3.1 Apostila Matemática e RL

1 RACIOCNIO LGICO | EVOLUO CONCURSOS www.evolucaoconcursos.com | (48) 3025-1166

SUMRIO

CONJUNTOS DOS NMEROS COMPLEXOS ..........................2

RAZO PROPORO ........................................................3

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA ...............................4

PORCENTAGEM ...................................................................6

SENTENA ...........................................................................9

PROPOSIO .................................................................... 10

NEGAO DE SENTENAS SIMPLES E COMPOSTAS ........... 13

EQUIVALENCIA LGICA ..................................................... 13

TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTINGNCIA ............... 14

DIAGRAMAS LGICOS ....................................................... 14

LGICA DE ARGUMENTAO ............................................ 15

EXERCCIOS DE FIXAO ................................................... 16


CONJUNTOS DOS NMEROS COMPLEXOS

Historicamente, os nmeros complexos comearam a ser estudados graas grande contribuio do matemtico Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemtico mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possvel obter uma soluo para a equao do segundo grau: x

2 10x + 40 = 0. Essa contribuio foi de grande

importncia, pois at ento os matemticos no acreditavam ser possvel extrair a raiz quadrada de um nmero negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemticos estudaram sobre esse impasse na matemtica, obtendo uma formalizao rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855). Definio: todo nmero que pode ser escrito na forma a + bi onde i considerada a unidade imaginria. a = coeficiente real b = coeficiente imaginrio

I = unidade imaginria i = 1 Exemplos: a) 3 + 2i b) 5 4i c) -3 2i d) -7 + 2i e) 4i f) 3i g) 5

h) -6 Observaes 1) Quando o nmero complexo for formado apenas pela parte imaginria chamamos de imaginrio puro. Exemplos: 5i ; -4i , -i 2) Quando o nmero complexo for formado apenas pelo coeficiente real chamamos de real puro ou simplesmente real. Exemplo: 6 ; - 5 ; 1/3 Assim observe que todo nmero que imaginarmos considerado um nmero complexo!!

POTENCIAS DE i

etc. , i- i . i i

1- i i . i i . i i

i 1.i i . i i

1 (-1) )(i i

i- i . i i

1- i

i i

1 i

67

256

45

2224

23

2

1

0

Operaes com nmeros complexos

Efetue as operaes abaixo: 1) ( 2 + 3i ) + ( 5 2i ) 2) ( 4 + 3i ) + ( 8 2i ) 3) (5i ) ( 3 + 4i ) 4) (4 4i ) + ( 5 -4i) 5) (2+ 3i). ( 5 2i) 6) (4i 3 ). (2i+7) 7) (8 3i).( 2 + 3i) DEFINIES IMPORTANTES

1) CONJUGADO Se consideramos a + bi ento seu conjugado ser a bi.

3 + 5i 3 5i

4 2i

-3 + 8i

-2i

5i

7

2) MDULO Chamamos de mdulo de um nmero complexo o valor

dado por 2 + 2 8) Calcule o mdulo de cada nmero complexo abaixo; a) 3 + 4i b) 6 8i c) 5i d) -4


9) Efetue as operaes indicadas abaixo:

a) 3+4

2

b) 1+

32

c) 2

10) Qual o valor de m para que o produto de (2 + mi).(3 + i) seja imaginrio puro? 11) Encontre os nmeros reais x e y de modo que: (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i.

Problemas sobre conjuntos

1) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80

so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e

possuem casa prpria, julgue os itens seguintes.

1. Mais da metade dos empregados casados possui casa

prpria.

2. Dos empregados que possuem casa prpria h mais

solteiros que casados. 2) A segunda fase de um concurso pblico foi constituda de dois problemas: 340 candidatos acertaram somente um problema. 300 acertaram o segundo. 120 acertaram os dois problemas e 250 erraram o primeiro. Julgue o item seguinte: O correto dizer que menos de 550 candidatos concluram a prova. 3) 3) As informaes de carter sigilosas produzidas ou custodiadas pelos rgos e entidades pblicas so classificadas, de acordo com leis especficas, como ultrassecretas, secretas ou reservadas. O acesso a essas informaes restrito a pessoas que tenham necessidade de conhec-las e que sejam devidamente credenciadas para isso. As informaes de carter pessoal tambm so de acesso restrito, independentemente de classificao de sigilo. Alm disso, no se excluem outras hipteses legais de sigilo, como segredo de justia e segredo industrial. Em anlise realizada por determinado tribunal sobre 500 processos com restrio de acesso, constatou-se que: - 120 contm informaes de carter pessoal; - 300 correm em segredo de justia; - 100 detm segredo industrial; - 60 correm em segredo de justia e contm informaes de carter pessoal; - 40 detm segredo industrial e contm informaes de carter pessoal; - 40 correm em segredo de justia e detm segredo industrial; - 90 tm acesso restrito por outros motivos. Com base nessas informaes, julgue os itens subsecutivos. I) Desses processos, 400 detm segredo industrial ou correm em segredo de justia.

II) H mais de 100 processos com restrio de acesso por correrem em segredo de justia e que, alm disso, contm informaes de carter pessoal ou detm segredo industrial. III) Desses processos, 30 contm informaes de carter pessoal, correm em segredo de justia e, ainda, detm segredo industrial. IV) Menos de 200 desses processos no detm segredo industrial nem correm em segredo de justia.

RAZO PROPORO

Razo entre dois nmeros a e b,(b 0 ) o quociente ou a : b ( l se a est para b ). Na razo a o antecedente e b o consequente. Exemplo: a razo entre 2 e 5 dada por 2/5 ou 0,4. Proporo a igualdade entre duas razes. ou a : b :: c : d ( l-se a est para b assim como c est para d ) OBS : a e d so os extremos; b e c so os meios

d = quarta proporcional Propriedade fundamental Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios ou seja , a x d = b x c .

Exemplo: calcule o valor de x de modo que

3=

5

12

Soluo: de acordo com a propriedade fundamental teremos: 12.X = 3.15 X = 45/12 ou seja 3,75. Proporo continua: toda proporo que apresenta os meios iguais

Exemplo : Na proporo continua o termo c denominado de terceira proporcional.

c

b

b

a

b

a

b

a

d

c

b

a

16

4

4

1


Diviso proporcional

a) grandezas diretamente proporcionais: y = k.x b) grandezas inversamente proporci0onais:

y = k /x k = constante proporcionalidade Exemplos: a) A velocidade proporcional a distncia percorrida assim teremos que V = K .d b) A velocidade inversamente proporcional ao tempo assim teremos que V = k / t

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

As regras de trs se constituem em um conjunto de procedimentos para a montagem correta da proporo que resolver o problema. A regra de trs simples quando ela relaciona duas grandezas. Pode ser do tipo direta ou inversa. A regra de trs composta quando relaciona trs ou mais grandezas entre si de forma direta e/ou inversa.

