334 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA0001

Cel. MAURíCIO PIRAJÃ

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RESOLVIDOS E RACIOCINADOS

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(1." Série - 1.0 Semestre)

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RIO DE JANEIRO SÁO PAULOLargo da Cano" R. 15 de Novembro.62/68

Prof.lSAlAS MAURíCIO DE CARV ALHO.....

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íNDICE

Explicação necessáriaNUMERAÇÃO:

Lembrete teórico .Problemas .

AS QUATRO OPERAÇÕES:Lembrete teórico .Problemas .Adição .Subtração .Multiplicação " .Divisão .Problemas gerais ..................................•.....

NúMEROS RELATIVOS:Lembrete teórico' ; .Problemas .

DIVISIBILIDADE NUMÉRICA:Lembrete teórico .Problemas .

Págs.5

NÚMEROS PRIMOS:Lembrete teórico 107Problemas 109

~MAXIMO DIVISOR COMUM (m.d.e.):

Lembrete teórico 122Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

MíNIMO MúLTIPLO COMUM (m. m. c.):Lembrete teórico 137Problemas .....................................•........ 139

FRAÇõES ORDINARIASLembrete teórico ,........................ 152Problemas ; .:: : ;'.':~:";".:"';t:':: '159

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915

27-"""363637445059

8589

94101

EXPLICAÇÃO NECESSARIA

Ao tentar a publicação da presente obra, tenho como únicoobjetivo, pôr em mãos da mocidade estudiosa um guia, umauxiliar útil, capaz de resolver as dificuldades naturais doestudante de matemática, quando procura aplicar à práticada resolução dos problemas concretos, os princípios teóricosaprendidos em aula.

Não tenho absolutamente a intenção de ensinar teoria, aodar no princípio de cada capítulo um pequeno LEMBRETETEÓRICO; desejo apenas tornar presentes ao espírito do estu-dante, aquêles princípios e fórmulas de que vai necessitar edos quais possa estar esquecido. O estudo da teoria está natu-ralmente a cargo dos professôres de cada um e deve ser feitopelos estudantes, com o auxílio dos livros adotados nos diversosginásios do país.'

Para tornar o meu trabalho mais interessante aos gína-sianos, fiz uma coletânea de enunciados de problemas, tirando-osde -diversos livros adotados oficialmente e resolvendo-os parao aluno. Vez por outra, desci a detalhes quase desnecessáriospara quem já tem uma certa prática de cálculo e facilidadede raciocínio. Procurei escrever para o aluno que tem dificul-dades, para o que precisa de explicador e deve ser auxiliadonos raciocínios mais elementares. Evidentemente, tal particula-ridade será também de grande utilidade aos demais estudantesque se utilizarem do presente trabalho.

Embora mais da metade dos problemas que se encontramnesta obra tenham seus enunciados constando do excelentelivro- do professor Ary Quintela, adotado no Colégio Militar,dela também constam problemas cujos enunciados foram colhi-dos nas seguintes obras:

CURSO DE ARITMÉTICA de F. T.D.MATEMATICA do Professor Thales de Carvalho.PROBLEMAS DE MATEMATICA do Professor, Jácomo

Stavale eCURSO DE MATEMATICA do Professor Algacyr Munhoz

Maeder.

/

6 CEL. MAURICIO PffiAJA

Algum problema que por demais interessante Ja se encon-trasse resolvido em alguma das obras consultadas, não tivedúvidas em transcrever para esta, embora às vêzes, desenvol-vendo-o mais um pouco, visando registrar os detalhes elemen-tares, a meu ver necessários para certa espécie de estudantes,portadores de uma base deficiente de estudos primários. Isto-foi feito, porque como disse, esta obra é uma coletânea de'problemas, não se destinando a concorrer de alguma formacom quem quer que seja. O meu único e exclusivo intentoé o' de ajudar, .o de facilitar a vida do estudante e o de fazercom que aproveite melhor o tempo de que' dispõe para o es-tudo. Viso, habilitá-lo a resolver problemas práticos de ma-temática eiementar sem maiores dificuldades. O meu livro não-se destina a anular o esfôrço próprio de ninguém e deve serconsultado pelo aluno, com respeito a solução dos problemas,quando de todo o estudante se convencer de que não os con-segue resolver apenas com os seus próprios recursos.

Quero frisar também, que aqui se encontram problemasresolvidos por meio. de equações simples e pequenos sistemas:do primeiro grau. São problemas que, se resolvidos pelo ra-ciocínio puramente aritmético, apresentariam dificuldades quase-insuperáveis para alunos que apenas se iniciam no estudo damatéria. No entretanto, poderão ser aproveitados pelos alunos:das outras séries ginasiais e mesmo pelos da primeira série,desde que com êles haja sido feito um estudo mais completoe mais objetivo das iguàldadese tendo também em vista, que-o estudo dos números relativos consta do programa da primeirasérie ginasial. O que a meu ver não se justificaria, seria deixarde incluir tais problemas nesta obra tornando-a incompleta;apenas porque exigem um pouco mais de conhecimentos teóricos.Dado porém o grande número de problemas que aqui se en-contram resolvidos e raciocinados, o estudante terá muito por'onde escolher.

Espero que os senhores professôres que por acaso venham,à ter conhecimento dêste meu trabalho, me ajudem a difundi-o10 entre a mocidade estudiosa da minha terra; especialmenteentre aquêles, que não tendo recursos para pagar um expli-cador particular, muita· vez, por isso mesmo, abandonam o es-tudo da matemática, por julgá-lo acima das suas possibilidades.

~ste trabalho será também de grande utilidade para aquêlesque se candidatam a concursos de admissão; especialmente nos:colégios Pedro lI, Militar e Instituto de Educação. Com exceção-de alguns problemas que não puderam ser abordados por per-

CEL. MAURICIO PIRAJA 7

tencerem a programas mais avançados, aqui se encontram quasetodos os tipos de problemas exigidos para tais concursos.

Certo de que serei compreendido por aquêles que sínce-ramente se interessam pelas questões relativas ao ensino noBrasil, deixo aqui consignados os meus agradecimentos a firmaFREITAS BASTOS S. A., pela acolhida que deu ao originalque submeti a sua apreciação.

MAURICIO PIRAJA - Cel. do Exército.

Rio de Janeiro, 1 de agôsto de 1955.

LEMBRÊTE TEóRICO

NUMERAÇAO

1.°) - Numeração é a parte da aritmética que ensina a enun-ciar e escrever os números. A numeração pode serfalada e escrita.

2.°) - Numeração falada é aquela que por meio de um certonúmero de palavras que constituem a CONVENÇAOBASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇAO, nos per-mite enunciar todos os números por maiores que sejam.

3.°) - Adotando como base do sistema de numeração o nú-mero 10, teremos o sistema de numeração chamado de-cimal e universalmente adotado.a) No sistema decimal de numeração, dez unidades de

uma certa ordem, formam uma unidade de ordemimediatamente superior.

b) As diversas ordens se numeram da direita para a es-querda do número e serão respectivamente: 1.', 2.",3.', 4.", etc ...A 1.a ordem, é chamada das unidades.A 2.', é chamada das dezenas.A 3.', é a das centenas.Estas três primeiras ordens formam a primeira classe,ou classe das unidades. Daí por diante e de três emtrês ordens, teremos as outras diversas classes: asegunda classe, ou dos milhares; a terceira, ou dosmilhões; a quarta, ou dos bilhões, etc.Em cada uma das classes, os algarismos que represen-tam as suas três ordens, tomam da direita para a es-querda os nomes de: unidades, dezenas, centenas,acompanhados respectivamente das palavras: simples,de milhar, de milhão, de bilhão, etc.Poderemos te,r então:unidade, dezena, centena, simples (1." classe)unidade, dezena, centena, -de milhar (2." classe)

10 CEL. MAURICIO PIRAJA

unidade, dezena, centena, .... de milhão (3.' classe}'etc .

4.°) - NUMERAÇÃO ESCRITA.

A convenção fundamental da numeração escrita é des--coberta Indiana. Diz o seguinte: todo algarismo colocado-à esquerda de outro, exprime unidades dez vêzes.maiores do que as unidades expressas por êsse outro..

a) Um algarismo que faça parte de um número, podeser considerado com dois valores: o valor absoluto e'o valor relativo.

b) O valor absoluto de um algarismo, é sempre o seu;valor como número abstrato, qualquer que seja a.posição que .êle ocupe no número.

c) O valor relativo de um algarismo dentro de um nú-mero, é o valor que êle tem de acôrdo com a posição-que ocupa, em relação aos demais algarismos do-onúmero.

d) Colocando-se zeros à direita de um número, êle se-torna dez, cem, mil, etc. vêzes maior.

e) Colocando-se zeros à esquerda de um número, êle não-se altera.

5.°) - MUDANÇA DE BASE DE NUMERAÇÃO.a) Dado um certo número na base decimal, se quisermos'

representá-l o em uma outra qualquer, divide-se sem--pre e sucessivamente o número dado pela nova base,.até que a divisão não seja mais possível. O númerodado será expresso na nova base, pelo número for-omado pelos quocientes e restos das diversas divisões,colocados a partir do último quociente da díreíta..até o último resto da esquerda e na ordem em que-aparecem no cálculo. O último quociente da direitaserá sempre escrito em primeiro lugar e por isso,será o _algarismo de ordem mais elevada do número-procurado.

NOTA: 1l;ste é um meio prático de fazermos a mu--dança de base, tôdas às vêzes que os restose quocientes o permitirem e quando passa-mos o número da base decimal para outra.qualquer.

6.°) - ALGARISMOS ROMANOS.Os romanos escreviam as números atribuindo. valores.convencionais a certas letras da alfabeto, e estabelecendo-regras que permitissem representar todos os demais va--lores. Os algarismos romanos e seus valores conven-cionais são. os seguintes:I 5 10 50 100 500 1000I V X L C D Ma) Na numeração romana, um algarismo só pode ser-

repetido, na máximo três vêzes na mesma ordem.b) Um algarismo colocado ao lado de um outro de maior

valor, será somado à êsse outra quando escrita à sua.direita e subtraído, quando escrito à esquerda.

c) Um traço horizontal colocado acima de um algarismo-ou de um grupo dêles, torna a seu valor 1000 vêzes:maíor , Dois traças nas mesmas condições, aumentam,a número. de 1.000.000 de vêzes e assim par diante.

334 PROBLEMAS DE MATEMÁ TICA lI-

b) Para passar um número. escrita numa base qualquer-para a sistema de base decimal, procede-se da seguinteforma:multiplica-se o primeiro algarismo. à esquerda do nú--mera dada pela valor da base em que foi escrita anúmero; sorna-se êsse produto. ao. segunda algarísmora resultada, multiplica-se novamente pela base sa--manda-se ao.produto a terceira algarismo e assim par'diante, até ser utilizada o última algarismo. O resul-tada final, será o número dado escrita na base deci--mal.

c) O sistema DUODECIMAL é aquêle em que doze uni--dades de uma certa ardem, formam uma unidade de-ardem imediatamente superior (base 12).f:ste sistema utiliza desde a zero. até a algarismo. nave'inclusive, e cria novos símbolos que representam 10'e 11 unidades. Adotam-se geralmente as letras gregas:ALFA e BÉTA para representarem respectivamente'10 e 11 unidades, e com menos freqüência, as letras:(a) e (b) do alfabeto latino.

d) PASSAGEM DE UM SISTEMA QUALQUER PARA.OUTRO QUALQUER.Passa-se primeiro, o número, do sistema em que foi.dada para o sistema decimal e em seguida, dêsse úl-tima, para a sistema pedida.


7.°) - A fórmula que nos dá quantos números de (n) algarís-mos existem, é a seguinte: lOn - lOn-l = lOn-l X 9 ou:

N = lOn-l X 9 Fizemos io» - lOn-l = N

(N) é a quantidade de números que se escrevem, com. (n) algarismos cada um.

(n) .é a quantidade de algarismos com que se escrevecada número.

a) Se na fórmula acima introduzimos o fator (n) no2.° membro, teremos:

N' = 10n-1 X 9 x nEsta fórmula nos dá o número total de algarismosnecessários, (N'), para que possamos escrever a quan-tidade (N) de números, tendo cada um, (n) algarismos.

8.°) - Quando queremos saber quantos números existem entredois números dados, subtraimos o menor do maior. Oresultado indica o que queremos, inclusive o maior e ex-clusive o menor dos números. Se queremos incluir osdois limites, teremos que somar (1). Assim: entre (a) e(b) incluindo os dois limites, existem: (b - a) + 1 nú-meros inteiros.

a) Há sempre maior quantidade de números pares,quando os dois números limites são pares.Achado o total de números existentes entre os doislimites, para saber-se o número de pares e ímpares,diminui-se uma unidade do total, divide-se o resto por2 e considera-se a unidade diminuída como par; so-mando-a ao quociente achado, vamos encontrar aquantidade de números pares existentes entre oslimites considerados.A quantidade de números ímpares, encontra-se comoé lógico, subtraindo êste último número do total.

b) Há sempre maior quantidade de números ímparesquando ambos os limites são ímpares.Procede-se então do mesmo modo que no caso ante-rior. Porém, considera-se como ímpar a unidade di-minuída e após somá-Ia ao quociente, vamos encon-trar a quantidade de números ímpares que diminuídado total, nos dará então a quantidade de númerospares.

334 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA

c) Quando os limites são respectivamente um ímpar eoutro par, a quantidade de números ímpares é sem-pre igual a quantidade de números pares. E' bas-tante então para acharmos quaisquer dessas quanti-dades, dividir por 2 o total de números existentes en-tre os dois limites considerados.

NOTA: Os cálculos são feitos sempre das maneirasindicadas em (a), (b) e (c), quando se in-cluem no total os dois limites considerados.Quando um dos limites não é incluído, deve-mos ver se o limite não incluído é ímpar oupar, para que então possamos chegar a umasolução certa do problema.

13

NUMERAÇÃO

.1. Quantos algarismos são necessários para escrever todos osnúmeros de (n) algarismos?

Suponhamos que temos n = 4. Os números de 4 algarismoscomeçam em 1.000 e vão até 10.000 exclusive.Ora: 1.000 = 103 e 10.000 = 104

Todos os números de 4 algarismos estão pois compreendidosentre 104 e 103 e serão em número de: 104 - 103 = 10.000 -- 1.000 = 9.000. Mas, sabemos que 9.000 = 1.000 x 9 = 103 X 9.Ora, como fizemos n = 4, evidentemente que n - 1 = 3. Ge-neralizando então o resultado a que chegamos, poderemosescrever: 104 - 103 = 103 X 9 e finalmente: 10n - 10n-1 =

= 10n-1 X 9. Esta é a fórmula que nos permite calcular quantosnúmeros existem de (n) algarismos.Se quisermos agora saber com quantos algarismos deveremosescrever todos os números de (n) algarismos, teremos quemultiplicar por (n), o segundo membro da fórmula acimae teremos:10n-1 x 9 x n, expressão que nos dá o número de algarismosnecessários para escrever todos os números de (n) algarismos.Aplicando-se a fórmula para n = 1; n = 2; n = 3; n = 4;'n = 5, vamos ter respectivamente:101-1x9 = 10ox9 = lx9 = 9 ns. de 1 algarismo ou:

ax 1 alg.102-1x9 ~ 101x9 = 10x9 = 90 ns. de 2 algarismos ou:

90x2 alg.103-1x9 = 102x9 = 100x9 = 900 ns. de 3 algarismos ou:

900x3 alg.104-1x9 = 103x9 = 1.000x 9 = 9.000 ns. de 4 algarismos ou:

9.000x4 algo105-1 X 9 = 104 X 9 = 10.000x 9 = 90.000 ns. de 5 algarismos ou:

90.000x 5 algo


2. Quantos algarismos são necessários para escrever todos osnúmeros de 1 até (n) ?

Suponhamos que temos n= 4.165. O número dado tem por-tanto 4 algarismos. Deveremos escrever os números a par-tir da unidade, de acôrdo com o enunciado do problema.Teremos então que escrever todos os números de 1, de 2, de3 algarismos, e os de 4, apenas de 1.000 até 4.165.Todos os números de 1 algarismo, gastam: 10° x 9 X 1= 1 X 9 X 1 = 9 algarismos.Todos os números de 2 algarismos, gastam: 101 X 9 X 2= 10 X 9 X 2 = 90 X 2 = 180 algarismos.Todos os números de 3 algarismos, gastam: 102 X 9 X 3= 100 X 9 X 3 = 900 X 3 = 2.700 algarismos.Logo: até o número maior de 3 algarismos que é 999, escre-vemos 2.700+180+9 = 2.889 algarismos.De 1.000 que é o número seguinte até 4.165, existem:(4.165-1.000) + 1 números, ou sejam: 3.166 números de 4,algarismos cada um. Para escrevê-Ios todos, necessitaremos de3.166x4 = 12.664 algarismos.Poderemos então concluir agora, dizendo que: para escre-vermos todos os números de 1 até 4.165, necessitaremos de:2.889+ 12.664 = 15.553 algarismos.

3. Quantos algarismos são necessários para escreve?' os númerosde (n) até (m), inclusive os dois limites?

NOTA: Quando queremos saber quantos números existementre dois números dados como limites, subtraimoso menor do maior. O resultado indicará a quantidadeprocurada, inclusive o maior número e exclusiveo menor.Se quisermos incluir tâ'mbém o limite menor, tere-mos que somar uma unidade ao resultado.

