4. Calor Transiente

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Estudo da conduo de calor transiente atravsdo mtodo das diferenas finitas explcito

Letcia Jenisch Rodrigues1Volnei Borges2

Resumo

Este trabalho objetiva apresentar uma metodologia simples que envolve conceitosbsicos das disciplinas de mtodos numricos e transferncia de calor, podendo serutilizado como material de apoio no ensino da graduao. O mtodo das diferen-as finitas explcito utilizado na resoluo de um problema sujeito s condiesde contorno de segunda e de terceira espcies em regime transiente. Por se tratarde um mtodo numrico simples, envolve a participao do estudante durante

todas as etapas de elaborao da soluo. Como exemplo de aplicao, gera-se ocampo de temperaturas para diferentes materiais, na situao de equilbrio. Almdisso, utiliza-se uma expresso responsvel pelo incremento no passo temporal,minimizando o nmero de iteraes necessrias para a convergncia. Os resultadosobtidos encontram-se em boa concordncia com os resultados gerados por um

softwarecomputacional amplamente utilizado no ensino de transferncia de calor.

Palavras-chave: Equao de difuso do calor. Mtodo das diferenas finitas expl-cito. Informtica no ensino de transferncia de calor.

Abstract

This paper aims to present a simple methodology that involves basic concepts of thenumerical methods and heat transfer subjects, which can be used as supplementary

school material on undergraduate teaching education. The explicit finite differencemethod is used to solve a problem subject to boundary conditions of second andthird species in the transient regime. Becauseit is a simple numerical method, it in-volves the students participation during all stages of the solution development. Asan application example case,it generates the temperature field for different materials,in equilibrium. In addition, it is used an expression responsible for the increase in thetime step to minimize the required number of iterations for convergence. The obtai-ned results are in good agreement with the results generated by computer softwarewidely used in the teaching of heat transfer.

Key-words:Heat diffusion equation. Explicit finite differences method. Computing inteaching heat transfer.

1 Doutora em Engenharia Mecnica pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil e pesquisadora dePs-Doutorado (bolsa CAPES/PNPD) no Grupo de Estudos Trmicos e Energticos (GESTE) do Departamento de Engenharia Mecnica daUFRGS. E-mail: [email protected] em Engenharia Mecnica pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil e professor do Departa-mento de Engenharia Mecnica da UFRGS. E-mail: [email protected]

Artigo recebido em 18/10/2011 e aceito em 23/04/2012.


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Revista Liberato,Novo Hamburgo, v. 13, n. 19, p. 01-XX, jan./jun. 20122

Autor

1 Introduo

O fenmeno da conduo transiente ocorreem numerosas aplicaes de engenharia, podendoser analisado, utilizando-se diferentes mtodos. Anatureza do procedimento est intimamente rela-cionada s hipteses feitas para o processo. Se, porexemplo, gradientes de temperatura no interior doslido podem ser desprezados, o mtodo da capa-citncia global pode ser usado para determinar avariao da temperatura com o tempo.

Problemas transientes, envolvendo geo-metrias e condies de contorno simples, costu-mam ter soluo analtica conhecida disponvelna forma de grficos ou de equaes, principal-mente os casos unidimensionais. Algumas dessas

solues ainda so possveis para determinadasgeometrias bidimensionais e tridimensionaissimples. Casos clssicos so facilmente encontra-dos na literatura especializada, por exemplo, emIncropera et al., (2008).

Contudo, em grande parte dos casos, a geo-metria e/ou as condies de contorno inviabilizama possibilidade de aplicao de tcnicas analticasde resoluo. Torna-se necessrio, ento, a utiliza-o de mtodos numricos para prever a depen-dncia com o tempo de temperaturas no interiorde slidos, assim como das taxas de transferncia

de calor em seus contornos.O presente trabalho tem como objetivo ob-ter o campo de temperaturas na situao de equi-lbrio para um cilindro sujeito s condies de con-torno convectiva (em parte da superfcie externa ecavidade interna) e de fluxo constante (em parte dasuperfcie externa). A soluo numrica da equa-o de difuso do calor, em regime transiente, emduas dimenses, em coordenadas cilndricas, re-solvida utilizando-se o mtodo das diferenas fini-tas explcito. Essa metodologia implementada emum programa desenvolvido em linguagem Fortran.

Resolve-se, ento, um problema tpicode engenharia, utilizando um mtodo numricosimples amplamente conhecido atravs de umalinguagem de programao acessvel. Ao invsda utilizao de umsoftwarecomercial, busca-seconstruir a soluo do problema desde sua formu-lao matemtica, construo da malha, aplicaodas condies inicial e de contorno at a soluodas equaes algbricas associadas. Finalizando,utiliza-se uma relao que atualiza o passo tempo-ral, diminuindo o nmero de iteraes necessriaspara a convergncia, consequentemente, dimi-nuindo o tempo computacional.