EXERCICIOS DE FIXAO

1. A soma de dois nmeros 28 e a razo entre eles 75%. Qual o maior? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 10 2. As idades de Pedro e Lus formam, nessa ordem, uma razo, igual a 5/7 . A soma de suas idades 48 anos. Qual a idade do mais velho? a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 3. Na proporo 8 : 3 :: 4x : ( x 2 ), o valor de x : 4. A terceira proporcional entre 3 e 6 : a) 9 b) 5 c) 8 d) 10 e) 12 5. Que nmero deve ser subtrado de cada um dos termos da razo 5: 9 para se obter uma outra equivalente a 1:3? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 6. Uma planta de casa est desenhada na escala 1 : 100. Entre a porta da sala e a porta da cozinha mediu-se na planta a distncia de 12,7 cm. Qual a real distncia em metros ? 7. Uma pessoa tem 1,80 m de altura e sua sombra mede 1,20 m. Qual a altura de outra pessoa cuja sombra no mesmo instante, tem 1 metro ? 8. Sabe-se que z diretamente proporcional a x e inversamente proporcional a y. Se z = 5, quando x = 2 e y = 3 determine o valor de z quando x = 96 e y = 10. a) 65 b) 69 c) 72 d) 75 e) 61 9. Considere que x + y + z = 18 e que,

x/2 = y/3 = z/4, calcule x. 10. Trs nmeros so proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto igual a 960. 11. Humberto, Aline e Jnior possuem uma livraria cujo o investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Jnior com 4 mil reais. O lucro da livraria dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do ms de maio foi de 1800 reais, calcule quanto cada um vai receber, respectivamente , neste ms. 12. Nilson vai dividir 360 mil reais entre seus trs filhos, proporcionalmente ao nmero de membro da famlia de cada um deles. O primeiro tem esposa e 3 filhos, o segundo tem 2 filhos e vivo e o terceiro tem esposa e 2 filhos. Quanto cada filho vai receber, respectivamente ? 13. Ser distribudo entre dois atletas o patrocnio de 42 mil reais, o melhor classificado receber sua parte proporcional a 3 e o segundo, a 1. Determine quanto cada um recebeu. 14. Pedro quer dividir uma rgua de 42 cm em parte proporcionais a 3, 5 e 6, quanto medir cada parte. 15. A diretora de uma escola recebeu 372 livros para repartir proporcionalmente entre duas turmas. A 5 A possui 32 alunos e 5 B possui 30 alunos. Quantos cadernos cada turma vai receber, respectivamente ? 16. Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. 17. Divida 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9. 18. Divida 580 em partes inversamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7. 19. Uma quantia foi dividida em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, recebendo o segundo mais que o terceiro, R$ 3.000,00. Quanto era a fortuna? a) R$ 23.250,00 b) R$ 11.250,00 c) R$ 18.750,00 d) R$ 21.250,00 e) R$ 7.500,00 20) Num internato, 35 alunos gastam 15.400 reais pelas refeies de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos pelas refeies de 83 dias neste internato? 21) Empregaram-se 27,4 kg de l para tecer 24m de fazenda de 60 cm de largura. Qual ser o comprimento da fazenda que se poderia tecer com 3,425 toneladas e l para se obter uma largura de 90 cm? 22) Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos dias se poder terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operrios e que se trabalham agora 6 horas por dias?


23) O consumo de 12 lmpadas iguais, acesas durante 5 horas por dia, em 39 dias, de 26 quilowatts. Conservando apenas 9 dessas lmpadas acesas durante 4 horas por dia, de quanto ser o consumo em 30 dias? 24) Se 15 kg de papel correspondem a 3.000 folhas de 20 cm de largura por 30 cm de comprimento, a quantas folhas de 15 cm por 20 cm correspondero 7 kg de papel? 25) So necessrios 1064 quilos de feno para alimentar 14 cavalos, durante 12 dias. Que quantidade de feno seria preciso para a alimentao de 6 cavalos, durante 60 dias? 26) 30 operrios gastam 15 dias de 8 horas para construir 52m de muro. Quantos dias de 9 horas gastaro 25 operrios, para construir 39m de um muro igual ? 27) 6 operrios, em 15 dias, fizeram a metade de um trabalho de que foram encarregados. Ao fim desse tempo, 4 operrios abandonaram o servio. Em quanto tempo os operrios restantes podero terminar o trabalho? 28) Uma frota de caminhes percorreu 3000 km para transportar uma mercadoria, fazendo uma mdia de 60 km por hora, e gastou 6 dias. Quantos dias sero necessrios para, nas mesmas condies, essa mesma frota fazer 4500 km com uma velocidade mdia de 50 km por hora? 29) A produo de 400 hectares onde trabalham 50 homens sustenta 5 famlias. Quantas famlias podero ser sustentadas, nas mesmas condies, com 600 hectares e 60 homens trabalhando? 30) Uma obra foi concluda em 60 dias usando-se 5 pedreiros e 10 aprendizes. Sabendo-se que o trabalho de dois aprendizes equivale ao de um pedreiro, quantos dias seriam necessrios para concluir a mesma obra se dispusssemos de 6 pedreiros e 12 aprendizes?

EXERCCIOS DE APROFUNDAMENTO

31. (UnB/CESPE Dois operrios receberam juntos R$ 10.000,00 para fazerem manuteno de uma linha de transmisso de uma empresa. O primeiro trabalhou durante 25 dias e o segundo, que recebe RS 30,00 por dia a mais que o primeiro, trabalhou durante 18 dias. Com base nessas informaes, julgue os itens abaixo. I - O primeiro operrio recebeu um salrio dirio acima de R$ 215,00. II - O salrio total do primeiro operrio foi inferior a R$ 5.600,00. III - O segundo operrio recebeu um salrio dirio inferior a RS 265,00. IV -O salrio total do segundo operrio foi superior a RS 4.400,00. A quantidade de itens certos igual a: 0) 0; 1) 1; 2) 2;

3) 3; 4) 4. 32. (UnB/CESPE) Trs marceneiros receberam RS 6.000,00 pela execuo conjunta de uma reforma em certo prdio. Um dos artfices trabalhou 5 dias; o outro 4 dias e meio; e o terceiro 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 anos, 22 anos e 6 meses, 26 anos e 8 meses. Eles haviam acertado repartir, entre si, a remunerao global em partes diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um e inversamente proporcionais s respectivas idades. Com base na situao acima apresentada, julgue os itens abaixo. I - O marceneiro que trabalhou 5 dias recebeu da quantia recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 dias. II - O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor quantia. III - O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 1/4 da remunerao global. IV - A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11/5 da remunerao global.A quantidade de itens certos igual a: 0) 0; 1) 1; 2) 2, 3) 3; 4) 4. 33. (UnB/CESPE) Os 33 alunos formandos de uma escola esto organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu 2.343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem trabalhado na produo desses convites, o nmero de convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria igual a: 0) 7.987; 1) 8.591; 2) 8.737; 3) 8.926; 4) 9.328. 34. (CESPE/UnBl) Trs amigos decidiram construir uma empresa, em sociedade, para a prestao de servios tcnicos tecnicos nas areas de contabilidade, informtica e telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00, o tcnico em informtica, com R$ 3.000,00 e o tcnico em telefonia com R$4.000,00. Ao final de um ano de servios, a empresa obteve u m l u c r o d e R$ 5.400,00 para ser dividido em partes proporcionais aos valores empenhados por cada scio. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes: 1) O tcnico em telefonia deve receber mais de 40% de lucro 2) O tcnico em informtica deve receber uma quantia inferior a R$ 1.840,00 3) Se a metade do lucro for aplicada a uma taxa de juros de 2% , compostos mensalmente, ento, ao final de 2 meses, o montante obtido nesse investimento ser superior a R$ 2.820,00.