Façamos no nosso problema, n = 73 e m = 1.130.

De 73 até 99 que é o maior número de 2 algarismos, existem.incluindo também o 73: (99 - 73) + 1 números de 2 alga-rismos, ou sejam: 27 números.Para escrevermos êsses números, serão precisos: 27x2 = 54·algarismos.Vamos escrever todos os números de 3 algarismos, porque'o nosso limite máxímo 1.130 tem 4 algarismos. Teremos então;

334 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA 17

2 .

102x9 = 100x 9 = 900 números de 3 algarismos, para osquais, serão necessários: 900x3 = 2.700 algarismos.Do primeiro número de 4 algarismos que é 1.000 até o nú-mero dado 1.130 existem incluindo os dois limites, (1.130 -- 1.000) + 1 = 131 números de 4 algarismos, para os quaisserão necessários: 131x4 = 524 algarismos.Poderemos então dizer que: para escrever todos os númerosde 73 até 1.130, vamos precisar de 54+2.700+524 = 3.278algarismos.

4. Passar o número 2.765 escrito na base decimal, para o sis-tema de base 7.Dividindo-se sucessivamente o número dado, e cada um dosquocientes encontrados pela base 7 enquanto possível, te-remos:

2765 766 395 I 7

35 45 56 7O 3 O 8 7

1 1

o número 11.030 (7) ,corresponde na base 1; ao numero 2.765da base decimal.

5. Passar o número 563 do sistema decimal, pam o sistema duo- .decimal (base 12).

Procedendo-se da mesma maneira que o fizemos no problemaanterior, teremos:

563 12083 46 I 1211 10 3

fazendo-se agora por convenção 10 = a (alia)11 = f3 (béta), concluire-

mos que o número procurado será: 3 a f3 (12)

6.. Passar o número 31 do sistema decimal para o sistema bi~nário (base 2).

Procedendo-se como nos dois últimos problemas, teremos:


31111

2151

271

231

I 2--1-

o número procurado na base 2 será então: 11.111(21

7. Passar o número 11.030 (7) escrito na base 7, paTa a basedecimal.

Obedecendo-se a regra que consta do lembrête teórico dopresente trabalho, teremos:

1X 7

7+ 1

8X 7

56+ O

56X 7

392-L 3,

1.0 algarismo do·número

............ 2.° algarismo do número

3.° algarismo do número,..

4.° algarismo do número

395X 7

2.765O 5.° algarismo do número

-----2.765

O número na base decimal é então 2.765. \

8. Passar o número 10.000 (6) escrito na base 6, para o sistemaduodecimal (base 12).

Em casos como êste, passamos primeiramente o número dadopara a base decimal, e depois, desta última base, para apedida.

334 PROBLEMAS DE MATEMATICA

Passando o número para a base decimal, vem:16x

+6O66x

+36

O Teremos então, que o número 10.000escrito na base 6, é representado nosistema de base decimal pelo número1.296.x

366

+216

O

x216

61296

+ O1.296

Passemos agora o número 1.296 da base decimal para a base12. Teremos:

1296096

O

12108

O129

Dizemos então que 1.296 na base 12, é representado pelonúmero 900.Poderemos agora concluir que:

10.000 (6) = 1.296 = 900 (12) ou:10.000 (6) = 900 (12) que é a resposta procurada.

9. Qual o número formado de meia unidade de quarta ordem,7 unidades de segunda ordem e quatro de primeira ordem?Uma unidade de 4: ordem é 1.000. Meia undade é então.1.000/2 =500.Uma unidade de 2: ordem é 10; logo, 7 unidades serão:7xl0 = 70.Uma unidade de 1: ordem é 1; logo, 4 unidades serão:4xl = 4.O número procurado será portanto: 500+70+4 = 574.

19 {

20 CEL. M.\URICIO PffiAJA

10. Quantas unidades de terceira ordem preciso, para formarcinco unidades' de 4.· ordem?Dez unidades de terceira ordem formam uma unidade dequarta ordem.Para formar portanto cinco unidades de quarta ordem, pre-ciso de cinco vêzes mais, ou sejam: 5x 10 = 50 unulaâee deterceira ordem.

11. No número 5.897.624, qual o valor absoluto do algarismoque representa centenas de milhar e qual o seu valor ré-lativo?Centena de milhar é unidade de 6.' ordem e igual a 100.000.No número dado, o algarismo que ocupa esta ordem tem ovalor absoluto igual a 8. O seu valor relativo no número,será 8 x 100.000= 800.000.

12. No sistema decimal, 100 unidades de terceira ordem formam10 -uni-dades de que ordem? Formam ainda uma unidadede que ordem?Como dez unidade de uma ordem formam uma unidadede ordem imediatamente superior, as 100 unidades de ter-ceira ordem formarão como é lógico, 10 unidades de 4.•ordem.Por sua vez, essas 10 unidades de 4.• ordem formarão umaunidade de 5.' ordem.

13. Se o algarismo 9 ocupa em certo número a terceira ordem,qual a relação entre o seu valor absoluto e o seu valorrelativo?

O seu valor absoluto é 9, qualquer que seja a ordem queocupe no número.A terceira ordem é a das centenas simples e vale 100. Seentão o algarismo 9 ocupa esta ordem, o seu valor relativoserá: 9x 100 = 900.Vemos então que no número dado, o valor absoluto do al-garismo 9 que ocupa a terceira ordem, é 100 vêzes menordo que o seu valor relativo.

14. De 37 até 453 inclus1.ve êste último limite, quantos númerospares existem e quantos imperes? .

Incluídos os dois limites, existem entre êstes dois números,(453 - 37) + 1 = 417 números inteiros consecutivos.Como os dois limites são ímpares, de acôrdo coma regraque se encontra ,no lembrête teórico desta obra,sabemos

334 PROBLEMAS DE'" MATEMÁTICA

que deve haver maior número de ímpares do que de pares.Teremos então:

417 1= 416/2 208

21

2Considerando-se então a unidade subtraída como ímpar, te-ríamos 208 números pares e 208'+ 1 .= 209 números ímpares.Mas, como o enunciado do problema nos diz que apenaso limite superior deve ser incluído nos cálculos, teremosque abandonar o número 37 -que é o outro limite. Ora, 37é um número ímpar. _Concluiremos então que no nosso caso, teremos 208 nú-meros pares e igual quantidade de números ímpares.

15. De 76 até 894, inclusive os dois limites, quantos númerosinteiros e consecutivosexist!,!m, quantos pares e quantõsímpares? -Inteiros e consecutivos incluindo os dois limites, existem:(894 - 76) + 1 = 819 números.Como os dois limites dados são números pares, de acôrdocom a regra conhecida, deve haver maior número de pares.Teremos então:

819 1= 818/2 = 409

2Considerada a unidade subtrída como par, teremos final-mente: 409 + 1 = 410 números pares e 409 números ím-

_pares,

16. De que núme1'o deveremos partir, para que chegados aonumero 1,286 e considerando os dois limites, possamos terescrito 345 números inteiros e consecutivos?Basta verificar qual o número, na ordem natural dos nú-meros inteiros, que corresponde a 345 números anterioresa 1.286, Basta então que façamos a seguinte operação:(1.:286 - 345) + 1 = 942.Foi somada a unidade, para que o número 942 (limite in-ferior), também ficasse incluído como manda o problema.Devemos então partir, do número 942.

17_ Por quaL alqarsimo devemos substituir a letra (a) no nú-mero (45 a 87) para que a soma dos valores absolutos dosseus- algàTismos seja 27? Qual será nesse caso, a soma dosvalores relativos dos seus algarismos?

22 CEL. MAURICIO PffiAJÁ

Assim como nos foi dado o número, a soma dos valores abso-lutos dos seus algarismos' é 4 + 5 + a + 8 + 7 =24 + a.Para que esta soma seja 27, é lógico que deveremos ter(a = 3). O número será então 45.387, que representa asoma dos valores relativos dos seus algarismos; pois,teremos:

4, valor relativo. . . . . . .. 40.0005, valor relativo. 5.0003, valor relativo. . . . . . . . 3008, valor relativo..... .. .807, valor relativo. . . . . .. . 7SOMA -4=5~.3=87~

18. Qual é o maior número de 4 algarismos arábicos diferentes?Como se escreve êsse número com os algarismos rom.anos?O maior número de 4 algarismos arábicos diferentes, é9.876.Com algarismos romanos, se escreve: 'IXDCCCLXXVI.

Do maior número de dois algarismos (inclusive) ao maiornúmero de três algarismos (inclusive), quantos númerosinteiros e consecutivos há? Para escreuê-los, de quanio«algarismos necessitamos?O maior número de 3 algarismos é 999O maior número de 2 algarismos é 99Existem entre êles incluindo os dois limites: (999 - 99) ++ 1 = 901 números inteiros e consecutivos ..A quantidade de números de 3 algarismos entre êles, será:102 X 9 = 100 x 9 = 900. Precisaremos para escrevê-

.Ios de 900 x 3 = 2.700 algarismos."Como porém também deveremos escrever o maior número-de 2 algarismos que é 99, teremos então que somar mais.2 algarismos a 2.700 ..Diremos então que: para escrevermos do maior número de.dois algarismos ao maior número de três algarismos, ín-.clusíve os dois limites, precisaremos de 2.702 algarismos.

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,..

:20. Quantas unidades de segunda ordem precisamos subtrairde 400 unidades de terceira ordem, para que o resto sejaigual a 8 unidades de quarta ordem? -Uma unidade de 3.' ordem vale 100 de 1.'; 400 unidades,:serão 400 x 100 ou 40.000 unidades de 1.' ordem.Uma unidade de 4 .• ordem vale 1.000 de L'; 8 unidades,.serão 8.000. Ora, para que 8.000 seja o resto de uma subtra-


çâo em que o minuendo é 40.000,é preciso que o subtraendo .seja igual a: 40.000 - 8.000 = 32.000.Mas, 32.000, são unidades de primeira ordem, assim como8.000 e 40.000. Ora, 32.000 unidades de primeira ordem, re-presentam 3.200 unidades de segunda ordem.Serão então 3.200 unidades de 2." ordem, que teremos quesubtrair das 400 unidades de 3.' ordem, para termos um restoigual a 8 unidades de 4.' ordem.

21. Do número MCDV ao número MMXXVII quantos númerosinteiros e consecutivos existem. Dar a resposrc em algaris-mos romanos.

Sabemos que: MCDV = 1.405 e MMXXVII = 2.027.Teremos então: 2.027 - 1.405 = 622 números inteiros econsecutivos.Em algarismos romanos a resposta será DCXXII.Notar que neste caso não somamos a unidade. Isto porque,não .nos foi explicitamente ordenado pelo enunciado doproblema, que considerassemos o limite inferior. Sempre queisto acontecer, procedemos como o fizemos agora.

22. Intercalando dois zeros entre os algarismos 5 e 4 do nú-mero 25.483, de quanto aumenta o número?

Após intercalar os zeros, o número passaria a ser 2.500.483.E' fácil de ver que variaram os valores relativos dos alga-rismos 5 e 2 do número dado.No segundo número, o valor relativo de 2 é 2.000.000No primeiro número, o valor relativo de 2 é 20.000

A variação para mais no segundo, foi de 1.980.000

23

No 2.° número, o valor relativo de 5 é 500.000No 1.0 número, o valor relativo de 5 é 5.000

Variação para mais no segundo, de ... .495.000

O número dado primitivamente aumentou portanto de:1.980.000+ 495.000 ou: 2.475.000 unidades.

23. Quantas »êzes o algarismo 5 aparece no lugÇLrdas centenasaté o número 3.506?

Só começa a aparecer no lugar das centenas ao atingirmoso número 500. De 500 até 600 (excJusive), aparece 600 -- 500 = 100 vêzes.

\

CEL. MAURICIO PIRAJÁ

Logo: em cada 1.000, aparece 100 vêzes. Em 3.000,.apare-cerá portanto 3 X 100 = 300 vêzes; depois, só vai aparecerem 3.500.Ora, de 3.500 até 3.506 incluídos os dois limites, aparece(3.506 - 3.500) + 1 = 7 vêzes. Logo, podemos dizer que:De 1 até 3.506,o algarismo 5 aparece na casa das centenas,300 + 7 = 307 vêzes.

24. Escreve-se a série dos números naturais até 400. Quanta.s»êzes figura o algarismo 3?

Na primeira centena, o algarismo 3 aparece 10 vêzes comounidade simples, nos números: 3, 13, 23, 33, etc.Aparece ainda 10 vêzes como dezena, nos números: 30, 31,32, 33, etc. ..Aparece então ao todo, 20 vêzes na primeira centena.Na segunda centena, pelo mesmo raciocínio, veremos queaparece mais outras 20 vêzes,Na terceira centena, aparece 100 vêzes como centena, por-que é a centena dos 300, 301, 302, etc. e mais 20 vêzescomo nas centenas anteriores. Aparece portanto ao todo naterceira centena, 120 vêzes.Podemos afirmar então que de 1 até o número 400, o al-garismo 3 aparece 20 + 20 + 120 = 160 vêzes, sendo:

100 vêzes como centena30 vêzes como dezena30 vêzes como unidade simples

25. Foram numeradas 137 páginas de um caderno. Quantos al-garismos foram necessários?

Para os números de 1 algarismo, foram necessários:- 10° X 9 X 1 = 1 X 9 X 1 = 9 algarismos.

Para os números de 2 algarismos, foram precisos:101 X. 9 X 2 = 10 X 9 X 2 = 180 algarismos.Para os números de 3 algarismos até o 137 e incluindo oprimeiro número de 3 algarismos (100), foram precisos:(137 - 100) + 1 = 38 números de 3 algarismos, ou 38 X 3 == 114 algarismos. .Para numerar as 137 páginas do caderno, foram então ne-cessários 9 + 180 + 114 = 303 algarismos.

26. Para escrever os números pares 'de 143 até 781, de quantosalgarismos precisaremos?Entre 143 e 781, existem contando os dois limites:

ERRATANo problema n. 24, onde se lê: "Na terceira centena ...

etc ..... , leia-se:

Na terceira centena, aparece 100 vêzes como cen-tena, porque é a centena dos 300, 301, 302, etc. emais 20 vêzes como nas centenas anteriores. Apa-rece portanto ao todo na terceira centena, 120 vêzes.Na quarta centena, aparece mais 20 vêzes.Podemos afirmar então que de 1 até o número 400,o algarismo 3 aparece 20 + 20 + 120 + 20 = 180vêzes, sendo:

100 vêzes como centena40 vêzes como dezena40 vêzes como unidade simples

No problema n. 60, substituam-se as respostas (5.0) e (6.°),pelas seguintes:

5.°) O produto vem multiplicado por um produto, igual atantas vêzes êsse número multiplicado por si mesmo,quantos forem os fatôres existentes no produto dado.

6.°) O produto vem dividido por um produto, igual a tantasvêzes êsse número multiplicado por si mesmo, quantosforem os fatôres existentes no produto dado.

Na página 158, acrescentem-se mais os seguintes itens:

28.°). O m. m. c. de várias frações irredutíveis é uma fraçãoirredutível, cujo numerador é o m. m. c. dos nume-radores das frações dadas e cujo denominador é om. d. c. dos denominadores das frações dadas.

29.0) O m. d. c. de várias frações irredutíveis é uma fraçãoirredutível, cujo numerador é o m. d. c. dos nume-radores das frações dadas e cujo denominador é om. m. c. dos denominadores das frações dadas.

334 PROBLEMAS DE MATEMáTICA 25

(781 -r--' 143) + 1 = 639 números inteiros e consecutivos.Como ambos os limites são ímpares, deve haver maior nú-mero de Ímpares. Teremos então:

639 - 1= 638/2 = 319

2

Existem portanto 319 + 1 = 320 números ímpares e 319números pares.Como todos os números terão 3 algarismos, precisaremosentão para escrevê-los, de 319 X 3 = 957 algarismos.

27. Escrevemos do menor número de 3 algarismos significati-vos desiguais, até o maio?- número de 5 algarismos signifi-cativos desiguais, incluimos êsses números. Quantos alga-rismos escrevemos?

O menor número, citado no enunciado, é 123.O maior número, citado no enunciado, é 98.765.A quantidade de números de 3 algarismos, entre 123 in-clusive, e o maior número de 3 algarismos (999) tambéminclusive, é: (999 - 123) + 1 = 877; para os quais, serão ne-cessários 877x3 = 2.631 algarismos.Todos os números de 4 algarismos serão: 1Q3 X 9 = 1.000xX 9 = 9.000 números; para os quais, serão necessários9.000 X 4 = 36.000 algarismos.Os números de 5 algarismos até 98.765 incluídos os q,pislimites, serão: (98.765 - 10.000) + 1 = 88.766 números,para os quais precisaremos de 88.766 X 5 = 443.830 al-garismos.Respondendo agora ao problema, diremos que escrevemosao todo: 2.631 + 36.000 + 443.830 = 482.461 algarismos.

28. Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem se-- parar os algarismos, qual o algarismo que ocupará a 561.•

lugar?Para os números de 1 algarismo, gastaremos 9 algarismos.Para os números de 2 algarismos, gastaremos 180 algarismos.Para escrevermos então de 1, até o maior número de2 algarismos que é o 99, incluindo os dois limites, gastare-mos 189 algarismos.Ora. faltam escrever então, 561 - 189 = 372 algarismos.Porém, os números que nos falta escrever, são todos de

26 CEL. MAURICIO PIRAJÁ

3. algarismos. Teremos então que escrever 372: 3 = 124números de 3 algarismos.Como já escrevemos até o número 99, teremos que escre-ver como é lógico, até 99 + 124 = 223.O algarismo 3 é então, o que ocupa o 561.0 lugar da escalanatural dos números inteiros, se a escrevermos sem separaros algarismos.

