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1. Num referencial o.n. do espa Sejam [OABC] e [DEFG] as bases do 1.1. Determine as coordenadas dos po 1.2. Determine uma equação vectorial 1.3. Determine o comprimento da diag 1.4. Calcule a área total do prisma. 1.5. Calcule o volume do prisma, sabe 2. No referencial do espaço de origem O O, I, J, K e L são pontos médios de [D As coordenadas dos pontos L e J são 2.1. Mostre que a recta KJ é paralela à 2.2. Determine uma equação do plano 2.3. Determine o comprimento do seg 2.4. Seja o plano definido pelos pon 2.5. Determine a área do triângulo [IJK 2.6. Calcule o volume do cubo. 3. No referencial ortonormado Oxyz es são vértices opostos. 3.1. Escreva uma equação do plano m 3.2. Defina por uma condição em x, y no primeiro octante. 3.3. A recta que passa em M e é par Determine as coordenadas do po 4. Num referencial o.n. considere o par figura, sendo , 4.1. Verifique se o ponto 4.2. Escreva uma equação do plano m 4.3. Determine as coordenadas do coordenado yOz. 4.4. Tomando para unidade o centíme e Q os pontos médios das arestas NOME: ____________________________ _ ! ! ! ! M ATEMÁTICA A 10. º ANO aço são dados os pontos: o prisma quadrangular regular. ontos E, F e G. l da recta AG. gonal espacial. endo que a unidade adoptada é o centímetro. O está representado o cubo [ABCDEFGH]. DH], [EC], [CG], [BC] e [AE], respectivamente. o e respectivamente. à recta AH. o mediador do segmento de recta [LJ]. gmento de recta [BH]. ntos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um K] (a unidade é o cm). stá representado um paralelipípedo do qual O e mediador de [ON]. y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida ralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W onto W. ralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representa , e . pertence à recta CF. mediador de [EC]. ponto de intersecção da recta BV com o etro, calcule o volume da pirâmide de vértice V e s da base inferior do paralelepípedo. " " #$ % _ ________________________________ N.º: ___ TURM M & e . m polígono. Classifique-o. e a W. ado na plano base [MNPQ] sendo M, N, P ( &)# º ANO * ! ! ! ! M MA: ___ DATA: ___/___/____

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Page 1: belamatematica.files.wordpress.com · 5. No referencial ortonormado Oxyz, ˇ irregular cuja base está contida no plano xOy. Seja [AB] uma aresta dessa base com e . 5.1. Determine

1. Num referencial o.n. ��� �� �� �� do espaço são dados os pontos:

Sejam [OABC] e [DEFG] as bases do prisma quadrangular regular.

1.1. Determine as coordenadas dos pontos E, F e G.

1.2. Determine uma equação vectorial da recta AG.

1.3. Determine o comprimento da diagonal espacial.

1.4. Calcule a área total do prisma.

1.5. Calcule o volume do prisma, sabendo que a unidade adoptada é o centímetro.

2. No referencial do espaço de origem O está representado o cubo [ABCDEFGH].

O, I, J, K e L são pontos médios de [DH], [EC], [CG],

As coordenadas dos pontos L e J são

2.1. Mostre que a recta KJ é paralela à recta AH.

2.2. Determine uma equação do plano mediador do segmento de recta [LJ].

2.3. Determine o comprimento do segmento de recta

2.4. Seja � o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique

2.5. Determine a área do triângulo [IJK] (a unidade é o cm).

2.6. Calcule o volume do cubo.

3. No referencial ortonormado Oxyz está representado um parale

������ são vértices opostos.

3.1. Escreva uma equação do plano mediador de [ON].

3.2. Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida

no primeiro octante.

3.3. A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.

Determine as coordenadas do ponto W.

4. Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na

figura, sendo ���������, ������ �

4.1. Verifique se o ponto �������� ���

4.2. Escreva uma equação do plano mediador de [EC].

4.3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano

coordenado yOz.

4.4. Tomando para unidade o centímetro, calcule o volume da

e Q os pontos médios das arestas da base inferior do paralelepípedo.

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do espaço são dados os pontos: �������� �������� ����

Sejam [OABC] e [DEFG] as bases do prisma quadrangular regular.

Determine as coordenadas dos pontos E, F e G.

Determine uma equação vectorial da recta AG.

diagonal espacial.

Calcule o volume do prisma, sabendo que a unidade adoptada é o centímetro.

No referencial do espaço de origem O está representado o cubo [ABCDEFGH].

O, I, J, K e L são pontos médios de [DH], [EC], [CG], [BC] e [AE], respectivamente.

As coordenadas dos pontos L e J são ������� e ������� respectivamente.

é paralela à recta AH.

Determine uma equação do plano mediador do segmento de recta [LJ].

Determine o comprimento do segmento de recta [BH].

o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique

Determine a área do triângulo [IJK] (a unidade é o cm).

No referencial ortonormado Oxyz está representado um paralelipípedo do qual O e

Escreva uma equação do plano mediador de [ON].

Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida

A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.

Determine as coordenadas do ponto W.

Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na

�, ������ �� e ��������.

��� pertence à recta CF.

Escreva uma equação do plano mediador de [EC].

Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano

Tomando para unidade o centímetro, calcule o volume da pirâmide de vértice V e base [MNPQ] sendo M, N, P

e Q os pontos médios das arestas da base inferior do paralelepípedo.

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o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique-o.

lipípedo do qual O e

Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida

A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.

Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na

Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano

pirâmide de vértice V e base [MNPQ] sendo M, N, P

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5. No referencial ortonormado Oxyz, �

irregular cuja base está contida no plano xOy. Seja [AB] uma aresta dessa base

com ������ e �������.

5.1. Determine uma equação da recta AB.

5.2. Defina por uma condição em x, y e z, a região da esfera de centro em V e raio

� ���� constituida pelos pontos que têm cota inferio

5.3. Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo

equilátero. Mostre que o problema tem

6. A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são

losangos.

Os pontos A, B, C, D e F são vértices do paralelepípedo.

6.1. Determine uma equação vectorial da recta AE.

6.2. Escreva uma equação do plano mediador de [AE].

6.3. Determine as coordenadas do simétrico do ponto B, em relação ao plano xOy.

6.4. Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina

analiticamente essa parte da esfera.

7. Observe a figura.

No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,

tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o

centro do prisma.

7.1. Determine as coordenadas dos pontos A, C e V.

7.2. Escreva uma equação do plano m

7.3. Escreva uma equação vectorial da recta VB.

7.4. Calcule a área total da pirâmide.

7.5. Calcule o volume do sólido obtido depois de extrair a pirâmide.

8. No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.

Na unidade considerada ������ � � e �����

8.1. Defina por equações cartesianas a recta AC.

8.2. Considere que o triângulo [ABC] roda uma volta completa em torno do eixo Oy.

8.2.1. Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida

rotação.

8.2.2. Calcule o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.

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��������é o vértice de uma pirâmide triangular

cuja base está contida no plano xOy. Seja [AB] uma aresta dessa base

Determine uma equação da recta AB.

Defina por uma condição em x, y e z, a região da esfera de centro em V e raio

constituida pelos pontos que têm cota inferior a -0,4.

Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo

equilátero. Mostre que o problema tem duas soluções.

A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são

Os pontos A, B, C, D e F são vértices do paralelepípedo.

Determine uma equação vectorial da recta AE.

Escreva uma equação do plano mediador de [AE].

as coordenadas do simétrico do ponto B, em relação ao plano xOy.

Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina

analiticamente essa parte da esfera.

No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,

tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o

Determine as coordenadas dos pontos A, C e V.

Escreva uma equação do plano mediador de [BD].

Escreva uma equação vectorial da recta VB.

Calcule o volume do sólido obtido depois de extrair a pirâmide.

No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.

���� � �.

Defina por equações cartesianas a recta AC.

Considere que o triângulo [ABC] roda uma volta completa em torno do eixo Oy.

Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida

o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.

+�'

Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo

A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são

Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina

No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,

tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o

No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.

Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida

o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.

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MM AA TT EE MM ÁÁ TT II CC AA AA –– 11 00 .. ºº AA NN OO '�'

9. A embalagem de certo gelado é uma superfície esférica. Num referencial o.n. essa superfície tem por

equação �� � �� � � � ��.

9.1. O bordo da “tampa” da embalagem é uma circunferência que se obtém seccionando a superfície

esférica por um plano ! de cota positiva e paralelo a xOy. Sabendo que, na unidade considerada,

o bordo da “tampa” tem perímetro igual a ", escreva as coordenadas do ponto P.

9.2. Verifique que o ponto ������ pertence à superfície esférica e determine as coordenadas do ponto B de

modo que [AB] seja diâmetro da superfície esférica.

9.3. Escreva uma equação que defina a circunferência de centro em P.

9.4. Defina analiticamente o segmento de recta [AO].

10. No referencial o.n. Oxyz está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados.

O perímetro de cada face é, na unidade considerada, igual a 16.

10.1. Escreva uma equação vectorial da recta BC.

10.2. Defina analiticamente a superfície esférica tangente a todas as faces do cubo.

10.3. Determine a, caso exista, de modo que o vector #$%�&� � &� &� � ���� seja colinear com �'$$$$$%.

10.4. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF], respectivamente, determine as coordenadas do

ponto P ( )*+, sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é u m quadrado.

11. Na pirâmide de Kéops, quadrangular regular, a aresta da base tem 23 dam de

comprimento. Sejam A, B, C e D os vértices da base e V o vértice da pirâmide.

Considere o referencial o.n. indicado em que a unidade considerada é 10 metros e

indique:

11.1. Uma equação vectorial da recta VB sabendo que ���- �- ���.�.

11.2. Uma equação vectorial da recta paralela a VC e que contém o ponto �� �����.

11.3. O volume da pirâmide.

12. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na

figura.

A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy.

[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem de coordenadas

��� �����. O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem

coordenadas �������.

A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.

O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. A altura

do cilindro é 12 cm.

12.1. Justifique que a recta BD é perpendicular à recta AB.

12.2. Escreva uma equação vectorial da recta r e uma equação vectorial da recta CD.

12.3. Seja / o plano que intersecta o cilindro e que contém os pontos B, C e D. Qual o quadrilátero obtido na

intersecção do plano / com o cilindro? Determine a sua área.

12.4. Calcule o volume do cilindro.