35. (UnB/CESPE) Em uma loja, o preo x da resma de papel ofcio maior que o preo y da resma do mesmo papel vendido em outra loja. Sabendo que esses preos esto na razo 101:99, assinale a opo correta. a) A razo x + y / x-y igual a 100/99 b) Se x + y = R$ 10, 00, ento x = R$ 5,05. c) Se x - y = R$ 0,1 O, ento x + y = R$ 11,00. d) Se y = R$ 3, 30, ento x maior que R$ 3,40. e) A razo x/x+y igual a 1/2 36. (CESPE/UnB) Em uma fazenda, o abastecimento de gua feito por trs reservatrios, A, B e C, com capacidades proporcionais a 2, 3 e 5 litros (L), respectivamente. De acordo com essa situao, julgue os itens abaixo. I - Se a capacidade total dos reservatrios de 20.000 L, ento o reservatrio A tem capacidade de 6.000 L. II - Se o reservatrio B tem capacidade de 3.000 L, ento os reservatrios A e C tm, juntos, capacidade de 7.000 L. III - Se os reservatrios B e C tm, juntos, capacidade de 12.000 L, ento o reservatrio A tem capacidade de 3.000 L. IV - Se o reservatrio B comporta 3.000 L de gua a mais que o reservatrio A, ento os trs reservatrios, juntos, tm capacidade de 27.000 L. V - O reservatrio C tem capacidade igual capacidade dos reservatrios A e B juntos. A quantidade de itens certos igual A) 1; B) 2; C) 3; D) 4; E) 5 37. (UnB/CESPE - CAESB) Para o tratamento da gua de um reservatrio de 45.000 litros, recomendam-se 180 g de cloro. Seguindo a proporcionalidade recomendada, para um reservatrio de 215.000 litros de capacidade, mas que est somente com 4/5 de sua capacidade, a quantidade de cloro a ser adicionada gua dever ser: a) inferior a 0,5 kg; b) maior que 0,5 kg e menor que 0,6 kg; c) maior que 0,6 kg e menor que 0,7 kg; d) maior que 0,7 kg e menor que 0,8 kg; e) superior a 0,8 kg. 38. (UnB/CESPE) Um pedreiro foi contratado para construir uma parede. No 1 dia, trabalhando durante 6 horas, levantou 40% da parede. Supondo que ele continue trabalhando sempre no mesmo ritmo, julgue os itens que se seguem. ( ) Para concluir a obra no 2 dia, o pedreiro dever trabalhar mais de 10 horas nesse dia. ( ) Se, no 2 dia, ele trabalhar durante 6 horas e 36 minutos, ento, para concluir a obra no 3 dia, o pedreiro dever trabalhar mais de 3 horas nesse dia. ( ) Um outro pedreiro, trabalhando sozinho durante 6 horas, para concluir os 60% restantes da parede, dever construir 1/10 da parede por hora. 39. (UnB/CESPE) Julgue os itens que se seguem, acerca da aplicao de razoes e propores e de equaes. ( ) Considere que, para construir um reservatrio, 30 homens trabalharam durante 18 dias e, em seguida, 36 homens trabalharam durante 12 dias. Considerando ainda que os homens produzam a mesma quantidade de servio por dia de trabalho, se 36 homens tivessem trabalhado

ininterruptamente, correto afirmar que a obra teria ficado pronta em menos de 25 dias. ( ) Se, de um recipiente cheio de gua, forem retirados 20 litros e ainda restar uma quantidade inferior a 1/5 da capacidade total do recipiente, ento a capacidade total desse recipiente inferior a 25 litros. GABARITO FIXAO E APROFUNDAMENTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c e -4 e b 12,7m 1,5m c 4 36

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

* * * * * * * * a *

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2000 21 12 2800 2280 12 46 10,8 9 50

31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 1 1 1 e 2 b d c FFV VF

11) 400,600 e 800 12) 150,90 e 120 13) 31500,00 e 10500,00 14) 9,15 e 18 15) 192 e 180 16) 20, 15 e 10 17) 45, 225 e 25 18) 336,112,84 e 48 20) R$ 166.000,00

PORCENTAGEM

Razo centesimal

Toda a razo que tem para consequente o nmero 100 denomina-se razo centesimal.

5% = 100

5= 0,05

12% de 30 = 12

100. 30= 3,6

Podemos tambm calcular uma porcentagem de outra porcentagem. Exemplo: Calcule 50% de 18%.

Soluo: 50

100.

18

100=

900

10000=

9

100= 9%

Nos problemas de porcentagem ao efetuar o clculo devemos sempre utilizar a informao percentual em sua forma fracionria ou decimal. Exemplos:

1) 81% = 81

100 =

9

10= 0,9 = 90%


2) (10%)2 = (

10

100)

2 =

100

10000=

1

100= 1%

AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Vamos analisar alguns exemplos de reajustes ou descontos. 1 caso: Reajuste (ou desconto) nico.

Valor final = Valor inicial. (1 + i ) A taxa ser positiva quando se tratar de aumento e negativa quando se tratar de desconto. Exemplo 1: uma mercadoria custa R$ 640,00 e sofre um reajuste de 5%. Qual o valor da mercadoria aps o reajuste. Soluo: Valor final = 640. (1 + 0,05) = 640. (1,05) = 672,00 Exemplo 2: uma mercadoria custa R$ 640,00 e sofre um desconto de 5%. Qual o valor da mercadoria aps o reajuste. Soluo: Valor final = 640. (1 - 0,05) = 640. (0,95) = 608,00 2 caso: Reajustes e/ou descontos sucessivos.

Valor final = Valor inicial. (1 + i1).(1 + i2)......( 1+ in) A taxa ser positiva quando se tratar de aumento e negativa quando se tratar de desconto. Exemplo: O aluguel de um imvel de R$ 1500,00 e sofre um reajuste de 10% e depois uma reduo de 6% . Qual o valor do aluguel aps esses reajustes? Soluo: Valor final = 1500.( 1 + 0,1 ).( 1 0,06 ) Valor final = 1500 . (1,1).(0,94) = R$ 1551,00. Observe nesse exemplo que o valor do reajuste aps os dois perodos foi de apenas R$ 51,00 que representa apenas 3,4% do valor inicial de R$ 1500,00. Cuidado com as contas: um aumento de 10% e reduo de 6% no significa um aumento de 4%.