29. Um desenhista numerando as páginas de um álbum,rece-beu Cr$ 8,00 por algarismo. Recebeu ao todo, Cr$ 2.016,00.Quantas páginas tinha o. álbum?

O desenhista escreveu nesse álbum um número de alga-rismos igual a 2.016:,8 = 252 algarismos.Para numerar as páginas com números de 1 algarismo, pre-cisou de 9' algarismos.Para as páginas numeradas com números de 2 algarismos,precisou de 180 algarismos e numerou-as até o número 99.Usou então até a página 99. inclusive, 189 algarismos.Ficam faltando ser usados, 252 - 189 = -63 algarismos. Ora,com 63 algarismos, poderemos escrever 63,:3 =.21 númerosde 3 algarismos. Poderemos então numerar as páginas doálbum até o número 99 + 21 = 120.O álbum tinha então 120 páginas.

30. Escrevemos os números inteiros de 3 e 4' algarismos e maisalguns de 5 algarismos. Escrevemos ao todo 40.855 algaris-mos. Quantos números de 5 algarismos foram escritos?Vejamos os números inteiros de 3e 4 algarismos:De 3 algarismos: 102 X 9 = 100 X 9 = 900 números com900 X 3 = 2.700 algarismos.De 4 algarismos: 103 X 9 = 1.000 X 9 = 9.000números com9.000 X 4 = 36.000 algarismos.

- Com os números de 3 e 4 algarismos, gastamos 36.000 ++ 2.700 = 38.700 algarismos. . .

Temos então de .sobra para escrever os números de 5 al-garismos, 40.855 - 38.700 = 2.155 algarismos.Foram escritos: 2.155; 5 = 431 números de 5 algarimos.

,J

AS QUATRO OPERAÇÕESLEMBRÊTE TEóRICO

ADIÇÃO

1,") Adição é a operação que tem por fim achar' um númeroque contenha tôdas as unidades de dois ou mais númerosdados. e só essas'.

2.°) .Apalavra soma emprega-se com dois sentidos: no sentidode resultado, como por exemplo a soma é 23, ou comoexpressão, pois também podemos dizer: a soma 4+5+2.

3.°) PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:a) A soma varia no mesmo sentido das parcelas.b) (Comutativa) - A ordem das parcelas não altera a

soma.c) (Associativa) - A soma de vários números não se

altera, quando se substitui duas ou mais parcelas pelasua soma.

d) (Dissociativa) - Pode-se substituir uma parcela pelasoma de duas ou mais outras que lhe correspondam.

4.°) PROCESSOS DE ABREVIAÇÃOa). Quando a soma de duas ou mais parcelas, é igual a

um número exato de dezenas ou de centenas: aplica-sea propriedade associativa.

b) Quando a decomposição conveniente de uma das par-celas, conduz ao caso anterior: Aplica-se a propriedadedissociativa.

5.°) PROVAS DA ADIÇÃOa) Alterando a ordem das parcelas e somando. O resul-

tado deve ser o mesmo de acôrdo com a propriedadecomutativa. .

.b) Reunindo as parcelas em grupos de duas ou mais esomando os resultados parciais obtidos. O resultado


deve ser o mesmo, de acôrdo com a propriedade as-sociativa.

SUBTRAÇAO

1.6) Subtração é a operação que tem por fim, dados dois nú-meros (minuendo e subtraendo), achar um terceiro (resto),que somado ao subtraendo reproduza o minuendo.-

2.°) A subtração só é possível aritmeticamente, quando o sub-traendo é menor do que o minuendo.

3.°) Quando o subtraendo é igual ao minuendo, a diferença énula.

4.°), PROPRIEDADES.

a) O resto varia no mesmo sentido do minuendo.b) O resto varia no sentido contrário do subtraendo.c) Somando ou subtraindo o mesmo número ao minuendo

e ao subtraendo, o resto não se altera.d) Para subtrair uma soma de um número, pode-se sub-

trair dêsse número a primeira parcela, do resultadoobtido subtrair a segunda e assim por diante até aúltima parcela. .

e) Para somar uma diferença a um número, pode-se so-mar ao número o minuendo e do resultado subtrairo subtraendo.

f) Para subtrair uma diferença de um número, pode-sesubtrair dêsse número o minuendo e somar em seguidaao resultado o subtraendo.Quando porém o número fôr menor que o minuendo,somam-se todos os números precedidos do sinal menose subtrai-se o resultado da soma dos números precedi-dos do sinal mais. .

NOTA: Quando na expressão, qualquer que ela seja,temos um parênteses precedido do, sinal me-nos, a supressão dêsse parênteses, implicaem trocarmos os sinais de todos os têrrnosnêle incluídos.

5.°) PROVAS DA SUBTRAÇÃO.

a) Soma-se o subtraendo com o resto, o resultado devereproduzir o minúendo.


b) Subtrai-se o resto do minuendo, o resultado deve re-produzir o subtraendo.

6.D) COMPLEMENTOS ARITMÉTICOS.

a) Chama-se complemento aritmético de um número, adiferença entre êsse número e a unidade de ordemimediatamente superior a mais elevada ordem quenêle figura.

b) REGRA PARA ACHAR O COMPLEMENTO ARIT-TICO DE UM NúMERO.Subtrai-se de 9 cada um dos algarismos do númeroa partir da esquerda, exceto o último algarismo dadireita (diferente de zero), que se subtrai de 10.

e) SUBTRAÇÃO POR COMPLEMENTOS.REGRA: Soma-se ao minuendo o complemento arit-

mético do subtraendo e subtrai-se do resul-tado, uma unidade de ordem imediatamentesuperior a ordem mais elevada do subtraendo.

7.°) CALCULO DE EXPRESSõES COM ADICÕESE SUB-TRAÇõES. '

REGRA: Para calcular o valor de uma expressão com adi-ções e-subtrações, pode-se fazer a soma dos têr-mos aditivos e a dos subtrativos, subtraindo emseguida a segunda soma da primeira.

REGRA (Cálculo pelos complementos).Dispõem-se os têrmos em coluna, substituindo os subtra-tivos pelos seus complementos aritméticos, que aparecem

.precedidos de um ponto. Efetua-se então a adição, tendoo cuidado de subtrair uma unidade quando se encontrarum ponto .

•. Exemplo: Seja calcular 27-16+8-3 pelos complementos.Teremos: 'complemento de 16 = 100 - 16 = .84

complemento de 3 = 10 - 3 = . 7damos então aos cálculos a disposição seguinte:

27.84

8.7

t

016'.Outro exemplo: Calcular pelos complementos:

30' CEL. MAURICIO PIRAJÁ

385- 97 - 88 + 15.Complemento de 97 = 100 - 97 = .03Complemento de 88 = 100 - 88 = .12Teremos então:

385.03.1215

215

&tes exemplos foram retirados do livro do professor AryQuintela para a primeira série ginasial.

MULTIPLICAÇÃO

1.0) Multiplicação é a operação que consiste em determinar asoma de tantas parcelas iguais ao multiplicando, quantassão as unidades do multiplicador.CASOS PARTICULARES.a) O produto da unidade por um número qualquer, é êsse

próprio número.b) O produto de zero por um número é sempre zero.c) Em conseqüência dos casos anteriores, vemos que os

algarismos zero e 1, não tem sentido como multipli-cadores.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO.a) (Variação do produto) - Quando se soma ou se sub-

trai certo número a um dos fatôres, o produto au-menta ou diminui, dêsse número multiplicado pelooutro fator.

b) (Comutativa) - A ordem dos fatôres não altera oproduto.

c) (Associativa) - Pode-se substituir dois ou mais fatôrespelo seu produto efetuado.

d) (Dissociativa) - Para multiplicar um produto por um .número, basta multiplicar um dos seus fatôres pelonúmero. A recíproca é verdadeira.

e) (Distribuitiva em relação a adição) - Para multiplicar .uma soma por um número, pode-se multiplicar porêsse número cada uma das parcelas e adicionar os re-sultados. .

2.°)

3.°)

\'.

1.0) Potência de um número, é um produto de fatôres iguaisa êsse número.

2.°) Base da potência, é o número que representa o valor dofator. i

3.°) Expoente ou grau da potência, é o número que representao número de fatôres; é escrito a direita e acima do nú- 1mero que serve de base.

4.°) O expoente deve ser sempre maior ou no mínimo iguala 2, pois não há multiplicação com menos de dois fatôres.

5.°) Convenciona-se considerar o expoente (1), para chegara conclusão de que: qualquer quantidade afetada do ex-poente 1, é igual a base (ou a si própria).

6..°) Tôda a potência de (1) é igual a unidade, porque é iguala um produto de vários fatôres iguais a (1).


f) (Distributiva em relação a subtração) - Para multipli-car uma diferença por um número, pode-se multipli-car o minuendo e o subtraendo por êsse número, esubtrair os resultados.

4.°) PROCESSOS DE ABREVIAÇAO.a) Decompõe-se um dos fatôres em uma soma ou dife-

rença e aplica-se a propriedade distributiva.b) Decompõe-se os dois fatôres e aplica-se a mesma pro-

priedade.c) Decompõe-se um dos fatôres em um produto.d) Para abreviar a multiplicação por 11:

REGRA: Para achar o produto de um número por 11sem efetuar a operação, procede-se do se-guinte modo:Escreve-se o algarismo das unidades, e emseguida, a soma dois a dois dos algarismosdo número dado, levando-se as reservas. Porfim, escreve-se o último algarismo do nú-mero, aumentado das reservas (se houver).

e) Grupam-se ou decompõe-se os fatôres, de modo aobter-se o produto mentalmente.

5.") PROVAS DA MULTIPLICAÇAO.a) Para verificar o resultado da operação, invertemos a or-dem dos fatôres e efetuamo-Ia novamente. O resultado deveser o mesmo, em virtude da propriedade comutativa.b) Divide-se o produto por um dos fatôres, deve ser

encontrado o outro.

POTÊNCIAS

31

32 CEL. lVIAURICIO PIRAJÁ

A segunda potência chama-se também quadrado, porqueé por meio dela que se determina a .área do quadrado.A terceira potência chama-se também cubo, porque é pormeio dela que se determina o volume do cubo.MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DA MESMA BASE.Obtemos o produto de potências da mesma base, conser-vando a base e somando os expoentes.DIVISÃO DE POTÊNCIAS DA MESMA BASE.O quociente da divisão de duas potências da mesma base,é uma potência da mesma base, cujo expoente é igual aoexpoente do dividendo diminuído do expoente do divisor.MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS DEBASES E EXPOENTES DIFERENTES.Nesses casos, elevam-se as respectivas bases às potênciasindicadas, e multiplicam-se ou dividem-se os resultados.Potências semelhantes são as que tem o mesmo expoente,quaisquer que sejam as suas bases.a) Para multiplicar potências semelhantes, multiplicam-

se as bases e conserva-se o expoente.b) Para dividir potências semelhantes, dividem-se as

bases e conserva-se o expoente.Para elevar uma potência a outra potência, eleva-se abase a uma potência igual ao produto dos expoentes.O uso do parênteses é obrigatório quando a base é umapotência. Se não pomos o parênteses, quem fica afetadoda nova potência é apenas o expoente.Para se elevar um produto a uma potência, eleva-se cadafator dêsse produto a essa potência.Conseqüência: toda potência de 10 é um produto de po-tências do mesmo grau dos fatôres 2 e 5.Para elevar a uma potência um número terminado emzeros, faz-se a abstração dos zeros da terminação, eleva-sea essa potência o número resultante, e a direita do re-sultado, escreve-se um número de zeros igual ao produtodo número de zeros da base, pelo expoente da potência.Qualquer quantidade diferente de zero elevada ao ex-poente zero, é igual a unidade.Qualquer número diferente de zero elevado a um ex-poente negativo, é igual a uma fração que tem paranumerador a unidade e para denominador o mesDlo nú-mero, elevado ao mesmo expoente, porém, positivo.


18.°) POTÊNCIAS DE NúMEROS FRACIONÁRIOS.Para elevar uma fração a uma potência, elevam-seos dois têrrnos da fração a essa potência.

19.°) POTÊNCIAS DE NúMEROS MISTOS.Para calcular potências de números mistos, transformam-se primeiramente êsses números em frações impróprias.

:20.°) POTÊNCIAS DE NúMEROS DECIMAIS.Para calcular potências de números decimais, efetua-sea potenciação desprezando a vírgula, elevando a potênciaconsiderada o resultante número inteiro e colocando-se avírgula no resultado, tendo em vista que: o número decasas decimais da potência é igual ao produto do númerode casas decimais da base pelo grau da potência.

:21.0) Quando numa expressão interferem potências, essas de-vem ser efetuadas antes das demais operações. Observa-mos porém, que devem ser obtidos em primeiro lugar, osvalores contidos nos sinais de reunião (chave, colchetee parênteses).

DIVISÃO1.0) E' a operação que tem por fim verificar quantas vêzes um

número se contém em outro; ou quantas vêzes de umcerto número podemos tirar outro.Outra definição: é a operação que tem por' fim, dados

dois números, dividendo e divisor, determinar quan-tas vêzes o primeiro contém o segundo, e a parte res-tante do primeiro.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL.O dividendo é igual ao produto do divisor pelo quocientemais o resto.A divisão exata, é a operação inversa da multuplicação.A divisão que deixa resto, é chamada de inexata ouaproximada.Quando o dividendo e o divisor são concretos, o quocien-te é abstrato e o resto é da mesma espécie do dividendo.Quando o dividendo é concreto e o divisor é abstrato, oquociente e o resto são da mesma espécie do dividendo.PROPRIEDADES DA DIVISÃO INEXATA.a) Multiplicando o dividendo e o divisor pelo mesmo

número, diferente de zero, o quociente não se alterae o resto vem multiplicado por êsse número.

:2.0)

4.°)

5.°)

'6.°)

33

3

b) Dividindo o dividendo e o divisor pelo mesmo número s-

o quociente não se altera e o resto vem dividido porêsse número.

~ CEL. MAURICIO PffiAJA

7.°) PROPRIEDADES DA DIVISÃO EXATA.a) Para dividir uma soma por um número, pode-se di-

vidir por êsse número cada uma das parcelas e adicio-nar os resultados.

b) (Distributiva em relação a subtração)Para dividir uma diferença por um número, pode-sedividir o minuendo e o subtraendo pelo número e-subtrair os resultados.

c) Para dividir um produto por um número, basta di-vidir um de seus fatôres por êsse número.Para dividir um produto por um de seus fatôres, bastasuprimir êsse fator.

d) Para dividir um número por um produto, podemosdividi-Ia pelo primeiro fator, o resultado obtido pelo-segundo e assim por diante, até o último fator.

8.°) PROCESSOS DE ABREVIAÇÃO.a) Para dividir um número terminado em zeros por 10,

100, 1.000 etc., basta suprimir no dividendo tantoszeros, quantos forem os zeros do divisar.

b) Quando o dividendo e divisor terminam em zeros.Suprime-se igual número de zeros no dividendo edivisar e efetua-se a divisão dos números restantes.

c) Dividir um número por 5.Multiplicamos o número por 2 e dividimos o resul--tado por 10.

d) Dividir um número por 25.Multiplicamos o número por 4 e dividimos o resul-tado por 100.

e) A decomposição do divisor em um produto de dois:ou mais fatôres, fornece um processo cômodo para aaplicação da divisão sucessiva pelos fatôres.

9.·) PROVAS DA DIVISÃO.a) Subtrai-se o resto do dividendo e divide-se o resul-

tado pelo quociente. O resultado deve reproduzir odivisor.(E' a prova pela divisão)

334 PROBLEMAS DE MATEMATICA 35

b) .Multiplica-se o divisor pelo quociente e soma-se oresto se houver. O resultado deve reproduzir o di-videndo, de acôrdo com o princípio fundamental dadivisão.(E' a prova pela multiplicação)

10.°) P6R UM FATOR EM EVIDÊNCIA.Quando em uma expressão todos os têrmos são divisíveispor um mesmo número, êste pode ser pôsto em evidênciacomo fator, escrevendo-se dentro de um parêntese, osquocientes das divisões dos têrmos da expressão, pelo nú-mero considerado.

11.°) Para determinar o valor de expressões que contém asquatro operações, realizamos primeiro as operações demultiplicação e divisão, na ordem em que estão indicadas;em seguida, efetuamos as duas outras operações.

QUATRO OPERAÇÕESADIÇÃO

31. Se numa soma de 4 parcelas, somarmos quatro centenase meia a cada 1.~madas duas primeiras e subtraimos meiadezena de cada uma das outras, de quantas dezenas aumen-tará a soma?Quatro centenas e meia são: 4 x 100 + 50 = 450.Como temos que somar 450 às duas primeiras parcelas, te-remos que somar então 2 x 450 = 900.Meia dezena é 5; duas meias dezenas serão 10. Teremosentão que subtrair 10 da soma das duas outras parcelas.Quando somamos 900, o total da soma das 4 parcelas au-mentou de 900. Quando subtraimos 10, êsse total diminuiude 10. O aumento real foi pois, de 900 - 10 = 890 unidadessimples, ou sejam: 89 dezenas.

