4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay

7/25/2019 4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay

http://slidepdf.com/reader/full/4-problemas-del-mes-de-mayo-del-2015-ariel-marcillo-pincay 1/9

4 PROBLEMAS PROPUESTOS

Por: Arie l Marci l lo Pincay

Estimado Tutor, saludos le estoy enviando la solución a los cuatro problemas

propuestos del mes de mayo del 2015, espero vuestras sugerencias en caso

de ser necesario, muchas gracias.

1. Se ha planteado un exámen de n preguntas, todas con el mismo valor

de puntuación, de las que un alumno ha respondido correctamente 15

de las 20 primeras preguntas y responde correctamente un tercio de las

preguntas restantes. Si la calificación del alumno es 5 sobre 10

¿Cuántas preguntas tenía el exámen?

SOLUCIÓN:

Sea n, el número total de preguntas.10, el puntaje total del exámen.

10/n, el valor de cada pregunta asignada.

15, el número de preguntas respondidas en forma correcta.

De tal manera que:

15 (10 ) = 150

− 2 0, las preguntas que quedan por responder y son 1/3; por lo tanto:

( − 2 03 ) ∗ (10

)

Obtuvo entonces 5 puntos.Lo que nos queda de la siguiente manera:

( − 2 03 ) ∗ (10

) + 150 = 5

1 0 ∗ ( − 2 03 ) + 150

= 5

A partir de esta ecuación despejamos el valor de n, encontrando primero

el valor del mcm=3n

Por lo tanto:

10 − 2 0 + 3 ∗ 1 5 0 = 3 ∗ 5 10−200+450=15

10+250=15

250=15−10

250=5

= 2505

= 5 0

Concluimos entonces que el exámen tenía 50 preguntas.



2. En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes y

pequeñas, y se tienen para ello 60m² de tableros de madera. Las

grandes necesitan 4m² de tablero y las pequeñas 3m². el carpintero

debe hacer como mínimo tres estanterías grandes, y el número de

pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las

grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de $60 y por cadauna de las pequeñas es de $40, ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo

para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será este beneficio?

SOLUCIÓN:

Primeramente plantearemos el sistema de inecuaciones donde se define

el problema.

Denominemos con x el número de estanterías grandes, con y el número

de estanterías pequeñas.

Entonces las inecuaciones del problema son:

4 + 3 ≤ 6 0

≥ 3

≥ 2

Por lo tanto, la función que tenemos que Maximizar es:

, =60+40

Con la ayuda de Geogebra construimos el gráfico y procedemos a

determinar sus vértices.



Los vértices de la construcción son los puntos: A=(3,16); B=(6,12);

C=(3,6).

Ahora procedemos a encontrar los valores que toma la función

en los puntos descritos anteriormente.

, =60+40 = 3,16 =820

= , = = 3,6 =420

Finalmente, decimos que el mayor beneficio es de 840 euros los mismos

que se obtienen haciendo 6 estanterías grandes y 12 estanterías

pequeñas.

3. Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética.

Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los

tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los

tres valores.

SOLUCIÓN:

La progresión aritmética se define como: ÷ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … … ∙

Donde;

1 = 2

2 = 1 +

3 = 2 + = 1 + + = 1 + 2

La progresión geométrica es entonces: ÷1:2:3:……. . : 21 = 3

2

Los términos consecutivos a, b, c, de una progresión aritmética en

dónde a<b<c, tenemos:

=

= +

= + = + + = + 2

= + 2

Aumentamos a en una unidad, lo que nos da:

+ 1 < <

Decimos entonces que los elementos consecutivos de una progresión

geométrica son:

+ 1 =

Reemplazamos el valor de b y el de c:

+ + 1 = + 2 +



Resolvemos: + = + 1 ∗ + 2

+ 2 + = + 2 + + 2

=+

Ahora aumentamos c en dos unidades:

< < + 2

Los elementos consecutivos de una progresión geométrica son: = + 2

Reemplazando equivalencias tenemos: +

= + 2 +

+ = + 2 + 2 +

Resolviendo el sistema: + = ∗ + 2 + 2

+ 2 + = + 2 + 2

=

Reemplazando la ecuación (2) en (1), el valor de d², tenemos:

= + 2

2 = + 2 2 − = 2 = Encontramos el valor de d:

= + 2 = 2 + 2

=4 =

Seguidamente encontramos los valores de a, b y c:

= 2

= 2 ∗ 4

=

= +

= 8 + 4

=

= + 2

= 8 + 2 ∗ 4

= 8 + 8 =



En progresión aritmética los números son: ∙ ∙

En progresión geométrica los números son:

Para: (a+1)

+ 1 =

128 + 1 = 16

12

129 = 16

12

Los números para (a+1), son: 9: 12: 16

Para: (c+2) = + 2

128 = 1 6 + 2

12

128 = 18

12

Los números para (c+2), son: 8: 12: 18

4. Determina el dominio, simetría, periodicidad y cortes con los ejes de la

función =−2.

SOLUCIÓN:

A partir de la función dada f(x), se le sustituye el valor Sen2x por una

identidad trigonométrica equivalente y se tiene:

x senx x sen cos22

x sen x x f 2cos)(

)1(cos2cos)( x senx x x f

A) Domin io de la función f(x):

Dom f(x)=R

B) Simet ría:



Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es unafunción par , es decir:

)()( x f x f

Por lo tanto tenemos que analizar si es una función par, para ello se

hace uso de la expresión (1):

x senx x x f cos2cos)(

x x sen x x f cos2cos)(

s Identidade senx x sen

x x

coscos



x sen x x f 2cos)(

Por lo que se concluye )()( x f x f , no es una función par

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar ,es decir:

)()( x f x f

Por lo tanto tenemos que analizar si es una función impar, para ello sehace uso de la expresión (1):


x x sen x x f cos2cos)(

s Identidade senx x sen

x x

coscos



x sen x x f 2cos)(

Por lo que se concluye )()( x f x f , no es una función impar

Haciendo el análisis concluimos que no es simétrica la función

x sen x x f 2cos)(



C) Periodic idad:Hallamos el periodo de las funciones:

x x f cos)(

x sen x f 2)(

21

2

T

2

2

T

x sen x x f 2cos)(

2T

T

Con este periodo se realizó la mitad del ciclo por ello se complementa

con la otra mitad y la periodicidad es: 2T

D) Corte con los ejes:Puntos d e corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0,resolvemos la ecuación resultante.

x sen x x f 2cos)(

Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función: Sustituimos f(x)sen2x;

0)( x f

x senx x sen cos22

x sen x 2cos0

)1(2cos x sen x

x sen x 2cos

x senx x cos*2cos

senx x x cos2

cos

2

1 senx

2

11 sen x

030 x

El valor de 30 0 convertir a rad.



rad rad

6180

..30

0

0

52359,0

6

rad

El punto de corte con el eje OX de la función es 0,52359.0

Punto d e corte con el eje OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0,calculamos el valor de f (0).

x sen x x f 2cos)(

020cos)0( sen f

01)0( f

1)0( f

El punto de corte con el eje OY de la función es 1,0

Hacemos uso de la herramienta Geogebra para obtener la gráfica de la

función dada y tenemos:

Concluimos entonces que La función: f =−2,

No posee eje de simetría, el punto A= (-1.57, 0) es un centro de simetría

pero tampoco es único.

El periodo de la función es, 2=6.2832



Corta al eje y únicamente en el punto C= (0, 1), y tiene además infinitos

cortes con el eje x, de acuerdo al gráfico.

4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay

Documents

Transcript of 4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay