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Algorítmica y Complejidad

Tema 4 – Algoritmos sobre grafos.

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Algorítmos sobre grafos

1. Conceptos, Definiciones y Representación.

2. Conectividad y recorrido.

3. Árboles de expansión.4. Caminos mínimos.

2

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3


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Conceptos, Definiciones y Representación

Algoritmos sobre grafos 4

El problema de los puentes de Königsberg (1736)

Resuelto por Eulerl

¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estasregiones, pasando por todos los puentes, recorriendo sólo una vezcada uno, y regresando al mismo punto de partida?

El origen de la teoría de grafos ...

No hay solución• Se puede comprobar utilizando “fuerza bruta”• Demostración de Euler

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Conceptos, Definiciones y RepresentaciónEjemplos

– Redes de transporte (carreteras, rutas aéreas, ...)

–

Redes de comunicación (Internet) – Redes de información (WWW) – Redes sociales (Facebook, Twitter, FourSquare, ...)

– Dependencias (asignaturas pre-requisito, diagramas de flujo, ...)

Definición formal de grafo – Par de conjuntos G=(V, E)

• V nodos y E aristas• Cada arista es un par ( u,v ) con u,v ! V• Si el par está ordenado es un grafo dirigido• Si no está ordenado es un grafo no dirigido

5 Algoritmos sobre grafos

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6

Conceptos, Definiciones y Representación• Grado del grafo (!"#$% '() )

– Número de nodos / vértices |V|

• Nodos adyacentes – Si están unidos por una arista

• Grado de un nodo (!"#$% '*)) – Número de aristas que inciden en un nodo ó número de nodos

adyacentes

– – En grafo dirigido: grado de entrada y grado de salida

• Camino entre dos nodos ( +#,- '*./) ) – Secuencia de nodos, tal que dos nodos consecutivos son

adyacentes (u " xi, x

i" x

i+1, x

i+1" x

i+2, ...., x

i+n" v)

– Es simple cuando no hay nodos repetidos en el camino – Ciclo es un camino simple pero con u = v

!"#$% ! ! !! ! !

! !! ! Handshaking Lemma

Algoritmos sobre grafos

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• Grafo conexoCada par de nodos está conectado

por un camino

• Grafo no conexoNo existe un camino que una unnodo con los demás

No existe un camino entre a y e • Bosque – Grafo sin ciclos

• Árbol libre – Bosque conexo

– Con un nodo en el papel de raíz

7



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• Siempre se cumple que:

a. b. Si G es conexo, |E| # |V|-1c. Si G es árbol, |E| = |V|-1d. Si G es bosque |E| $ |V|-1

• Describir este grafo (grid)

8

! !! ! ! ! !

!

1. ¿Dirigido o no dirigido2. ¿Conexo?3. ¿Bosque?4. Grado de los nodos


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Representación de grafos• Listas de adyacencia

9

1

5

2

4

3

• Grafos poco densos! |E|

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10

1 2 3 4 51 0 1 0 0 12 1 0 1 1 13 0 1 0 1 04 0 1 1 0 1

5 1 1 0 1 0

• Grafos densos! |E| ! (|V|*(|V|-1))/2 ! Un solo bit por arista! Espacio %(|V|2)

• Consultas sobre aristas

Representación de grafos• Matriz de adyacencia

1

5

2

4

3

Las aristas puedentener pesos asociados.

G=(V,E)


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11


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Conectividad y RecorridoDado un grafo G=(V,E) y dos nodos s y t

– Problemas : ¿Existe un camino para llegar de s a t?

¿A qué distancia están? – Concepto de distancia entre dos nodos s y t como (s, t)

• Mínimo número de aristas entre s y t .

– Breadth-First Search (BFS)• Recorrido en amplitud. Dado un nodo s , primero visitatodos los

nodos a distancia 1 (L1) de s , luego a distancia 2 (L2), y asísucesivamente.

• Li(s ) Conjunto de nodos a distancia i de s

– Depth-First Search (DFS)• Recorrido en profundidad. Dado un nodo s , visita el primer nodoconectado a s y después el primer nodo conectado al últimovisitado


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Conectividad y Recorrido


Resultado

0

2 1 5

3 4

L1

L2

12

3

4

5

00

5

3

3

21

4

2

0

3 4

0 2 1 5

2

Lista de Adyacencia

1

2

345

0

Breadth-First Search (BFS)Desde el nodo 0

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Algoritmo BFSgraph : Graph_Type (Max_Vertices => N); -- Un grafo deN nodos

procedure BFS (g: in out Graph_Type; s: Vertex_Type) isQ : FIFO; -- Cola. Inicialmente vaciav : Vertex_Type;w : Vertex_Type;

beginPush (Q, s);Mark_Vertex (g, s, TRUE); -- Visitado a TRUE

while not Is_Empty (Q) loopPop (Q, v);for i in Successors (g, v)'Range loop -- Nodos adyacentes del nodo v

w := Successors (g, v) (i); -- i-esimo nodo adyacente de vif not Marked (g, w) then -- ¿Visitado?

Put (v); Put (w); new_line;Mark_Vertex (g, w, TRUE); -- Visitado a TRUE

Push (Q, w);end if;end loop;

end loop;end BFS;

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Conectividad y RecorridoComplejidad de BFS

– Con listas de adyacencia

– Un nodo sólo puede aparecer una vez en la cola (Q)


while not Is_Empty (Q) loop

Pop (Q, v);

for i in Successors (g, v)'Range loopw := Successors (g, v) (i);if not Marked (g, w) then

Put (v); Put (w); new_line;Mark_Vertex (g, w, TRUE);Push (Q, w);

end if;

end loop;

end loop;

O(V+E)O(1)

2*E Veces

O(1)O(E)

V veces

O(V)

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Conectividad y RecorridoComplejidad de BFS

– Con matriz de adyacencia en un lugar de lista de

adyacencia


while not Is_Empty (Q) loopPop (Q, v);for j in Matriz’Range(1) loop

if Matriz (v, j) /= 0 thenif not Marked (g, j) then.......

end if;end if;

end loop;end loop;

V veces

V vecesO(V2)

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Depth-First Search(DFS)

Resultado

0

2

45

1 3

12

3

4

5

00

5

3

3

21

4

2

0

3

0 2 1 5

2

Lista de Adyacencia

Desde el nodo 0

1

2

3

0

45

1

2

3

45

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Algoritmo DFS – versión recursivagraph : Graph_Type (Max_Nodos => N); -- Grafo deN nodos

procedure DFS (g: in out Graph_Type; s: Vertex_Type) isw: Vertex_Type;

beginMark_Vertex (g, s, TRUE); -- Poner nodo s como Visitado

for i in Successors (g, s)'Range loop -- Para todos los vecinos de s w := Successors (g, s) (i); -- i-esimo vecinoif not Marked (g, w) then -- ¿Visitado vecino des?

DFS (g, w);end if;

end loop;

end DFS;

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Complejidad algoritmo DFS – versión recursiva

procedure DFS (g: in out Graph_Type; s: Natural) isw: Vertex_Type;

beginMark_Vertex (g, s, true);

for i in Successors (g, s)'Range loop

w := Successors (g, s) (i);

if not Marked (g, w) thenparent (w) := s;DFS (g, w);

end if;

end loop;

end DFS;

O(V)V llamadas recursivas

2*E veces

O(1)

O(1)

O(V + E)O(E)

Complejidad

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Algoritmo DFS – Versión No Recursiva procedure DFS (g: in out Graph_Type; s:

Vertex_Type) isp: STACK; -- Pilau: Vertex_Type;

beginPush (p, s);

while not Is_Empty (p) loopPop (p, u);if not Marked (g, u) then

Mark_Vertex (g, u, true);Put ("Visitado :"); Put (u); New_Line;for i in Successors (g, u)'Range loop

Push (p, Successors (g, u)(i));end loop;

end if;end loop;

end DFS;

O(E)

O(V)

O(V+E)O(2*E)

Complejidad

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Conectividad y RecorridoGrafos Dirigidos

– Con BFS y DFS comprobamos la existencia de un camino entredos nodos s y t

– Aunque exista el camino, puede que no exista entre t y s – Un grafo está fuertemente conectado si:

0 ( 1. ,! 2. existe un camino entre s y t y entre t y s

21

• Algoritmo:1. BFS (G, s ) ó DFS (G, s )2. Calcular Grev (Invertiendo el sentido de las artistas) 3. BFS (Grev , s ) ó DFS (Grev , s )4. Si BFS ó DFS fallan y no alcanzan todos los nodos, el grafo NO está fuertemente conectado

A B

DCFuertemente conectado

A B

DC E

NO fuertemente conectado


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Grafos Dirigidos – Sin ciclos es un DAG (Directed Acyclic Graph ) – Los DAG aparecen con bastante frecuencia

• Relaciones de precedencia o dependencia – Si se puede establecer un orden entre los nodos, de tal forma que

(u, v ) ! E y u < v (orden) , entonces G tiene orden topológico. – Si G es un DAG, entonces tiene orden topológico

22

ALG

MD

FP

ED

SD

SOPOOC

Posible precedencia de lasasignaturas de Grado

ALG SDFPED MD SOPOOC

Orden topológico de lasasignaturas


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Conectividad y RecorridoAlgoritmo de ordenación topológica

3 4 Lista con la ordenación (resultado) – Complejidad5 '6 7)

23

549:;5;?@5A5BC(>=

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24

procedure Ordenacion_Topologica (g: in out Graph_Type) isn: Vertex_Type;

begin

n := Nodo_Candidato (g); --- Nodo con Grado de Entrada 0

if n /= NO_HAY_NODO then --- Cuando exista el nodo

Mark_Vertex (graph, n, true); --- Marcar nodo como seleccionadoPut (n); new_line;for j in reverse Successors (g, n)'Range loop

Remove_Edge (g, n, Successors (g, n)(j)); --- Eliminar arcos de salidaend loop;

Ordenacion_Topologica (g); --- Llamada recursivaend if;end Ordenacion_Topologica;


Algoritmo de Ordenación Topológica 1/2

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25

function Nodo_Candidato (g: Graph_Type) return Integer isw: Vertex_Type;

beginfor i in Vertices_List (g)'Range loop --- Recorrer todos los nodos

w := Vertices_List (g) (i); --- w almacena el i-esimo nodo

if In_Degree (g, w) = 0 and not Marked (g, w) then --- Seleccionar el nodoreturn w; --- con grado de entrada 0

end if; --- y sin marcar

end loop;

return NO_HAY_NODO; --- No hay nodo candidato

end Nodo_Candidato;


2/2Algoritmo de Ordenación Topológica

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procedure Ordenacion_Topologica (g: in out Graph_Type) isn: Vertex_Type;begin

n := Nodo_Candidato (g);if n /= NO_HAY_NODO then

Mark_Vertex (graph, n, true);Put (n); new_line;for j in reverse Successors (g, n)'Range loop

Remove_Edge (g, n, Successors (g, n)(j));end loop;Ordenacion_Topologica (g); --- Llamada recursiva

end if;end Ordenacion_Topologica;


26

function Nodo_Candidato (g: Graph_Type) return Integer isw: Vertex_Type;

beginfor i in Vertices_List (g)'Range loop

w := Vertices_List (g) (i);if In_Degree (g, w) = 0 and not Marked (g, w) thenreturn w;

end if;end loop;return NO_HAY_NODO;

end Nodo_Candidato;


O(V2)V*O(V)

O(E)O(E)O(V2)

O(V)

O(1) O(V)

Complejidad

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27


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rboles de Expansión¿Cómo conectar todos los nodos con el mínimo coste?

28

B C D

A I E

H G F

8 74

8

117

2

4 14

9

10

2

6

1

w (T ) = w (u , v ), T !

E

(u ,v )" T #w : E $%

Coste 37

B C D

A I E

H G F

8 7

4 2

4

9

21

Aplicaciones• Logística• Conexionado

" Ciudades," Componentes eléctricos," Personas, etc.

