Aula 14 Álgebra Linear I 1

N esta aula, veremos, entre outros resultados, que linear é injetora,se, e somente se, o núcleo de é o subespaço nulo. Além disso, aplicaremos oimportante Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual relaciona as dimensões do

núcleo de e da imagem de com , a dimensão do .

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: definir núcleo e ima-gem de uma transformação linear ; dar exemplosde transformações lineares injetoras; e aplicar oTeorema do Núcleo e da Imagem.

Aula 14 Álgebra Linear I2

Atividade 1

Seja uma transformação linear. O núcleo de , indicado por , é oconjunto

e a imagem de , denotado por , é o conjunto

Assim, e . Você ainda deve observar que é umsubespaço vetorial do espaço euclidiano . De fato,

i) , pois (já que );

ii) se , temos e . Logo,, de modo que ;

iii) se e , temos . Então, , e.

Lembre-se da aula 6 (Espaços vetoriais), na qual (i), (ii) e (iii) nos dizem que éum subespaço de . Também, você pode provar que é um subespaço de .

Prove que é um subespaço de .

Aula 14 Álgebra Linear I 3

Exemplo 1Se

, a transformação identidade.

Note que

, isto é, a imagem de é o espaço todo ,

e

ou seja, o núcleo de é o subespaço nulo.

Exemplo 2Seja

, a transformação “zero”.

Veja que

, isto é, a imagem da transformação “zero” é o subespaço nulo,enquanto

Como a igualdade é sempre verdadeira, isso significa que o núcleo da transfor-mação “zero” é o espaço todo .

Exercício resolvido 1

Seja definida por .

i) Mostre que é linear.

ii) Determine e .

iii) é injetora?

1

Aula 14 Álgebra Linear I4

Solução

i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade dasduas condições abaixo:

a) ;

b) .

Sejam .Então, ,

a)

enquantob)

Portanto, é linear.ii)

.

Assim, , se, e somente se, .

Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução éa trivial, ou seja, .Logo,

é o subespaço nulo.

Agora,

iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam com

Solução

i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade dasduas condições abaixo:

a) ;

b) .

Sejam .Então, ,

a)

enquantob)

Portanto, é linear.ii)

.

Assim, , se, e somente se, .

Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução éa trivial, ou seja, .Logo,

é o subespaço nulo.

Agora,

iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam com

Aula 14 Álgebra Linear I 5

Isso implica

Como , substituindo o valor de na primeira equação de , obtemos. Logo, , o que prova que é injetora.

Exercício resolvido 2

Seja a transformação linear definida por

i) Determine .

ii) é injetora?

Solução

i) Ora,

Note que , se, e somente se, é solução do sistemahomogêneo

ou

Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-

Jordan, consideramos a matriz (I) , a qual é equivalente por

linhas à matriz escalonada (II) (substitua de (I) por

).A matriz (II) corresponde ao sistema

ou

1

Solução

i) Ora,

Note que , se, e somente se, é solução do sistemahomogêneo

ou

Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-

Jordan, consideramos a matriz (I) , a qual é equivalente por

linhas à matriz escalonada (II) (substitua de (I) por

).A matriz (II) corresponde ao sistema

ou

Isso implica

Como , substituindo o valor de na primeira equação de , obtemos. Logo, , o que prova que é injetora.

Aula 14 Álgebra Linear I6

Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,

arbitrárioarbitrário

Fazendo , por exemplo, obtemos que , isto é, podemosdizer que .

ii) Para ver se é injetora, sejam com

isto é, com

Será que , ou seja, será que?

Note que , mas e . Com certo esforço você deveperceber, por exemplo, que

mas que, obviamente, . Portanto, não é injetora.

No Exercício resolvido 1, encontramos e injetora, en-quanto no Exercício resolvido 2, obtemos

e não injetora.

De um modo geral, vale o critério seguinte.

Teorema 1Uma transformação linear é injetora, se, e somente se,

.

Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,

arbitrárioarbitrário

Fazendo , por exemplo, obtemos que , isto é, podemosdizer que .

ii) Para ver se é injetora, sejam com

isto é, com

Será que , ou seja, será que?

Note que , mas e . Com certo esforço você deveperceber, por exemplo, que

mas que, obviamente, . Portanto, não é injetora.

Aula 14 Álgebra Linear I 7

Prova

Demonstração da parte “somente se”.

Hipótese – é injetora.

Queremos provar que . Para isso, seja . Então,. Mas, sabemos que . Assim, . Como é injetora,

segue que . Isso prova que , ou seja, é formado somente pelo zero.

Demonstração da parte “se”.

Hipótese – .

Queremos provar que é injetora. Para isso, considere com. Então, . Como é linear, segue que

. Isso nos diz que . Mas, , de modo quee, conseqüentemente, , o que prova ser injetora,

completando a demonstração do resultado.

S eja a base canônica do .Seja uma transformação linear. Estamos interessados em deter-minar as dimensões do e da , e relacioná-las com a dimensão do

; lembre-se de que indica a dimensão do núcleo de e é adimensão da imagem de .

Observação – Você deve notar que como geram , então,geram . De fato, seja . Como ,

para alguns números reais (escalares) e, sendo linear, obtemos

Isso prova que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linearde , ou seja, geram .

Aula 14 Álgebra Linear I8

Atividade 2

Exercício resolvido 3

Considere a mesma transformação linear do Exercício resolvido 2,

Encontre e .

