4419577 algebra-linear-i-aula-01-559-matrizes

Jonas Gonçalves Lopes

Marcelo Gomes Pereira

Álgebra Linear I

aula

01

D I S C I P L I N A

Matrizes

Autores

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio FelipePedro Daniel Meirelles Ferreira

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresMariana Araújo Brito

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício Lemos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,

East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile – www.masterfile.com

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expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Lopes, Jonas Gonçalves Álgebra linear I / Jonas Gonçalves Lopes, Marcelo Gomes Pereira – Natal (RN) : EDUFRN – Editora da UFRN, 2006.

224 p.

ISBN 85-7273-290-X

1. Álgebra. 2. Sistema de equações lineares. 3. Transformações lineares. I. Pereira, Marcelo Gomes. II. Título. CDU 512RN/UFR/BCZM 2006/14 CDD 512

Aula 01 Álgebra Linear I

Apresentação

N esta primeira aula, vamos trabalhar com as tabelas numéricas chamadas matrizes.Introduziremos algumas operações no conjunto de todas as matrizes e mostraremosalgumas de suas principais propriedades. Os assuntos tratados aqui têm importância

fundamental na resolução de equações lineares simultâneas, que são uma parte importantedesta disciplina.

Para esta aula, é necessário apenas que você conheça as quatro operações usuais comnúmeros reais. Na verdade, na prática, trabalharemos mais com números inteiros e frações.É desejável, também, que você tenha alguma experiência com resolução de equações doprimeiro grau.

ObjetivosAo término desta aula, você deverá ser capaz de: adicionar ma-trizes, multiplicar uma matriz por um número real (escalar), mul-tiplicar duas matrizes, bem como encontrar a transposta de umamatriz dada e a inversa (se existir) de uma matriz quadrada (pelomenos 3 × 3).

1

Aula 01 Álgebra Linear I�

Definição de matriz

Em Matemática, é conveniente considerar tabelas quadradas ou retangulares denúmeros reais da forma

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

Uma tabela desse tipo chama-se matriz e os números (reais) a11, a12, · · · , amn

são os elementos da matriz. A matriz A acima tem m linhas e n colunas e, porisso, chama-se uma matriz m × n (m por n).

Se o número de linhas e colunas for claro ao contexto, a matriz A acima será repre-sentada na forma abreviada [aij ] . O elemento genérico aij indica o elemento localizado nai-ésima linha e j-ésima coluna. Por exemplo, a13 é o elemento localizado na primeira linhae terceira coluna. No lugar do colchete em [aij ], podemos usar um parêntese; neste caso, amatriz será denotada por (aij). O uso matemático de tabelas assim tem origem muito antiga.Há registros chineses sobre matrizes que datam de 250 anos antes de Cristo.

As matrizes aparecem em várias áreas da Matemática e suas aplicações. Por exemplo,uma matriz pode servir de modelo ou representar uma situação do nosso cotidiano. Con-sidere a matriz 4×3

A =

8 7 56 4 910 5 67 9 8

Nessa matriz A, cada linha pode representar um aluno e cada coluna pode representarseu grau de aprovação em uma dada avaliação. Isto é, a matriz A pode representar o seguintequadro de avaliação:

1a avaliação 2a avaliação 3a avaliaçãoAluno 1 8 7 5Aluno 2 6 4 9Aluno 3 10 5 6Aluno 4 7 9 8

Muitas vezes, para se construir uma matriz, é definida uma lei de formação para oelemento genérico aij da matriz, como no exemplo a seguir.

1ª Avaliação �ª Avaliação 3ª AvaliaçãoAluno 1 8 7 5Aluno 2 6 4 9Aluno 3 10 5 6Aluno 4 7 9 8

Aula 01 Álgebra Linear I 3

ExemploEm Gonçalves e Souza (1977, p.4), é considerada a seguinte ligação entre pontos (os

quais podem representar pessoas, cidades, nações etc.), dada pelo diagrama:

Essas ligações são indicadas definindo-se aij = 1, se o ponto i está ligado ao j, casocontrário, isto é, se o ponto i não está ligado ao j, define-se aij = 0. É admitido que nenhumponto está ligado a ele mesmo. É fácil ver que a forma matricial deste diagrama é dada por