• Enrutamiento en redes

Algoritmos de construcción (Voraces)• Genérico• Kruskal• Prim

Se puede sustituir (B,C) por (A,H)con igual coste


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rboles de ExpansiónPropiedades de los arboles de expansión:

– Tienen |V|-1 arcos – No tienen ciclos – Pueden no ser únicos

29

– Añade un arco cada vez al árbol de expansión (A) – Finaliza cuando todos los nodos están conectados – El problema es comprobar que no se añaden ciclos


VW@?(:;:4>=5&'(.&X)D&&FF&VK6KY*Y&W+#66K6 &@ OO8 < * N $ &'()!(*' +, -./'0 1!, 2'.3-( ,4 567X-KZO < 6% L%"YO58(83!3 69-((8(: 7.,, $%&8

:6E%6,"#" *6 #"E%, ! :. ( L! :. F X'O)$ X'L)[[ < + GOH 1O# #E\EZKE%< * < + GOH: * : ] GOH

&&$%6O8& O,* 6&<

Algoritmo Genérico

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rboles de Expansión

• Descripción

– Algoritmo voraz, en cada iteración añade un arco de peso mínimo – Se parte de un bosque que inicialmente contiene un árbol por cada

vértice – Los arcos están ordenados de forma creciente por su peso

– Mientras existan arcos para añadir y el bosque inicial no sea un árbol elalgoritmo continua – Cuando añadir un arco provoca un bucle, se desecha y se continua con

el siguiente.

30

Algoritmo de Kruskal


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• Ejemplo (1/2)

31

Algoritmo de Kruskal

5

2

6

7

3

4

1

14 5

2

6

3

3

19

15

2

6

7

3

4

1

14 5

2

6

3

3

19

15

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1


¡CICLO! Los nodos2 y 5 pertenecen al

mismo árbol

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32

• Ejemplo (2/2)Algoritmo de Kruskal

6

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2 3

3

19

1

1

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

Coste 12

1

• Implementación – Mediante conjuntos para representar los diferentes arboles – Estructura de datos para manejar conjuntos disjuntos ( ^6K%6]_K6$) – Operaciones sobre conjuntos:

0 V#`O]WO, '*)0 ^6K%6 '*. /)0 _K6$ '*)


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rboles de ExpansiónEstructura de datos ^6K%6]_K6$

3 _K6$ '*) devuelve el conjunto al que pertence el nodo u – Para comprobar si un arco (u,v) genera un ciclo:

• if _K6$ '*) a _K6$ '/)then ...... – Para combinar dos arboles mediante el arco (u,v) :

0 ^6K%6 '*. /)

33

a bcabcola

S1

c dcabcola

S2

e

Arcos Conjunto(a,b) {a, b}(c,d) (d,e) {c, d, e}

B A

DC E


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Estructura de datos ^6K%6]_K6$3 ^6K%6 'b. E)

34

a bcab

cola

S1

c d e

Arcos Conjunto(a,b) {a, b}

(c,d) (d,e) {c, d, e}(a,b) (b,c) (c,d) (d,e) {a, b, c, d, e }

B A

D

C

E

Dos arboles

Un único árbol


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procedure kruskal isg, mst : Graph_Type (Max_Vertices);

Q : Queue_Type (Max_Edges); -- Cola ordenada de forma asc. por pesouf : UnionFind_Type;u, v : Vertex_Type;e : Edge_Type;

beginLoad_Graph (g, …..);

Clear (mst);-- Añadir en 'mst' los verticesfor i in Vertices_List (g)'Range loop

v := Vertices_List (g)(i); Add_Vertex (mst, v); -- Añadir los nodos al grafo ‘mst’Make_Set (uf, v); -- Inicializar estructura Union Find

end loop;Init_Queue (Q, g); -- Inicializar cola con los arcos (peso)

Algoritmo de Kruskal (1/2)

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36/60


Algoritmos sobre Grafos 36

while not Empty (Q) loop

Dequeue (Q, e); -- Sacamos un arco con el menor peso

if Find (uf, e.From ()) /= Find (uf, e.To ()) then Add_Edge (mst, e, Undirected => True);Union (uf, e.From (), e.To ());

end if;end loop;

Print_Graph (mst);

end kruskal;

Algoritmo de Kruskal (2/2)

¿Se puede mejorar?