32. A soma de duas parcelas é 485. Se somarmos 45 dezenas àprimeira parcela e subtrairmos' 6 dezenas da segunda, qualserá a nova soma?45 dezenas são: 45 x 10 = 450.6 dezenas são: 6 x 10 = 60.A nova soma será então: 485 + (450 - 60) = 875.

33. A soma de três números é igual ao maior númeTO de 5algarismos diferentes. Se somarmos a cada um dos nú-meros, o maior número de três algarismos, qual será anova soma?O maior número de 5 algarismos diferentes é 98.765.O maior número de três algarismos é 999.Devemos somar então 999, três vêzes à 98.765 e teremos:98.765 + (3 x 999) = 98.765 + 2.997 = 101.762que é a novasoma pedida.

34. Numa soma de três parcelas, quamtas centenas precisamossomar a cada parcela, para que a soma total venha aumen-tada de 9 milhares?Nove milhares são 9.000 ou 90 centenas.


Como são três parcelas, devemos portanto somar a cadauma, 90: 3 = 30 centenas.

35. Uma soma tem três parcelas. Se aumentarmos a, primeirade 45 unidades e diminuirmos a segunda de 36, qual a al-teração a fazer na terceira parcela para que a soma per-maneça a mesma?Se aumentamos a soma de 45 e diminuimos depois de 36,o aumento real foi de 45 - 36 = 9 unidades.Para que então a soma não se altere, devemos diminuir

. 9 unidades da terceira parcela.

36. Um automobilista viajando do Rio para São Paulo, per-corre os 192 quilômetros do Rio a Formoso em 4 horas.Tendo estacionado uma hora na última localidade, verificouser pequena a velocidade média, e, aumentando-a, percorreunas quatro horas seguintes, 121 quilômetros mais que nasanteriores, chegando ao fim dêste tempo em São Paulo.Qual o tempo gasto na viagem?Qual o percurso total entre os dois pontos, Rio e São Paulo?

A distância percorrida foi:Nas primeiras 4 horas de viagem, 192 quilômetros.Nas últimas 4 horas, 121 + 192 = 313 quilômetros.Em 8 horas de efetiva viagem, 192 + 313 = 505 quilômetros.A distância portanto entre Rio e São Paulo, é de 505quilômetros.Como o automobilista esteve parado por uma hora, gastouao todo na sua viagem, 8 + 1 = 9 horas.

37. Um negociante vendeu ce1·ta mercadoria que lhe ha,viacustado Cr$ 235,40 e teve um lucro de Cr$ 37,20. Por quantodeveria vendê-Ia para ganhar o dôbro?O preço de venda incluído o lucro, foi de Cr$ 235,40 ++ Cr$ 37,20 = Cr$ 272,60.Para ganhar o dôbro, deveria então vendê-Ia por:Cr$ 272,60 + Cr$ 37,20 = 309,80.

SUBTRAÇÃO

38. A soma, de dois números é 28 e a diferença entre êles é 12'.Quais são êsses dois números?O maior dos números procurados será a semi-soma e o me-nor a semi-díferença, dos números que exprimem respecti-vamente a soma e a diferença dêsses números.

.,37


O maior será então:28 + 12

202

28 12O menor será =8

2

39. A soma de dois números consecutivos é 25. Quais são êssesnúmeros?

.~

Se êles são consecutivos, a diferença entre êles é igual aunidade. Recaímos então no caso do problema anterior. Osnúmeros procurados serão:

25 + 1O maior: ------ 26/2 13

2

25 1O menor: --------- = 24/2 = 12

2

40. A soma de dois números pares e consecutivos é 42. Quaissão êsses números?Se êles são pares e consecutivos, a diferença entre êlesé de duas unidades. Recaimos então nos casos anteriores.Os números procurados serão:

42 + 2O maior: = 44/2 = 22

2

42. 2O menor: = 40/2 = 20

2

41. Que cumpre fazer para torna?' iguais dois números desiguais,sem lhes alterar a soma?E' preciso dívidír a diferença entre êles por 2. Somar asemi-díferença ao número menor e subtraí-Ia do númeromaior.Suponhamos os números 30 e 40. A sua soma é 30 + 40 = 70.A sua diferença será 40 - 30 = 10. A semi-diferença será 5.Procedendo como dissemos, teremos então:.(30 + 5) + (40 - 5) = 70 ou: 35 + 35 = 70. Os númerostornaram-se iguais e a sua soma não se alterou.


42. Um menino efetuando a adição de duas parcelas (a) e (b),encontrou o touü (S) igual a 4.231. Mas,tendo errado nacópia das parcelas, diminui-as de 103 e 1.040 respectiva-mente. Qual o valor certo de (S)?

Total encontrado pelo menino: S = 4.231.Quantidade diminuída na soma total por êrro do menino:1040 + 103 = 1.143.Total que deveria ter sido achado caso não houvesse êrro:S = 4.231 + 1.143 = 5.374.

43. Determinar os complementos dos seguintes .núm~os:827; 512; 1.830; 583; 1.897. ,'-~n··

Teremos respectivamente:827 Complemento igual a 1.000 - 827= 173512 Complemento igual a 1.000 - 512 = 488

1. 830 Complemento igual a 10.000- 1. 830 = 8.170583 Complemento igual a 1.000 -583 = 417

1.897 Complemento igual a 10.000 - 1.897 = 8.103 ..44. Resolver as seguintes expressões utilizando os complemen-

tos:(a) 401 - 98 + 510 - 890 + 77.Complemento de 98 é 100 - 98 = .02Complemento de 890 é 1.000 - 890 = .110A operação será então: 4 01

.02510

.11077

0000(b) 71 - 81 + 246 - 23 + 111 ..Complemento de 81 é 100 81 = .19·Complemento de 2-3é 100 - 23 = .77A operação será: 7 1

.19246.77111

324(c) 287 - 93 - 45 - 47

39


Complemento de 93 é 100 93 .07Complemento de 45 é 100 45 .55Complemento de 47 é 100 47 .53A operação será: 287

.07

.55

.53

102

45. Se a soma dos três têrmos de uma subtração fôr 308, q1~alserá o minuendo?Chamemos o minuendo de (M); o subtraendo de (8); o'resto de (R).Teremos então que: M + 8 + R = 308.Sabemos porém que a soma do minuendo com o subtraendoe com o resto, é igual ao dôbro do minuendo. Logo: M ++ S + R = 2M ou ainda 2M = 308, donde tiramos: M == 308/2 ou M = 154.

46. Se numa subtração somcrrnos meia centena ao minuendo €'

meio milhar ao subtraendo, o que acontecerá com o resto'!

Somando-se -meia centena ou 50 ao minuendo, o resto au-menta de 50. Somando-se meio milhar ou 500 ao subtraendo,.o resto diminui de 500. Logo, o resto fica finalmente menor,.de 500 - 50 = 450 unidades.

47. Se somarmos quatro unidades de quarta ordem ao minuendÜ'e subtrairmos duas unidades de terceira ordem ao subtraen-do, o que acontecerâ com o resto em relação as unidades'de segunda ordem?Uma unidade de 4.' ordem é igual a 1.000 unidades sim-oples. 4 unidades de 4: ordem serão: 4 X 1.000 = 4.000 unida-des simples.Estas 4.000 unidades somadas ao minuendo, fazem com que-o resto aumente de 4.000 unidades simples.Uma unidade de terceira ordem é igual a 100 unidades.simples.

Duas unidades serão: 2 X 100 = 200 unidades simples.Estas unidades subtraídas do subtraendo, farão com queo resto aumente de 200 unidades simples.


o resto então sofrerá um aumento total de: 4.000 + 200= 4.200 unidades simples, ou sejam: 420 dezenas ou unidades de segunda ordem.

48. Se o complemento aritmético de um número compreetuiuioent?'e 100-e 1.000 é 57, qual é êsse número?

Chamemos o número procurado de (N).Sabemos que o complemento 57 = 1.000 - N, porque o-número está compreendido entre 100 e 1.000. Da igualdade-acima podemos tirar então: N = 1.000 - 57 ou N = 943.Para tirarmos o valor de (N), passamos (N) para o pri-·meiro membro da igualdade trocando-lhe o sinal como éda regra, e passamos o número 57 para o segundo membro'da igualdade, também trocando-lhe o sinal. Correspondeu a.tirarmos o resto do minuendo, para encontrarmos o sub-·traendo (N) .

49. A soma de dois números inteiros consecutivos é igual a 84LQuais são os dois números?

Já no capítulo da adição, resolvemos problema semelhante-a êste. Vamos agora resolvê-lo de outra maneira.Sabemos que a soma de dois números inteiros e consecuti--vos, é igual ao dôbro do menor, mais uma unidade; logo,essa soma menos uma unidade, nos dará exatamente O>

dôbro do número menor.O nosso menor número será então:

841 - 1= 840/2 = 420

2

O nosso maior número, será 841 - 420 = 421. A rigor.,não era necessária esta operação, uma vez que sabemos que-os números são consecutivos.

50. A soma dos três têrmos de uma subtração é 308. O resto,.excede o subtraendo de 30 unidades. Quais são os três-têrmos?

Chamemos o minuendo de (M), o subtraendo de (8) e o.resto de (R).

Pelas condições do problema, teremos respectivamente:

-42 CEL. MAURICIO PIRAJÁ

M+S+R=308

R=S+30 ~

2M=308 (Vide problema n.? (45)donde:

R=S+30

De 2M = 308, tiramos M = 308/2 donde M = 154.Substituindo-se em M + S + R = 308, a letra (R) pelo seuvalor S + 30, teremos: M + S + S + 30 = 308 ou: M ++2 S + 30 = 308, onde substituindo-se (M) pelo seu valor,

teremos: 154 + 2S + 30 = 308 ou:2S = 308 - 154 - 30 ou:2S = 124 donde: S = 124/2 oufinalmente: S = 62.

Será então muito fácil de ver, que: R = S + 30+ 30 = 92.

62+

Os três têrmos pedidos serão então:

M = 154; S = 62; R =92. -

.51. Carlinhos comprou um lapis e um caderno por Cr$ 13,50.O lapis é Cr$ 10,50 mais barato que o caderno. Qual apreçode cada objeto?

Se ambos tivessem custado o mesmo preço, não haveriaesta diferença de Cr$ '10,50 e teriam custado juntos:Cr$ 13,50 - Cr$ 10,50 = Cr$ 3,00 ou sejam: Cr$ 1,50 cadaum.

Ora, cOPlOo caderno é Cr$ 10,50 mais caro que o lapis,chegamos a seguinte conclusão: o lapis custou Cr$ 1,50 eo caderno, custou Cr$ 1,50 + Cr$ 10,50 = Cr$ 12,00.

.52. O complemento aritmético de um número de três algaris-mos é 82. Achar o número.

O complemento aritmético dado, é a diferença entre o nú-mero procurado e o primeiro número de ordem imediata-mente superior à mais elevada ordem que nêle figura.

Ora, se o número procurado é de três algarismos, a ordemmais elevada que nêle figura é a das centenas.

O primeiro número de ordem imediatamente superior a dascentenas, é 1.000. Chamando-se o número procurado de(N), teremos então:


1.000 - N = 82, donde N = 1.000 - 82, ou N = 918.Para determinar (N), não fizemos mais do que subtrair adiferença (82) do minuendo (1.000), para achar o sub-traendo (N).

J,.-;§3. A soma de três números é 2.048. A soma dos dois primei-.r: l ros é 1.368 e a soma dos dois últimos é 1.228. Quais são os

três números?

Chamemos os números procurados de (a), (b), e (c).

Pelo· enunciado do problema, temos: a + b + c 2.048a + b = 1.368b + c = 1.228

Ora, se a soma de três parcelas é igual a um certo número,cada uma delas será igual a êsse número menos a somadas outras duas.

Podemos dizer então que: c = 2.048 - (a + b)

Mas, como a + b = 1.368 pelas condições do problema,teremos substituindo: c = 2.048 - 1.368 = 680.

Sabemos pelo enunciado que b + c = 1.228. Levando nestaigualdade o valor encontrado para (c), teremos: b+ 680 == 1.228 ou: b = 1.228 - 680 = 548.

.Sabemos também que: a + b + c = 2.048. Considerandoos valores já encontrados para (b) e (c), teremos: a ++ 548 + 680 = 2.048 ou ainda: a + 1.228 = 2.048 ou: a == 2.048 - 1.228 = 820.

Os números procurados são pois: a = 820b - 548c = 680

Carlos, Alberto e João receberam juntos Cr$ 1.200,00.Carlos e João receberam ao todo, Cr$ 780,00 e Alberto re-cebeu Cr$ 30,00 menos do que Carlos. Quanto recebeu cadaum?

1tste problema é em tudo semelhante ao que acabamos defazer.

Vamos seguir então o mesmo raciocínio.

43


Chamemos a quantia de Carlos de (a); Alberto de (b) e-João de (c).Teremos então de acôrdo com as condições do enunciado;a + b + c = Cr$ 1.200,00;a + c = Cr$ 780,00e b = a -- Cr$ 30,00.Vamos trabalhar apenas com os números, abandonando Qo

sinal que indica cruzeiros, para retomá-lo no fim do pro-blema.Se a + b + c = 1.200, será lícito escrever de acôrdocom a propriedade associativa da soma: b + (a + c) = 1.200_Como sabemos que a + c = 780, teremos então:b + 780 = 1.200 ou: b = 1.200 - 780 donde b = 420..Como temos também b = a-30, podemos escrever:a-30 = 420 donde a = 420 + 30 = 450.Sabemos também que a + c = 780. Logo: 450 + c 780..donde c = 780 - 450 = 330.Como porém estamos lidando com cruzeiros, e nos repor-otando ao enunciado do problema, diremos finalmente que;Carlos recebeu Cr$ 450,00Alberto recebeu Cr$ 420,00João recebeu Cr$ 330,00

55. Somei o mesmo número a cada uma das quatro parcelas:de uma soma e o total ficou aumentado de 23 centenas.Qual foi o número somado?

Vinte e três centenas correspondem a 2.300 unidades sim-oples. Dividindo-se êste aumento pelas 4 parcelas da sorna,teremos: 2.300/4 = 575.Somamos então a cada parcela, o número 575.

MULTIPLICAÇÃO

.56. O produto de dois números é 36. Acrescentando-se 3 ao'multiplicador êsse produto vem a ser 48. Achar êsses dois:números.

Acrescentando-se 3 ao multiplicador, sabemos que o produto-vem aumentado de um número igual a três vêzes o mul-tiplicando. .Assim sendo, a diferença 48 - 36 = 12, representa 3 vêzes.o multiplicando; que será então igual a 12/3 = 4.Ora, se o produto é 36 e o multiplicando é 4, o multiplica-dor será forçosamente 36/4 = 9.Os dois números procurados são pois, 4 e 9.


:57. O produto de dois números é 96. Se tirarmos 4 ao mul-tiplicando, êsse produto diminuirá de 32. Quais são os doisnúmeros?Se tirarmos 4 ao multiplicando, o produto vem diminuídode um número igual a 4 vêzes o multiplicador. Pelos dadosdo problema, vemos então, que 32, representa 4 vêzes omultiplicador. Êste, será como é lógico, 32/4 = 8.O produto sendo 96 e o multiplicador 8, o multiplicando será:96/8 = 12.Os dois números procurados serão pois, 12 e 8.

.58. Como se pode, com uma só multiplicação, obter a soma dosprodutos 5 X 3; 6. X 3; 7 X 3?Sabemos que o produto de uma soma por um número, éigual a soma dos produtos dêsse número, por cada uma dasparcelas da soma.Poderemos então escrever: (5 X 3) + (6 X 3) + (7 x 3) ~= 3 (5 + 6 + 7) = 3 X 18 = 54.Fica assim resolvido o nosso problema .

.59. Como se pode obter, PO?" uma única multiplicação, a dife-rença dos produtos 5 X 7 e 5 X 4?

Sabemos que para multiplicar uma diferença por um nú-mero, multiplica-se o minuendo e o subtraendo por êssenúmero e subtraem-se os resultados.Poderemos então escrever:(5 X 7) - (5 X 4) = (7 - 4) X 5 = 3 X 5 15.

,60. Que mudança experimenta um produto:1.") Quando se suprime um ou vários dos seus fatôres?2.0) Qioando nêle se introduz um ou vários [atõres?3.°) Quando se multiplicam dois dos seus fatôres por 5?4.°) Quando se dividem dois dos seus fatôres por 5?5.°) Quando se multiplica cada um dos fatôres por um mes-

mo número?6.°) Quando se divide cada um dos fatôres por 'um mesmo

número?7.°) Quando se multiplica um dos fatôres por um número

e se divide outro fator pelo mesmo número?Respostas:I.") O produto vem dividido por êsse fator, ou pelo pro-

duto dos fatôres suprimidos.

45


2.") O produto vem multiplicado por êsse fator, ou pelo-produto dos fatôres introduzidos.

3.°) O produto vem multiplicado por 5 X 5 = 25.4.°) O produto vem dividido por 5 X 5 = 25.5.°) O produto vem multiplicado por um produto, igual.

a êsse número, multiplicado pelo número de fatôresexistentes no produto dado.

6.°) O produto vem dividido por um produto, igual a êssenúmero, multiplicado pelo número de fatôres existen-tes no produto dado.

7.°) O produto não se altera.