Clculo da taxa de reajuste Se o problema pedir apenas a taxa de reajuste, podemos calcular atravs da frmula:

Taxa de reajuste = (1 + i1).(1 + i2)...(1 + in) - 1

Exemplo Se a inflao nos trs primeiros meses de 2013 foi de 1% , 2% e 3% ento a taxa acumulada no perodo foi de : Taxa acumulada = ( 1 + 0,01).(1 + 0,02).( 1+ 0,03) - 1 Taxa acumulada = (1,01).(1,02).(1,03) 1 Taxa acumulada = 1,061 1 = 0,061 = 6,1 %. Observe que o resultado no 6% e sim 6,1% .

EXERCICIOS DE FIXAO

1) Um objeto que custa R$ 4 500,00 foi adquirido com 15% de desconto. Determine o valor do desconto e o valor pago por esse objeto. 2) Um carro que custa R$ 60 000,00 foi vendido com um gio de 30%. Calcule o valor desse gio. 3) Um objeto custa R$ 180,00.Este objeto foi vendido com um lucro de 12% sobre o custo. Qual o lucro obtido na venda? 4) Um objeto que custa R$ 5 500,00 foi comprado com um gio de 15%.Qual o preo de compra? 5) Um objeto que custa R$ 6 750,00 foi adquirido com um desconto de 25%.Qual o preo de compra desse objeto? 6) Um objeto que custa R$ 5 500,00 foi comprado por R$ 7150,00.Qual a porcentagem do lucro sobre o custo? 7) 70 gramas de carbonato de clcio contm 21 gramas de clcio. Qual a porcentagem de clcio no carbonato de clcio ? 8) 160 gramas de sulfato de ferro contm 44,8 gramas de ferro, 38,4 gramas de enxofre e 76,8 gramas de oxignio. Calcular as porcentagens, em massa, de ferro, enxofre e oxignio no sulfato de ferro. 9) Um sal contendo 15% de umidade ( gua ) foi aquecido numa estufa at ser eliminado a metade de sua quantidade de gua. Qual a porcentagem de umidade( gua) no sal aps a secagem? 10) Uma mistura contm 60% de ferro,25% de enxofre e 15% de areia. Por meio de um solvente apropriado todo enxofre foi extrado da mistura. Quais as porcentagens de ferro e areia na mistura depois da extrao de todo enxofre? 11) Um determinado supermercado ofereceu aos seus clientes a promoo leve 4 e pague 3 . No caso, a promoo corresponde a que desconto percentual ? 12) Uma pesquisa realizada na Gr-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardacos precisaram de transplantes, mas s 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de pacientes que no conseguiram o transplante : a) 31% b) 36% c) 44% d) 56% e) 64%


13) Considere que o IPVA/99 corresponda a 2,5% do valor venal do automvel e que possa ser pago em uma das seguintes formas: vista, at o dia 15/2/99, com desconto de 5%; em 3 parcelas iguais e mensais, vencendo a primeira em 15/2/99. Em caso de atraso no pagamento de alguma parcela, o proprietrio dever pagar, ainda, multa de 2% sobre o valor devido, acrescida de 0,2% de juros por dia de atraso. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir, relativos ao IPVA de um veculo de valor venal igual a R$ 15.000,00. I O valor do IPVA desse veculo de R$ 375,00 II Se o proprietrio do veculo optar pelo pagamento vista, ento o valor devido ser de R$ 356,25 III Se a opo for pelo pagamento em parcelas, ento o valor de cada parcela ser de R$ 125,00 IV Se o proprietrio parcelar o pagamento e pagar a primeira parcela no dia 20/2/99, ento ele pagar R$ 7,50 de acrscimo V Se a primeira parcela for quitada por R$ 130,00, ento isso significar um pagamento com menos de 9 dias de atraso A quantidade de itens certos igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14) Maria vendeu um relgio por R$ 18.167,50 com um prejuzo de 15,5% sobre o preo de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por (em R$): a) 22.709,37 b) 26.875,00 c) 27.675,00 d) 21.497,64 e) 26.785,00 15) Um nmero reduzido em 55%, aumentado a seguir em 215% e posteriormente, reduzido a 40% de seu valor atual, o resultado final 1.134. Que nmero era esse, originalmente? a) 1.200 b) 1.600 c) 1.800 d) 2.000 e) 2.200 16) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preo da mercadoria. Sabendo-se que o preo de venda, sem desconto, superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um: a) lucro de 5% b) prejuzo de 4% c) lucro de 4% d) prejuzo de 2% e) lucro de 2% 17) A falta de informaes dos micros e pequenos

empresrios ainda o principal motivo para a baixa adeso

ao SIMPLES o sistema simplificado de pagamento dos

impostos e contribuies federais. Segundo pesquisa

realizada pelo SEBRAE junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31

de maro, a adeso ao SIMPLES apresentou o resultado

mostrado no grfico abaixo. Com base nessas informaes

julgue os itens a seguir.

a) O nmero de empresas consultadas que ainda no decidiram aderir ao SIMPLES inferior a 280. b) Mais de 260 empresas consultadas, no podem ou no pretendem aderir ao SIMPLES. c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que j decidiram em relao ao SIMPLES superior a 74%. d) Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, MAIS DE 25% ainda no se decidiram. e) Se o nmero de empresas que j haviam aderido ao SIMPLES a poca da consulta era igual a 900.000, ento correto estimar, com base na pesquisa, que o nmero total de empresas existentes no Brasil, naquele perodo, era superior a 2.400.000. 18) O salrio mensal de um vendedor constitudo de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comisso de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o seu salrio bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, lquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo ms foram superiores s do primeiro ms em: a) 18% b) 20% c) 30% d) 33% e) 41%

19) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especializao. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, tambm, duas filiais, uma em Outro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realizao do curso e que 35% dos empregados da filial de Outro Preto tambm o fizeram, ento a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que no optaram pelo curso igual a: a) 60% b) 40% c) 35% d) 21%


