe ou a esse valor.

24 = 64


53/161

53

A frequncia simples simbolizada por fi(lemos f ndice i ou frequncia da classei).

Assim, considerando o exemplo abaixo, temos:


ESTATURA (cm) FREQUNCIA

150 |---- 154 4154 |---- 158 9158 |---- 162 11162 |---- 166 8166 |---- 170 5170 |---- 174 3

TOTAL 40

f1= 4; f2= 9; f3= 11; f4= 8; f5= 5 e f6= 3.

A soma das frequncias sempre igual ao total de elementos da amostra.

Atividade 1: As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1; 2; 3; 4; 5; 0; 6; 7; 7; 8; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 8; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 2; 3; 4;5; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 8; 9.

a) Complete a distribuio de frequncia abaixo:

i Notas xi fi1 0 |---- 22 2 |---- 43 4 |---- 64 6 |---- 85 8 |---- 10

Total 50

b) Agora, responda:

1. Qual a amplitude amostral?2. Qual a amplitude da distribuio?3. Qual o nmero de classes da distribuio?4. Qual o limite inferior da quarta classe?5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?7. Qual a frequncia da terceira classe?


54/161

54

c) Complete:

1. h3= .......2. n = ........3. l1= ........4. L3= ........

5. x2= ........6. f5= ........

4Tipos de Frequncias

A soma das frequncias simples igual ao nmero total de dados da distribuio.

fi = n

A soma das frequncias relativas igual a 1 ou 100 %.

Logo, para o exemplo da pgina 36 a frequncia da terceira classe :

fr3= f3/n ; fr3= 11/40 = 0,275 ou 27,5%

Nota: O propsito das frequncias relativas o de permitir a anlise ou facilitar ascomparaes.

Assim, no exemplo, a frequncia acumulada correspondente terceira classe :

F3= f1+ f2+ f3= 4 + 9 + 11 = 24

O que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superiordo intervalo da terceira classe).

Frequncia simples ou absolutas (fi)so os valores que realmente representamo nmero de dados de cada classe.

Frequncias relativas (fri) ou fi (%) so os valores das razes entre asfrequncias absolutas de cada classe e a frequncia total da distribuio.

Frequncia acumulada de uma classe (Fi) o total das frequncias de todos osvalores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe:

Fk= f1+ f2+ f3+ ...... + fK


55/161

55

Assim, no exemplo, para a terceira classe, temos:

Fr3= F3/ fi= 24/40 = 0,600 ou 60,0%

Atividade 2: Complete o quadro com as frequncias que se pede.

CLASSE xi fi Fi fi(%) Fi(%)50 |---- 54 52 754 |---- 58 56 10

58 |---- 62 60 1362 |---- 66 64 1166 |---- 70 68 970 |---- 74 72 6

Total -- 56 -- 100,0 --

Sendo xi = ponto mdio de classe; fi = frequncia simples; Fi = frequnciaAcumulada; fri (%) = frequncia percentual e Fri (%) = frequncia percentualacumulada.

Frequncia acumulada relativa (Fri) ou Fi (%) de uma classe a frequnciaacumulada da classe, dividida pela frequncia total da distribuio.

Fri= Fi/ fi


56/161

56

5 - Mtodo Prtico para Construo de uma Distribuio de Frequncias comClasses:

1 - Organize os dados brutos em um ROL.

2 - Calcule a amplitude amostral AA. Para o exemplo da pgina 45, temos: AA=173 - 150 = 23

3 - Calcule o nmero de classes atravs da:

a) Regra de Sturges: i = 1 + 3,3.log n

n i = n de classes3 ---- 5 36 ---- 11 4

12 ---- 22 523 ---- 46 647 ---- 90 791 ---- 181 8182---- 362 9

b) Raiz quadrada de n. (usa-se somente a parte inteira do nmero quando a raizno for exata).

Obs.: Qualquer regra para determinao do n de classes da tabela no nos leva auma deciso final; esta vai depender na realidade de um julgamento pessoal, quedeve estar ligado natureza dos dados.

No nosso exemplo: n = 40dados, ento, a regra de Sturges sugere a adoo de 6classes e pela regra da raiz quadrada tambm o uso de 6 classes.

Dependendo do n, o nmero de classes pode ser diferente quando usamos os doismtodos. Por exemplo, para n igual a 100 teremos 8 classes pela regra de Sturges e10 classes para a regra da raiz de n.

4 - Decidido o n de classes, calcule ento a amplitude do intervalo de classeh >AA / i.

No nosso exemplo: AA / i = 23/6 = 3,83. Obs.: Como h > AA / i um valorligeiramente superior para haver folga na ltima classe. Utilizaremos ento h = 4.

5 - Temos ento o menor n da amostra, o n de classes e a amplitude do intervalo.Podemos montar a tabela, com o cuidado para no aparecer classes com frequncia= 0 (zero).


57/161

57

No nosso exemplo: o menor n da amostra = 150 + h = 154, logo a primeira classeser representada por 150 |---- 154. As classes seguintes respeitaro o mesmoprocedimento.

O primeiro elemento da classe seguinte sempre ser formado pelo ltimo elementoda classe anterior.

Resolva:

1. Complete a distribuio abaixo, determinando as frequncias simples:

xi fi Fi2 23 94 215 296 34

Total 34 --

EXERCCIOS

1 - Suponha que o ponto mdio das classes de uma distribuio de frequncia deumidade relativa em um posto seja: 28%, 37%, 46%, 55%, 64%, 73% e 82%.

a) Encontre a amplitude da classe;b) Os limites (inferior e superior) de cada classe.

2 - Imagine que em uma regio durante um dia de inverno foram medidas 150temperaturas mnimas (em oC) em pontos prximos. Suponha que estastemperaturas variaram entre 5,18 C a 7,44 C. Determine um conjunto de intervalosde classe que seja razovel para esse conjunto de dados.

3Conhecidas as notas de 50 alunos, obtenha uma distribuio de frequncia tendo30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.84 - 68 - 33 - 52 - 47 - 73 - 68 - 61 - 73 - 77 - 74 - 71 - 81 - 91 - 65 - 55 - 57 - 35 -85 - 88 - 59 - 80 - 41 - 50 - 53 - 65 - 76 - 85 - 73 - 60 - 67 - 41 - 78 - 56 - 94 - 35 -45 - 55 - 64 - 74 - 65 - 94 - 66 - 48 - 39 - 69 - 89 - 98 - 42 - 54.

4Os resultados do lanamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

6, 5, 2, 6, 4, 3, 6, 2, 6, 5, 1, 6, 3, 3, 5, 1, 3, 6, 3, 4, 5, 4, 3, 1, 3, 5, 4, 4, 2, 6, 2, 2, 5, 2,5, 1, 3, 6, 5, 1, 5, 6, 2, 4, 6, 1, 5, 2, 4, 3.Forme uma distribuio de frequncia sem intervalos de classes.


58/161

58

5Considere os dados da quantidade de gordura no leite (em %), n = 493,66 - 3,66 - 3,72 - 3,74 - 3,74 - 3,77 - 3,81 - 3,88 - 3,89 - 3,91 - 3,96 - 3,96 - 3,97 -3,97 - 4,00 - 4,00 - 4,02 - 4,03 - 4,05 - 4,06 - 4,08 - 4,10 - 4,10 - 4,15 - 4,16 - 4,20 -4,20 - 4,23 4,24 - 4,25 - 4,27 - 4,28 - 4,29 - 4,32 - 4,32 - 4,33 - 4,38 - 4,38 - 4,38 -4,40 - 4,41 - 4,42 - 4,49 - 4,60 - 4,67 - 4,70 - 4,71 - 4,81 - 4,82.

Use os dados da amostra para fazer uma Distribuio de frequncias com classes,calculando as frequncias simples e acumuladas, absolutas e relativas.

6 - Na Tabela, identifique a amplitude dos intervalos de classe e os pontos mdiosde cada classe.

Classes Frequncia (fi)[06[ 39[612[ 41

[1218[ 38[1824[ 40[2430[ 42

Total 200

Construa a tabela de frequncias relativas, percentual e acumulada.

7 - A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncia dos salrios mensais emreais, de 65 empregados da companhia P & R.

