370576_ED - Distribuições Discretas - Binomial e Poisson

8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson

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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM

ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson

1

1. MODELOS DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES

1.1 MODELOS DE DISTRIBUIO DISCRETA DE PROBABILIDADES

1.1.1 DISTRIBUIO DEBERNOULLI

Suponhamos um experimento E onde:

As diversas provas se realizam sob condies idnticas; Cada prova apresenta somente dois resultados ( Sucesso - S - ou Fracasso - S ), mutuamente

excludentes + =P S P S( ) ( ) 1; A probabilidade p P S= ( ) a mesma em cada prova, isto implica que p q q P S+ = =1 onde ( ) ; As provas so independentes umas das outras.

Um experimento nas condies acima define uma distribuio de Bernoulli, ou seja, temos umavarivel aleatria X discreta em que:

X P(x)

Fracasso q

Sucesso p

1

Para efeito de clculos foram designados os valores 0 e 1, respectivamente, para os resultadosFracasso e Sucesso, assim:

X P(x)

0 q

1 p

1

Uma Varivel Aleatria com estas caractersticas apresenta uma Distribuio de Bernoulli.


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2

1.1.1.1 ESPERANA DA DISTRIBUIO DE BERNOULLI

p

p1q0

xpx

x

x

iix

=

+=

=

)(

1.1.1.2 VARINCIA DA DISTRIBUIO DE BERNOULLI

( )[ ][ ]

[ ]

[ ]

VAR x E x

VAR x E x

mas

E x x p x

E x q p p

VAR x p p

VAR x p p

VAR x pq

i x

i x

i i i

i

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

=

=

=

= + =

=

=

=

2

2 2

2 2

2 2 2

2

0 1

1

logo,

1.1.2 DISTRIBUIOBINOMIAL

Seja um experimento que consiste de um nmero n fixo de provas de Bernoulli, com probabilida-de p ( constante ) de sucesso para cada prova.

A distribuio de probabilidade da Varivel Aleatria X chamada Distribuio Binomial com n

provas e probabilidade p de sucesso .A probabilidade de, ao realizarmos n provas, se obter x sucessos, e consequentemente ( n - x ) fra-cassos, numa ordem qualquer :

p q x n x

Como temos Cnx disposies possveis de ocorrncias, a funo Distribuio de Probabilidade

Binomial da Varivel Aleatria X fica:

f x P X x p q x nCnx x n x( ) ( )= = = , 0


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3

Exemplo 1 ) Consideremos os seguintes casos:

a) n=5 e p = 0,2O Histograma desta distribuio fica:

P X f

P X f

P X f

P X f

P X f

P X f

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

0 0 0 3277

1 1 0 4096

2 2 0 2048

3 3 0 0512

4 4 0 0064

5 5 0 0003

b) n=5 e p = 0,5O Histograma desta distribuio fica:

P X f

P X f

P X f

P X f

P X f

P X f

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

0 0 0 0313

1 1 0 1562

2 2 0 3125

3 3 0 3125

4 4 0 1562

5 5 0 0313

c) n=5 e p = 0,8O Histograma desta distribuio fica:

P X f

P X fP X f

P X f

P X f

P X f

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

= = =

= = == = =

= = =

= = =

= = =

0 0 0 0003

1 1 0 00642 2 0 0512

3 3 0 2048

4 4 0 4096

5 5 0 3277


4/6



4

Podemos observar que para:

p = 0,5 a distribuio SIMTRICA p < 0,5 a distribuio ASSIMTRICA ESQUERDA p > 0,5 a distribuio ASSIMTRICA DIREITA

1.1.2.1 ESPERANA DA DISTRIBUIO BINOMIAL

Como a Distribuio Binomial consiste de n Distribuies de Bernoulli temos:

E x np[ ] =

1.1.2.2 VARINCIA DA DISTRIBUIO BINOMIAL

De maneira anloga Esperana a Varincia da Distribuio Binomial ser:

VAR x npq[ ] =

Exemplo 2 ) Um estudo mostra que 70% dos pacientes que vo a uma clnica devem esperar no mnimo 15 minutos

at serem atendidos. Determine a probabilidade de que para 8 pacientes:

a) Nenhum paciente tenha que se sujeitar espera;b) Dois pacientes tenham que se sujeitar espera;c) Seis pacientes tenham que se sujeitar espera.

Soluo

A probabilidade de sucesso ( o paciente ter que se sujeitar espera ) de 70%, isto , 0,7, logo aprobabilidade de fracasso de 0,3.

a)

P X x f x p q

P X f

f

f

CCnx x n x( ) ( )

( ) ( ) , ,

( ) ,

( ) ,

= = =

= = =

=

=

0 0 0 7 0 3

0 0 3

0 0 00007

80 0 8

8

b)

P X x f x p q

P X f

ff

CC

nx x n x( ) ( )

( ) ( ) , ,

( ) , ,( ) ,

= = =

= = =

= =

2 2 0 7 0 3

0 28 0 7 0 30 0 00122

82 2 6

2 6


5/6



5

c)

P X x f x p q

P X f

f

f

CC

n x x n x( ) ( )

( ) (5) , ,

( ) , ,

( ) ,

= = =

= = =

=

=

5 0 7 0 3

0 56 0 7 0 3

0 0 25412

85 5 3

5 3

Exemplo 3 ) Determine a probabilidade de um nico 2 sair em 3 lanamentos de um dado:

Soluo

A probabilidade de sucesso ( sair a face 2 ) 1

6 , a probabilidade de fracasso ( NO sair face 2 ) 5

6,logo

f x p q

f

f

C

Cnx x n x

( )

( )

( ) ,

=

=

=

11

6

5

62 0 3472222

31

1 2

1.1.3 DISTRIBUIO DEPOISSON

aplicada nos casos em que o nmero de fracassos ou o nmero de provas so grandezas inume-rveis.

A probabilidade de uma Varivel Aleatria Discreta X dada, pela Distribuio de Poisson, por:

( )P x t

t

xe

onde

t VAR x

xt

x

( , )!

( )

=

= =

Exemplo 4 ) Chegam, em mdia, 10 navios-tanque por dia a um porto, que tem capacidade para 15 destes navios.

Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais navios tenham que ficar ao largoaguardando uma vaga?

Soluo

Resolveremos este problema de duas maneiras. A primeira utilizando a frmula e a segunda utilizando atabela da Distribuio de Poisson

1 maneira:

Se o porto tem uma capacidade de 15 navios, desejamos determinar a probabilidade de em determinado diachegarem mais de 15 navios ao porto.


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6

P X P X ( ) ( )> = 15 1 15

( )P X P x tx

ex t

xx

( ) ( )!

> = =

==

15 1 10

15

0

15

t = 10, assim

P X e e e e e e( )! ! ! !

.. .! !

> = + + + + + +

15 110

0

10

1

10

2

10

3

10

14

10

15

010

110

210

310

1410

1510

P X( ) , ,> = =15 1 0 9513 0 0487

2 maneira:

J sabemos que a probabilidade desejada :

P X P X ( ) ( )> = 15 1 15

A tabela de Probabilidades de Poisson, assim como as outras tabelas de probabilidades, uma tabela deprobabilidades acumuladas. Portanto ela nos fornece a P X xo( ) .

Devemos, ento, procurar na tabela onde temos t = 10 e r = 15. Para estes valores, encontramos na tabelao valor 0,9512 que P X( ) 15 . Portanto, temos:

P X P X ( ) ( )> = = =15 1 15 1 0,9512 0,0488

1.1.3.1 DISTRIBUIO DE POISSON COMO UMA APROXIMAO DA DISTRIBUIO BINOMIAL

Uma Distribuio Binomial com um nmero de prova n grande e uma probabilidade de sucessop pequena, de tal forma que np seja um nmero de grandeza moderada, pode ser aproximada pela Distri-buio de Poisson.

Suponhamos uma Distribuio Binomial com n = 200 e p = 0,04. Suponha, tambm que desejs-semos a P(X=5).

Pela Distribuio Binomial temos:

P X C( ) , ,= = 5 0 04 0 962005 5 195

Pela Distribuio de Poisson temos:

A mdia da Distribuio Binomial np e da Distribuio de Poisson t, assim

t np= = =200 0 04 8,

Portanto

P X e( )!

,= = =5 85

0191

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