Prova 3. Algebra Linear. Professor: Mauricio

1. Quais das funcoes indicadas sao transformacoes lineares? Em cada caso justique suaresposta.

a) (, ) = ( , 2 2) : R2 R2

c) (2 + +

)=

[ 0

]: , onde e o espaco dos polinomios de grau

menor ou igual a 2 e e o espaco das matrizes de 2 2 triangulares superiores.

2. Seja : 3 3, denido por (, , ) = ( + ,, + ).a) Determine a matriz de em relacao a` base canonica

= {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.b) Determine a matriz de mudanca de bases da base canonica para a base =

{(1, 1, 1), (1,1, 1), (1, 0,1)}.c) Determine a matriz de na base do item anterior.

d) As matrizes de nas bases e , [ ] e [ ], sao semelhantes? Justique suaresposta.

e) Determine o nucleo e a imagem do operador linear .

f) Verique o Teorema do nucleo e da imagem.

g) e uma transformacao linear injetora? E sobrejetora? E bijetora? Em cada casojustique sua resposta.

h) e um operador auto-adjunto? Justique sua resposta.

3. Em cada caso, determinar, justicando sua resposta, se a matriz e diagonalizavel.Caso seja diagonalizavel, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular 1 .

a) =

[1 33 1

].

b) =

1 0 10 1 01 0 1

.

c) =

3 0 0 02 1 0 01 1 5 01 2 1 1

.Para a matriz do item c), determine todos os valores proprios, os subespacos propriose as multiplicidades geometrica e algebrica de cada valor proprio.

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