4-Modelos de Otimização Fuzzy - UNICAMPgomide/courses/CT820/transp/CT820ModelosO... · PNL PL....

CT 820 Teoria de Sistemas e Otimização FuzzyIntrodução e Aplicações

4-Modelos de Otimização Fuzzy

ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp

Conteúdo

1. Introdução

2. Programação linear fuzzy

3. Programação não linear fuzzy

4. Programação dinâmica

5. Modelos possibilísticos


1-Introdução


Modelo geral de otimização fuzzy

mãx f~ (X)

sa g~(X) ≤ B

f~ : F(Xn) → F(Y)

g~ : F(Xn) → F(Ym)


� Incerteza × imprecisão

� Abordagens

• teoria de probabilidade (repetibilidade)

• teoria de possibilidade (falta de informação)

• teoria conjuntos fuzzy (gradualidade)

• …………..


Incerteza/imprecisão em modelos otimização

� Relações

• metas (goals) flexíveis

• restrições flexíveis

� Coeficientes

• função objetivo

• lado direito

• lado esquerdo


� Incerteza• medidas de possibilidade/necessidade

• medida de probabilidade

• ….

� Imprecisão• conjuntos fuzzy

• …..

Caracterização de incerteza e imprecisão


Modelo Fuzzyprogramação

matemática fuzzy

Modelo Matemáticoprogramaçãomatemática

interpretar problemaformular: transformarem um modelo matemático

Soluçãomodelo

matemáticotécnicas clássicas

otimização

Fase 1

Fase 2

Solução de modelos otimização fuzzy


“..even though this is true, of the 167 production (linear) programming systems investigated and surveyed by Fandel (1994) only 13 of these were pure deterministic linear programs.” Rommelfanger (2004)

Ferramenta mais utilizada em PO: PL

G. Fandel, PPS-Systeme: Grundlangen, Methoden, Software, MarkanalyseSpringer-Verlag, Heidelberg, Germany, 1994


2-Programação linear fuzzy

Modelo geral de programação linear fuzzy

njX

miBXA

XC

j

i

n

jjij

n

jjj

,...,10

,...,1sa

max

1

1

=≥

=≤∑

∑

=

=


� No modelo geral de PL fuzzy

Xj variáveis cujos valores são números fuzzy

Aij, Bi, Cj são números fuzzy

≤ relação de ordem (ordena números fuzzy)

� Casos importantes de PL

1– somente Bi são números fuzzy

2– tanto Aij como Bi são números fuzzy


njx

miBxa

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

,...,10

,...,1sa

max

1

1

=≥

=≤∑

∑

=

=

Caso 1: Bi ∈ F(R)

xj, cj, aij ∈ R

Interpretação: Bellman e Zadeh

� Modelagen simétrica

restrições ≡ função objetivo

� xj, cj, aij são variáveis reais

� Bi são números fuzzy



Algoritmo

1. calcular grau pertinência Ri(x) para cada x = (x1, x2, ..., xn)

2. determinar limitantes inferior zl e superior zu da função objetivo

3. determinar conjunto fuzzy G(x) dos valores da função objetivo

4. determinar a intersecção

5. construir e resolver modelo programação matemática para obter x*

mixaBRn

ijijii ,,1),()x(

1K== ∑

=

)(1IIm

iiRGD

==

))}x(),x({min(max)x(max*xxx

RGD ==


R∈

≤+

+<<−+≤

=

=

v

vpb

pbvbp

vpbbv

vB

miB

ii

iiii

ii

i

i

i

0

1

)(

,...,1

Bi(v)

vbi bi + pi

1

Forma de Bi


Cálculo dos limitantes da função objetivo

njx

mibxa

xcz

j

i

n

jjij

n

jjjl

,...,10

,...,1sa

maxarg

1

1

=≥

=≤

=

∑

∑

=

=

njx

mipbxa

xcz

j

ii

n

jjij

n

jjju

,...,10

,...,1sa

maxarg

1

1

=≥

=+≤

=

∑

∑

=

=


Função objetivo (conjunto fuzzy G)

n

l

ullu

l

u

z

zzzz

zz

G

R∈

≤

<<−−

≤

=

x

cx0

cxcx

cx1

)x(


))}x(),x({min(max)x(maxxx

RGD =

njx

mipbxap

zcxzz

j

ii

n

ijiji

llu

,...,10,

,,1

)(sa

max

1

=≥λ

=+≤+λ

−≤−−λλ

∑=

K

Modelo programação matemática

PNL

PL


Exemplo

Empresa fabrica P1 e P2 com lucro de $0.40/ unidade P1 e $0.30/unidade P2

P1 requer duas vezes mais horas de trabalho que P2. Total de horas de trabalho

por dia é de no mínimo 500 h e 600h no máximo por dia. A matéria prima é

suficiente para produzir no mínimo 400 unidades de P1 e P2, podendo chegar

a 500 unidades no máximo.