e) 14% 20) Um comerciante comprou de um agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual com 60kg e, por pagar vista, obteve um desconto de 20% sobre o preo de oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao preo de R$8,50 o kg, ele obteve um lucro de 20% sobre a quantia paga ao agricultor, ento o preo de oferta a) 6.350,00 b) 7.650,25 c) 7.968,75 d) 8.450,50 e) 8.675,00 21) Um analista comprou dois aparelhos celulares iguais, com abatimento de 5% sobre o preo unitrio P. Vendeu-os no mesmo dia, um com lucro de 4% e outro com lucro de 3% sobre o valor que havia pago. Nessa transao, ele teve: a) lucro correspondente a 6,65% de P b) lucro correspondente a 3,35% de P c) lucro correspondente a 2% de P d) prejuzo correspondente a 3% de P e) prejuzo correspondente a 2% de P 22) Considere que, do custo de produo de determinado produto, uma empresa gasta 25% com a mo de obra e 75% com matria-prima. Se o gasto com a mo de obra subir 10% e o de matria-prima baixar 6%, o custo do produto: a) permanecer inalterado; b) baixar de 2%; c) aumentar de 3,2%; d) baixar de 1,8%; e) aumentar de 1,2% 23) A tabela abaixo representa o nmero de atendimentos realizados em um hospital por 40 mdicos, durante certo perodo: n de mdicos n de atendimentos 4 5 6 7 8 9 10 6 12 8 Considerando que o ideal que cada mdico atenda de 8 a 10 pacientes neste perodo, qual a porcentagem de mdicos que no atingiu este padro? a) 40% b) 25% c) 50% d) 30% e) 60% 24) Publicado o edital de licitao para a compra de 20 monitores de vdeo para microcomputadores, duas empresas apresentam as seguintes propostas: - R$ 870,00 a unidade; 10% de desconto sobre o valor total da compra de 10 ou mais unidades. - R$ 900,00 a unidade; 15% de desconto sobre o valor total da compra de 15 ou mais unidades. Optando pela melhor dessas duas propostas, a entidade economizar. a) R$ 360,00 b) R$ 375,00 c) R$ 380,00 d) R$ 425,00

e) R$ 460,00 25) Devido ao calor, o consumo de energia de certa residncia vem aumentando 10% ao ms, desde setembro de 2009, chegando a 732,05 KWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em KWh, o consumo de energia dessa residncia, em outubro de 2009? (A) 500 (B) 525 (C) 533 (D) 550 (E) 566 GABARITO EXERCCIOS FIXAO 1) 675 e 3825 2) 18000 3) 21,60 4) 6325 5) 5062,5 6) 30% 7) 30% 8) 28%, 24% e 48% 9) 8,1% 10) Ferro 80% e Areia 20% 11) 25%

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

d c b d b FVVVF c a c A

22 23 24 25

b c a d

SENTENA

Forma de se expressar, declarada por meio de palavras ou smbolos, e que estabelece um pensamento completo. Dentre os vrios tipos de sentena, os mais comuns esto exemplificados abaixo: Exclamativa: Parabns! Interrogativa: Quantos anos voc tem? Imperativa: Seja breve! Declarativa: 5 maior que 7 Abertas: x + 2 > 10ou ele juiz de futebol Estamos interessados apenas nas sentenas declarativas, tambm chamadas de sentenas fechadas, s quais se pode atribuir um valor verdadeiro ou falso. Perceba que no possvel atribuir um valor verdadeiro ou falso s demais formas de sentenas como as interrogativas, exclamativas e imperativas.


PROPOSIO

o conceito mais elementar no estudo da lgica. definida como sendo uma sentena cujo contedo pode ser considerado verdadeiro ou falso. Ou seja, proposies nada mais so do que sentenas declarativas (ou fechadas)! Alguns exemplos de proposies: A Terra redonda. (verdadeira) 2 + 5 = 9 (falsa) O Brasil um pas da Europa. (falsa) O nmero 6 par. (verdadeira) Proposio Simples (ou atmica): no contm nenhuma proposio como parte integrante de si mesma. Geralmente so simbolizadas por letras do alfabeto (p, q, r, ...). p: Marte um planeta. q: 7 um nmero par. Observe que para as proposies p e q acima, o valor lgico de p V e o de q F. Proposio Composta: formada pela combinao de uma ou mais proposies, ligadas por conectivos. Carlos inteligente e Leo torcedor do Corinthians. Maria vai ao teatro ou Paulo vai ao clube. Se chover amanh, ento no irei praia. Comprarei uma casa se e somente se eu ganhar na loteria. As palavras marcadas em negrito so o que chamamos de conectivos, pois elas conectam duas proposies simples para formar uma proposio composta.

OU (disjuno)

E (conjuno) SE...ENTO..(condicional)

SE,E SOMENTE SE,(bicondicional)

O smbolo indica a negao da sentena original. Exemplo: a proposio p tem como negao p TABELA VERDADE: Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies compostas, conhecidos os valores das proposies simples que as compem, usaremos tabela verdade. As proposies representam as colunas; o nmero de linhas de uma tabela verdade dada por 2

n onde n representa o

nmero de proposies simples . Exemplos Sendo p uma proposio (n=1), a tabela verdade tem 2 linhas. Sendo p e q proposies (n = 2) , a tabela verdade tm-se : 2

2 = 4 linhas.

Sendo p , q e r proposies (n=3), a tabela verdade tm-se : 2

3 = 8 linhas.

A seguir estudaremos a tabela verdade de cada conectivo: a) Disjuno ( ou , V ) : este conectivo traduz a ideia de que pelo menos uma das proposies ocorre. Assim para ser verdadeira basta que uma das proposies simples seja verdadeira. Observe o exemplo: quando o pai diz ao filho : Te compro uma bicicleta ou uma bola ele s no estar cumprindo a sua promessa se no comprar nenhum dos dois brinquedos. Em qualquer outra hiptese ele estar cumprindo o que prometeu.

Dessa forma teremos a tabela verdade assim:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

b) Conjuno( e , ): este conectivo traduz a ideia de simultaneidade ou seja para ser verdadeira necessrio que ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Vejamos a promessa do pai ao filho: Te compro a bicicleta e a bola ser cumprida caso ele compre os dois; caso uma delas ou as duas no sejam cumpridas a promessa do pai no ser cumprida.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

c) Condicional( se ...ento , ( ) Este conectivo traduz a ideia de condio, causa e efeito Na proposio do tipo p q temos: p condio suficiente para q; p chamada de causa. q condio necessria para p; q chamada de efeito. Exemplos: Se Leonardo mdico, ento Melissa dentista. Se amanhecer chovendo, ento no irei praia. Se nasci em Florianpolis, ento sou catarinense. A sentena condicional Se p, ento q ser representada por uma seta: p q.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Observe que apenas a segunda linha da tabela verdade falsa! O conectivo se...ento pode ser representado em forma de diagrama :

Obs.: A forma clssica da condicional Se P, ento Q, porm outras formas equivalentes so frequentes em provas, o que pode gerar confuses. Formas equivalentes de Se P, ento Q. I) Todo P Q.


II) No existe P, que no seja Q. III) Se P, Q. IV) Q, se P. V) Cada P Q. VI) Quando P, Q. VII) P condio suficiente para Q. VIII) Q condio necessria para P. d) Bicondicional (bijuno) ( se, e somente se.. , ) Este conectivo traduz a ideia de bicondio. Na proposio do tipo p q temos :p condio suficiente e necessria para q; q condio suficiente e necessria para p; simultaneamente. q condio suficiente e necessria para p; q dito causa e efeito simultaneamente. Sua tabela verdade bem simples de ser entendida. Ser verdadeira quando ambas possuem o mesmo valor lgico Uma proposio Bicondicional "A se e somente se B" equivale proposio composta: se A ento B e se B ento A, ou seja, A B a mesma coisa que (A B) e (B A) Podem-se empregar tambm como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes expresses: 1) A se e s se B. 2) Se A ento B e se B ento A. 3) A implica B e B implica A. 4) Todo A B e todo B A. 5) A somente se B e B somente se A. 6) A condio suficiente e necessria para B. 7) B condio suficiente e necessria para A. IMPORTANTE: quando uma sentena composta for sempre verdadeira chamamos de TAUTOLOGIA; quando ela for sempre falsa chamamos de CONTRADIO; caso ela tenha valores verdadeiro ou falso chamamos de CONTINGNCIA

EXERCCIOS DE FIXAO

1. (CESPE) Considerando que as proposies lgicas sejam representadas por letras maisculas, julgue os prximos itens, relativos a lgica proposicional e de argumentao. A sentena A justia e a lei nem sempre andam pelos mesmos caminhos pode ser representada simbolicamente por P ^ Q, em que as proposies P e Q so convenientemente escolhidas. 2. (CESPE) Acerca da proposio R: A populao aprende a votar ou haver novos atos de corrupo, julgue os itens seguintes. Se P e Q forem, respectivamente, as proposies

A populao aprende a votar e Haver novos atos de corrupo, ento a proposio R estar corretamente assim simbolizada: P ^ Q 3. Sabe-se que as proposies I - Se Aristides faz gols ento o GFC campeo. II - O Aristides faz gols ou o Leandro faz gols. III - Leandro faz gols. so, respectivamente, verdadeira, verdadeira e falsa. Da, conclui-se que: a) Aristides no faz gols ou o GFC no campeo. b) Aristides faz gols e o GFC no campeo. c) Aristides no faz gols e o GFC campeo. d) Aristides faz gols e o GFC campeo. e) Aristides no faz gols e o GFC no campeo. 4.Dadas as proposies simples p e q, tais que p verdadeira e q falsa, considere as seguintes proposies compostas: (1) p q ; (2) ~p q ; (3) ~(p ~q) ; (4) ~(p q) Quantas dessas proposies compostas so verdadeiras? a) nenhuma b) apenas uma c) apenas duas c) apenas trs d) quatro 5. (CESPE) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na sua repartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena e de claridade natural que atendem seguinte especificao: P: A luz permanece acesa se, e somente se, h movimento e no h claridade natural suficiente no recinto. Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes. Se fiscais visitarem um local da repartio em horrio no qual haja claridade natural suficiente e, enquanto se movimentarem nesse local, a luz permanecer acesa, ser correto inferir que o dispositivo instalado atende especificao P. 6. (CESPE) Se P, Q e R representarem, respectivamente, as proposies: O cargo de diretor executivo est vago, O titular do cargo de diretor executivo est impedido de substituir o diretor-geral e O presidente da filial brasileira indica o substituto interino, ento PQR representar, simbolicamente, a proposio Em caso de vacncia do cargo de diretor executivo ou de impedimento do titular desse cargo em substituir o diretor- geral, o presidente da filial brasileira indicar o substituto interino. 7. (CESPE) Sejam as seguintes proposies P: Carlos fala francs, Q: Carlos fala ingls e R: Carlos fala alemo. Dada a seguinte proposio: falso que Carlos fala ingls ou alemo, mas que no fala francs. Assinale a alternativa que traduz de maneira CORRETA a proposio acima para a linguagem simblica: a) ~( (Q R) ~ P). b) (PQ) ~R. c) ~ (P ~R). d) (PQ) ~ (PR).


8. Qual das proposies abaixo verdadeira? a) O ar necessrio vida e a gua do mar doce. b) O avio um meio de transporte ou o ao mole. C) 6 mpar ou 2 + 3 5. d) O Brasil um pas e Sergipe uma cidade. e) O papagaio fala e o porco voa. 9. Considere verdadeiras as proposies P1 Se chove o dia inteiro, Marcos fica resfriado e P2 Marcos no ficou resfriado. A leitura dessas proposies leva concluso indicada na alternativa a) Choveu o dia inteiro. b) No choveu o dia inteiro. c) No choveu e Marcos ficou resfriado. d) Choveu e Marcos no ficou resfriado. e) Choveu ou Marcos ficou resfriado. 10. A proposio que apresenta a menor probabilidade de ser logicamente verdadeira a: a) Joo no funcionrio pblico. b) Joo funcionrio pblico e Maria advogada. c) Joo funcionrio pblico ou Maria advogada. d) Se Joo funcionrio pblico, ento Maria advogada. e) Joo no funcionrio pblico ou Maria no advogada. 11. (CESPE) Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: O raciocnio de Pedro est correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. O raciocnio de Pedro no est correto. Portanto, se a concluso for a proposio, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma deduo lgica correta. 12. (CESPE) Considere como verdadeiras as seguintes proposies: Se o eleitor A do sexo masculino ou o eleitor B no informou o sexo, ento o eleitor C do sexo feminino; Se o eleitor C no do sexo feminino e o eleitor D no informou o sexo, ento o eleitor A do sexo masculino. Considere tambm que seja falsa a seguinte proposio: O eleitor C do sexo feminino. Nesse caso, conclui-se que o eleitor D no informou o sexo. 13. (CESPE) Se P e Q representam as proposies Eu estudo bastante e Eu serei aprovado, respectivamente, ento, a proposio P Q representa a afirmao Se eu estudar bastante, ento serei aprovado. 14. Considere a proposio: penso, logo existo. Nela o conectivo lgico uma : a) disjuno no exclusiva. b) disjuno exclusiva c) conjuno. d) condicional. e) bi condicional . 15. Se Rasputin no tivesse existido, Lenin tambm no existiria. Lenin existiu. Logo, a) Lenin e Rasputin no existiram. b) Lenin no existiu. c) Rasputin existiu. d) Rasputin no existiu. 16. (CESPE) Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira. Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira.

17. (CESPE)Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) no fumo e surfo. c) no velejo e no fumo. d) estudo e no fumo. e) fumo e surfo. 18. ( CESPE) Uma proposio uma frase afirmativa que pode ser avaliada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no se admitem, para a proposio, ambas as interpretaes. Considerando as informaes apresentadas acima, julgue os itens subsequentes. 1. Considere as seguintes proposies. (7 + 3 = 10) ^ (5 12 = 7) A palavra crime disslaba. Se lmpada uma palavra trisslaba, ento lmpada tem acentuao grfica. (8 4 = 4) ^ (10 + 3 = 13) Se x = 4 ento x + 3 < 6. Entre essas proposies, h exatamente duas com interpretao falsa 19. (CESPE) Julgue o item subsequente. A proposio P: Ser honesto condio necessria para um cidado ser admitido no servio pblico corretamente simbolizada na forma A B, em que A representa ser honesto e B representa para um cidado ser admitido no servio pblico. 20. Julgue os itens seguintes. Considere as proposies seguintes. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cair para a segunda diviso; A: O Estrela Futebol Clube vence; B: O Estrela Futebol Clube perde; C: O Estrela Futebol Clube cair para a segunda diviso. Nesse caso, a proposio Q pode ser expressa, simbolicamente, por A^BC. GABARITO FIXAO