2 Conduo Transiente

Sob condies transientes, com proprieda-des constantes e na ausncia de fonte interna, aequao do calor bidimensional em coordenadascilndricas pode ser escrita como:

na qual T a temperatura, t a varivel temporal, r a varivel espacial, a varivel angular, e adifusividade trmica, que definida por

(2)

na qual a massa especfica, cp o calor espe-

cfico presso constante, e k a condutividadetrmica (INCROPERA et al., 2008). Para se obter aforma de diferenas finitas da equao (1), usam--se as aproximaes por diferena central para asderivadas radial e angular, lado direito da igualda-de, e a aproximao por diferena adiantada paraa derivada em relao ao tempo, lado esquerdoda igualdade.

2.1 Mtodo das diferenas finitas explcito: discre-tizao da equao do calor

As aproximaes de diferenas finitas po-dem ser obtidas de vrias formas, sendo as maiscomuns a expanso em srie de Taylor e a inter-polao polinomial (FORTUNA, 2000). Neste tra-balho, utiliza-se a primeira opo. A equao dediferenas finitas adequada para os ns interioresde um sistema bidimensional em coordenadas ci-lndricas, figura 1, pode ser deduzida diretamenteda equao (1). Assim, o valor do primeiro termo,

entre parnteses, direita da igualdade pode seraproximado por:

(3)

A derivada segunda, no caso da varivel ra-dial, pode ser aproximada por

(4)

2

2

22

2 111

+

+

=

T

rr

T

r

T

rt

T(1)

pc

k

( )rrT nmnm

nm

+

2

,1,1

,

( )2,1,,1

,

2

2 2

r

TTT

r

T nmnmnm

nm

+

+


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e no caso da varivel azimutal, pode ser aproxi-mada por

(5)

Alm de ser discretizado no espao, o pro-blema tambm discretizado no tempo. A apro-ximao em diferena finita para a derivada emrelao ao tempo dada por

(6)

na qual o ndice sobrescritop usado para indicara dependncia temporal da temperatura, associa-da aos instantes de tempo novo (p+1) e anterior(p). Assim, os clculos so efetuados em instantesde tempo sucessivos, separados por um intervalode tempo, ou passo,t.

Reescrevendo-se a equao (1) usando as

equaes (3), (4), (5), determinadas em p, e (6)tem-se a forma explcita da equao de diferenasfinitas para o n interno (m, n), dada por

Figura 1 Esquema de numerao dos nsFonte: Os autores, (2012).

( )21,,1,

,

2

2 2

+

+ nmnmnm

nm

TTTT

t

TT

t

T p

nm

p

nm

nm

+

+

,

1

,

,

( ) ( ) ( )

++

++

+=

++++

2

1,,1,

22

,1,,1,1,1

,

1

,

212

2

1

nmp

nmp

nmp

m

nmp

nmp

nmp

nmp

nmp

m

p

nm

p

nm

TTT

rr

TTT

r

TT

rtTT (7)

A equao (7) dita explicita porque as tem-peraturas nodais desconhecidas para o novo ins-tante de tempo so determinadas exclusivamentepor temperaturas nodais conhecidas no instante de

tempo anterior.Porm, em alguns casos, desejvel desen-volver as equaes de diferenas finitas atravs domtodo alternativo, denominado de mtodo dobalano de energia. Nesse mtodo, a equaopara um ponto nodal obtida a partir da aplica-o da conservao de energia no volume de con-trole referente regio desse n. Uma vez que adireo real do fluxo trmico frequentementedesconhecida, conveniente formular o balanode energia supondo que todos os fluxos trmicosesto dirigidos para dentro do ponto nodal. Embo-ra tal condio seja impossvel, se as equaes de

taxa so representadas de forma consistente comessa suposio, obtm-se a equao de diferenasfinitas correta (INCROPERA et al., 2008).

Levando-se em considerao mudanas naenergia trmica acumulada, uma forma geral daequao do balano de energia pode ser represen-tada por

(8)

na qual entE a taxa de transferncia de energiapara dentro do volume de controle, gE a taxa

acugent EEE =+

de gerao de energia, e acuE a taxa de aumentoda energia armazenada no interior do volume decontrole. As equaes em diferenas finitas associa-das s condies de contorno, so obtidas a partirdo mtodo descrito acima, efetuando-se o balanode energia nos volumes de controle das fronteiras.Para determinar com maior preciso as condiestrmicas prximas superfcie, atribui-se uma es-pessura equivalente metade da espessura das se-es seguintes, conforme indicado na figura 2.

