4 2-Modelagem Matematica-espaco de Estados-profgil-31!01!2013 Pptx
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1
Modelagem Matemática de Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos no Espaço Sistemas Dinâmicos no Espaço
de Estadosde Estados
Prof. Dr. Antonio Gil V. de Prof. Dr. Antonio Gil V. de BrumBrum -- CECS/UFABCCECS/UFABCBC 1507 BC 1507 -- Instrumentação e ControleInstrumentação e Controle
Esta apresentação é baseada nas aulas de instrumentação e controle do prof. Alfredo prof. Alfredo LordeloLordelo – CECS/UFABC.Parte do material ali contido foi reproduzido e adaptado.
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”Tudo o que acontece na sua ”Tudo o que acontece na sua vida é você que atrai. vida é você que atrai. É fruto do que você pensaÉ fruto do que você pensa.“.“((O SegredoO Segredo))
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DefiniçõesDefinições
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Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados
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Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados
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Modelagem no Espaço de EstadosModelagem no Espaço de Estados
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Sistema Linear Variante no TempoSistema Linear Variante no Tempo
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Sistema Linear Variante no TempoSistema Linear Variante no Tempo� Representação em Diagrama de Blocos:
� Exemplo: sistema massasistema massa--mola amortecidomola amortecido
FONTE: OGATA (2010).
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo� Exemplo 1: sistema massasistema massa--mola amortecidomola amortecido� ED:
�� Obtenção das equações de estado e de saída:Obtenção das equações de estado e de saída:�� Sistema de 2ª ordem => duas integraçõesSistema de 2ª ordem => duas integrações
�� Redução para 1ª ordem. TomemosRedução para 1ª ordem. Tomemos
�� Assim,Assim,
�� ouou
FONTE: OGATA (2010).
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� Na representação matricial, temosNa representação matricial, temos
�� A equação de saída: A equação de saída: y = x1
�� Em representação matricial, fica:Em representação matricial, fica:
⇒⇒ Solução no MATLAB (com e sem Solução no MATLAB (com e sem SimulinkSimulink))⇒⇒ Usar u(t) = 0 e u(t) = 10 (como um peso => u = Usar u(t) = 0 e u(t) = 10 (como um peso => u = ctecte))
�� Resumindo, o Resumindo, o sistema linear invariante no temposistema linear invariante no tempomassamassa--mola mola amortecido é descrito pelas equaçõesamortecido é descrito pelas equações
�� ondeondeFONTE: OGATA (2010).
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Solução no MATLABSolução no MATLABDois arquivos: • ma_mo_amort.m => contém a ED a integrar (+ dados)
• main_massa_mola.m=> arquivo principal (chama o integrador)
% script principal da solução do problema massa-mola amortecido no MATLAB% para chamar o integrador ode45 ou ode23, digitar na area de trabalho: global uu=0; %força aplicada u(t). pode ser o peso, por exemplo. Teste 0, 10 e 50 kg e veja a diferenca obtida nos graficos.
% i) inicie com a condiçao inicial:y0=[0.3 0]; % => 0.3m de elongamento inicial, com 0m/s de V inicial.
% ii) chamar o integrador: [T,Y] = ode23('ma_mo_amort', [0 5], y0);% Obs.: o tempo é feito variar de 0 a 5 segundos.
