4_Nocoes_de_Logica

Noções de Lógica

Didatismo e Conhecimento 1

noções de Lógica

4. NOÇÕES DE LÓGICA

A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384 – 322 a.C.) em sua obra “Órganon”, distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815 – 1864), em seu livro “A Análise Matemática da Lógica”, estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o “Raciocínio Lógico” em suas provas.

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.

“Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.” (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. Concomitantemente com a revisão mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos. Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”. Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos. Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes. Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina “Raciocínio Lógico”. Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.

4.1 RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

exemplos

a) A fração 53 lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.


noções de Lógica

Os termos da razão recebem nomes especiais.

O número 3 é numerador

a) Na fração 53

O número 5 é denominador

O número 3 é antecedente

a) Na razão 53

O número 5 é consequente

exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é 2050

= 25

; já a razão entre 50 e 20 é 5020

= 52

.

exemplo 2

Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 1824

= 34

, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 1842 = 3

7, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

exemplo

Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

˙384dm2

1800dm2 =3841800

= 1675

Razão entre grandezas de espécies diferentes

exemplo 1

Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.

Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2h

Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:

140km2h

= 70km / h


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A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve acompanhar a razão.

exemplo 2

A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

6628000927286

≅ 71,5hab. / km2

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.

A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

83,76km8l

≅ 10,47km / l

A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão.

exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real

= 20cm8m

= 20cm800cm

= 140ou1: 40

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se escala.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 35 = 6

10 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

exemplo 1

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 14= 416

, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.


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exemplo 2

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.

Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

5gotas2kg

= x12kg

→ x = 30gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

5gotas2kg

= 20gotas / p→ p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)Propriedades da ProporçãoO produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou

não uma proporção.43e129 formam uma proporção, pois

Produtos dos extremos ← 4.936 = 3.12

36→ Produtos dos meios.

A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

52= 104⇒ 5 + 2

5⎧⎨⎩

= 10 + 410

⇒ 75= 1410

ou

52= 104⇒ 5 + 2

2⎧⎨⎩

= 10 + 44

⇒ 72= 144

A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=⇒−

= −

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒−

= −

⇒=

A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 128⇒ 1510

= 128

ou

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 32⇒ 1510

= 32

A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 315

⇒ 210

= 315

ou

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 15⇒ 210

= 15


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Exercícios

1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?

6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de 49

. Determine o comprimento de cada uma das partes.

8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45b) 81c) 85d) 181e) 126

10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

Respostas

1) Resposta “1320 km”.Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.

Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.

2) Resposta “1: 7 000 000”.Solução: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 000 cm

Escala = comprimentododesenhocomprimentoreal

= 1070000000

= 17000000

ou1: 7000000

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.


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3) Resposta “8,75 kg/dm³”.Solução: De acordo com os dados do problema, temos:

densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm

3

Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.

4) Resposta “75,5 km/h”.

Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

velocidademédia = 453km6h

= 75,5km / h

Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.

5) Resposta “4,15 hab./km²

Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:

Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km2

6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.

Solução:A – V = 12 anosA = 12 + VAV

= 52→ 12 +V

V= 52

2 (12+V) = 5V24 + 2V = 5V5V – 2V = 243V = 24V = 24

3V (Vera) = 8A – 8 = 12A = 12 + 8A (Ângela) = 20

7) Resposta “24 cm; 54 cm”.

Solução:x + y = 78 cmx = 78 - yxy= 49→ 78 − y

y= 49

9 (78 - y) = 4y702 – 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702y = 702

13y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm


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8) Resposta “ 2716

cm ”.

Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm.

Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.

Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela expressão:Ti . P elevado à (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:

(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)

4 . =

9) Resposta “e”.Solução:A = 81 litrosAT= 95→ 81

T= 95

9T = 405T =

T = 45A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta “117 e 52”.Solução:x – y = 65x = 65 + y

xy= 94→ 65 + y

y= 94

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y – 4y = 2605y = 260y =

y = 52

x – 52 = 65x = 65 + 52x = 117


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4.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Relação entre grandezas

Números diretamente proporcionais

Considere a seguinte situação:

Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 ovos1 lata de leite condensado1 xícara de leite2 colheres das de sopa de farinha de trigo1 colher das de sobremesa de fermento em pó1 pacote de coco ralado1 xícara de queijo ralado1 colher das de sopa de manteiga

Veja que:

- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha;- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 colheres de farinha;- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 colheres de farinha;- Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de ovos: 6 9 12Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes são iguais:64= 32

96= 32

128

= 32

Assim: 64= 96= 128

= 32

Dizemos, então, que:

- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;- o número 2

3, que é a razão entre dois termos correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade.

Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais:

2 8 y3 x 21

Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é:23= 8x= y21


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32 =

x8

32

= 21y

2x = 3 . 8 3y = 2 . 212x = 24 3y = 42

x=242 y=

423

x=12 y=14

Logo, x = 12 e y = 14

exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.

Solução:

Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de Toni por z, podemos escrever:

==

=++

300002700024000

32400zyx

zyx

x24000

= y27000

= z30000

= x + y + z32400

24000 + 27000 + 3000081000

Resolvendo as proporções:

x24000

= 324004

8100010

10x = 96 000x = 9 600

y27000

= 410

10y = 108 000y = 10 800

z3000

= 410

10z = 120 000z = 12 000

Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.

Números inversamente Proporcionais

Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5:

1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.


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Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20

Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais:11120

= 2160

= 4130

= 6120

= 120

Dizemos, então, que:- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado

fator de proporcionalidade.

Observando que

1120

é o mesmo que 1.120=120 4130

é mesmo que 4.30=120

2160

é o mesmo que 2.60=120 6120

é o mesmo que 6.20= 120

Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais:4 x 820 16 y

Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter:

4 . 20 = 16 . x = 8 . y

16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10

Logo, x = 5 e y = 10.

exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos:

41

31

21

zyx==

41

31

21

zyx== =

41

31

21

104

++

++

zyx

Como, vem

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.


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grandezas diretamente Proporcionais

Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:

dias sacos de açúcar1 5 0002 10 0003 15 0004 20 0005 25 000

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:

Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.

Tomemos agora outro exemplo.

Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool.De acordo com esses dados podemos supor que:

- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.

Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.

grandezas inversamente Proporcionais

Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:

Velocidade Tempo30 km/h 12 h60 km/h 6 h90 km/h 4 h120 km/h 3 h

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica reduzido à metade;- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim por diante.


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Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo:

3060

612

= inverso da razão 12 6

3090

412


30120

312


6090

4 6


60120

3 6


90120

3 6


Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.

Acompanhe o exemplo a seguir:

Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que:

- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

Exercícios

1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:

a) 1 x 7 5 15 y

b) 5 10 y x 8 24

c) x y 21 14 35 49

d) 8 12 20 x y 35


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2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:

a) 4 x y 25 20 10

b) 30 15 10 x 8 y

c) 2 10 y x 9 15

d) x y 2 12 4 6

3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.

4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a

61

41,

31 e .

5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a

31

25,

43 e .

6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente propor-cionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.)

8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?

9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família?

10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um?

Respostas

1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 212- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 33- 80, 32, 20 4- 21, 28, 435- 45, 150, 206- 907- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio R$24.000,008- R$350.000,00


noções de Lógica

9- 60, 90, 15010- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto R$400.000,00

Resolução 04

x+y+z--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 3+4+6 as partes são inversas)91/13=x/313x=273x=2191/13=y/413y=364y=28

91/13=z/613z=546z=42

Resolução 05

x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)x + y + z = 2153k/4 + 5k/2 + k/3 = 215(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 x = 60.(3/4) = 45y = 60.(5/2) = 150z = 60/3 = 20

(x, y, z) → partes diretamente proporcionais

Resolução 06

x = Rafaely = Mateus

x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo proporções, só calcular)

x/15=6x=90

y/12=6y=72


noções de Lógica

4.3 PORCENTAGEM

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 50100

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100

p por V.

P% de V = 100p

. V

exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 67100

.56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.Lucro = preço de venda – preço de custo

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%


noções de Lógica

aumento

aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) é o fator de aumento.

desconto

desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V =

100p . V

VD = V – D = V – 100

p . V

VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p ) é o fator de desconto.

exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

aumentos e descontos sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 100

1p )

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 –

1001p )

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p )

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 100

2p )


noções de Lógica

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+

1001p )

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

exemplo(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de

aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1. 15100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

.1000

VA = 1 000 . (1,15)n

VA = 1 000 . 1,15n

VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-sP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUc-sP) o preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. o comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. o valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNesP-sP) o dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.


noções de Lógica

5. (Mackenzie-sP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVesT-sP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUc-sP) descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVesT-sP) a cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “d”.Solução:

10100

. 10100

= 1100

= 1%

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =4005

= 80%


noções de Lógica

3) Resposta “d”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “c”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x +50100