x1 = unidades de P1 por dia

x2 = unidades de P2 por dia

Objetivo: maximizar lucro


Formulação

0,

horas2

materialsa

lucro3.04.0max

21

221

121

21

≥≤+≤+

+

xx

Bxx

Bxx

xx

B1, B2 ∈ F(R)


≤

<<−≤

=

v

vv

v

vB

5000

500400100

5004001

)(1

B1 e B2

≤

<<−≤

=

v

vv

v

vB

6000

600500100

6005001

)(2


Limitantes da função objetivo

0,

5002

400sa

3.04.0max

21

21

21

21

≥≤+≤+

+=

xx

xx

xx

xxzl

0,

6002

500sa

3.04.0max

21

21

21

21

≥≤+≤+

+=

xx

xx

xx

xxzu

zl = 130

zu = 130


Função objetivo

[ ]3.04.0cx

130cx0

160cx13030

130cxcx1601

)x(

2

1 =

=

≤

<<−≤

=

x

x

G


0,,

6002100

500100

130)3.04.0(30sa

max

21

21

21

21

≥λ≤++λ≤++λ

−≤+−λλ

xx

xx

xx

xx


145

350,100,5.0*

*2

*1

*

=

===λ

z

xx


Caso 2: Aij e Bi ∈ F(R)

njx

miBxA

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

,...,10

,...,1sa

max

1

1

=≥

=≤∑

∑

=

=

xj, cj∈ R

Rs s + r

1

s – l

l r

⟩⟨= rlsA ,,

Hipótese: Aij e Bi números fuzzy triangulares


Algoritmo

1. operações soma e multiplicação: aritmética números fuzzy

2. definir relação de ordem

3. construir e resolver modelo programação matemática para obter x*

i

n

jjij BxA ≤∑

=1



R∈∀=

=≤

=yxyBxABA

BBABA

yxz,)],(),(min[sup),(MAX

),(MAXsesomenteese

),max(

Interpretação:A ≤ B

Se A e B ∈ F(R) então


vtrs

utls

ts

BA

vutBrlsA

+≤+−≤−

≤≤

⟩⟨=⟩⟨=sesomenteese

,,,,,

Se A e B são triangulares, então

Além disso, se x ≥ 0 então

⟩⟨=⟩⟨

⟩+++⟨=⟩⟨+⟩⟨

rxlxsxxrls

vrultsvutrls

,,,,

,,,,,,



njx

vtxrs

miutxls

txs

xc

j

ii

n

jjijij

ii

n

jjijij

i

n

jjij

n

jjj

,...,1,0

)()(

,...,1)(

sa

max

1

1

1

1

=≥

+≤+

=−≤−

≤

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=


Exemplo

0,

3,6,121,5.0,12,1,4

8,5,241,3,51,2,4sa

45max

21

21

21

21

≥⟩⟨≤⟩⟨+⟩⟨

⟩⟨≤⟩⟨+⟩⟨

+

xx

xx

xx

xx

0,

1526

3265

65.03

1922

122

2454sa

45max

21

21

21

21

21

21

21

21

≥≤+≤+≤+

≤+≤+≤+

+

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Interpretação(+, •, ≤ )

41.21,82.3,23.1 **2

*1 === zxx


Modelo com valores modais deAij e Bi

0,

122

2454sa

45max

21

21

21

21

≥≤+≤+

+

xx

xx

xx

xx

modelo com menor no de restrições

25.23,3,25.2 **2

*1 === zxx

DCA-FEEC-UnicampProfFernandoGomide

Este material refere-se às notas de aula do curso CT 820 Teoria de Sistemas e Otimização Fuzzy: Introdução e Aplicações da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp e do Centro Federal de Educação Tecnológica do Estado de Minas Gerais. Não substitui o livro texto, as referências recomendadas e nem as aulas expositivas. Este material não pode ser reproduzido sem autorização prévia dos autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.

Observação

4-Modelos de Otimização Fuzzy - UNICAMPgomide/courses/CT820/transp/CT820ModelosO... · PNL PL....

Documents

Transcript of 4-Modelos de Otimização Fuzzy - UNICAMPgomide/courses/CT820/transp/CT820ModelosO... · PNL PL....