A =

0 1 0 11 0 1 10 1 0 01 1 0 0

Note que a13 = 0, pois, pelo diagrama, vemos que o ponto 1 não está ligado ao 3.Também a31 = 0, a34 = 0, a43 = 0. Agora, como nenhum ponto está ligado a si próprio,veja que a11 = a22 = a33 = a44 = 0. Finalmente, observe que os outros pontos estãoligados, isto é, a12 = 1, a14 = 1, a21 = 1, a23 = 1, a24 = 1, a32 = 1, a41 = 1, a42 = 1.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] são ditas iguais se, e somente se, tiveremo mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas e aij = bij para todosi, j.

Por exemplo, as matrizes

A =

1 2 43 0 5

e B =

1 2 4−1 0 5

não são iguais, pois, embora tenham o mesmo número de linhas (2) e o mesmo número decolunas (3) veja que a21 = 3, enquanto b21 = −1.


Algumas matrizes especiais

Seja A = [aij ] uma matriz m× n. Se m = n, diz-se que A é uma matriz quadrada deordem n. Por exemplo, as matrizes

3 043 1

e

4 3 10 2 65 7 −1

são quadradas de ordem 2 e 3, respectivamente.

Numa matriz quadrada A = [aij ] de ordem n, os elementos a11, a22, . . . , ann formama diagonal principal de A.

Uma matriz quadrada, na qual todos os elementos acima e abaixo da diagonal principalsão iguais a zero, chama-se matriz diagonal. Simbolicamente, A = [aij ] de ordem n é umamatriz diagonal, se aij = 0 para i = j (i, j = 1, . . . , n). Por exemplo, as matrizes:

A =

3 00 0

B =

0 00 4

C =

1 00 −1

D =

5 0 00 7 00 0 −1

são matrizes diagonais.

Agora, uma matriz é dita matriz nula, se todos os seus elementos são iguais a zero.Denotaremos a matriz nula por 0. Note que uma matriz nula de ordem n é também umamatriz diagonal.

Um outro exemplo de matriz diagonal é a matriz identidade, In, de ordem n, em quetodos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Por exemplo,

I2 =

1 00 1

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Você verá no decorrer deste estudo que essas matrizes especiais desempenham umpapel fundamental para o desenvolvimento desta disciplina.

Aula 01 Álgebra Linear I �

A álgebra das matrizesDenotaremos por Mm×n(IR) o conjunto de todas as matrizes m × n, com elementos

pertencentes ao conjunto IR dos números reais. Introduziremos nesse conjunto algumasoperações, a saber:

Adição de matrizes

Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes m×n, sua soma A+B é definidacomo sendo a matriz [aij + bij ] obtida adicionando os elementos correspon-dentes de A e B.

Observe que a soma A + B é definida somente quando A e B são do mesmo tipo, istoé, tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Por exemplo,

Se A =

3 2 10 4 65 3 7

e B =

−1 0 21 6 79 4 3

, então,

A + B =

3 + (−1) 2 + 0 1 + 20 + 1 4 + 6 6 + 75 + 9 3 + 4 7 + 3

=

2 2 31 10 1314 7 10

.

Como no conjunto IR, a adição é comutativa e associativa, segue que no conjuntoMm×n (IR) a adição de matrizes também tem essas propriedades, isto é, temos para todoA, B, C ∈ Mm×n (IR):

i) A + B = B + A (propriedade comutativa);

ii) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa).

A operação adição de matrizes tem ainda as duas seguintes propriedades:

iii) existe um elemento zero, denotado por 0, tal que, A + 0 = 0 + A = A, para todoA ∈ Mm×n (IR). Veja que esse elemento zero é a matriz nula. De fato, temos A + 0 =[aij ] + [0] = [aij + 0] = [aij ] = A = 0 + A;

iv) para cada matriz A = [aij ] ∈ Mm×n (IR), existe uma matriz inversa aditiva, denotadapor −A, tal que A + (−A) = −A + A = 0. Veja que −A = [−aij ].

Uma outra operação a ser considerada no conjunto Mm×n (IR) é a multiplicação porescalar.


Multiplicação por escalar

Aqui escalar significa um número real.