= 100x + 50100

= 10x + 510

= 2x +12 (dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 + 100

1p ).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 – 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 – 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%6) Resposta “e”.Solução:

SA = 1+ 80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 1+

80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x


noções de Lógica

7) Resposta “c”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 - 100

1p ).(1 – 100

2p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 – 30100

)

V2 = ( 100 − 20100

).( 100 − 30100

)

V2 = ( 80100

).( 70100

)

V2 = 100005600

V2 = 56100

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta “a”.Solução:

1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

5100

= 5%ou 25000500000

= 5100

= 5%

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = 4100

= 0,004 , podemos escrever:

0,04 . x = 20 → x = 200,04

→ x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.


noções de Lógica

4.4 REGRA DE TRÊS SIMPLES

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.

exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Solução:O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem

em uma mesma linha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x mesmo sentido

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:

x15

210180

7

6

=

6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6

105 x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.

exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:



noções de Lógica

Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:


sentidos contrários

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x 4x = 4 . 3 4x = 12 x =

412 x = 3

Resposta: Farei esse percurso em 3 h.

exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e

x s).Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso

200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x =

2403600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Exercícios

1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura.

Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo?

4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?

5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches?


noções de Lógica

Respostas

1) Resposta “30min”. Solução:Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra de três é inversa:5 tor. ------ 75min2 tor. ------ x5x = 2 . 75 = 5x = 150 =

x =

2) Resposta “52 km/h”.Solução:Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a regra de três é inversa:6h30min = 390min5h15min = 315min

315min ------ 42km/h390min ------ x315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X = km/h.

3) Resposta “20 palitos de fósforo”.Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de largura.Portanto temos:

Comprimento Largura12 palmos 5 palmos48 palitos X palitos

Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura.

As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer:

Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura.

4) Resposta “18 segundos”.Solução: Levando em consideração os dados:Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20sVelocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?

Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).

Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:


noções de Lógica

Velocidade km/h Tempo (s)180 20200 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:

180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 →

Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.

5) Resposta “5 pacotes”.Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.

Pacotes de Pães Sanduíches3 63x 105

Basta fazermos apenas isso:63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 →

Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.

4.5 TEORIA DOS CONJUNTOS

Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

Note que ao subtrairmos os elementos comuns evitamos que eles sejam contados duas vezes.


noções de Lógica

Observações:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.

b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.

Observe o diagrama e comprove.

Conjuntos

Conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou

um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto

(de pontos).Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y,

..., embora não exista essa obrigatoriedade.Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras

minúsculas.Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈ALê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.

Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∉ALê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.

Como representar um conjunto

Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.


noções de Lógica

Exemplos

- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.

Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

Exemplos

- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.

Exemplos- Se A = {a, e, i, o, u} então

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então

Conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/

Exemplos

- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}- 0/ = {x | x ≠ x}


noções de Lógica

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B.

Simbolicamente: A⊂B⇔ (∀ x)(x∈∀ ⇒ x∈B)

Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: A⊄B⇔ (∃ x)(x∈A e x∉B)

Exemplos

- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}- {2, 3, 4}⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}

Inclusão e pertinência

A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂ ).A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação

de inclusão.Simbolicamentex∈A ⇔ {x}⊂Ax∉A ⇔ {x}⊄A

Igualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B ⇔ A⊂B e B⊂ADemonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto

de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A⊄B ou B⊄A

Exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2}⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.

- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária.- {a,a} = {a}- {a,b = {a} ⇔ a= b- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

Conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X⊂ A} ou X⊂ P(A) ⇔ X⊂A


noções de Lógica

Exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = { 0/ , C}

d) = 0/P(D) = { 0/ }

Propriedades

Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

0/ ≠(0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }0/ ⊂A⇔ 0/ ∈P(A) A⊂A⇔ A∈P(A)

Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.

União de conjuntos

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A∪ B.

Simbolicamente: A∪ B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3}∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4}∪ {3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3}∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b}∪ f {a,b}

Intersecção de conjuntos

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩ B. Simbolicamente: A∩ B = {X | X∈A ou X∈B}


noções de Lógica

Exemplos

- {2,3,4}∩ {3,5}={3}- {1,2,3}∩ {2,3,4}={2,3}- {2,3}∩ {1,2,3,5}={2,3}- {2,4}∩ {3,5,7}=f

Observação: Se A∩ B=f , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Subtração

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e X∉B}

O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}

Exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =f

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}

- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}

Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂A.- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B⊂A ⇔ B = A – B = CAB`


noções de Lógica

Exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}c) C = f C⇒ = S

Número de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:

n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)A∩ B=f ⇒ n(A∪ B)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)B⊂A⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)

Exercícios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) f ⊂{3}b)(3) ⊂ {3}c)f ∉ {3}d)3∈{3}e)3={3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).a) 2 ∈ A b) (2) ∈Ac) 3∈A d) (3) ∈Ae) 4∈A

3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:a) A∪ B b) A∩ Bc) A∪ C d) A∩ C

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X∩A=f e X∪A = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪X={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A∩ (B∪ C), sabendo-se:a) A∩ B tem 29 elementosb) A∩ C tem 10 elementosc) A∩ B tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-sea) quantas crianças existem na escola?b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?


noções de Lógica

10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;- Quando chove de manhã não chove à tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

Respostas

1) Resposta “E”.Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade (=).

Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀ x.

2) Solução:a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.

3) Resposta “32”.Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5

elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.

4) Resposta “10”.Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o número de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024⇔ 2k=210⇔ k=10.

5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: a)

A∪ B={1,3,4,5,6,7}

b)


noções de Lógica

A∩ B={3,4}

c)

A∪ C={1,3,4,5,6,8}d)

A∩ C={4,6}

6) Resposta “X={1;3;5}”.Solução: Como X∩A=f e X∪A=S, então X= A =S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}

7) Resposta “X = {2;3;4}Solução: Como A⊂X, então A∪X = X = {2;3;4}.

8) Resposta “A”.Solução: De acordo com o enunciado, temos:

n(A∩ B∩ C) = 7n(A∩ B) = a + 7 = 26⇒ a = 19n(A∩ C) = b + 7 = 10⇒ b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A∩ (B∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A∩ (B∪ C)] = 29.


noções de Lógica

9) Solução:

Sejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = yDe acordo com o enunciado temos:

=⇔=+=+=∪=⇔=+=+=∪15249)()()(33429)()()(

xxBnAnDAnyyDnBnDBn

Assim sendoa) O número total de crianças da escola é:

703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn

b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:

5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn

10) Resposta “C”.Solução:Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os

conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:

n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M’) + n(T’) = 11n(M) + N(T) = 7


noções de Lógica

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.

4.6. PROBLEMAS COM RACIOCÍNIO LÓGICO, COMPATÍVEIS COM O

NÍVEL MÉDIO COMPLETO

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos.

Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x;- A metade da soma de um número mais 15: + 15;- A quarta parte de um número: .

exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.1º número: x2º número: x + 23º número: x + 4

(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução:

x + x + 2 + x + 4 = 963x = 96 – 4 – 23x = 96 – 63x = 90

x =

x = 30

1º número: x = 302º número: x + 2 = 30 + 2 = 323º número: x + 4 = 30 + 4 = 34

Os números são 30, 32 e 34.


noções de Lógica

exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 52

3x = 25 – 43x = 21

x = 213

x = 7

O número procurado é igual a 7.

exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

AtualmenteFilho: xPai: 4x

FuturamenteFilho: x + 5Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 . (x + 5)4x + 5 = 3x + 154x – 3x = 15 – 5X = 10

Pai: 4x = 4 . 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 205x = 20

x = 205

x = 4

O número corresponde a 4.


noções de Lógica

exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: GCoelhos: CG + C = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:2G + 4C = 100

Sistema de equaçõesIsolando C na 1ª equação:G + C = 35C = 35 – G

Substituindo C na 2ª equação:2G + 4C = 1002G + 4 . (35 – G) = 1002G + 140 – 4G = 1002G – 4G = 100 – 140- 2G = - 40

G =

G = 20

Calculando CC = 35 – GC = 35 – 20C = 15

Exercícios

1. a soma das idades de arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um, se a idade de arthur é 52 da idade de

Baltazar?

2. a diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é 59

da idade de Maria?

3. Verificou-se que numa feira 95 dos feirantes são de origem japonesa e

52 do resto são de origem portuguesa. o total de

feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes dessa feira?

4. certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. o primeiro menino recebe 73 da quantidade e o segundo,

metade do resto. dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino?

5. Num dia, uma pessoa lê os 53

de um livro. No dia seguinte, lê os 43 do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais.

Quantas páginas têm o livro?