No caso da transferncia de calor por con-veco de um fluido adjacente, figura 2(a), e gera-o nula, explicitando-se a temperatura na super-fcie interna do tubo, ns (1, n), em t + t, tem-se,da equao (8),

na qual hleo

o coeficiente de transferncia de ca-lor por conveco do leo e T

leo a temperatura do

leo. A mesma condio de contorno imposta paradois teros da superfcie externa, ns (mm, n), figu-ra 2(b). Assim, a temperatura em t + t dada por

p

n

p

n

p

n

p

nleo

p

leop

n TTTr

TTc

hrtT ,1,1,2,1

1

,1 )()(2 +

+

=+

(8)

(9)

p

nmm

p

nmm

p

nmm

p

nmm

p

p

nmm TTTr

TTc

h

r

tT ,,,1,inf

inf1

, )()(2

+

+

=

+


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na qual hinf o coeficiente de transferncia de calor

por conveco do ar e Tinf a temperatura do ar.

ficado paratdeve ser mantido abaixo de certolimite que depende de parmetros do sistema. Viade regra, esse limite aumenta significativamente otempo computacional e o nmero de iteraes.Sabe-se, tambm que, medida que se avana notempo, a diferena relativa entre o valor anteriore o valor atual de uma varivel tende a diminuir.Essa diferena cada vez menor com o aumentodo tempo. Desta forma, respeitando-se o critriode estabilidade, possvel aceleraro processo declculo, aumentando-se ota cada iterao.

Com o objetivo de garantir o nmero dedgitos significativos exatos na obteno de esti-mativas para o valor das temperaturas, escolhe-seum valor de referncia que dado por

(12)

na qual C o valor do critrio de convergncia. Oaumento na varivelt s implementado, a partirdo momento em que a diferena relativa entre o va-lor da temperatura anterior e o valor da temperaturaatual, para um determinado ponto, menor que ovalor de referncia. Quando essa condio satisfei-ta, utiliza-se a seguinte expresso para realizar o in-cremento temporal (JENISCH RODRIGUES, 2011)

(13)

na qualt0 o passo de tempo inicial, e t avarivel temporal.

3 Metodologia

O tubo est submetido s condies de con-torno explicitadas na figura 3(a), com os respectivosvalores das propriedades envolvidas. Submete-seum tero da superfcie externa do cilindro ao flu-xo de calor constante, e o restante submete-se transferncia de calor por conveco natural. Pelacavidade interior do tubo flui leo quente (com as

propriedades definidas, tambm, na figura 3(a)). Asdimenses so especificadas na figura 3(b).

Figura 2 Ns das superfcies interna e externa do cilindro (a, b)sujeitos conveco e conduo transiente e (c) sujeitos a um

fluxo conhecido e conduo transienteFonte: Jenisch Rodrigues, (2011).

Por outro lado, um tero da superfcie ex-terna est sujeito a um fluxo de calor prescrito,q, conforme mostrado na figura 2(c). Nesse caso,procedendo-se de maneira anloga, explicitando--se a temperatura, nos ns externos sujeitos a essacondio (mm, n), em t + t, chega-se a

(11)

na qual q o fluxo de calor conhecido.Como condio inicial, assume-se que a

temperatura na superfcie interna do cilindro pos-

sui mesmo valor que a temperatura do leo. Paraa superfcie externa, procede-se da mesma forma,de maneira que a temperatura da superfcie exter-na do cilindro possui mesmo valor que a tempera-tura do ar. Os pontos internos assumem a mdiadessas temperaturas.

Nesse momento, fica evidente uma das ca-ractersticas do mtodo das diferenas finitas: suasequaes algbricas so desprovidas da fsica doproblema. Assim, para a correta soluo do problema necessrio o conhecimento dos fenmenos fsicospresentes nas fronteiras do sistema e seu devido equa-cionamento em termos das equaes de diferenasfinitas. Isso no ocorre com o mtodo dos volumesfinitos, que expressa a fsica do problema por meio derelaes entre os fluxos que cruzam as fronteiras dosvolumes de controle (MALISKA, 2004).