1) ERRADA 2) ERRADA 5) ERRADA 6) CERTA 11) CERTA 12) ERRADA 13) CERTO 16) ERRADA 18) ERRADA 19) ERRADA 20) ERRADA


NEGAO DE SENTENAS SIMPLES E COMPOSTAS

Uma proposio pode ser formada a partir de outra, pelo uso do modificador "no"( smbolo ou ~) Ao acrescentarmos o no em uma proposio, obtemos a sua negao. Indicando uma proposio por p, sua negao ser representada por ~p. Quando uma proposio do tipo simples construmos a sua negao apenas negando o seu verbo. Exemplos: p: 40 um nmero composto. p:40 no um nmero composto. q: Braslia a capital do Brasil qBraslia no a capital do Brasil Para obter a negao de uma sentena podemos utilizar o modificador no ou no verdade que ou falso que ou no o caso que Exemplo: O Ava o melhor time de Santa Catarina, sua negao pode ser : a) O Ava no o melhor time de Santa Catarina. b) No verdade que o Ava o melhor time de Santa Catarina. c) falso que o Ava o melhor time de Santa Catarina. d) No o caso que O Ava o melhor time de Santa Catarina Se uma proposio verdadeira, sua negao ser falsa. Se uma proposio falsa, sua negao ser verdadeira. OBS: (p) = p Observaes importantes: alguns casos de sentenas simples merecem nossa ateno: 1) Proposies do tipo nenhum, nenhuma ...

proposio negao da proposio

nenhum algum

nenhuma alguma

ningum algum

Exemplos p : Nenhum homem fiel sua negao ~p : Algum homem fiel q : Alguma pessoa feliz sua negao ~q :nenhuma pessoa feliz s : Ningum honesto sua negao ~s : Algum honesto 2) Proposio do tipo .......... todo ......

proposio negao da proposio

todo Existe.....no

todo Pelo menos um ..no

todo Algum ...no

Exemplo: A negao da sentena Todos os animais so mamferos. :Existe animal que no mamfero ou Pelo menos um animal no mamfero ou Algum animal no mamfero. Observe as sentenas abaixo: 1) Nem todo livro instrutivo. O termo nem antes do termo todo significa que temos que negar a frase todo livro instrutivo. Assim, sua negao ..algum livro no instrutivo . 2) O mesmo acontece com no verdade que algum gato pardo. Sua negao nenhum gato pardo A negao de sentenas matemticas a) 3 + 5 = 8 3 + 5 8 b) x > 3 x 3 c) x < 3 x 3 d) 5 = 7 5 7 Exemplo A negao da proposio: Todo nmero x tal que x + 1 > 2, a proposio: Existe

um nmero x tal que x + 1 2. Nas proposies compostas devemos observar o conectivo em questo: Observe as proposies e suas negativas: I ) ( p V q) = p ^ q II ) (p ^ q) = p V q III ) ( p q ) = p ^ q

EQUIVALENCIA LGICA

Outro tipo de questo que vemos muitos em concurso pblico de verificar se duas proposies dadas so equivalentes ou no. Duas proposies so equivalentes se os valores lgicos obtidos para as proposies compostas so os mesmos, para cada possvel combinao de valores das suas proposies simples, ou seja, se as suas tabelas-verdade forem iguais (considerando-se as colunas das proposies simples e a ltima coluna correspondente proposio composta sendo avaliada). Ao longo desta aula vimos algumas equivalncias de proposies: (p) equivalente a p (p q) equivalente a p q (lei de De Morgan) (p q) equivalente a p q (lei de De Morgan) (p q) equivalente a p q (p q) equivalente a (p q) (q p) A equivalncia mais frequente em provas so as relacionadas ao conectivo da condicional se...ento ... Fique atento!!!! 1) p q = q p (contrapositiva) 2) p q = p V q


TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTINGNCIA

Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposio composta cuja ltima coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). Em outros termos, tautologia toda proposio composta P(p, q, r, ...) cujo valor lgico sempre(V) verdade, quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes. Exemplos: a)O dia est nublado ou no est. b) A proposio "~ (p ~ p)" (Princpio da no contradio) tautolgica, conforme se v pela sua tabela-verdade

p ~ p p ~ p ~ (p ~ p)

V F F V

F V F V

c) A proposio "p V ~ p" (Princpio do terceiro excludo) uma tautologia.

p ~ p p v ~ p

V F V

F V V

Contradio - Chama-se contradio toda a proposio composta cuja ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Em outros termos, contradio toda proposio composta P(p, q, r,...) cujo valor lgico sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes p, q, r, ... Exemplo: Jos alto e no alto. Como uma tautologia sempre verdadeira (V), a negao de uma tautologia sempre falsa (F), ou seja, uma contradio, e vice-versa.

p ~ p p ~ p

V F F

F V F

p ~ p p ~ p

V F F

F F F

Observao - Chama-se contingncia toda a proposio composta em cuja ltima coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. Em outros termos, contingncia toda proposio composta que no tautologia nem contradio. As contingncias so tambm denominadas proposies contingentes ou proposies indeterminadas

DIAGRAMAS LGICOS

Em algumas situaes, smbolos matemticos so usados para facilitar a compreenso e o estudo de temas mais tericos,inclusive de outras reas, como a Lgica Osdiagramas de Venn so ferramentas utilizadas para facilitar oestudo de sentenas lgicas argumentativas. Estudaremos trs quantificadores: todo, algum ou nenhum.

1) Proposio do tipo Todo A B . Exemplo: todo mamfero um animal. Esta proposio afirma que todo elemento de A elemento

deB ou seja A B. Diagramas

Todos os elementos de A esto em B

2) Proposio do tipo Algum A B .

Exemplo: algum nmero par primo. Esta proposio afirma que pelo menos um elemento de A elemento de B.

3) Proposio do tipo Algum A no B . Exemplo; Esta proposio afirma que existe elemento de A que no faz parte de B. Diagramas


Quando dizemos algum no podemos deixar de pensar na

possibilidade de serem todos.

4) Proposio do tipo Nenhum A B. Esta proposio afirma que A e B so dois conjuntos disjuntos (interseco vazia ). Diagrama

EXERCICIOS

1. Se todos os jaguadartes so momorrengos e todos os momorrengos so cronpios ento pode-se concluir que: a) possvel existir um jaguadarte que no seja momorrengo b) possvel existir um momorrengo que no seja jaguadarte c) Todos os momorrengos so jaguadarte. d) possvel existir um jaguadarte que no seja cronpio. e) todos os cronpios so jaguadartes 2. Algum A B. Todo A C. Logo: a) algum D A b) todo B C. c) todo C A. d) todo B A. e) algum C B 3. Se a proposio Nenhum A B for verdadeira, ento tambm ser verdade que: a) Todos no A so no B. b) Alguns no B so A. c) Nenhum A no B. d) Nenhum B no A. e) Nenhum no B A. 4. Se verdade verdade que: que "Nenhum artista atleta", ento Tambm ser a) todos no-artistas so no-atletas. b) nenhum atleta no artista. c) nenhum atleta no artista. d) pelo menos um no atleta artista . e) nenhum no atleta artista. 5. Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se,tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que: a) todo C B; b) todo C A; c) algum A C; d) nada que no seja C A;

e) algum A no C.