61. Achar o produto de 25 por 9, 11, 99, e 101, sem efetuar di-retamente a multiplicação.

Respostas:1.0) 25 x2.°) 25 x3.°) 25 x4.°) 25 x

9 = 25 x ( 10 - 1)11 = 25 x ( 10 + 1)99 = 25 x ( 100 - 1)

101 = 25 x ( 100 + 1)

250 25250 + 25

2.500 - 252.500 + 25

225·275--

2.475-2.525

62. Dar um meio abreviado para multiplicar u.m número por:50, 25, 20 e 125.

Respostas:Por 50: Multiplica-se por 100 e toma-se a metade do re-

sultado obtido.Por 25: Multiplica-se por 100 e divide-se o resultado en-

contrado por 4.Por 20: Multiplica-se por 100 e divide-se o resultado en-

contrado por 5.Por 125: Multiplica-se por 1.000 e divide-se o resultado en-

contrado por 8.

63. Se a diferença entre dois números é o quádruplo do me--nor, o maior o que é do menor?

Chamemos os números de (a) e (b). Seja (a) maior que (b).Pelas condições do enunciado, teremos a - b = 4b.Se quisermos agora o minuendo (a), teremos como é lógico;que somar o subtraendo (b) com o resto (4b). Ficaráentão: a = 4b + b ou: a = 5b.Vemos então que o nosso maior número (a), é o quíntuplo-do menor.


64. Se a soma de dois números é o quádruplo do menor, o-maior o que é do menor?Chamando-se os números de (a) e (b), sendo (a) maior que-(b), teremos pelas condições do problema: a + b = 4b.Ora, como na soma de dois números, qualquer das parcelasé igual a soma menos a outra parcela, teremos que: a == 4b - b ou: a = 3b.Vemos então que o nosso maior número (a), é o triplo domenor.

65. Se um número é o sextuplo de outro, a diferença entre êleso que é do menor?Chamemos os números de (a) e (b), sendo (a) maior que (b);Pelas condições do problema, temos a = 6b.Sabemos que subtraindo o mesmo número a ambos os têr-mos de uma igualdade, ela não se altera. Vamos então sub-trair (b) a ambos os têrmos da igualdade acima. Teremosa - b = 6b - b ou: a - b = 5b.Ora, a - b é justamente a diferença entre os números; e-vemos, que é igual ao quintuplo do menor.

66. Se multiplicarmos um númeor por 5, êle aumenta de quantoem relação a êle mesmo?Aumenta de 4 vêzes o seu próprio valor.

67. Qual é o número que multiplicado por 7, aumenta de 275unidades?

Sabemos que êle multiplicado por 7, aumenta de 6 vêzes o'seu valor. Assim sendo, 276, representa 6 vêzes o valordo número procurado. O número será então: 276/6 = 46.

68. O produto de dois números é 2.350. Se multiplicarmos umdos núme?'os por 10, o produto ficará aumentado de quantasdezenas?O produto ficará aumentado de tantas dezenas, quantasforem as unidades do outro fator.

69. O produto de dois números é 908. Se multiplicarmos um dosfatôres por 4 e o outro por 5, qual será o novo produto?Sabemos que se num produto de dois fatôres, multiplicar-mos cada um dêles por um numero, o produto virá mul-tiplicado pelo produto dêsses números.Assim sendo, o nosso produto virá multiplicado por 4 X 5=20.O novo produto será então: 908 X 20 = 18.160.

47

·48 CEL. MAURICIO PIRAJÁ

'70. Numa multiplicação, o multiplicando é 430. Se subtrair-mos 3 unidades ao multiplicador, de quantas unidades di-minuirá o produto?

Sabemos que num produto de dois fatôres, se subtrairmosum certo número de um dêles, o produto virá diminuídodo valor dêsse número, multiplicado pelo outro fator.No nosso caso então, o produto diminuirá de 3 X 430 = 1.290unidades.

'71. O produto de dois números é 392. Subtraindo-se 4 unida-des de 'um dêles, o produto passa a ser 280. Achar os doisnúmeros.

Subtraindo-se de um dos fatôres as 4 unidades, o produtodiminuiu de 4 vêzes o outro fator. Logo: 392 - 280 = 112,representa 4 vêzes o fator que não variou. Êsse fator seráentão: 112/4 = 28. O outro fator terá que ser forçosamente:392/28 = 14.

'72. A soma de dois números ímpares e consecutivos é 404. Acharo produto dos dois números.

Dividindo-se a soma de dois números ímpares consecutivospor 2, acha-se o número par do meio. Fazendo isto no nossoproblema, teremos: 404/2 = 202. Os números ímpares con-siderados são pois, 201 e 203.O seu produto é: 201 x 203 = 40.803.

'13. Um ciclista perseque 'l,Lmpedestre que leva 20 quilômetrosde vantagem. O ciclista percorre 11 quilômetros por hora,e o pedestre, 4 quilômetros no mesmo tempo. Qual a distân-cia entre os dois ao fim de duas horas?

Ao fim de duas horas o ciclista percorreu 2 X 11 = 22quilômetros, e o pedestre percorreu 2 X 4 = 8 quilômetros.Vemos então que nessas duas horas, o ciclista andou maisdo que o pedestre, 22 - 8 = 14 quilômetros. Como a dis-tância entre êles era de 20 quilômetros na partida, ficoureduzida depois de duas horas de perseguição, a: 20 - 14 == 6 quilômetros.

74. Um aluno efetuou a multiplicação de 231 por 108 e escreveuo segundo produto sob o primeiro, deslocando-o para a es-querda de uma única ordem. Determinar o êrro, raciocinandocom os valores relativos dos diversos algarismos deslocados.

A operação certa seria:

334 PROBLEMAS DE MATE~TICA

231108

1848231.

24'948

A operação feita pelo aluno, foi:

231108

1848231

4158

Examinemos os valores relativos dos algarismos do .número231 (2.0 produto), nos dois casos.O algarismo (1) que representava 100 na operação certa,passou a representar 10, na errada. Êrro para menos, de 90,

..O algarismo (3) que representava 3.000 na operação certa,passou a representar 300, na errada. Êrro para menos de3.000 - 300 = 2.700.O algarismo (2) que representava 20.000 na operação cer-ta, passou a representar 2.000, na errada. ,Êrro para menosde 20.000 - 2.000 = 18.000.Somando-se agora todos os erros calculados, veremos queo aluno errou para menos, de: 18.000 + 2.700 + 90 = 20.790.Verificação: 24.948 - 4. 158 = 20.790.

'75. Dois trens partem no mesmo instante de duas estações si-tuadas a 240 quilômetros de distância uma da outra e sedirigem no mesmo sentido. O primeiro, que sai da estaçãosituada na f?'ente, tem a velocidade de 50 quilômetros porhora e o segundo, percorre 65 quilômetros por hora. Quala distância entre os dois trens ao fim de 3 horas de marcha?,

Ao fim de três horas, o primeiro percorreu 3 X 50 = 150quilômetros.O segundo, no mesmo tempo, percorreu 3 X 65 = 1!ffiquilômetros.A distância entre êles ao fim de 3 horas e levando em<contaa distância que já de início separava as duas estações

49

4


de onde partiram, será: (240 + 150) - 195 == 390 - 195 == 195 quilômetros.

76. Dois trens partem no mesmo instante de duas estações si-tuadas a 400 quilômetros uma da outra e se dirigem ern-sentidos contrários. O primeiro tem a velocidade de 50 qui-lômetros por hora e o segundo, de 65 quilômetros por hora.QuaJ a distância entre os dois ao fim de duas horas? E no-fim de 4 horas?

Ao fim de duas horas, teremos que:O primeiro trem andou 2 X 50 = 100 quilômetros.O segundo trem andou 2 x 65 = 130 quilômetros.Como êles andam em sentidos contrários, a distância entre'êles será de 400 - (100 + 130) = 400 - 230 = 170 qui-lômetros.Ao fim de 4 horas, teremos que:O primeiro trem andou 4 X 50 = 200 quilômetros.O segundo trem andou 4 x 65 = 260 quilômetros.Vemos então, que o primeiro trem andou até a metade docaminho (200 quilômetros); o segundo cruzou com o pri-·meiro na metade do caminho e andou mais 60 quilômetros,devido a sua maior velocidade. A distância entre êles entãoao fim de 4 horas, é de 260 - 200 = 60 quilômetros.

DIVISÃO

77. Quando uma divisão se faz exatamente, qual é o maior nú-.mero que se pode acrescentar ao dividendo sem mudar oO quociente?

Êsse número é igual ao divisor menos uma unidade.

78. Quando a divisão dá um resto, qual é o menor número quese pode acrescentar ao dividendo para obter um quociente'exato?

:Ê:ssenúmero deve ser igual a divisor menos o resto.

79. Quando a divisão dá um resto, qual é o menor número que-se pode subtrair do dividendo para obter um quocienteexato?

Êsse número é o próprio resto.

\~~~~~~~====~======~======================


80. Dar um meio abreviado para dividir um número por: 5~25, 125.

1.0) Por 5: divide-se por 10 e multiplica-se o quociente por 2.2.°) Por 25: divide-se por 100 e multiplica-se o quociente

por 4.3.°) Por 125: divide-se por 1.000 e multiplica-se o quociente

por 8.

81. O número 225, vêzes um Out1'Onúme1'o, é igual a 90.900.Qual será êsse outro número?

Sabemos que num produto de dois fatôres, cada fator éigual ao produto, dividido pelo <;lUtrofator. Ora, um dosfatôres do nosso produto é 225 'e o produto é 90.900. Ooutro fator será então: 90. 900/225 ~404.

82. Qual é o maior número e mais próximo de 8,916, que con-tém exatamente 347?

Vamos dividir 8.916 por 347: encontramos 25 para quo-ciente e 241 para resto (divisão .inexata).Ora, o menor número que somado ao dividendo 8.916, tornaa divisão por 347 exata, é 347 - 241 = 106 (vide proble-ma n." 78).O número procurado será então: 8.916 + 106 = 9.022.Verificação: 9.022/347 = 26 exatamente,

83. Por quanto devo multiplicar o número 30, para que o pro-duto fique contido 4 vêzes exata$ em 2 -.400?

Chamando o número procurado de (N), para que (30 x N)se contenha 4 vêzes exatas em 2.400, é preciso que tenh~-mos: 4 (30 x N) = 2.400.Tirando o valor do fator (30 X N), teremos: 30 X N == 2.400/4 = 600.Se agora, da igualdade 30 X N = 600 tiramos o valordo fator N, teremos finalmente: N = 600/30 ou: N = 20.Deveremos então multiplicar o número 30, por 20.Verificação: 2.400/600 = 4.

L

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52 CEL._ MAUR,ICIO PIRAJÁ

84. Qual é o número men01' e mais próximo de 8.916, qt~e con-tém exatamente 347? '

Dividindo-se 8.916 por 347, encontramos o quociente 25 e oresto 2.4l.Como sabemos, o resto é o menor número que se pode sub-trair do dividendo para se obter um quociente exato.O número menor e mais próximo de 8.916 procurado, seráentão: 8.916 - 241 = 8.675.Verificação: 8.675/347 = 25 (exatamente).

85. Multipliquei o dividendo por 46 e o divisor por 23. Se oquociente era 35, qual será o novo quociente?

Multiplicando por 46 o dividendo, o novo quociente vemmultiplicado por 46.Multiplicando o divisor por 23, o novo quociente vem di-vidido por 23.Assim sendo, o novo quociente será:

35 X 46= 1.610/23 70

23

86. Numa divisão, o divisor é maio?' que o quociente de 8 uni-dades e o resto é o 'maior possível. Se a soma do diviso?'com o quociente é 30, qual será o dividendo?

Chamemos o dividendo de (D), o divisor de (d) e o quocientede (q). Sendo o divisor maior de 8 unidades do que o quo-ciente, a diferença entre os dois será d - q = 8. Ora, sã-bemos pelo enunciado que a soma d + q = 30.Temos então a soma e a diferenca de dois números.O maior dêles que é o divisor, ~omo é lógico, será:

30 + 819

2

O menor, ou quociente no casa, será:

30 - 811

2


Teremos então: d = 19 e q = 11.Chamemos de (r) o resto. Como o resto é o maior possível,êle só pode ser igual ao divisar menos uma unidade. Te-remos então: r = d·- 1 = 19 - 1 = 18.O dividendo procurado será então: D = dq + r ou:D = 19 X 11 + 18 = 227.

87. Numa divisão o quociente é igual ao div.isor e o resto é omaior possível. Se a soma do divisor com o quociente éigual a 18, qual será o dividendo?

Sabemos já que: D = dq + r.Se o quociente é igual ao divisar, teremos d = q. Mas, sa-bemos pelo enunciado que d + q = 18. Mas, como d = q.podemos escrever que 2d = 18 ou: d = 18/2 = 9, e que:2q = 18 ou: q = 18/2 = 9.O resto sendo o maior possível, será: r = d - 1 = 9 - 1 = 8.O nosso dividendo será então: D = 9 x 9 + 8 = 89.

.88. Dividindo-se um número por 7, ficam faltando 228 uni-li') dades ao quociente para igualar o dividendo. Qual foi o

número que divimos por 7?

Lembremo-nos da fórmula que nos dá o valor do dividendo,D = dq + r. De acôrdo com os dados do nosso problema,vemos logo que: d = 7 e D = q + 228 donde D - 228 = q.Como não se falou em resto, é porque a nossa divisão éexata; assim sendo, teremos D = dq. Substituindo-se nestaig-ualdade (d) e (q) por seus valores já encontrados, temos:D = 7 x (D - 228). Efetuando a multiplicação, vamos ter:D = 7D - 7 x 228 ou D = 7D - 1.596.Passando-se agora (D) para o segundo membro da igual-dade e 1.596 para o primeiro membro, teremos que trocaros sinais de ambos, e ficaremos com 1.596 = 7D - D = 6D.Da igualdade 6D = 1.596, determinando-se o valor do fatorD, vamos encontrar D = 1.596/6 ou D = 266.O número procurado é então, o número 266.

89. O produto de dois númems é 240. O triplo do p1"Ímeiro é180. Qual é o segundo?

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54 CEL. MAURICIO PffiAJÁ

Chamemos os dois números de (a) e (b).Pelo enunciado do problema, vemos logo que: a x b = 240e 3 x a = 180. Se nesta última igualdade determinarmoso valor do fator (a), teremos: a = 180/3 = 60. Se agora, naprimeira igualdade, substituirmos o fator (a) pelo valorque acabamos de encontrar, teremos: 60 x b = 240.Determinando-se o valor do fator (b), vamos encontrarb = 240/60 = 4.O primeiro número é, então. 60 e o segundo é 4.

90. A soma dos três números que figuram numa subtração é128. O resto é o triplo do subtraendo. Qual é o subtraendo?

Chamando-se de (M) o minuendo, (S) o subtraendo e (R)o resto ou diferença,. temos: M + S + R = 128 mas,M + S + R. também é igual a 2M, porque a soma dos trêstêrmos de uma subtração é igual ao dôbro do minuendo.Teremos conseqüentemente: 2M=128 donde M=128/2=64.Mas, sabemos também pelo enunciado do problema, queR = 3S. Substituindo-se então em M + S + R = 128, (M)e (R) pelos seus valores, teremos: 64 + S + 3S = 128 ou:64 + 4S = 128.Nesta última, igualdade, tirando-se o valor da parcela 4S,vamos ter 48 = 128 - 64 = 64. Finalmente, se na igual-dade 48 = 64, tiramos o valor do fator S, teremos 8 = 64/4ou S = 16.O subtraendo procurado é então 16.

91. Onze meninos e duas meninas concordaram em dividir en-tre si 71 maçãs, sem cortar maçã alguma. Se algumas so-bressem, concordaram em dividí-las entre as meninas.Quantas maçãs recebeu cada menino e cada menina?

O número total de criancas é 11 + 2 = 13.Se cada criança recebesse o mesmo número de maçãs, re-ceberiam 5 maçãs cada uma e sobrariam 6, porque 71: 13 = 5e resto 6.Mas, como as sobras devem ser distribuídas entre as me-ninas e estas são apenas duas, concluiremos que:Cada menino recebeu 5, maçãs e cada menina, 5 + 3 = 8.

92. A diferença entre dois números é 72 e o seu quociente exatoé 7. Quais são os dois números?

Vamos resolver primeiro pelo Taciocínio.


Se o quociente exato é 7, isto quer dizer que o maior nú-mero contém o menor 7 vêzes. Quer dizer ainda, que omaior número é igual a 7 vêzes o menor. Assim sendo, adiferença entre o maior e o menor número, é igual a 6vêzes o menor. Se dividirmos então essa diferença por 6,teremos o menor dos números.O maior número será portanto, a diferença entre os doisnúmeros, mais o menor dêles.Ora, sabemos pelo enunciado, que a diferença entre os doisnúmeros é 72.Setenta e dois então, representa 6 vêzes o menor número.O menor número será, como é lógico, 72/6 12.O maior número será: 72 + 12 = 84.Resolvendo agora pelo cálculo e chamando os números de(a) e (b), sendo (a) maior que (b), teríamos: a - b = 72e a/b = 7 donde a = 7b.Substituindo-se êste valor de (a) na primeira igualdade edeterminando-se o valor de (b) , teríamos respectivamente:7b - b = 72 donde: 6b = 72 ou: b = 72/6 = 12.Para acharmos o valor de (a), teríamos a - b = 72. Subs-tituindo-se (b) pelo valor encontrado, a - 12 = 72 ou:a = 72 + 12 = 84.