%plot(T,Y(:,1)), grid on %gera o grafico da posição com grade%xlabel('t') % coloca um rotulo no eixo x do grafico%ylabel('x(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico
% plot(T,Y(:,2)), grid on %gera o grafico da velocidade% xlabel('t') % coloca um rotulo no eixo x do grafico% ylabel('v(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico
plot(Y(:,1),Y(:,2)), grid on % gera o grafico no plano de fase: x X v 6888 -0.7 6.6 -0.6];xlabel('x') % coloca um rotulo no eixo x do graficoylabel('v(t)') % coloca um rotulo no eixo y do grafico
% ====================================================
main_massa_mola.m
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Solução no MATLABSolução no MATLABDois arquivos: • ma_mo_amort.m => contém a ED a integrar (+ dados)
• main_massa_mola.m=> arquivo principal (chama o integrador)
ma_mo_amort.mfunction dy = ma_mo_amort(t,y)
global u
%dados:m=1 ; %massab=5; %coeficiente de viscosidadek=500; %constante da mola
dy = zeros(2,1); % zerando o vetor dy (2x1)
% sistema de equaçoesdy(1) = y(2);dy(2) = (-k/m)*y(1)-(b/m)*y(2) + u/m;
% só isso (fim)
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No MATLAB:No MATLAB:
u=0
u=50
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� No SIMULINK: usar a No SIMULINK: usar a representação representação normal da EDO de ordem 2.normal da EDO de ordem 2.
�� y’’ = y’’ = --(b/m).y’ (b/m).y’ –– (k/m).y + (1/m).u(k/m).y + (1/m).u
�� Esta EDO é introduzida assim (verifique): Esta EDO é introduzida assim (verifique): �� Representação Representação em diagrama de em diagrama de blocos (blocos (simulinksimulink))
FONTE: OGATA (2010).
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no Tempo(cont. do exemplo 1)�� No SIMULINK, fica assim:No SIMULINK, fica assim:
�� y’’ = y’’ = --(b/m).y’ (b/m).y’ –– (k/m).y + (1/m).u(k/m).y + (1/m).u�� ((simulinksimulink: : ma_mo_amort_vertma_mo_amort_vert.mdl).mdl)
Lembrar de:Lembrar de:�� 1.inserir na área de 1.inserir na área de trabtrab do do MatlabMatlab as constantes: m, b, k.as constantes: m, b, k.
�� 2. ajustar constantes de integração nos blocos e valor do degrau.2. ajustar constantes de integração nos blocos e valor do degrau.
FONTE: OGATA (2010).
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Sistema Linear Invariante no TempoSistema Linear Invariante no TempoAdicional Adicional � MATLAB: outra possibilidade para obtenção da resposta a degrau unitário, impulso, etc.�� Na representação matricial, temos as equações:Na representação matricial, temos as equações:
i) de i) de estado:estado:
ii) de ii) de saída:saída:
�� Análise de resposta de um sistema LTI no MATLABAnálise de resposta de um sistema LTI no MATLAB�� Uso do Uso do ControlControl System System ToolboxToolbox
�� Precisa apenas definir as matrizes A, B, C e D Precisa apenas definir as matrizes A, B, C e D
=> arquivo:=> arquivo:building&testingbuilding&testing.LTI..LTI.modelsmodels--statestate.space.pdf.space.pdf
FONTE: OGATA (2010).
![Page 18: 4 2-Modelagem Matematica-espaco de Estados-profgil-31!01!2013 Pptx](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052620/55721429497959fc0b93e846/html5/thumbnails/18.jpg)
EDs de 2ª Ordem na “Forma Canônica”Forma Canônica”Escritas na forma:
ondeonde ee
Na forma de variáveis de estado:Na forma de variáveis de estado:
Na forma matricial: Na forma matricial:
ondeonde
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EDs de 2ª Ordem na “forma canônica”forma canônica”Autovalores de A (eigenvectors):
O sistema massa-mola-amortecedor será assintóticame nteestável quando a parte real de todos os autovalores da matriz de estado AA forem negativos, isto é, quando Re{Re{ααii} < 0} < 0.
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Exercícios – aulas 4.1 e 4.2: Lista 3.