Salrios (R$) N. deEmpregados

5.000 |---6.000 86.000 |--- 7.000 107.000 |--- 8.000 168.000 |--- 9.000 149.000 |--- 10.000 10

10.000 |--- 11.000 511.000 |--- 12.000 2

Total 65Determinar:a) O limite inferior da 6 classe;b) O limite superior da 4 classe;c) O ponto mdio da 3 classe;d) A amplitude do 5 intervalo de classe;e) A frequncia da 3 classe;f) A frequncia relativa da 3 classe;


59/161

59

g) O intervalo de classe que tem a maior frequncia;h) A percentagem de empregados que ganham menos de R$ 8.000,00 por ms;i) A percentagem de empregados que ganham menos de R$ 10.000,00 e pelo menosR$ 6.000,00 por ms;

8- A distribuio abaixo indica o nmero de acidentes ocorridos com 70 motoristas

de uma empresa de nibus:

N ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7

N MOTORISTAS 20 10 16 9 6 5 3 1

Determine:

a) O nmero de motoristas que no sofreram nenhum acidente;b)

O nmero de motoristas que sofreram pelo menos quatro acidentes;c) O nmero de motoristas que sofreram menos de trs acidentes;

d)

O nmero de motoristas que sofreram no mnimo trs e no mximo cincoacidentes;e)

A percentagem dos motoristas que sofreram no mximo dois acidentes.

9A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncia das reas de 400 lotes:

REAS (m2) 300 |--400 |--500 |--600 |--700 |--800 |--900 |--1000 |--1100 |--1200

N DE LOTES 14 46 58 76 68 62 48 22 6

Com referncia a esta tabela, determine:

a) A amplitude total;b) O limite superior da quinta classe;c)

O limite inferior da oitava classe;d) O ponto mdio da stima classe;e)

A amplitude do intervalo da segunda classe;f) A frequncia da quarta classe;g)

A frequncia relativa da sexta classe;h) A frequncia acumulada da quinta classe;i) O nmero de lotes cuja rea no atinge 700 m2;

j)

O nmero de lotes cuja rea atinge e ultrapassa 800 m2;k) A percentagem dos lotes cuja rea no atinge 600 m2;l) A percentagem dos lotes cuja rea seja maior ou igual a 900 m2;m)A percentagem dos lotes cuja rea de 500 m2, no mnimo, mas inferior a

1000 m2;n) A classe do 72 lote;o) At que classe esto includos 60% dos lotes.


60/161

60

10 - Os valores contidos na tabela abaixo se referem massa em Kg de 55 pessoasadultas.

84 68 55 49 48 56 79 58 59 74 60

89 67 57 55 54 79 74 59 73 75 62

84 57 55 54 75 59 56 48 49 68 65

67 88 74 79 67 89 84 73 75 79 61

68 74 73 75 79 74 84 87 84 68 64

Faa a distribuio de frequncia com classes (use uma casa decimal paraporcentagens) e baseado nela responda as perguntas abaixo:

a) O limite inferior da 7 classe;b) O limite superior da 1 classe;c) O ponto mdio da 5 classe;

d) A amplitude da 2 classe;e) A frequncia simples da 6 classe;f) A frequncia percentual da 3 classe;g) A frequncia acumulada da 4 classe;h) A percentagem de pessoas que tem menos de 72 kg;i) A percentagem de pessoas que tem menos de 84 kg e igual ou mais de 60

kg;j) O nmero de pessoas que tem peso maior ou igual 54 e menor do que 78

kg;

k) O nmero de pessoas que tem peso maior ou igual 66 kg.

6 - Representao Grfica de uma Distribuio

Uma distribuio de frequncia pode ser representada graficamente peloHistograma, pelo Polgono de frequncia e pelo Polgono de frequnciaacumulada (alguns autores denominam de ogiva de Galton).

Em todos os grficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixoscoordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas)

colocamos os valores da varivel e na linha vertical (eixo das ordenadas), asfrequncias.


61/161

61

6.1 - Histograma

As larguras dos retngulos so iguais s amplitudes dos intervalos de classe.As alturas dos retngulos devem ser proporcionais s frequncias das classes, sendoa amplitude dos intervalos igual. Isso nos permite tomar as alturas numericamenteiguais s frequncias.

A rea de um histograma proporcional soma das frequncias simples ouabsolutas.No caso de usarmos as frequncias relativas, obtemos um grfico de rea unitria.Para o exemplo a seguir, temos o seguinte histograma:

ESTATURAS DE 40 ALUNOS NA ESCOLA A

ESTATURA (cm) FREQUNCIA

150 |---- 154 4154 |---- 158 9158 |---- 162 11162 |---- 166 8166 |---- 170 5

170 |---- 174 3TOTAL 40

OHistograma formado por um conjunto de retngulos justapostos, cujas basesse localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos mdioscoincidam com os pontos mdios dos intervalos de classe.


62/161

62

6.2Polgono de Frequncia

Para realmente obtermos um polgono (linha fechada), devemos completar a figura,ligando os extremos da linha obtida aos pontos mdios da classe anterior primeirae da posterior ltima, da distribuio.

Para o exemplo anterior temos o seguinte Polgono de frequncia:

6.3Polgono de Frequncia Acumulada

Para o exemplo em estudo temos o seguinte Polgono de frequncia acumulada:

OPolgono de frequncia um grfico em linha, sendo as frequncias marcadassobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos mdios dosintervalos de classe.

O Polgono de frequncia acumulada traado marcando-se as frequnciasacumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontoscorrespondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.


63/161

63

Uma distribuio de frequncia sem intervalos de classe representada

graficamente por um diagrama onde cada valor da varivel representado por umsegmento de reta varivel e de comprimento proporcional respectiva frequncia.

Atividade 3: Complete o quadro com as frequncias que se pede e com base neleconstrua o histograma, polgono de frequncia e polgono de frequncia acumulada.

CLASSE xi fi Fi fi(%) Fi(%)50 |--- 55 52 555 |--- 60 56 10

60 |--- 65 60 1265 |--- 70 64 970 |--- 75 68 675 |--- 80 72 4

Total -- 46 -- 100 --

Sendo xi = ponto mdio de classe; fi = frequncia simples; Fi = frequnciaAcumulada; fi (%) = frequncia percentual; Fi (%) = frequncia percentualacumulada.


64/161

64

EXERCCIOS

1Considerando a distribuio de frequncia seguinte, confeccione, o Histograma,o Polgono de frequncia simples e o Polgono de frequncia acumulada.

i

SALRIOS

(R$) fi1 500 |--- 700 82 700 |--- 900 203 900 |--- 1100 74 1100 |--- 1300 55 1300 |--- 1500 26 1500 |--- 1700 17 1700 |--- 1900 1

Total 44

2Considere o diagrama de ramo e folhas a seguir:

Ramo Folha3 2 4 6 84 3 2 7 9 5 45 9 4 1 6 2 06 8 9 0 3 1 57 5 3 0 6 1 08 2 0 7 4 5

9 3 0 1 7

A partir do diagrama elabore o Histograma, o Polgono de frequencias simples eacumulada da distribuio.


65/161

65

3Examinando o histograma abaixo, que corresponde s notas relativas aplicaode um teste de inteligncia a um grupo de alunos, responda:

a)Qual o intervalo de classe que tem maior frequncia?b) Qual a amplitude total da distribuio?c) Qual o nmero total de alunos?d) Qual a frequncia do intervalo de classe 110 |---120?e) Quais so os intervalos de classes tais que a frequncia de um o dobro da

frequncia do outro?

f) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110?g) Qual o percentual de alunos que esto no intervalo 100 |---130?h) Quantos alunos receberam nota no-inferior a 100?


66/161

66

VI - MEDIDAS DE POSIO

1Introduo

O estudo que fizemos sobre distribuies de frequncia, at agora, permite-nosdescrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma varivel pode assumir.Dessa forma, podemos localizar a maior concentrao de valores de uma dadadistribuio, isto , se ela se localiza no incio, no meio ou no final, ou ainda, se huma distribuio por igual.

Porm, para ressaltar as tendncias caractersticas de cada distribuio,isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que seexpressam atravs de nmeros, que nos permitam traduzir essas tendncias. Essesconceitos so denominados elementos tpicos da distribuioe so as:

a. Medidas de posio;

b.

Medidas de variabilidade ou disperso;c.

Medidas de assimetria;

d.

Medidas de curtose.

Dentre os elementos tpicos, destacamos, neste captulo, as medidas de posio -estatsticas que representam uma srie de dados orientando-nos quanto posio dadistribuio em relao ao eixo horizontal do grfico da curva de frequncia.

As medidas de posies mais importantes so asmedidas de tendncia central ou

promdias, que recebem tal denominao pelo fato de os dados observadostenderem, em geral, a se agruparem em torno dos valores centrais. Dentre asmedidas de tendncia central,destacamos:

a.

A mdia aritmtica;

b. A moda;

c. A mediana.

Outras promdias menos usadas so as mdias: geomtrica, harmnica, quadrtica,

cbica e biquadrtica.As outras medidas de posio so as separatrizes, que englobam: a prpriamediana, os decis, os quartis e os percentis.


67/161

67

2Mdia Aritmtica ( )

Em um conjunto de dados, podemos definir vrios tipos de mdias. Porm, emnossos estudos iremos nos limitar a mais importante: a mdia aritmtica.

onde xiso os valores da varivel e no nmero de valores.

2.1Dados no - agrupados

Quando desejamos conhecer a mdia dos dados no-agrupados em tabelas defrequncias, determinamos a mdia aritmtica simples.

Exemplo: Sabendo-se que a venda diria de arroz tipo A, durante uma semana, foide 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kg, temos, para venda mdia diria na semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kg

Logo: .= 14 Kg

s vezes, a mdia pode ser um nmero diferente de todos os da srie de dados queela representa. o que acontece quando temos os valores 2, 4, 6 e 8, para os quais a

mdia 5. Esse ser o nmero representativo dessa srie de valores, embora noesteja representado nos dados originais. Neste caso, costumamos dizer que a mdiano tem existncia concreta.

2.2Desvio em relao mdia

Designando o desvio por di, temos:.di = Xi - . No exemplo anterior temos sete

desvios: d1= 10 - 14 = -4;d2= 14 - 14 = 0;d3= 13 - 14 = -1;d4= 15 - 14 = 1;d5= 16 - 14 = 2;d6= 18 - 14 = 4;d7= 12 - 14 = -2.

Mdia Aritmtica o quociente entre a soma dos valores da varivel pelo nmerodeles.

Denominamos Desvio em relao mdiaa diferena entre cada elemento deum conjunto de valores e a mdia aritmtica.


68/161

68

2.3 -.Propriedades da mdia

1 propriedade: A soma algbrica dos desvios em relao mdia nula. Ouseja:

No exemplo anterior: d1+ d2+ d3+ d4+ d5+ d6+ d7= 0

2 propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos osvalores de uma varivel, a mdia do conjunto fica aumentada (ou diminuda)dessa constante.

Se no exemplo anterior, somarmos a constante 2a cada um dos valores da variveltemos:

Y = (12+16+15+17+18+20+14) / 7 = 112/7 = 16 kg

Ou seja, Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kg

3 propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de umavarivel por uma constante (c), a mdia do conjunto fica multiplicada (oudividida) por essa constante.

Se no exemplo anterior multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores davarivel temos:

Y = (30+42+39+45+48+54+36) / 7 = 294/7 = 42 kg

Ou seja, Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kg.


69/161

69

2.4Dados Agrupados

A mdia aritmtica sem intervalos de classe

Consideremos a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando paravarivel o nmero de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade mdia demeninos por famlia:

N de meninos Frequncia (fi)0 21 62 103 124 4

Total 34

Neste caso, como as frequncias so nmeros indicadores da intensidade de cadavalor da varivel, elas funcionam como fatores de ponderao, o que nos leva acalcular amdia aritmtica ponderada, dada pela frmula:

O modo mais prtico de obteno da mdia ponderada abrir, na tabela, uma colunacorrespondente aos produtos xifi:

xi fi xi. fi0 2 01 6 62 10 203 12 36

4 4 16 34 78

Temos, xifi = 78 e fi= 34

Logo xifi / fi= 78 / 34 = 2,3

Portanto a mdia de 2,3 meninos por famlia.