93. A diferença de dois números é 286. Dividindo-se o maiorpelo menor encontra-se o quociente 7 c o resto o maiorpossível. Achar os dois números.

Do enunciado do problema tiramos os seguintes dados, con-siderando-se os dois números procurados como (a) e (b),sendo (a) maior que (b): a - b = 286; a: b = 7 e resto

a b - 1(b - 1), ou: -- 7 •.

b bNOTA: Recordemos, que o resto maior possível, é aquêle

que é uma unidade inferior ao divisar.Se acrescentarmos uma unidade ao dividendo, o resto passaa ser uma unidade maior; porque, quando se acrescentaum número ao dividendo, o resto vem acrescido dêsse mes-mo número.Ora, como o resto já era o maior possível, se êle ficou um.aunidade maior, êle se tornou igual ao divisor. Assim sendo,o divisar se conterá mais uma vez exata no dividendo; epor isso, o quociente aumentará de uma unidade. Passandoagora ao cálculo, teremos:

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CEL. MAURICIO PIRAJÁ

Se na igualdade a - b = 286, somarmos uma unidade ao>minuendo, a diferença virá acrescida desta unidade. Logo:a + 1 - b = 286 + 1 ou: a + 1 - b = 287.Se em a: b = 7 e resto (b - 1), acrescentarmos uma' uni-dade ao dividendo (a), de acôrdo com o raciocínio já feito.teremos:(a + 1): b = 7 + 1; porque o resto se tornando igual 8:0.divisor, provocou o aumento de uma unidade no quociente,e desapareceu.Desta última igualdade, tiramos: (a + 1): b = 8 ou a + 1 == 8b.Se agora, substituirmos (a + 1) na expressão a + 1 - b ~.= 287 encontrada acima, pelo seu valor (8b), teremos: 8b -- b = 287 ou: 7b = 287 donde: b = 287/7 = 41.O número (a) será então, levando em conta que a +b = 285:a - 41 = 286 donde: a = 286 + 41 = 327. .Os dois números são pois: a = 327 e b = 41.

94. Qual o número que se deve subtrair de 343, para se obter-um número 7 »êzes menor?

Chamando-se de (a) o número procurado, poderemos es-crever, de acôrdo com o enunciado do problema: 343 - a == 343: 7 donde: 343 - a = 49. Tirando-se agora o valor dosubtraendo (a), teremos: a = 343 - 49 a ou: a = 294.O número que devemos subtrair de 343, é 294.

95. Pedro tem o triplo da idade de João, que é 16 anos mais-moço. Qual a idade de cada um?Chamemos de (P) a idade de Pedro e de (J) a idade de João.Pelo enunciado do problema, tiramos respectivamente:P = 3J e J = P - 16. Substituindo-se êste valor de Jna primeira igualdade, vamos ter: P = 3 X (P - 16). Efe-tuando, vem: P = 3P - 48 donde: 48 = 3P - P ou: 48 = 2Pou: P = 48/2 = 24.Como J = P - 16, teremos logo: J = 24 - 16 ou: J = 8.Resposta: A idade de Pedro é de 24 anos e a de João é de 8_

96. Pedrinho tem 10 anos e seu tio tem o quadruplo da idadede Pedrinho. No fim de quantos anos a idade do tio, será o-triplo da de Pedrinha?

Vamos chamar de (N), o número de anos procurados.Se Pedrinho tem 10 anos agora, o seu tio terá 4 X 10 = 40..Daqui a (N) anos) Pedrinho terá 10 + N anos e seu tio,40 + N.


..

Mas, nessa época, pelas condições do problema, devemoster a idade do tio igual ao triplo da idade do .Pedrinha.Teremos então: 40 + N = 3 (10 + N) ou: 40 + N = 30 + 3N-donde: 40 - 30 = 3N - N ou ainda: 10 2N ou final--mente: N = 10/2 = 5.No fim então de 5 anos, serão satisfeitas as condições do-problema.Verificação: Ao fim de 5 anos, Pedrinho terá 10 + 5 = 15-·anos e seu tio, 40 + 5 = 45. Ora, 3 x 15 = 45.

97. A soma de dois númeTOS é o quintuplo do menor e a-diferença é 240. Achar os dois números.

Sejam os números (a) e (b), sendo (a) maior que (b).Pelo enunciado do problema, vemos logo que: a + b = 5b e-a - b = 240. Desta última igualdade, tiramos a = 240 + b-que substituído na primeira nos dá: 240 + b + b = 5b ou:240 + 2b = 5b donde: 240 = 5b - 2b ou: 240 = 3b donde.:b = 240/3 = 80.a valor de (a) será então: a - 80 = 240 donde: a = 240 ++ 80 = 320.Os dois números são pois: a = 320 e b = 80.

98. Compraram-se 4 livros e 16 cadernos por Cr$ 52,00. Por 3"livros e 17 cadernos, ter-se-ia que pagar Cr$ 49,00.Determinar o preço de cada caderno e de cada livro.

Armemos o problema da seguinte maneira:4 livros e 16 cadernos, custam Cr$ 52,003 livros e 17 cadernos, custam Cr$ 49,00Observando-se o que ficou escrito, vemos que: quando di--minuimos um livro e aumentamos um caderno, o preço to--tal diminui de 52 - 49 = 3 cruzeiros.Êstes três cruzeiros então, indicam, de quanto um livro-é mais caro que um caderno.Se agora, subtrairmos de 52 cruzeiros, a quantia de 4 X 3 =

= 12 cruzeiros, poderemos considerar os 4 + 16 = 20 objetos,.como se fôssem todos, cadernos.Isto porque, eliminamos assim, a diferença de preço entre-livros e cadernos.Teremos então, que 52 - 12 40 cruzeiros, representará,o preço de 20 cadernos.Cada caderno custará: 40/20 2 cruzeiros.

57'

.58 CEL. MAURICIO PffiAJÁ

Os livros, que sabemos ser 3 cruzeiros mais Caros, custa-rão então, 5 cruzeiros cada um.

'Verificação: Livros: 4 x Cr$ 5,00Cadernos: 16 x Cr$ 2,00

Cr$ 20,00Cr$ 32,00 .-

Soma Cr$ 52,00

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· '. PROBLEMAS GERAIS

,99. Pedra, Paulo e Mario, tem juntos Cr$ 450,00. Pedra temCr$ 130,00 e a quantia de Paulo é o quadruplo da de Mario.Quanto tem Paulo mais que Mar,io?

Chamemos a quantia de Pedro de (a); a quantia de Paulode (b) e a quantia de Mario de (c).Pelo enunciado do problema, poderemos formar as seguintesigualdades: a + b + c = 450 cruzeiros; a = 130 cruzeirose b = 4c.Se a quantia de Paulo é igual a 4 vêzes a quantia de Mario,isto é: se b = 4c, concluimos que na soma a + b + c = 450,vamos ter 5 vêzes a quantia de Mario ou 5c, mais, umavez a quantia de Pedro (a). Então, se na igualdade a + b ++ c = 450, subtrairmos de ambos os seus membros a quan-tia de Pedro a = 130 cruzeiros, teremos: b + c = 450 - 130ou: b + c = 320. Em virtude do raciocínio que fizemosacima, é fácil de ver que o primeiro membro desta últimaigualdade, representa 5 vêzes exatas a quantia (c) de Mario.Podemos então escrever: 5c = 320 donde: c = 320/5 ou:c = 64.Assim sendo, a nossa igualdade b + c = 320, também sepoderá escrever, substituindo (c) pelo valor já encontrado:b + 64 = 320 donde: b = 320 - 64 ou: b = 256.Poderemos então dizer que:Pedro tem Cr$ 130,00; Paulo, tem 256,00 e Mario temCr$ 64,00.Paulo tem então mais do que Mario, Cr$ 256,00 -~ Cr$ 64,00 = Cr$ 192,00.

100. Comprei 10 maçãs e meia dúzia de pêssegos por Cr$ 52,00.Se duas maçãs custam tanto quanto 4 pêssegos, qual opreço de cada fruta?

Se com o preço de duas maçãs eu compro 4 pêssegos, éporque as maçãs são duas vêzes mais caras que os pêssegos.


Então, se com os 52 cruzeiros quisesse comprar apenaspêssegos, ao invés de 10 maçãs, poderia comprar 20 pêsse-gos, que com a outra meia dúzia, somariam 26 pêssegos.O preço de cada pêssego seria então de: 52/26 = 2 cruzeiros.Ora, como sabemos que as maçãs são duas vêzes maiscaras que os pêssegos, segue-se que o preço de cada maç.,seria de 2 X 2 = 4 cruzeiros.

101. Joãozinho comprou 5 lapis e 4 cadernos por Cr$ 30,60_Se dois cadernos custam tanto quanto 6 lapis, qual o preçode cada caderno e de cada lapis?

Se dois cadernos custam tanto quanto 6 lapis, os cadernossão 6: 2 = 3 vêzes 'mais caros que os lapis. Assim sendo,com o dinheiro de 4 cadernos, poderíamos comprar trêsvêzes mais "lapis. No nosso caso, 3 x 4 = 12 lapis. Seentão comprássemos somente lapis, com o dinheiro de'que dispomos, poderíamos comprar 12 + 5 = 17 lapis.O preço de cada lapis seria então: 30,60/17 = 1,80cruzeiros.Os cadernos como são três vêzes mais caros, custariamcada um: 3 x 1,80 cruzeiros = 5,40 cruzeiros.

102. Da. Zulmira comprou 3 melões, 4 melancias e 7 abacaxis,.tudo por Cr$ 99,00. Um melão custou tanto quanto 3 me-lancias e uma melancia tanto quanto 2 abacaxis. Qual o'preço de cada fruta?

Um melão é três vêzes mais caro que uma melancia.Uma melancia é duas vêzes mais cara que um abacaxi.Logo: Um melão, é 3 x 2 = 6 vêzes mais caro que umilbacaxi.Se comprássemos só abacaxis com os 99 cruzeiros, podería-mos comprar: em vez de 3 melões, 3 X 6 = 18 abacaxis;em vez de 4 melancias, 4 x 2 = 8 abacaxis.Temos ainda os 7 abacaxis, que constam do enunciado do,problema.Compraríamos então ao todo, 18 + 8 + 7 = 33 abacaxis.Diremos então, que o preço de um abacaxi, é de 99/33 = 3-cruzeiros.Uma melancia custará então: 2 X 3 = 6 cruzeiros e ummelão, 6 X 3 = 18 cruzeiros.

103. Uma peça de fita vale ao todo Cr$ 300,00 mais que outra-da mesma espécie. Um metro de cada uma vale Çr$ 5,00_

..


104.

Se o comprimento da primeira é o quadruplo' do da se-gunda, quantos metros tem cada uma?Se a diferença de 300 cruzeiros da maior para menor peça,corresponde a diferença de comprimento entre elas, e sesabemos que o metro de qualquer delas vale 5 cruzeiros,concluimos, que a diferença de comprimento entre elas-é de 300/5 = 60 metros.Se chamamos de (C) o comprimento da menor peça, ocomprimento da maior será C + 60. Mas, se o compri-mento da maior (C + 60)" é igual ao quadruplo do com-primento da menor, (4C) portanto, concluimos que a somadas duas peças C + (C + 60), valerá o quintuplo damenor. Teremos então que: C + C + 60 = 5C ou: 2C ++ 60 =c= 5C ou, passando 2C para o segundo membro daigualdade, teremos: 60 = 5C - 2C donde: 3C = 60 ou:C = 60/3 = 20.A menor peça terá então 20 metros de comprimento.Como sabemos que a maior é o quadruplo da menor, elaterá como é lógico, 4 X 20 = 80 metros.

Doze rapazes cotizaram-se para comprar um barco. Doisãêles ficaram impedidos de pagar as respectivas cotas e,em conseqüência, cada t~m dos restantes teve que darCr$ 4,00 além da sua cota.Qual o preço do barco e qual a cota de cada um ?

Se apenas dois rapazes não puderam pagar suas contas,sobraram 10 rapazes para pagar por êles. Ora, a razãode 4 cruzeiros para cada um, vemos que pagaram ao todo

4 x 10. = 40 cruzeiros. Êstes 40 cruzeiros, representamas cotas dos dois rapazes que não pagaram. A cota de cadaum, foi então, de 40/2 = 20 cruzeiros. .Como tôdas .as cotas eram iguais e as cotas foram ao todo12, segue-se que o barco custou: 12 x 20 = 240 cruzeiros.

A soma dos algm-ismos de um número de dois algarismosé 12 e o algarismo das dezenas é o triplo do das unidades.Qual é o número? '

Suponhamos que (a) é o algarismo das dezenas e (b) é odas unidades. O nosso enunciado nos dará imediatamente:a + b = 12 e a = 3b. Ora, se a = 3b, isto quer dizer, que.a soma a + b, representa o quadruplo do algarismo dasunidades ou (4b). Como esta soma é igual a 12, poderemosentão escrever: 4b = 12 donde: b = 12/4 = 3.

61

105.


Ora, se 3 é o algarismo das unidades e se o das dezenasé o triplo dêle, o das dezenas será: 3 x 3 = 9.O número procurado será então: 93.

106. Ao serem distribuídos 280 cruzeiros entre três pessoas, aprimeira recebe tantas notas de 20 cruzeiros, quantas asegunda recebe de 10 e a terceira de 5. Quantas notas re-cebe cada uma?Suponhamos que a primeira pessoa receba (a) notas, asegunda (b) e a terceira (c) notas.A primeira recebendo tantas notas de 20 cruzeiros quantasa segunda recebe de 10, recebe portanto, o dôbro da quan-tia recebida pela segunda. Teremos então: a = 2b.A primeira recebendo tantas notas de 20 quantas a ter-ceira recebe de 5, recebe pois, uma quantia quatro vêzesmaior que a da terceira. Teremos então a = 4c.Ora, se (a) é o dôbro de (b), segue-se que: (b) é a metadede (a). Mas, se (a) também é o quadruplo de (c), (b)sendo a metade de (a), será igual também ao dôbro de(c). Teremos então: b = 2c.Assim sendo, a soma a + b + c = 280 (que é a quantiarecebida em conjunto), ficará: 4c + 2c + c = 280 ou:7c = 280, donde: c = 280/7 = 40.A terceira pessoa recebe então 40 cruzeiros em notas de 5,ou sejam: 40/5 = 8 notas.A quantia da segunda que é o dôbro da quantia recebidapela terceira, será então: 2 x 40 = 80 cruzeiros. Comorecebe em notas de 10 cruzeiros, receberá: 80/10 = 8 notas.A quantia recebida pela primeira que é 4 vêzes a quecoube a terceira, será então: 4 X 40 = 160 cruzeiros. Comorecebe em notas de 20, receberá: 160/20 = 8 notas.Cada pessoa recebe 8 notas. A primeira recebe em notasde 20 cruzeiros, a segunda em notas de 10, e a terceiraem notas de 5.

107. Pedra e João tinham ao todo 280 cruzeiros. João deu 20cruzeiros a Pedra e ficaram com quantias iguais. Quantotinha primitivamente cada um?

Suponhamos que Pedro tinha a quantia (a) e João a quan-tia (b).Pelos dados do problema, sabemos que a + b = 280.Se João deu 20 cruzeiros a Pedro, ficou com (b - 20).Se Pedro recebeu 20 cruzeiros de João, ficou com (a + 20).


Como depois dêste fato, ficaram com quantias iguais, comodiz o enunciado do problema, poderemos escrever: b - 20 == a + 20 ou: b - a = 20 + 20 = 40.Temos então agora, a soma 280 e a diferença 40, entre osdois números (a) e (b). Sabemos que a quantia de João(b), era maior que a quantia de Pedro, (a).Teremos então:

280 + 40b = 320/2 160

2

280 40a = = 240/2 = 120

2

Concluimos então, que João tinha 160 cruzeiros e Pedro120.

108. Dona Zuimira deu 7 balas a cada uma das suas sobrinhas-e sobraram 2 balas. Para dar 9 a cada uma, ficariam fal-tando 8. Quantas sobrinhas tem Dona Zulmira?

Se em lugar de 7, Dona Zulmira quisesse dar 9 bolas acada sobrinha, teria que dar mais 2 balas a cada uma.Nesse caso, não só utilizaria as duas balas que sobraramda primeira partilha, como ainda precisaria de mais 8.Necessitaria então de 8 + 2 = 1"0balas (além das 7 quepoderia logo dar a cada uma).Ora, como teria que dar mais 2 balas a cada sobrinha eprecisava para isso de mais 10, é porque Dona Zulmíratem 10/2 = 5 sobrinhas.

109. Num rarreiro há galinhas e coelhos num total de 45 ca-beças e 128 pés. Quantos animais há de cada espécie?

Se todos os animais no terreiro fôssem de dois pés, deve-ríamos ter 2 X 45 = 90 pés. Mas, como temos 128 pés, adiferença 128 - 90 = 38 pés, corresponde aos outros doispés dos animais de 4 pés (coelhos) também existentes noterreno, dos quais, apenas dois pés estão incluídos no nú-mero 90.Os animais de 4 pés existentes, seriam então em númerode: 38/2 = 19 coelhos.Os animais de dois pés ou galinhas, seriam: 45 - 19 = 26_

"c64 CEL. MAURICIO PIRAJÁ

J.10. Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde3 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 110pontos.Quantos exercícios 'acertou?