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Algoritmos sobre Grafos 37


Algoritmo de Kruskal - Complejidadbegin -- kruskal

for i in Vertices_List (g)'Range loopv := Vertices_List (g)(i);

Add_Vertex (mst, v);Make_Set (uf, v);

end loop;

Init_Queue (Q, g);

while not Empty (Q) loop

Dequeue (Q, e);if Find (uf, e.From()) /= Find (uf, e.To()) then

..............Union (uf, e.From(), e.To());

end if;end loop;end kruskal -

O(V)

O(E lg E)ordenar |E| " |V|2

O(E lg V)Heap Sort

O(E lg V)

Al ser un grafo conexo|E| # |V| - 1

para todos los arcos O(E)

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38

• Descripción – Variante del algoritmo genérico – Algoritmo voraz, en cada iteración añade un nodo – Mantiene un único árbol (en cambio, Kruskal un bosque) – Mientras no sea Spanning Tree

• Escoge el arco de peso mínimo '*.&/) • Añade el vértice u o v al árbol, dependiendo de si forma o no parte del

árbol en construcción.

Algoritmo de Prim


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• Ejemplo (raíz el vértice 6) (1/3)Algoritmo de Prim

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

saco 6-7visito 7

Cola:6-2 47-1 67-5 9

Los nodos 1 y 5 no hansido visitados todavía

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

saco 6-2visito 2

Cola:2-3 1

2-5 37-1 67-5 9

Los nodos 3 y 5 no hansido visitados

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

1

visito 6

Cola:6-7 26-2 4

Los nodos 2 y 7 no hansido visitados todavía

arco peso

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• Ejemplo (2/3)Algoritmo de Prim

5

2

6

7

3

4

1

4 5

26

3

3

19

1

1

saco 5-1visito 1

Cola:2-5 31-4 3 3-4 5

7-1 67-5 9

5

2

6

7

3

4

1

4 5

26

3

3

19

1

1

saco 2-3visito 3

Cola:3-5 12-5 33-4 5

7-1 67-5 9

El nodo 2 ya ha sidovisitado

5

2

6

7

3

4

1

4 5

26

3

3

19

1

1

saco 3-5visito 5

Cola:5-1 12-5 33-4 5

7-1 67-5 9

Los nodos 2, 3 y 7ya han sido visitados

Los nodos 5 y 7 yahan sido visitados

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• Ejemplo (3/3)

Algoritmo de Prim

5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

saco 7-1saco 7-5

Cola:

saco 2-5

Cola:1-4 33-4 57-1 67-5 9

5

2

6

7

3

4

1

4 5

26

3

3

19

1

1


5

2

6

7

3

4

1

4 5

2

6

3

3

19

1

saco 1-4visito 4

Cola:7-1 67-5 9


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Algoritmo de Prim – El tiempo de ejecución del algoritmo depende de la

búsqueda del arco de peso mínimo – Para cada vértice se añaden las informaciones:

• key Para mantener ordenados los nodos• parent Nodo padre en el árbol de expansión

type Vertex_Type is record………key : INTEGER;parent: Vertex_Id;

end record;

– Q mantiene ordenados los nodos de acuerdo a key


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procedure prim isg : Graph_Type (Max_Vertices);v, u : Vertex_Type;Q : Queue_Type; --- Cola ordenada

begin -- primLoad_Graph (g, …..);

-- Inicializar los campos key y parentfor i in Vertices_List (g)'Range loop

v := Vertices_List (g)(i);Set_key (g, v, INFINITO);Set_Parent (g, v, NO_PARENT);Enqueue (Q, v); --- Encola el vértice

end loop;

v := Vertices_List (g)(1); -- raíz

Set_Key (g, v, 0);

Algoritmo de Prim (1/2)

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while not Empty (Q) loopDequeue (Q, u);

for i in Successors (g, u)'Range loop

v := Successors (g, u)(i);

if In_Queue (Q, v) and Weight_Of (g, u, v) < Get_Key (g, v) thenSet_Parent (g, v, u);Set_Key (g, v, Weight_Of (g, u, v)); --- Puede modificar el orden de

--- los vértices en Qend if;

end loop;

end loop;

end prim;

Algoritmo de Prim (2/2)

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45/60

rboles de ExpansiónComplejidad del Algoritmo de Prim • Las operaciones sobre la estructura Cola ( Enqueue ,

Dequeue, y In_Queue ) tienen un coste O (log V)

-- Inicializarfor i in Vertices_List (g)'Range loop

………..Enqueue (q, v);

end loop;while not Empty (q) loop

Dequeue (q, u);for i in Successors (g, u)'Range loop

v := Successors (g,u)(i);if In_Queue (q, v) and .........