Dada uma matriz A = [aij ] e um escalar r ∈ IR, definimos o produto de r porA, indicado por rA, como sendo a matriz rA = [rAij ], isto é, a matriz rA éobtida multiplicando cada elemento da matriz A por r.

Por exemplo, se

A =

−4 21 0

e r = −2, então, (−2)A =

(−2) · (−4) (−2) · 2

(−2) · 1 (−2) · 0

=

8 −4−2 0

.

A operação multiplicação por escalar tem as propriedades descritas a seguir.

Se A e B são matrizes m× n e c, c1, c2 são escalares, então:

1) (c1 + c2)A = c1A + c2A;

2) c(A + B) = cA + cB;

3) c1(c2A) = (c1c2)A;

4) 1 · A = A, (−1) · A = −A(−1) · A, 0 · A = 0m×n, em que 0 denota o escalar zero,enquanto 0m×n é a matriz nula m× n.

Observação: define-se a subtração de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] porA−B = A + (−1) ·B = [aij − bij ].

A próxima operação a ser considerada em Mm×n (IR) é a multiplicação de matrizes.

Multiplicação de matrizes

Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m × n e B = [bij ] uma matriz do tipon× p, de modo que o número de colunas de A seja igual ao número de linhasde B. Define-se a matriz produto de A por B, indicada por AB, como sendo amatriz AB = [cij ], m× p, em que

(∗)cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.


Assim, para se obter o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna de AB, multipli-camos, preservando a ordem natural, os elementos da i-ésima linha de A pelos elementosda j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados dessas multiplicações. Por exemplo, se

A =

2 3 −10 1 04 −1 2

e B =

5 10 −12 1

, então, AB =

8 −20 −124 7

,

pois

(2)(5) + (3)(0) + (−1)(2) = 8, (0)(1) + (1)(−1) + (0)(1) = −1,

(2)(1) + (3)(−1) + (−1)(1) = −2, (4)(5) + (−1)(0) + (2)(2) = 24,

(0)(5) + (1)(0) + (0)(2) = 0, (4)(1) + (−1)(−1) + (2)(1) = 7.

Dadas as matrizes A =

2 1−1 3

e B =

3 1−1 0

,

observe que AB =

5 2−6 −1

, enquanto BA =

5 6−2 −1

.

Note que, AB = BA e, portanto, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Emgeral, tem-se AB = BA.

Em certos casos particulares, podemos permutar os fatores. Por exemplo, se

C =

−1 23 5

e D =

7 812 31

, você pode verificar que

CD = DC =

17 5481 119

.

Murdoch (1972, p. 82) faz o seguinte comentário:

Você pode muito bem perguntar por que escolhemos esta definição aparentemente tão

complicada do produto matricial (∗), em vez de, por exemplo, o processo mais óbvio de

multiplicarmos os elementos correspondentes em duas matrizes m × n, [aij ] e [bij ],

e obtermos o “produto” [aijbij ]. A resposta é que escolhemos a definição que nos

leve ao mais interessante e frutífero desenvolvimento matemático e às aplicações mais

úteis.

Usando as definições de multiplicação e de igualdade de matrizes, você pode verificarfacilmente que um sistema de equações lineares mais incógnitas x1, x2, . . . , xn:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

,

pode ser expresso na forma matricial AX = B, em que


Atividade 1

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

, X =

x1

x2

· · ·xn

e B =

b1

b2

· · ·bm

Note que a notação matricial abrevia a notação (por equações). Cabe salientar que essanotação matricial foi introduzida pelo matemático inglês Artur Cayley em 1858.

Propriedades básicas do produto matricial

A lei associativa do produto matricial

Sejam A uma matriz m× n, B uma matriz n× r e C uma matriz r × s. Então,(AB)C = A(BC).

Leis distributivas

Sejam A e B matrizes m × n, C uma matriz r × m e D uma matriz n × s.Então, C(A + B) = CA + CB, (A + B)D = AD + BD.

Mostre a lei associativa do produto, considerando uma matriz A 3 × 2, B umamatriz 2 × 2 e C uma matriz 2 × 3. Também, mostre a lei distributiva con-siderando matrizes A e B 3 × 2, C uma matriz 2 × 3 e D uma matriz 2 × 3.

Observação: note que a matriz identidade In, de ordem n, age como umaunidade multiplicativa porque In · A = A · In = A para toda matriz A, n × n.Note também que para qualquer matriz quadrada A, n × n, temosA · 0n×n = 0n×n · A = 0n×n, em que 0n×n é a matriz nula, já definida.


A transposta de uma matriz

A matriz transposta da matriz A = [aij ]m × n, indicada por At, é a matrizobtida escrevendo as linhas de A como colunas, isto é, At = [aji], n×m.

Veja que se A é do tipo m × n, então, At é do tipo n ×m. Por exemplo, a transpostada matriz

A =

1 −1 0 24 2 1 35 6 7 0

3×4

é a matriz At =

1 4 5−1 2 60 1 72 3 0

4×3

Propriedades

1) (At)t = A;

2) (A + B)t = At + Bt;

3) (cA)t = cAt, em que c é um escalar;

4) (AB)t = BtAt (a transposta do produto é o produto das transpostas naordem inversa).

Verificaremos a validade dessas propriedades trabalhando com matrizes 2× 2.

De fato, se

A =

a11 a12

a21 a22

B =

b11 b12

b21 b22

, então,

AB =

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

e, Bt =

b11 b21

b12 b22

e At =

a11 a21

a12 a22

, de modo que, por cálculo direto,

BtAt =

b11a11 + b21a12 b11a21 + b21a22

b12a11 + b22a12 b12a21 + b22a22

.

Veja que BtAt é a transposta de AB, verificando a validade de 4).

Aula 01 Álgebra Linear I10

Atividade 2

Complete a verificação da validade das propriedades 1, 2 e 3.

Diz-se que uma matriz A é simétrica, se At = A, e que A é anti-simétrica, se At = −A.

Exercício resolvido 1

Escreva a matriz A =

4 −1 32 5 13 0 6

como a soma de uma matriz simétrica e

uma matriz anti-simétrica.

SoluçãoSe você conhece a matriz A, pode obter a matriz transposta de A, isto é,

At =

4 2 3−1 5 03 1 6

.

Agora, observe que A =A + At

2+

A−At

2.

Veja que S =A + At

2=

4 12 3

12 5 1

2

3 12 6

é simétrica,

enquanto S =A−At

2=

0 −32 0

32 0 1

2

0 −12 0

é anti-simétrica.

1


A matriz inversaAqui, discutiremos o inverso multiplicativo de uma matriz quadrada de ordem n.

Seja A uma matriz n × n. Se existe uma matriz n × n A, tal que A · A =A · A = In, dizemos que A é a inversa de A, e a denotaremos por A−1.Neste caso, A é dita inversível (ou não singular). Se A não possui inversa, A échamada não-inversível (ou singular).

Por exemplo, se

A =

3 −5−1 2

e B =

2 51 3

,

então, AB =

3 · 2 + (−5) · 1 3 · 5 + (−5) · 3(−1) · 2 + 2 · 1 (−1) · 5 + 2 · 3

=

1 00 1

= I2 e BA = I2.

Conseqüentemente, A−1 = B, isto é, A é inversível.

Exercício resolvido 2Suponha que não conheçamos a inversa da matriz A do último exemplo e tentemosencontrá-la.

Solução

Seja A−1 =

x y

z w

. Devemos ter A ·A−1 = I2A, assim,

3 −5−1 2

·

x y

z w

=

1 00 1

3x− 5z 3y − 5w

−x + 2z −y + 2w

=

1 00 1

.

Usando a definição de igualdade de matrizes, obtemos

(I)

3x− 5z = 1−x + 2z = 0

e (II)

3y − 5w = 0−y + 2w = 1

.

1

Aula 01 Álgebra Linear I1�

Veja que o problema de achar a inversa de A reduziu-se a encontrar assoluções de dois sistemas com duas equações e duas variáveis.Para resolver o sistema (I), podemos obter x = 2z na 2a equação e substituiro valor de x na 1a equação.Temos 3(2z)− 5z = 1

6z − 5z = 1z = 1

Segue daí que x = 2 · 1 = 2.Lembre-se de que esse método de resolução do sistema é chamado de substi-tuição. Agora, para resolver o sistema (II), usaremos o método da adição.Para isso, multiplicamos a segunda equação de (II) por 3, e obtemos

(III)

3y − 5w = 0−3y − 6w = 3

.