Alm disso, o mtodo explcito tem uma ca-racterstica indesejvel: no incondicionalmenteestvel (INCROPERA et al., 2008). Consequente-mente, a soluo pode ser acompanhada de os-cilaes induzidas numericamente, que podemse tornar instveis, fazendo a soluo divergir dascondies reais do regime estacionrio. Visandoevitar esses resultados errneos, o valor especi-

p

nmm

p

nmm

p

nmm

p

p

nmm TTTrc

q

r

tT ,,,1

1

, )(''2

+

+

=

+

CVR =

)20exp(0 tCtt =

Figura 3 (a) Condies de contorno e (b) dimenses do modelo fsicoFonte: Jenisch Rodrigues, (2011).


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So analisados 10 pontos no sentido radial e41 pontos no sentido azimutal. Em destaque, figu-ra 4, encontra-se o n, posio 2, onde a evoluoda soluo avaliada at atingir a condio de regi-me estacionrio. O valor obtido para a temperaturadessa posio, juntamente com o valor da posio1, na condio de equilbrio, so utilizados para acomparao entre os resultados na seo seguinte.

Alm disso, assume-se, por simplicidade e para finsde comparao entre resultados, que o cilindro composto por um nico material e desprezam-seos efeitos da radiao. As propriedades termofsicasdos materiais selecionados para a anlise assumemos valores dispostos no quadro 1.

Quadro 1 Propriedades termo fsicas dos materiais

Material [kg m-3] k[W m-1K-1] cp[J kg-1K-1]Vidro 145 0,8 1000

Ao AISI1010

7832 63,9 434

Fonte: Incropera et al., (2008).

Transcal seja maior, 20, do que o nmero utiliza-do no Tecplot, 11, pode-se observar que o campoobtido, a partir dos dados gerados pelo algoritmodeste trabalho, figura 5(b), encontra-se em boaconcordncia com o campo obtido, utilizando-seosoftwareTranscal, figura 5(a).

Figura 4 Posies utilizadas na comparao dos resultadosFonte: Os autores, (2012).

4 Resultados

O algoritmo elaborado compilado atravsdosoftwareFortran, verso Compaq Visual Fortran6.6, utilizando-se um computador pessoal comprocessador AMD Phenon 9550 Quad-Core (2,21GHz) com 3,5 GB de memria RAM e sistema ope-racional Microsoft Windows XP, SP3. Os campos detemperatura, gerados atravs desse algoritmo, foramobtidos, usando-se osoftwareTecPlot, e os camposde temperatura para comparao foram obtidosatravs dosoftwareTranscal (MALISKA, 2011).

O campo de temperaturas obtido para o vi-dro apresentado na figura 5. Embora o nmerode isotermas, usado na simulao com osoftware

Figura 5 Campos de temperaturas obtidos para o vidro atravs dosoftware (a) Transcal e do (b) algoritmo desenvolvido em Fortran

Fonte: Os autores, (2012).

O mesmo comportamento do algoritmoproposto observado, quando se utiliza materialcom alta condutividade, como o ao. Na figura 6,observa-se que o gradiente de temperaturas no to expressivo como o gradiente do caso ante-rior (vidro). Essa diferena nos gradientes j eraesperada, uma vez que os materiais em questopossuem condutividades trmicas distintas. Cabesalientar que a condutividade trmica classificadacomo uma propriedade de transporte, fornecendouma indicao da taxa na qual a energia transfe-rida pelo processo de difuso (INCROPERA

et al.,

2008). Essa propriedade, associada conduo emuma determinada direo, definida a partir da leide Fourier. Entretanto, para um material isotrpico,como nos casos em questo, a condutividade tr-mica independente da direo. Assim, para umdado gradiente de temperatura, o fluxo trmicopor conduo aumenta com o aumento da con-dutividade trmica.

Figura 6 Campos de temperaturas obtidos para o ao atravs dosoftware (a) Transcal e do (b) algoritmo desenvolvido em Fortran


Portanto, utilizando os resultados apre-sentados nas figuras 5 e 6, a questo fsica envol-vida na modelagem da equao do calor podeser facilmente explicada e compreendida peloestudante, uma vez que a comparao entre asmesmas evidencia a diferena entre os campos


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de temperaturas e, consequentemente, sua de-pendncia com a condutividade dos materiais.

importante ressaltar que a metodologiaproposta permite testar outras situaes, ou ce-nrios, para a mesma configurao. Para tanto,basta variar os parmetros fsicos caractersticos doproblema de maneira a visualizar a influncia dosmesmos na resposta. Alm disso, com a inserode poucas linhas de comando possvel analisara evoluo do perfil de temperaturas para um oumais pontos, alm da variao da taxa de transfe-rncia de calor ao longo do tempo.