1) – Quais são os objetivos principais da análise e projeto de sistemas de controle? Explique cada um deles.2) Descreva o processo de análise da estabilidade de um sistema dinâmico, segundo Lyapunov.3) Para cada uma das EDOs de 2a ordem a seguir: resolva a ED e crie um gráfico com o comportamento da soluçãocomo função do tempo. Em seguida, classifique a estabilidade do sistema que a EDO representa, segundoLyapunov.a) y''(t) + 5 y'(t) + 6 y(t) = 0, com y(0)=4 e y'(0)=-2b) 4y''(t) + 12 y'(t) + 9 y(t) = 0,com y(0)=6 e y'(0)=3c) y''(t) - 4 y'(t) + 13 y(t) = 0, com y(0)=-1 e y'(0)=2d) y''(t) + y'(t) + y(t) = 0, com y(0)=3 e y'(0)=2e) y''(t) + 4 y(t) = 0, com y(0)=2 e y'(0)=24) Para os itens d e e anteriores: faça um gráfico do “retrato de fase” do sistema, isto é, grafique y
1(t) X y
2(t), onde
y1(t) e y
2(t) são as duas soluções que compõem a solução geral da EDO. Depois, comente a estabilidade do sistema
a partir deste gráfico.5) Defina a resposta transitória e a resposta estacionária de um sistema de controle.6) Como avaliar a estabilidade de um SLIT forçado do ponto de vista da resposta da natural do sistema (homogênea) e do ponto de vista da resposta total do sistema?7) Tome as EDOs dadas no exercício 3 e considere o caso não homogêneo, isto é, quando os sistemas representadospelas EDs são forçados: y''(t) + a y'(t) + b y(t) = r(t).i) para a ED do item a, obtenha a resposta total do sistema para as entrada degrau unitário e oscilatória (com r(t) = 3cos(2t)). Faça umgráfico de y(t) em função do tempo.ii) para a ED do item b, obtenha a resposta total do sistema para as entrada impulso. Faça um gráfico de y(t) em função do tempo. iii) para a ED do item d, obtenha a resposta total do sistema para as entrada degrau (com E=2). Identifique a frequência natural e o coeficiente de amortecimento do sistema. Por fim, calcule os parâmetros da resposta transitória: a frequência natural amortecida, o tempo de subida, o tempo de pico (tp), o máximo sobre-sinal (Mp) e o tempo de acomodação (ts) para faixa de 5%. Faça um gráfico com a resposta do sistema para verificar seus resultados.iv) Ainda para a ED do item d, calcule a resposta do sistema à entrada do tipo impulso (Mp e tp). Grafique a resposta obtida. Tome E = 20.
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Exercícios – aulas 4.1 e 4.2:
8) Considere o mesmo sistema massa-mola amortecido do exemplo 1. A entrada u(t) é a força externa aplicada na massa. A saída do sistema y(t) é o deslocamento da massa medido a partir da posição de equilíbrio. a) Descreva o sistema na forma de variáveis de estado e, considerando a massa m = 3 kg, determine a constante elástica da mola k e o valor do coeficiente de amortecimento b do amortecedor, de maneira que Mp = 14.7% e ts = 0.5s para uma entrada degrau unitário. b) Use o MATLAB para simular e resolver o sistema. Faça e apresente os gráficos de y(t) e v(t) como função do tempo, e y(t) X y'(t) no plano de fase. Confirme os resultados dos seus cálculos nos gráficos.
9) Considere a lista 2 anterior (aula 3a). Crie um modelo em espaço de estados para o sistema representado no exercício 6.
10) Considere o sistema mecânico representado na figura a seguir. Os valores do parâmetros são: m1 = 3kg, m2=1kg, b = 10Ns/m, k1 = 10N/m, k2 = 20N/m e k3 = 30N/m. As equações do movimento do sistema são dadas. Represente este sistema em espaço de estados e analise a resposta do sistema às funções impulso e degrau. Use o MATLAB e obtenha os gráficos no tempo de x1(t) e v1(t), x2(t) e v2(t). Adicionalmente, obtenha os gráficos no plano de fase de x1 X v1 e x2 X v2. Comente, quanto à estabilidade.
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Referências:• Ogata, K Engenharia de Controle Moderno. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 788p.• Notas de aula de BC1507 – prof. Alfredo Lordello.