............end if;

end loop;end loop;


O(V log V)

O(V log V)

O(E log V)

O(E log V)

Al ser un grafo conexo|E| # |V| - 1

l í b f

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46


C i í i

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Caminos mínimosEl problema: ¿Cuál es la forma más rápida de ir .... ?

– Camino mínimo

47

También

¿Cuál es la más barata?

¿Cuál es la de menordistancia recorrida?

A B1

C

FE

D

51

22

3

4

1

2 caminos mínimos


C i í i

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Caminos mínimos

Variantes del problema

• BFS permite obtener los caminos mínimos engrafos no ponderados

• Caminos mínimos a un destino desde el resto denodos

• Caminos mínimos para todos los pares de nodos

– Una posible solución: calcular el camino mínimo paracada nodo


C i í i

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Caminos mínimos

Definiciones• Se parte de un grafo ponderado

3 ;?@Ac BC @ ! D

0 X'+) es el peso del camino + a '/ d. /P. III /̀)

0 ' '*. /) es el peso del camino mínimo entre * y /

49

w( p) = w(vi! 1, vi )i = 1

k

"

! (u, v) =min { w( p) : u P ! " ! v}

#

$%&

'&

WK OeK1,O *6 E#YK6% O6,"O * c /

;% -#c E#YK6%


C i í i

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Caminos mínimosTécnica de la relajación de arcos• Asignar peso y predecesor a cada vértice/nodo

–

Peso al origen (v.key), inicialmente a infinito – Predecesor ( v.parent ), nodo previo en el camino

• Técnica de “Relajamiento ”

50

Ad=5

Bd=9

2

Ad=5 Bd=72

RELAXKL 'fI`Oc g

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Caminos mínimos


Algoritmo de Bellman-Ford

– Obtiene los caminos mínimos desde un vértice al resto – Admite arcos con peso negativo – Para cada vértice se añade la información:

• key Distancia de la fuente a cada vértice

– Relaja todos los arcos del grafo sin un ordenpreestablecido

• Lo realiza |V|-1 veces para garantizar el cálculo correcto de lakey de cada vértice

– Antes de finalizar debe comprobar que no existe unbucle negativo dentro de grafo.

C i í i

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Caminos mínimosAlgoritmo de Bellman-Ford

52

AD=!

SD=0

3

CD=!

BD=!

DD=!

-1

21

2-1 4

AD=3

SD=0

3

CD=2

BD=2

DD=6

-1

21

2-1 4

AD=3

SD=0

3

CD=2

BD=2

DD=3

-1

21

2-1 4

“Relaja (C,D)”$ (S, A) = 3 $ (S,C) = 2$ (S, B) = 2 $ (S,D) = 3

AD=3

SD=0

3

CD=2

BD=!

DD=!

-1

21

2-1 4

relax

relax


Fuente

C i í i

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Caminos mínimos

Algoritmo de Bellman-Ford (Con arcos de peso Negativo) – Problema: No encontrar el camino mínimo en presencia de ciclos

53

AD=3

-4 BD=-1

C

d=5

6D

d=11-3

Ed=-!

3F

d=-! -6

S

D=0

G

d=-!

3

5

2 7

8

4

$ (S,A) = w(S,A) = 3$ (S,B) = -1

Para (S,C) hay infinitos caminos

(s,c), (s,c,d,c) .....pero sólo uno de peso mínimo$ (S,C) = w(S,C) = 5

Para (S,E) hay infinitos caminos(s,e), (s,e,f,e), (s,e,f,e,f,e) ....NO existe un camino mínimo$ (S,E) = -! Ídem para (S,F) y (S,G)Cuantas más vueltas menor peso