Solução

Seja a basecanônica do . Pela observação feita anteriormente, sabemos que

geram , mas

Para encontrar , você deve encontrar uma base para econtar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontraruma base para , basta encontrar uma base para o espaço gerado pelosvetores e . Paratanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz

e obter a matriz escalonada , equivalente por linhas à .

Prove que a matriz (obtida por você na solução anterior) do Exercício re-solvido 3, é dada por

1

Solução

Seja a basecanônica do . Pela observação feita anteriormente, sabemos que

geram , mas

Para encontrar , você deve encontrar uma base para econtar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontraruma base para , basta encontrar uma base para o espaço gerado pelosvetores e . Paratanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz

e obter a matriz escalonada , equivalente por linhas à .

Aula 14 Álgebra Linear I 9

Isso significa que os vetores e geram e como, claramente,são linearmente independentes, obtemos que é uma basepara , concluindo que . Finalmente, para encontrar ,observe que encontrar uma base para é equivalente a encontrar uma base para oespaço solução do sistema homogêneo i) do Exercício resolvido 2. Como

é arbitrárioé arbitrário

temos que é gerado por e, sendo , segue queé uma base de ou, equivalentemente, é uma base de .

Logo, .

Você deve perceber que

(domínio de )

Esse resultado vale, em geral, para o seguinte teorema.

Teorema 2 (do Núcleo e da Imagem)Se é uma transformação linear, então,

Prova

Isso será demonstrado na disciplina Álgebra Linear II, para transformações lineares, em que e são espaços vetoriais quaisquer.

Provaremos as seguintes conseqüências imediatas.

Corolário 1 – Seja uma transformação linear. Se , então, não éinjetora.

Prova

Hipótese – .

Queremos provar que não é injetora. Suponha o contrário, isto é, que é injetora.Nesse caso, pelo Teorema 1, . Mas, pelo Teorema 2, temos

Aula 14 Álgebra Linear I10

Como , temos . Substituindo esse valor em , obte-mos . Sendo um subespaço de , concluímos que , oque contradiz a hipótese. Portanto, não é injetora.

Corolário 2 – Seja uma transformação linear. Se , então não ésobrejetora.

Prova

Hipótese – .

Queremos provar que não é sobrejetora. Suponha o contrário, isto é, que é so-brejetora. Isso significa que . Assim, . Pelo Teorema 2,temos

Substituindo o valor em , obtemos . Issoimplica , o que contradiz a hipótese. Portanto, não é sobrejetora.

Corolário 3 – Seja uma transformação linear bijetora. Então, .

Prova

Suponha que . Pelo Corolário 1, segue que não é injetora, o que é umacontradição. Agora, supondo que , então, pelo Corolário 2, obtemos que não ésobrejetora, e temos novamente uma contradição. Portanto, .

Finalizamos esta aula com o seguinte teorema.

Teorema 3Seja linear. Então, é injetora, se, e somente se, levar todosubconjunto linearmente independente de em um conjunto linearmente in-dependente de .

Prova

Demonstração da parte “somente se”.

Hipótese – é injetora.

Queremos provar que leva todo subconjunto linearmente independente de em umsubconjunto linearmente independente de . Suponha o contrário, isto é, que existe um

Aula 14 Álgebra Linear I 11

Resumo

subconjunto linearmente independente de tal queseja linearmente dependente. Isso significa que um dos vetores, digamos , é combi-nação linear dos demais. Assim, existem escalares tais que

. Como é linear, obtemos , e sendoinjetora, temos , ou seja, é linearmente depen-dente, o que contradiz o fato de que é linearmente independente. Logo,

leva todo subconjunto linearmente independente de em um subconjunto linearmenteindependente de .

Demonstração da parte “se”.

Hipótese – leva todo subconjunto linearmente independente de em um subcon-junto linearmente independente de .

Queremos provar que é injetora. Suponha o contrário, isto é, que não é injetora.Pelo Teorema 1, temos . Seja Considere o conjunto

. Sabemos que é linearmente independente. Mas, é claramentelinearmente dependente, o que contradiz a hipótese. Portanto, é injetora.

Você aprendeu nesta aula que o núcleo e a imagem de uma transfor-mação linear são subespaços vetoriais de e ,respectivamente. Além disso, foi apresentado um critério para saber quando

é injetora, a saber: é injetora . Também, o Teorema doNúcleo e da Imagem nos diz que .

Aula 14 Álgebra Linear I12

Seja a transformação linear definida por.

i) Encontre . Se , quais as condições sobre para que o vetor? Qual a ?

ii) Encontre .

iii) Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem, determine .

Exercícios propostos1) Seja definida por .

a) Verifique que é linear.

b) Sem fazer qualquer cálculo, diga se pode ser sobrejetora. Justifique.

c) Determine e .

d) Determine e .

e) é injetora? Justifique.

2) Seja uma transformação linear tal que . Demonstre queé um número par.

3) Seja a transformação linear definida por

.

Ache .

Aula 14 Álgebra Linear I 13

Respostas dos exercícios propostos

ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.

BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. SãoPaulo: Editora Harbra Ltda, 1986.

Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes deresolvê-las.

1) b) Sugestão: veja o Corolário 2.

c)

d)

e) Sim. Veja o Teorema 1.

2) Sugestão: use o Teorema do Núcleo e da Imagem.

3) .