No quadro 2, tem-se a comparao entre osvalores obtidos para as temperaturas nas posies1 e 2, para o vidro e para o ao. Conforme podese observar, a diferena relativa mxima entre os

valores foi de 2,58%, no caso do vidro, para a posi-o 1. J a diferena relativa mnima foi de 0,61%,no caso do ao, para a posio 2. Essas pequenasdiferenas relativas obtidas na comparao entre osmtodos evidenciam a eficincia da metodologiaproposta neste trabalho.

Quadro 2 - Valores das temperaturas nas posies 1 e 2

Fortran Transcal

TVIDRO[oC]

TAO[oC]

TVIDRO[oC]

TAO[oC]

Posio 1 147,36 275,57 151,26 278,59

Posio 2 694,83 309,30 684,14 307,42Fonte: Os autores, (2012).

Com relao ao passo temporal, em ambosos casos, parte-se de um valor inicial,t= 0,001 se-gundos. Devido ao mtodo escolhido, o mximo va-lor que o passo inicial pode assumir,t

0, 0,150 se-

gundos no caso do vidro e 0,005 segundos no casodo ao. Caso contrrio, observam-se as flutuaesnos resultados e, consequentemente, o overflow.

De acordo com os valores apresentados noquadro 3, percebe-se que para um critrio de con-vergncia igual a 10-8, tem-se uma diminuio no

nmero de iteraes proporcional a 12,9%, o queacarreta em menos 23.170 iteraes. medida queo critrio de convergncia mais restritivo, a diferen-a entre as iteraes, com e sem correo, diminui.

Quadro 3 Nmero de iteraes necessrias paraa convergncia, no caso do vidro

Critrio deConvergncia

Nmero de Iteraesiteraescomt

0

comtcorrigido

10-8 180166 156996 2317010-9 230680 204970 2571010-10 281193 255812 25381


No caso do ao, essa diferena bem maissignificativa (quadro 4), chegando a 40,5%. O mes-mo fenmeno ocorre aqui, isto , medida que ocritrio de convergncia mais restritivo, a diferen-a entre as iteraes, com e sem correo, diminui.

Quadro 4 Nmero de iteraes necessrias paraa convergncia, no caso do ao

Critrio deConvergncia

Nmero de Iteraesiteraescomt

0

comtcorrigido

10-8 711793 423364 28842910-9 989242 609961 37928110-10 1266808 842808 424000


5 Concluses e perspectivas

A partir da anlise dos resultados possvelconstatar que o objetivo do presente trabalho foi al-canado. Os campos de temperaturas obtidos mos-tram satisfatria concordncia, quando comparadosaos resultados gerados pelosoftwareTranscal. Almdisso, foi possvel a reduo do nmero de itera-es e, consequentemente, a diminuio do tempocomputacional necessrio para a convergncia. To-davia, devido ao mtodo numrico escolhido, existeum limite mximo para o passo temporal que deveser respeitado, o que limitou uma diminuio aindamaior no nmero de iteraes.

O cdigo computacional proposto, escritoem Fortran, permite inserir outras linhas de coman-do, visando ampliao da aplicao do algoritmo.Desta forma, essa metodologia pode ser aplicadaa qualquer material, bastando apenas modificar osdados de entrada do problema. Permite, tambm, aanlise de fenmenos fsicos de interesse do ensinode transferncia de calor, a partir da utilizao de ummtodo numrico relativamente simples e de baixocusto computacional.

Portanto, esta proposta pode ser utilizadacomo ferramenta didtica auxiliar, tanto em dis-

ciplinas de transferncia de calor como em disci-plinas de mtodos numricos. Finalmente, comosugesto para trabalhos futuros, prope-se a anlisedo efeito da condutividade trmica varivel com atemperatura e a anlise da taxa de transferncia decalor ao longo do tempo.

Referncias

FORTUNA, A. O. Tcnicas computacionais paradinmica dos fluidos: conceitos bsicos e apli-caes. So Paulo: Editora da Universidade de SoPaulo, 2000. 426p.


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INCROPERA, F. P. et al.Fundamentos de transfe-rncia de calor e de massa. 6. ed. Rio de Janeiro:LTC, 2008. 644 p.

JENISCH RODRIGUES, L.Anlise transiente datransferncia de calor em um tubo atravs domtodo das diferenas finitas. 2011. Trabalhode Concluso de Curso de Engenharia Mecnica -Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Escolade Engenharia, Porto Alegre, 2011.

MALISKA, C. R. Transferncia de calor e mecnicados fluidos computacional.2. ed. Rio de Janeiro:LTC, 2004. 472 p.

MALISKA, C. R.; DIHLMANN A. Heat Transfer /Transcal 1.1. 1998.Disponvel em: .

Acesso em: 15 mai. 2011.


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