Adicionando membro a membro, as equações de (II), encontramos w = 3.Substituindo esse valor de w na segunda equação de (II), obtemos finalmente

−y + 2 · 3 = 1⇒ y = 6− 1 = 5

Logo, A−1 =

2 51 3

.

Observação: nas aulas 3 (Sistemas de equações lineares) e 4 (Justificativado método de Gauss-Jordan), estudaremos detalhadamente os sistemas deequações lineares e desenvolveremos um método de resolução bastante prático,o qual facilitará, por exemplo, achar a inversa (se existir) de uma matriz n× n,para n grande.

Propriedades da inversai) (A−1)−1 = A;

ii) (AB)−1 = B−1A−1.

Para provar a propriedade i) basta ver que como A ·A−1 = In, então, A é a inversa deA−1, ou seja, A = (A−1)−1, enquanto para ii), temos

AB(B−1A−1) = A(B ·B−1)A−1 = A · In ·A−1 = A ·A−1 = In.


ResumoVocê aprendeu que para adicionar duas matrizes adicionam-se os elementoscorrespondentes dessas matrizes. Agora, para multiplicar uma matriz por umnúmero real (escalar), multiplicamos cada elemento da matriz por esse número.Em relação à multiplicação de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], o ele-mento genérico cij da matriz produto AB = [cij ] é obtido multiplicando-se,preservando a ordem, os elementos da i-ésima linha com os da j-ésima colunae adicionando-os, isto é, cij =

airbrj . Isso só é possível, se o número de

colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz BA. A matriztransposta da matriz A é obtida escrevendo-se as linhas de A como colunas, efinalmente dizemos que An×n é inversível, se existe A−1 (a inversa de A), talque A ·A−1 = A−1 ·A = In.

Auto-avaliação

Dadas as matrizes, A =

2 −1 01 2 −13 0 1

e B =

1 0 −12 −3 1−4 0 2

,

calcule

i) A + B

ii)A−B

iii) 2A + 5B

iv) A ·B

v) At e Bt

vi) A−1


Exercícios propostos1) Escreva a matriz A = [aij ]2× 3, sabendo-se que aij = 5i + j − 4.

2) Ache, se possível, os valores de x e y, tais que:

a)

−1 40 x− 2

=

y 40 7

;

b)

x y

y y

=

1 00 1

.

3) Suponha que exista uma reação de “dominância” entre 4 pontos (que podem representarpessoas, nações etc.) dada pelo diagrama

em que a seta indica a dominância do ponto i sobre o ponto j. Passe para a linguagemmatricial esse diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).

4) Se A =

1 22 −1

e B =

2 10 4

, calcule AB e BA.

5) Mostre que a equação matricial

2 −1 61 4 23 2 −1

x

y

z

=

217

é equivalente a três

equações lineares em x, y e z.

6) Se X =

3 1 2 41×4

, calcule XXt e XtX .

7) Será que A =

1 −11 −1

é inversível?

Lembrete: solicitamos a você que não verifique as respostas dos exercícios,que estão após as referências, antes de resolvê-los.

Aula 01 Álgebra Linear I 1�

ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.

GOLÇALVES, A.; SOUZA, R. M. L., Introdução à álgebra linear. São Paulo: Editora EdgarBlucher Ltda, 1977.

MURDOCH, D. C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: livros Técnicos e Científicos Editora Ltda,1972.

1) A =

2 3 47 8 9

.

2)

a) y = −1, x = 9.

b) Não é possível, pois encontramos um absurdo do tipo 0 = 1.

3) Do mesmo modo do exercício resolvido 1, defina:

aij = 1, se o ponto i domina o ponto j;

aij = 0, se o ponto i não domina o ponto j.

Obtemos A =

0 1 0 00 0 1 10 0 0 01 0 0 0

.

4) AB =

2 94 −2

e BA =

4 38 −4

.

5)

2x− y + 6z = 2x + 4y + 2z = y

3x + 2y − z = 7.

6) XXt = [30]1×1 e XtX =

9 3 6 123 1 2 46 2 4 812 −4 8 16

4×4

.

7) Não, porque obtém-se um sistema que não admite solução.

Respostas dos exercícios Propostos


Anotações

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