6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. as medalhas de ouro totalizam 53 das medalhas da caixa.

o número de medalhas de prata é 30. o total de medalhas de bronze é 41

do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa?


noções de Lógica

7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa, percorrem-se os 72

da distância total. Na segunda, os 53 do

resto. Na terceira, a metade do novo resto. dessa maneira foram percorridos 60 quilômetros. Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa?

8. a soma das idades de Lúcia e gabriela é de 49 anos. Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é 43

da idade de gabriela?

9. Num dia, um pintor pinta 52 de um muro. No dia seguinte, pinta mais 51 metros do muro. desse modo, pintou

97 do

muro todo. Quantos metros têm o muro?

10. Um aluno escreve 83

do total de páginas de seu caderno com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. escreveu, dessa maneira,

97 do total de páginas do caderno. Quantas páginas possuem o caderno?

Respostas

1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”.Solução:A + B = 42 anos

A = 25

. B

(substituindo a letra “A” pelo valor 25

. B)

25

. B + B = 42 (mmc: 5)

2B + 5B = 2107B = 210

B = 2107

B = 30 A = 12

2) Resposta “Maria 25; José 45”.Solução:J – M = 20

J = 95

M

(substituindo a letra “J” por 95

M

95

M - M = 20 (mmc: 1; 5)

9M - 5M = 1004M=100

M= 1004

M=25 e J=45

3) Resposta “135”.Solução:F = feirantesJ = 5

9.F

J + P = 99


noções de Lógica

(substituindo a letra “J”por 59

F)

59

F + 25

.(F- 59

F) = 99

59

F + 25

. 9F − 5F9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 900

59

F + 25

. 4F9

= 99

59

F + 8F45

= 99 (mmc:9; 45)

2545

F + 8F45

= 445545

33F = 4455F= 4455

33F = 135

4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”.

Solução: x = cards1° = 3

7.x

2° = x −3x72

=

7x − 3x72

= 4x14

= 2x7

(substituindo o “1°”e “2°”pelos valores respectivos)37x + 2x

7= 250 (mmc:1; 7)

3x+2x = 17505x = 1750x = 1750

5x = 350 cards

portanto:1° = 3

7 . 350 = 150

2° = 27

. 350 = 100

3° = 350 - 250 = 100

5) Resposta “200”.

Solução: x = Livro1 dia = 3

5x

2 dia = 34(x − 3

5x)

3 dia = 20 páginas


noções de Lógica

1 dia + 2 dia + 3 dia = X35x + 3

4(x − 3

5x)+ 20 = x

35x + 3

4(5x − 3x

5)+ 20 = x

35x + 3

4.2x5

+ 20 = x

35x + 6x

20+ 20 = x(mmc :5;20)

12x + 6x + 400 = 20x20x - 18x = 4002x = 400x = 400

2 = 200 páginas

6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”.Solução:T = TotalO = 3

5TP = 30B = 1

4TO + P + B = T

35T

+ 30 + 14T

= T (mmc :5;4)

12t20

+ 5t20

+ 60020

= 20t20

17T + 600 = 20T20T - 17T = 6003T = 600T = 600

3 = 200 medalhas

PortantoO = 3

5T= 35

. 200 = 120

B = 14T

= 14

. 200 = 50

7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”.Solução:T = total1ª = 2

7T2ª = 3

5T − 2

7T⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

35. 7T − 2T

7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

35.5T7

= 3T7

3ª = T − 2T7

− 3T7

2=

7T − 2T − 3T72

=

2T72

= 2T14

1ª + 2ª + 3ª = 60

2T7

+ 3T7

+ 2T14

= 60 (mmc:7;14)


noções de Lógica

4T + 6T + 2T = 84012T = 840

T = 84012

T = 704ª = 70 – 60 = 10

8) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”.Solução:L + G = 49 anosL = 3

4GSubstitui a letra “L” por 3

4G34G

+ G = 49 (mmc:1; 4)

3G + 4G = 1967G = 196G = 196

7 = 28 anos

L = 49 - 28 = 21 anos

9) Resposta “135 metros”.Solução:M = muro

1 dia = 25

M

2 dia = 51 metros25M + 51= 7

9M (mmc :5;9)

18M45

+ 229545

= 35M45

18M + 2295 = 35M35M – 18M = 229517M = 2295

M = 229517

M = 135 metros.

10) Resposta “144 páginas”.Solução:P = totalAzul = 3

8P

Vermelha = 5838P + 58 = 7

9P (mmc:8 ; 9)

27P + 4176 = 56P56P - 27P = 417629P = 4176P = 4176

29 = 144 páginas

4_Nocoes_de_Logica

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