Se o aluno acertasse todos os exercícios, receberia 30 X 5 == 150 pontos.Como só recebeu 110 pontos, é porque errou o correspon-dente a 150 - 110 = 40 pontos. Para cada resposta errada,perdeu 3 pontos de acôrdo com o enunciado do problema,e mais 5 que deixou de ganhar porque não acertou. Então:por cada resposta errada, perdeu 3 + 5 = 8 pontos.Em 40 pontos perdidos, deu portanto, 40/8 5 respostaserradas.Como foram 30 exercícios, acertou 30 - 5 25.

:111. Um empregado recebe 55 cruzeiros por dia sem alimentaçãoe 30 cruzeiros quaTl-do faz as refeições no emprêgo. Nofim de 30 dias recebe 1.400 cruzeiros. Quanto dias fêz csrefeições no emprêgo?

No dia em que o empregado faz as refeições no emprêgo,êle perde 55 - 30 .= 25 cruzeiros. Supondo-se que êletrabalhasse os 30 dias sem alimentação, deveria receber55 x 30 = 1.650 cruzeiros. Como porém só recebeu 1.400cruzeiros, a diferença: 1.650 - 1.400 = 250 cruzeiros, cor-responde ao que perdeu ou deixou de ganhar, nos' diasem que fêz as refeições no emprêgo. Como em cada vezque isso aconteceu êle perdeu 25 cruzeiros, concluimos queêle fêz as suas refeições no emprêgo, durante 250/25 == 10 dias.

:112. A soma de 4 númeTos inteiros e consecutivos é 86. Achã-ros números.Os números inteiros e consecutivos diferem entre si deuma unidade.Sejam então os números procurados: (a); (a + 1); (a + 2);(a + 3).Somando êstes três números, teremos:a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6; pondo-se 2 emevidência, vem o valor 2 (2a + 3) para a soma. Ora, comoa soma nos foi dada, poderemos fazer 2 (2a + 3) = 86,donde 2a + 3 = 86/2 = 43, donde ainda poderemos tirar2a = 43 - 3 = 40; ou: a = 40/2 = 20.


Como (a) é o nosso menor número e êles são quatro econsecutivos, serão portanto: 20, 21, 22, e 23.

113. O produto de dois números é 594. Se subtrairmos 5 u-n.i-dades do multiplicando o produto reduz-se a 429. Achar osdois números.

Suponhamos que os números sejam (a) e (b),Pelo enunciado do problema, temos: a x b = 594 e(a - 5) x b = 429.A diferença no produto foi pois, de 594 - 429 = 165unidades.Mas, quando se subtrai um número do multiplicando, sa-bemos que o produto vem diminuído de tantas vêzes omultiplicador, quantas forem as unidades do número sub-traído. Assim sendo, poderemos escrever: 165 = 5 X b,donde, b = 165/5 = 33.Teremos agora então: a x 33 = 594, donde: a = 594/33 = 18.Os números procurados são então: a = 18 e b = 33.

~14. Paulo tem 31 anos e João 13. Há oiumtos anos foi a idadede Paulo o quadruplo da de João?

A diferença atual entre as duas idades é 31 - 13 = 18 anos.Lembremo-nos de que esta diferença permanece a mesma,quaisquer que sejam as idades de Paulo e João.Há (N) anos passados então, quando a idade de Paulo erao quadruplo da de João, a diferença das idades represen-tava o triplo da idade de João. Ora, como essa diferençaera 18 anos também nessa época, a idade de João era entãode 18/3 = 6 anos.A idade de Paulo que era então o quadruplo da sua, erade 4 X 6 = 24 anos.Como agora Paulo tem -31 anos e João 13, tudo issose deu precisamente a 31 - 24 = 7 anos passados.

115. O Senhor Alberto tem 61 anos e os seus três filn,os tem res-pectivamente: 37, 35 e 31 anos. Há quantos anos foi a idadedo Sr. Alberto igual a soma das idades dos seus três filhos? .

Vamos supor que quando o' Sr. Alberto tinha menos (N).anos, a 'sua idade era igual a soma das idades dos seus trêsfilhos.Quando isso se deu, o Sr. Alberto tinha então, 61 - N anos.O seu filho mais velho, tinha 37 - N. O do meio, 35 - N,e o mais novo, 31 - N.

5

.,.


Nessa época então, teríamos como é lógico, de acôrdo coma hipóetse que fizemos:61 - N = (37 - N) + (35 - N) + (31 - N) donde:61 - N = 37 - N + 35 - N + 31 - N donde:61 - N = (37 + 35 + 31) - (N + N + N) ou:61 - N = 103 - 3N.Raciocinemos agora, sôbre o que nos diz esta última igual-dade.Há (N) anos passados a soma atual das idades dos trêsfilhos (que é 103), viria diminuida de 3 vêzes N. Sendo(N), a diferença entre a presente data e a data de então,assim como também, a incógnita do nosso problema.Se assim é, é fácil de concluir, que hoje, a soma das idadesdos filhos (103), aparece aumentada justamente de 3N(com relação ao que era a N anos passados).A idade do pai hoje, também aparece aumentada de umavez essa diferença (N), pois a (N) anos passados, ela erade 61 - N, e hoje é de 61 anos.Então, a diferença real hoje, entre a idade do pai e a somadas idades dos três filhos, aparece por sua vez aumentadade 3N - N = 2N. Ora, esta diferença é de 103 - 61 == 42 anos. Poderemos então escrever: 2N = 42 donde:N = 42/2 = 2l.Há 21 anos passados então, a idade do Sr. Alberto eraigual a soma das idades dos seus três filhos.Verificação:O Sr. Alberto tinha 61 - 21 = 40 anos.O filho mais velho tinha: 37 - 21 = 16 anos.O filho do meio tinha: 35 - 21 = 14 anos.O filho mais novo tinha: 31 - 21 = 10 anos.SOMA: 16 + 14 + 10 = 40 anos.+ 116. Se Pedro nacesse 4 anos antes, teria hoje 20 anos.A idade atual de Paulo é de 30 anos. Há quantos aiios foia idade de Paulo o triplo da de Pedto?

Pelo enunciado, vemos logo que Pedra tem atualmente20 - 4 ~ 16 anos e Paulo tem 30. A diferença entre asduas idades atualmente, é de 30 - 16 = 14 anos. Ora, estadiferença é sempre a mesma quaisquer que sejam as idadesde ambos. Então: quando a idade de Paulo a (N) anosatrás, era igual ao triplo da idade de Pedro, a diferençaentre elas era ainda de 14 anos.


Essa diferença porém, representava então, o dôbro daidade de Pedro.Pedro tinha então: 14/2 = 7 anos. Como agora tem 1~,isso se deu portanto, a 16 - 7 = 9 anos passados.

117. Uma senhora comprou 7 metros de renda e 13 metros defita e pagou ao todo 257,50 cruzeiros. Um metro de r~nda··e um de fita, custam juntos 29,50 cruzeiros. Qual o preçodo metro de renda e do metro de fita, separadamente? .

Resolvemos êste problema, armando a nossa operação daseguinte maneira:(1.0) 7 metros de renda + 13 metros de fita custam 257,50

1 metro de renda + 1 metro de fita custam 29,50

Então:(2.0) 7 metros de renda + 7 metros de fita, custarão:7 x 29,50 = 206,50.Subtraindo-se agora a expressão (2.0

) da expressão ,1.0),teremos:

7 mts. de renda + 13 metros de fita custam 257,5Q- 7 mts. de renda 7 metros de fita custam 206,50

6 metros defitacustam 51,OÕUm metro de fita custará então: 51/6 = 8,50 cruzeiros.Um metro de renda custará portanto: 29,50 - 8,50 = 21,00cruzeiros.

NOTA: A disposição dada aos cálculos, dispensa maioresraciocínios.Notar que para subtrair, trocamos os sinais naexpressão (2.0) que serviu de subtraendo.

118. Rosemary comprou 20 cadernos e três livros. Os cadernoscustaram ao todo 115,00 cruzeiros mais que os livros e cadalivro, custou 7 cruzeiros mais que cada caderno. Quantocustou cada livro?

Suponhamos que cada caderno custa (a) e que cada livrocusta (b) cruzeiros. .Pelo enunciado do problema, tiramos que: 20a = 3b + llfSe b = a + 7.Substituindo-se (b) na primeira igualdade pelo seu valorem relação a (a), representado pela segunda igualdade,teremos: 20a - 3 (a + 7) + 115.


Desenvolvendo, vem: 20a = 3a -+: 21 + 115 ou: 20a - 3a == 136 ou: 17a = 136 donde: a = 136/17 = 8.Ora, se a = 8, teremos em virtude da igualdade b = a + 7,que: b = 8 + 7 = 15.Cada livro então, custou 15 cruzeiros.

119. Um ciclista percorre 13 quilômetros por hora e um pe-destre 4 quilômetros.O ciclista está 36 quilômetros atrás do pedestre. No fim dequantas horas será o pedestre alcançado?

A distância que separa um do outro, é de 36 quilômetrospelos dados do problema.A diferença de velocidade entre êles é de 13 - 4: = 9quilômetros por hora.Assim sendo, para anular a distância que os separa, o ci-clista precisará de 36/9 = 4 horas.Ao fim então de 4 horas, será o pedestre alcançado.Verificação: Ao fim de 4 horas, o pedestre terá percorrido4 X 4 = 16 quilômertos e o ciclista, 4 x 13 = 52.O ciclista terá então percorrido os 36 quilômetros que oseparavam do pedestre inicialmente e mais os 16 quilô-metros que o pedestre percorreu. Estarão então juntos.

120. Em três caixas, há, ao todo, 190 botões. Se passarmos 20botões da primeira para a segunda caixa, essa, ficará com60 botões a mais do que restou na primeira. Mas, se pas-sarmos 5 botões da segunda para a terceira caixa, essa, fi-cará com 40 botões a mais do que restou na segunda. Quan-tos botões há em cada caixa?

Digamos que na primeira caixa existem (a) botões, nasegunda (b) e na terceira (c). Sabemos pelo problema, quea + b + c = 190.Se passamos 20 botões da primeira caixa para a segunda,a primeira ficará com (a - 20) e a segunda com (b + 20) .botões.Pelo enunciado, teremos então: b + 20 = a - 20 + 60 ou..b + 20 = a + 40 donde tiramos: a = b + 20 - 40 ou:a = b - 20 (1.°).Se passamos 5 botões da segunda caixa para a ter-ceira, a segunda fica com (b - 5) e a terceira com (c + 5).Pelo enunciado, também poderemos escrever: c + 5 = b -- 5 + 40 ou: c + 5 = b + 35 donde: c = b + 35 - 5 ou:c = b + 30 (2.°).


Sabemos já que: a + b + c = 190 (3.°).Substituindo-se agora em (3.°), (a) e (c) pelos seus va-lores em (1.0) e (2.°), vem: b.- 20 + b + b + 30 = 190 ou:3b + 10 = 190 donde: 3b = 190 - 10 ou: 3b = 180 donde:b = 180/3 = 60.Teremos então finalmente:

a = 60 - 20 1a = 40ou: e b = 60

c = 60 + 30 c = 90121. Achar três números, sabendo-se que a soma dos dois pri-

meiros é 105, a soma dos dois últimos é 75, e a soma do pri-meiro e do terceiro é 100.Suponhamos que sejam (a), (b) e (c) os númerosprocurados. ' "Teremos pelo enunciado, que: a + b 105

b + c 75a + c 100

Somando-se agora membro a membro estas três igualdades,teremos:a + b + a + b + c + c = 105 + 75 + 100 ou:2a + 2b + 2c = 280 ou: 2 (a + b + c) = 280 ou:a + b + c = 280/2 ou: a + b + c = 140.Assim sendo, é fácil de ver que:140 - (a + c) = b140 - (b + c) = a :no14'0 - (a + c) = b

f 140 - 105 = c ~ c = 35140 - 75 = a ou: a = 65

l140 - 100 = b b = 40

12:2.,Achar um número composto de dois algarismos cuja soma'é 13, sabendo-se que, trocando-se a ordem tiêsses algaris-mos, o número aumenta de 45.Como um número de dois algarismos é igual a 10 vêzes oseu algarismo das dezenas mais o algarismo das unidades,se trocarmos nele a posição dos seus algarismos, o númeroassim formado, será igual a: 10 vezes o algarismo das uni-dades do número dado primitivamente, mais o algarismodas. dezenas do mesmo número.

.Suponhamos então, que primitivamente nos foi dado umnúmero, cujo algarismo das dezenas é (a) e cujo algarismodas unidades é (b).O número dado é de dois algarismos;O número formado será então: 10a + b. Invertendo-seagora, a ordem primitiva dos seus algarismos, o número

69


formado então será: 10b + a; que é pelo enunciado doproblema, maior do que o número dado, de 45 unidades.A diferença entre os dois, será então de 45 unidades.Subtraindo-se o menor do maior, teremos:(10b + a) - (10a + b) = 45. Simplificando o primeiromembro desta igualdade, teremos:10b + a - 10a - b = 9b - 9a = 9 (b - a). Poderemosescrever então: 9 (b - a) = 45 donde: b - a = 45/9 ou:b - a = 5.Como nós já sabemos que a + b ou b + a = 13, teremosentão:

·13 + Sb 18/2 9

2

13 - 5a 8/2 4

2

o número dado primitivamente foi então: 49.O número depois de invertido seus algarismos, ficou: 94.Verificação: 49 + 45 = 94 e 4 + 9 = 13.

123. Que alteração sofre um produto de dois [atõre», quandose soma o mesmo número a cada fator?

Poderíamos demonstrar a regra que enunciaremos a se-guir; porém, como êste livro não se destina a ensinar teoria,daremos apenas a regra prática e uma sua aplicação noproblema que se segue a êste.

REGRA: Somando-se um mesmo número a ·cada fator deum produto de dois fatôres, o produto aumenta.do quadrado dêsse número, mais o produto dêssenúmero pela soma dos fatôres.

O produto então de (a) e (b), depois de havermos so-mado (n) a cada um de seus fatôres, aumentará de: n2 + ..+ n X (a + b).124. Somando-se duas unidades a cada fator de um pro-duto de dois fatôres, o produto aumenta de 150. Achar êsses


[atõres, sabendo-se que o maior excede o menor de 23unidades.Em virtude da regra enunciada no problema anterior, te-remos o aumento do produto: 150 = 22 + 2 (a + b)donde: 150 - 22 = 2 (a + b) donde:

150 - 4!\ + b 146/2 73

2

Mas, sabemos pelo enunciado do problema, que a = b + 23.Então: 73 = b + 23 + b ou: 73 = 2b + 23 ou: 73 - 23 = 2b,donde: 50 = 2b ou: b = 50/2 ou: b = 25.Ora, se b = 25, teremos imediatamente: a = 25 + 23 oua = 48.Os fatôres são então: a = 48 e b = 25.

125. Que alteração sofre um produto de dois fatôres, quando sesoma um número (m) ao multiplicando e um número (n)ao multiplicador?

Da mesma maneira e pelo mesmo motivo, vamos dar aqui.apenas a regra prática e uma aplicação. '

REGRA: Num produto de dois fatôres,somand~~,se umnúmero (m) ao multiplicando e um número (n)ao multiplicador, o produto aumenta de (m) vê-zes o multiplicador, mais (n) uêzes O multipli-cando e mais o produto (m.n).Num produto de (a) por (b), o produto aumenta-rá então de: mb + na + mn.

126. A soma dos dois fatôres de um produto é 159. Somando-se6 ao multiplicando e 5 ao mu~tiplicador, o produto aumentade 840. Determinar os dois fatôres.

Em vista da regra que citamos no problema anterior, te-remos o aumento 840 = mb + na + mn, em que:m = 6, n = 5 e os fatôres procurados são (a) e (b).Substituindo, vem: 840 = 6b + 5a + 30 donde: 5a + 6b ,,;= 840 - 30 ou: 5a + 6b = 810.Pelo enunciado porém, vemos que a + b = 159.A soma dos sextuplos dos fatôres (a) e (b), será então:6a + 6b = 6 X 159 = 954. Subtraindo-se agora desta úl-tima igualdade, 5a + 6b = 810, teremos: a = 954 - 810 == 144.


Ora, como a + b = 159, teremos logo: 144 + b = 159donde: b = 159 - 144 ou: b = 15.Os fatôres procurados são pois: a = 144 e b = 15.

Nota: Neste problema, foi preciso empregar um artifíciode cálculo, achando a soma dos sextuplos dos fa-rores, para podermos determinar o valor do fator (a).

127. A diferença de dois números é 14. Achar êsses números,sabendo-se que o triplo do maior é igual ao qw:tdruplo domenor mais uma unidade.

Suponhamos que os números procurados são (a) e (b).Pelo enunciado do problema, teremos logo: a - b 14 e3a = 4b + 1.A diferença dos quadruplos será então: 4a - 4b = 4 XX 14 = 56 (1.0).Da igualdade 3a = 4b + 1, tiramos: 3a - 4b = 1 (2.°).Da igualdade (1.0), tirando (2.°), teremos:

4a 4b 563a + 4b = 1

a 55Notar, que trocamos o sinal da expressão subtraendo, comomanda a regra. (Estudo dos números relativos)Ora, se temos a = 55, teremos logo: 55 - b = 14 donde;b = 55 - 14 ou: b = 41.Os fatôres procurados são então: a = 55 e b = 41.