70/161


71/161


72/161

72

3.1Dados no - agrupados

Quando lidamos com dados no-agrupados, a moda facilmente reconhecida: basta,de acordo com definio, procurar o valor que mais se repete.

Exemplo: Na srie de dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda igual a 10.

H sries nas quais no exista valor modal, isto , nas quais nenhum valor apareamais vezes que outros.

Exemplo: {3 , 5 , 8 , 10 , 12 } no apresenta moda. A srie amodal.

Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentrao. Dizemos, ento,que a srie tem dois ou mais valores modais.

Exemplo: {2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. Asrie bimodal.

3.2Dados agrupados

Sem intervalos de classe

Uma vez agrupados os dados, possvel determinar imediatamente a moda: bastafixar o valor da varivel de maior frequncia.

Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no ms abaixo:

Temperaturas ( C) Frequncia0 31 92 123 6

Resp.: 2 C a temperatura modal, pois a de maior frequncia(12 vezes).

Com intervalos de classe

A classe que apresenta a maior frequncia denominada classe modal. Pela

definio, podemos afirmar que a moda, neste caso, o valor dominante que estcompreendido entre os limites da classe modal.

O mtodo mais simples para o clculo da moda consiste em tomar o ponto mdio daclasse modal. Damos a esse valor a denominao de moda bruta.


73/161

73

Onde: l* = limite inferior da classe modal;

L*= limite superior da classe modal.

Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes (cm) Frequncia54 |---- 58 958 |---- 62 1162 |---- 66 866 |---- 70 5

Resposta: A classe modal 58 |---- 62, pois a de maior frequncia.l* = 58 e L* = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm (este valor estimado, pois no conhecemos o valor realda moda).

H, para o clculo da moda, outros mtodos mais elaborados, como, por exemplo, oque faz uso da frmula de Czuber:

l* o limite inferior da classe modal;

h* a amplitude da classe modal;

D1= f* - f (ant.);

D2= f* - f (post.);

Sendo:

f* a frequncia simples da classe modal;

f (ant.) a frequncia simples da classe anterior classe modal;

f (post.) a frequncia simples da classe posterior classe modal.


74/161

74

Exemplo: Considere a distribuio a seguir

Classes fi150 |---- 154 4154 |---- 158 9158 |---- 162 11162 |---- 166 8166 |---- 170 5170 |---- 174 3

Total 40

Temos:

D1= 119 = 2 e D2= 118 = 3;

Mo = 158 + 2 x 4 = 159,6 cm2 + 3

3.3Emprego da moda

A moda utilizada quando:

a. desejamos obter uma medida rpida e aproximada de posio;

b. quando a medida de posio deva ser o valor mais tpico da distribuio.

Resolva:

1Calcule a moda da distribuio de frequncia:

Classes fi450 |---- 550 8550 |---- 650 10650 |---- 750 11750 |---- 850 16850 |---- 950 13950 |---- 1050 5

1050 |---- 1150 1Total 64


75/161

75

4Mediana

Smbolo da mediana: Md

4.1Dados no-agrupados

Dada uma srie de valores como, por exemplo:

{5, 2, 6, 13, 9, 15, 10}

De acordo com a definio de mediana, o primeiro passo a ser dado o daordenao (crescente ou decrescente) dos valores:

{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo nmero deelementos direita e esquerda. Neste caso o valor que divide a srie acima emduas partes iguais o 9, logo a Md = 9.

Se, porm, a srie dada tiver um nmero par de termos, a mediana ser, pordefinio, qualquer dos nmeros compreendidos entre os dois valores centrais dasrie. Convencionou-se utilizar o ponto mdio.

.Mtodo prtico para o clculo da Medianaa) Se a srie dada tiver nmero mpar de termos:

O valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula:

( n

551194-APOSTILA_DE_INTRODUÇÃO_A_ESTATÍSTICA_IFCE.2015

Documents

Transcript of 551194-APOSTILA_DE_INTRODUÇÃO_A_ESTATÍSTICA_IFCE.2015