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function bellmanford isg : Graph_Type (Max_Vertices);e: : Edge_Type;

beginLoad_Graph (g, …..);Init_Source (g, Vertices_List (g)(1));

for n in 1..Max_Nodos – 1 loopfor i in Edges_List (g)’Range loop

e := Edges_List (g)(i);Relax (g, e.From (), e.To ());

end loop;end loop;

for i in Edges_List (g)’Range loope := Edges_List (g)(i);if Get_Key (g, e.To() ) > (Get_Key (g, e.From() + Weight_Of (e)) then

return FALSE;end if;end loop;return TRUE;

end bellmanford;

Algoritmo de Bellman-Ford (1/2)

V vecesE veces

E veces

O(VE)

O(E)

O(VE)

Complejidad


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procedure Init_Source (g: in out Graph_Type; source: in Vertex_Type) is

g : Graph_Type (Max_Vertices);v: : Vertex_Type;

beginfor i in Vertices_List (g)’Range loop

v := Vertices_List (g)(i);Set_Key (g, v, INFINITO);Set_Parent (g, v, NO_PARENT);

end loop;Set_Key (g, source, 0);end Init_Source;

procedure Relax (g: in out Graph_Type; from, to: in Vertex_Type) isbegin

if Get_Key (g, to) > (Get_Key (g, from) + Weight_Of (g, from, to)) thenSet_Key (g, to, Get_Key (g, from) + Weight_Of (g, from, to));Set_Parent (g, to, from);

end if;end Relax;

Algoritmo de Bellman-Ford (2/2)

Caminos mínimos

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Caminos mínimosAlgoritmo de Dijkstra

– Grafos dirigidos con pesos no negativos

– Explorar todos los caminos más cortos desde la fuente – Estrategia voraz – Para cada nodo se añaden las informaciones:

• key Distancia de la fuente a cada vértice

• parent Vértice previo en el camino

– Q Cola “Min” ordenada por Vertex_Type.Key – Más rápido que el algoritmo de Bellman-Ford


Caminos mínimos

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Caminos mínimosEjemplo:

57

Nodos con camino mínimo

¿Existecamino

alternativo?

Sd=0

Ad=!

Bd=!

Cd=!

Dd=! 2 1

2

1

1 4

3

(1)

Sd=0

Ad=3

Bd=!

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(3)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(5)

Sd=0

Ad=3

Bd=!

Cd=2

Dd=! 2 1

2

1

1 4

3

(2)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(4)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(6)


Caminos mínimos

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Caminos mínimosEjemplo: (Alternativa)

58

Nodos con camino mínimo

Sd=0

Ad=!

Bd=!

Cd=!

Dd=! 2 1

2

1

1 4

3

(1)

Sd=0

Ad=3

Bd=!

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(3)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(5)

Sd=0

Ad=3

Bd=!

Cd=2

Dd=! 2 1

2

1

1 4

3

(2)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(4)

Sd=0

Ad=3

Bd=4

Cd=2

Dd=32 1

2

1

1 4

3

(6)



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procedure dijkstra isg : Graph_Type (Max_Vertices);

Q : Queue_Type (Max_Vertices);u,v : Vertex_Type;

beginLoad_Graph (g, …..);Init_Source (g, Vertices_List (g)(1));Init_Queue (Q, g);

while not Empty (Q) loopDequeue (Q, u);Mark_Vertex (g, u, TRUE); --- Alcanzado el vértice ufor i in Successors(g, u)’Range loop

v := Successors (g, u) (i);Relax (g, u, v); --- Puede modificar el orden de los vértices en Q

end loop;end loop;

end dijkstra;

Algoritmo de Dijkstra


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60/60

Alg it b g f 60

rboles de ExpansiónAlgoritmo de Dijsktra – Complejidad

• Utilizando la cola Min con los vértices ordenados porKey• Coste de la operación Dequeue: O (log V)• Coste de modificar una Key (Relax) en la cola:O (log V)

begin -- dijkstraInit_Queue (Q, g);

while not Empty (q) loopDequeue (Q, u);Mark_Vertex (g, u, TRUE);for i in Successors(g, u)’Range loop

v := Successors (g, u) (i);Relax (g, u, v);

end loop;end loop;

end dijkstra;

O(V)

O (log V)

O(log V)

2*E veces

V veces O (V log V)

O (E log V)

O ((V+E) log V)

O (E log V)

Si el grafo esconexo

Calcular la complejidad si se utiliza un array en lugar de una Cola Min (Q)

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