NOTA: A diferença feita acima entre as duas expressões,traduz o seguinte raciocínio aritmético: Se da di-ferença entre os quadruplos dos dois números, ti-ramos a diferença entre o triplo do maior dêles eo quadruplo do menor, vamos encontrar o maior.Ainda neste caso, empregamos um artifício decálculo para determinarmos o maior dos númerosprocurados. O artifício, foi determinar a diferençaentre os quadruplos dos números (a) e (b).

128. A diferença de dois números é 60. Achar êsses dois nú-meros, sabendo-se que o triplo do maior é igual ao quin-tuplo do menor:

Suponhamos que os números sejam (a) e (b).Teremos logo pelo enunciado: a - b 60 e 3a = ib.


Supomos (a) maior que (b).Da primeira igualdade, tiramos: a = 60 + b.Da segunda igualdade, tiramos: a = 5b/3.Como duas quantidades iguais a uma terceira são iguaisentre si, teremos: 60 + b = 5b/3 donde: 3 (60 + b) = 5bdonde: 180 + 3b = 5b ou: 180 = 5b - 3b = 2b donde:b = 180/2 = 90.Teremos então logo: a = 60 + 90 = 150.Os números procurados são pois: a = 150 e b = 90.

129. Um número é composto de dois algarismos cuja dife1"en-ça é 4.Invertendo-se a ordem dos seus algarismos e somando-seo número assim formada ao número dado, obtém-se 110.Achar êsse número.

Suponhamos que no número considerado, seja (a) o alga-rismo das dezenas e (b) o das unidades. Teremos entãopelo enunciado: a - b = 4. (Sendo a, maior que b). Onúmero dado será IOa + b e o número resultante da in-versão dos algarismos, será 10b + a.Somando-se êstes dois números como manda o problema,teremos:10a + b + 10b + a = 110 donde: l1a + l1b = 110 ou:11 (li + b) = 110 ou ainda: a + b = 110/11 =110;Ora, já sabemos que a - b = 4. Teremos então que:

O maior algarismo, será:

10 + 4= 14/2 7 ou: a 7

2

o menor algarismo, será:

10 - 4= 6/2 = 3 ou: b = 3

o número dado foi pois, 73. Verificação: 73 + 37 = 110.

130. Acha~' 4 números tais, que a soma dos três primeiros ex-ceda. o quarto de 280. A soma do primeiro, do segundo edo quarto, exceda o terceiro de 200. A soma do primeiro,do terceiro e do quarto, exceda o segundo de 150 e a somados três últimos, exceda o primeiro de 30.

73


Suponhamos que sejam (a), (b), (c), e (d) os númerosprocurados.Pelo enunciado do problema, teremos logo:

a + b + c = d + 280a + b + d = c + 200a + c + d = b + 150b + c + d = a + 30

Se agora, somamos estas quatro igualdades, vamosencontrar:

3a + 3b 3c + 3d+ 150 + 30 ou:

3 (a + b + c + d) (a + b + c + d) + 280 + 200 ++ 150 + 30 ou:3 (a + b + c + d) (a + b + c + d) = 280 + 200 ++ 150 + 30 ou:2 (a + b + c + d) = 280 + 200 + 150 + 30 ou:2 (a + b + c + d) = 660 donde: a + b + c + d = 660/2 == 330.

(a + b + c + d) + 280 + 200 +

Teremos então: a + b + c + d = 330.Tendo em vista agora, as quatro igualdades dadas pelo :enunciado do problema e substituindo respectivamente osseus valores nesta última igualdade que acabamos de de-terminar, teremos:(d + 280) + d = 330 ou: d + 280 + d = 330 ou: 2d == 330 - 280 ou: 2d = 50 donde finalmente: d = 50/2 ou:d = 25.(c + 200) + c = 330 ou: c + 200 + c = 330 ou: 2c == 330 - 200 ou: 2c = 130 donde finalmente: c = 130/2 ou:c = 65.(b + 150) + b = 330 ou: b + 150 + b = 330 ou: 2b == 330 - 150 ou: 2b = 180 donde finalmente:· b = 180/2 ou:b = 90.

(a + 30) + a ~-= 330 ou: a + 30 + a = 330 ou: 2a == 330 - 30 ou: 2a = 300 donde finalmente: a = 300/2 ou:a = 150.São êstes portanto, os números procurados.

131. A soma de dois números é 90. Quais são êsses dois número$,se o seu produto dividido pela sua diferença, dá o maior?

t-


Suponhamos que os números procurados sejam (a) e (b).Pelo enunciado do problema, teremos logo:

a x ba + b = 90 e = a

a b

Supomos que (a) é maior que (b)Da nossa segunda igualdade tiramos:a x b

--- = a, donde: a x b = a (a - b) ou: b = a - ba b

Para esta transformação, dividimos ambos os membrosda igualdade por (a).Ora, se b = a - b, temos: a = 2b. Substituindo-se agoraêste valor de (a) na igualdade a + b = 90, vamos encontrar:2b + b = 90 ou: 3b = 90 donde: b = 90/3 ou: b = 30.Ora, como a = 2b, teremos logo: a = 2 x 30 ou: a = 60.Observação: A partir da.igualdade a .; b = b, poderíamosraciocinar do seguinte modo:Se a diferença entre o maior e o menor número é igualao menor, é porque o maior é igual ao dôbro do menor.A soma dos dois, será então igual ao triplo do menor. Essasoma dividida por três, nos irá dar o menor. Êsse menor,multiplicado por dois, nos dará o maior dos números.

132. Uma mãe e seus dois filhos t~m juntos 48 anos. A mãetem 20 anos mais que os dois filhos reunidos, e o maisnovo, tem 6 a'ltos menos que o seu. irmão. Achar as trêsidades.

Chamemos de (a) a idade da mãe, de (b) a idade do filhomais velho, e de (c) a idade do mais novo.Pelo enunciado, teremos logo:a + b + c = 48 (1.0)a = (b + c) + 20 (2.°)

c == b - 6 (3.0)

Da igualdade (3.°), tiramos que: b =c + 6. Substituindoêste valor na igualdade (2.°), teremos: a = c + 6 + c + 20 ou:a = 2c + 26.Substituindo-se agora os valores de (b) e de (a) na igual-dade (1.0), vamos encontrar: 2c + 26 + c + 6 + c = 48 ou:4c + 32 = 48 donde: 4c = 48 - 32 donde: 4c = 16 ou:c = 16/4 donde: c = 4.


Teremos então em conseqüência: b = c + 6 ou: b == 4 + 6 ou: b = 10.a = 2c + 26 ou: a = 2 x 4 + 26 = 8 + 26 donde:a = 34.A idade da mãe é portanto de 34 anos. O filho mais velhotem 10 anos e o mais novo 4.Êste problema resolvido teoricamente, nos daria o seguinteraciocínio:O mais velho dos filhos, tem a idade do mais novo mais 6anos.A mãe tem duas vêzes a idade do mais novo, mais 20, emais 6 anos; ou sejam: mais 26 anos.O número 48 que é a soma das idades, contém 4 vêzes aidade do mais novo, mais 26 anos e mais 6 anos; ou sejam:mais 32 anos.A idade do mais novo será então: (48 - 32): 4 = 4 anos.A idade do mais velho será: 4 + 6 = 10 anos.A idade da mãe será: 4 + 10 + 20 = 34 anos.

... 133. Numa família, há 5 meninos sucedendo-se com 5 anos de

intervalo. Perçpuita-ee qual a soma das suas idades, saben-do-se que o p1·imogênito tem o dôbro da idade do maisno1'o.Suponhamos que seja (á) a idade do mais velho, e quena ordem decrescente, as idades dos demais irmãos sejamrespectivamente: (b), (c), (d), e (e).Se (e) é a idade do mais novo, pelo enunciado já sabemosque: a = 2e. Então: se a idade do 5.° menino é (e), a do4.° será (e + 5); a do terceiro será (e + 10); a do se-gundo será (e + 15) e a do primeiro, (e + 20). Teremosentão:

a e. + 20b e + 15c e + 10d = e + 5e = e

Mas, como também temos a = 2e, substituindo-se êstevalor na primeira igualdade, vamos encontrar: e + 20 == 2e donde: 20 = 2e - e ou: e = 20. Teremos então em. con-seqüência:

a = 20 + 20 ou: a 40b = 20 + 15 ou: b 35c = 20 + 10 ou: c 30d = 20 + 5 ou: d 25

te + c 11 1U/

Uma repoza perseguida p01: um galgo, tem 63 pulos dedistância sôbre o cão. Êste dá 3 pulos enquanto a rapozadá 4. Porém, 6 pulos do galgo valem 10 da rapoza. Quantospulos o galgo deve dar para alcançar a rapoza?

Se 6 pulos do galgo valem 10 da rapoza e se chamamos de(g) o pulo do galgo e de (r) o pulo da rapoza, teremos:6g = 10r donde. simplificando, 3g = 5r. Determinamosentão, que 3 pulos do galgo valem 5 da rapoza. Sabemosporém que enquanto o galgo dá 3 pulos, a rapoza dá apenas4 (ao invés de 5); encurta-se portanto a distância entreêles de 1 pulo. Assim sendo, o galgo dando 3 de seus pulos,ganha um adístâncía igual a 1 pulo de rapoza. Para ga-nhar 63 pulos de rapoza (que é a distância que a rapozatem a sua frente), terá de dar 3 X 63 = 189 pulos.Notar, que se para cada 3 pulos do galgo a rapoza desse 5,a distância entre êles ficaria invariável.

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334 PROBLEMAS DE MATEMÁ TICA 77

A soma das idades será então:40 + 35 + 30 + 25 + 20 = 150 anos.

134. Dois jogadores entram num jôgo; o p1'imeiro com 29 cru-zeíros e o segundo com 31. O total em jôgo não foi maisaumentado. Terminada a partida que foi ganha pelo se-gundo jogador, êsse ficou com 4 »êzes mais dinheiro queo primeiro. Quanto ganhou nessa partida e com quanto fi-cou cada jogador após o jôgo?

A soma do capital dos dois jogadores no início como nofim do jôgo, é: 29 + 31 = 60 cruzeiros. .

Chamando-se de (a) a parte do primeiro jogador e de(b) a parte do segundo, temos a = 29 e b = 31 ou:a + b = 60.

Mas, como no fim do jôgo, o segundo fica com 4 vêzesmais dinheiro do que fica o primeiro, teremos b = 4a.Podemos então dizer que: a + 4a = 60 ou: 5a = 60 donde:a = 60/5 ou: a = 12.

12 cruzeiros é então a quantia com que o primeiro jogadorficou ao fim da partida.

O segundo jogador, ficou então com: 4x 12 = 48 cruzeiros.Como o segundo jogador tinha 31 cruzeiros, ganhou pois:48 - 31 = 17 cruzeiros.

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136. Um barco de pescador segue rio acima contra uma corren-teza de 6 metros por minuto. Quando o pescador tema, obarco se adianta. de 60 metros em um quarto de hora.Quanto tempo remou, se depois de 2 horas o barco seadiantou de 480 metros? Se depois de 2 horas se adiantousó de 300 metros? Se depois de 2 horas o barco se encontra.no mesmo ponto de partida?

Se o pescador rema, o barco que se adianta de 60 metrosem 15 minutos, se adiantará então de 60/15 = 4 metrosem um minuto.Se o pescador não rema, o barco se atrasa de ~ metros porminuto, devido a correnteza contrária e de mais 4 metrosque deixa de andar para a frente (porque o pescador nãoremou). Atrasa-se pois no total, de 6 ..!.. 4 = 10 metros porminuto.

Primeira resposta: - Em duas horas, o barco tendo-seadiantado de 480 metros a razão de 4 metros por mi-nuto, é porque o pescador remou durante: 480/4 = 120minutos, ou sejam: durante as duas horas.

Segunda resposta: - Vimos, que se o pescador remar du-rante as duas horas, apesar da correnteza, se adiantade 480 metros. Se porém, ao fim de duas horas, sóse adiantou de 300 metros, permanecendo constantea correnteza, é porque deixou de remar um certo tem-po. A diferença de espaços percorridos foi: 480 - 300 == 180 metros.Mas, vimos, que êm cada minuto que o pescador deixade remar, o barco se atrasa de 10 metros. Ora, se emduas horas o atraso foi de 180metros, é porque o pes-cador deixou de remar durante: 180/10 = 18 minutos.O pescador remou então, durante 120 - 18 = 102minutos; ou 1 hora e 42 minutos.

Terceira resposta: - Se depois de duas horas o barco seencontra no mesmo lugar, é porque se atrasou de 480metros, que, a razão de 10 metros por minuto, indicaque o pescador não remou durante 480/10 = 48 minu-tos. Remou pois, durante: 120 - 48 = 72 minutos; 1hora e 12 minutos.

Quanto tempo remou o mesmo pescador, se recuoude 150 metros ao fim de duas horas? Se recuou de 600metros ao fim do mesmo tempo?


Quarta resposta: - Ao fim de duas horas, o pescador seatrasou de 480 + 150 =. 630 metros. Isto equivale, ater deixado de remar durante 630/10 = 63 minutos.Remou pois, 120 - 63 = 57 minutos.

Quinta resposta: - Raciocinando do mesmo modo, veremosque ao fim de duas horas, o pescador havia deixadode remar durante 1080/10 = ·108 minutos, tendo re-mado apenas 120 - 108 = 12 minutos.

137. Cada vez que se dobrar o meu capital, dizia fulano, darei8 cruzeiros aos pobres. O capital foi dobrado três uêzes, edepois da terceira esmola, o fulano ficou sem nada. Quequantia tinha êle a princípio?

Se ficou sem nada ao dar a terceira esmola, é porque:antes da terceira esmola, tinha 8 cruzeiros. Mas, comosó dava esmola quando dobrava o seu capital, antes queêsse, dobrasse pela terceira vez, fulano tinha 8/2 = 4cruzeiros.Antes de dar a segunda esmola, tinha então 4 + 8 = 12cruzeiros.Então, como só deu a segunda esmola porque o seu capitalfoi dobrado, antes que êle dobrasse pela segunda vez, fu-lano tinha 12/2 = 6 cruzeiros. Antes então de dar a pri-meira esmola, o seu capital era de 6 + 8 = 14 cruzeiros.Mas, como só deu a primeira esmola porque o seu capitalfoi dobrado, é porque o seu capital inicial era d€ 14/2 = 7cruzeiros. .Ele tinha então a princípio, 7 cruzeiros.

138. Duas torneiras levam água para um tanque. Se a primeiraestivesse aberta durante 7 minutos e a segunda durante15 minutos, a quantidade de água trazida seria de 549 li-tros. Se pelo contrário, a primeira estivesse aberta 15 mi-nutos e a segunda 7 minutos, o volume de água seria de573 litros.Quanto tempo precisaria cada torneira para encher o tan-que, que contém 3.240 litros?

Temos aqui, dois casos perfeitamente definidos:

í1." torneira aberta 7 min'1

Quantidade de água1." CASO: 12." torneira aberta 15 mino fornecida: 594 litros.2." CASO: \1.' torneira aberta 15 mino~Quantidade de água

12.' torneira aberta 7 minoIfornecida: 573 litros.

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Vemos então que em qualquer dos casos, as duas torneirascorrem por intervalos de tempos diferentes. Vamos entãoigualar nos dois casos, o tempo em que corre uma das tor-neiras. (E' êste, um pequeno artifício de cálculo). Faremos _então duas hipóteses.Suponhamos que elas corram do seguinte modo:

I: Hipótese:

1: torneira aberta 7 X 15 mino = 105 mino2: torneira aberta 15 X 15 mino = 225 minoQuantidade de água fornecida: 549 X 15 = 8.235 litros.

2: Hipótese:

1: torneira aberta 15 X 7 mino = 105 mino2: torneira aberta 7 X 7 mino 49 minoQuantidade de água fornecida: 573 X 7 = 4.011littros.

Observando o que acabamos de fazer, vemos que o tempoem que corre a primeira torneira, ficou igualado nos doiscasos; permanecendo diferentes, os tempos relativos a se-gunda torneira. Então: a diferença na quantidade de águafornecida, corresponde ao trabalho da segunda torneira:A diminuicão de 8.235 ~ 4.011 litros = 4.224 litros novolume total da água, é devido ao fato da segunda tor-neira ter deixado de correr, por um tempo equivalente a:225 ->. 49 mino = 176 mino Se tivesse corrido durante êssetempo (176<minutos), teria fornecido: 4.224/176= 24 litrospor minuto, que é então, a capacidade de fornecimento deágua, da segunda torneira.Ora, se a segunda torneira é capaz de dar 24 litros dáguapor minuto, reportando-nos ao 1.0 CASO proposto peloenunciado do problema, veremos que em 15 minutos, estatorneira dará 15 X 24 = 360 litros dágua. A primeira tor-neira então, ficará responsável em 7 minutos, por 549 -- 360 = 189litros dágua. Isto quer dizer, que a sua capa-cidade de fornecimento, será de 189/7 = 27 litros porminuto.Passemos então a responder o nosso problema:Se a primeira torneira fornece 27 litros dágua por minuto,para encher um tanque de 3.240 litros, levará 3.240/27 == 120 minutos ou 2 horas.Se a segunda torneira fornece 24 litros por minuto, paraencher um tanque de 3.240 litros, levará 3.240/24 = 135minutos, ou sejam: 2 horas e 15 minutos.

334 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA0001

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