LGICA DE ARGUMENTAO

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser consequncia das primeiras. Dito de outra forma, argumento a relao que associa um conjunto de proposies P1, P2,...... Pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposio C, chamada de concluso doargumento. No lugar dos termos premissa e concluso podem ser tambmusados os correspondentes hiptese e tese, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de argumentos: Exemplo 1) P1: Todos os cearenses so humoristas.

P2: Todos os humoristas gostam de msica. C : Todos os cearenses gostam de msica.

2) P1: Todos os cientistas so loucos. P2: Martiniano louco.

C : Martiniano um cientista.

Existem argumentos com apenas uma premissa e uma concluso. Veja o exemplo: Todos os peixes precisam de gua. Logo, este peixe tambm precisa de gua. Premissa: Todos os peixes precisam de gua. Concluso: este peixe tambm precisa de gua.

Importante dizer que nem sempre a concluso a ltima proposio.Observe o exemplo: Hoje vai chover, pois h nuvens no cu, esempre chove quando h nuvens no cu. A concluso de que hoje vai chover. FORMAS DE REPRESENTAO DO ARGUMENTO 1 forma: Premissa 1.Premissa 2 |- Concluso 2 forma: Premissa 1

Premissa 2 Concluso

O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima chamadosilogismo.Silogismo o argumento formado por duaspremissas e a concluso. Argumento Vlido: Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bemconstrudo), quando a sua concluso uma consequncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a prpria concluso podero ser visivelmente falsas (e at absurdas!), e o argumento, ainda assim, ser considerado vlido. Isto pode ocorrer porque, na Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compem o argumento, mas to somente a validade deste. Exemplo: O silogismo...

P1: Todos os homens so pssaros. P2: Nenhum pssaro animal.


C: Portanto, nenhum homem animal. ... est perfeitamente bem construdo, sendo, portanto, um argumento vlido, muito embora a veracidade das premissas eda concluso sejam totalmente questionveis. Repetindo: o que vale a construo, e no o seu contedo! Se a construo est perfeita, ento o argumento vlido, independentemente do contedo das premissas ou da concluso! 1. A seguinte argumentao vlida ou invlida? Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Concluso: Carlos uma pessoa honesta.

2. Julgue o seguinte argumento como vlido ou invlido. P1: O Tabajara perdeu todas as partidas que disputou at hoje. P2: O Tabajara vai jogar hoje contra o Corinthians. C: O Tabajara vai perder o jogo hoje. 3. Julgue o argumento como vlido ou invlido. P1: Alguns homens so jornalistas. P2: Alguns jornalistas so pessoas ricas. C: Alguns homens so pessoas ricas. 4. Julgue o argumento como vlido ou invlido. Nenhum homem ave. Nenhuma ave um peixe Logo, nenhum homem um peixe.

5. Na deduo:A inflao no um aumento de preos, nem este culpa dos empresrios. Logo o empresrio no responsvel pela inflao. pode-se afirmar que: a. A concluso est correta. b. Deve-se concluir que a culpa do governo. c. As premissas so falsas. d. A concluso falsa. e. Nada se pode concluir.

6. Partindo das premissas: Todo advogado sagaz. Todo advogado formado em Direito. Roberval sagaz. Sulamita juza. Pode-se concluir que: a) Sulamita sagaz; b) Roberval advogado; c) H pessoas formadas em Direito que so sagazes; d) Roberval promotor; e) Sulamita e Roberval so casados.

EXERCCIOS DE FIXAO

1. Julgue o argumento abaixo: Todos os vegetais so seres vivos.As samambaias so Vegetais.Logo, as samambaias so seres vivos.

2. Julgue o argumento abaixo: Todas as pedras so seres vivos.Eu sou pedra. Logo, sou um ser vivo.

3. Julgue o argumento abaixo: Os gatos so animais.As rvores so gatos.

Logo, as rvores so animais.

4. Julgue o argumento abaixo Todo homem animal.Todo animal mortal.

Eu sou mortal.Logo, eu sou animal.

5. Julgue o argumento abaixo As aves so mamferos.

Todos os mamferos so roedores. O rato um roedor. Logo, ao menos um rato ave.

6. Julgue o argumento abaixo

Todo homem honesto. Alguma pessoa honesta cruel Logo, no h homens cruis.

7. Observe a construo de um argumento: Premissas: Todos os cachorros tem asas. Todos os animais de asas so aquticos. Existem gatos que so cachorros. Concluso: Existem gatos que so aquticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a concluso C, corretodizer que: a) A no vlido, P falso e C verdadeiro b) A no vlido, P e C so falsos c) A vlido, P e C so falsos d) A vlido, P ou C so verdadeiros e) A vlido se P verdadeiro e C falso

8. Observe o argumento abaixo e julgue os itens Algumas cobras no so perigosas e ratos no so cobras.Assim, ao menos um rato no perigoso.

I - O argumento vlido, embora a veracidade das premissas e da concluso seja questionvel.

II- O argumento invlido, e pelo menos uma das proposies citadas verdadeira.

III- Se a palavra cobras fosse substituda pela palavra pedras , no argumento acima, sua validade no seria alterada

IV - Em uma falcia, a concluso sempre falsa.

GABARITO - FIXAO

1 2 3 4 5 6 7 8

val val val inv inv inv c ECCE

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

As questes abaixo foram formuladas pela CESPE e devem ser julgadas como Certa(C) ou Errada (E).

1. Uma proposio uma afirmativa que pode ser

interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no de

ambas as formas. (...)

Na lista abaixo, h exatamente trs proposies.


Faa suas tarefas.

Ele um procurador de justia muito competente.

Celina no terminou seu trabalho.

Esta proposio falsa.

O nmero 1.024 uma potncia de 2.

Com relao lgica formal, julgue os itens subsequentes.

2. Toda proposio lgica pode assumir no mnimo dois valores lgicos. 3. A proposio Ningum ensina a ningum um exemplo de sentena aberta. 4. A proposio Joo viajou para Paris e Roberto viajou para Roma um exemplo de proposio formada por duas proposies simples relacionadas por um conectivo de conjuno. 5. Considere que A seja a seguinte proposio: O concurso ser regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB. Nesse caso, a proposio A assim expressa: O concurso no ser regido por este edital ou no ser executado pelo CESPE/UnB. 6. A proposio A constituio brasileira moderna ou precisa ser refeita ser V quando a proposio A constituio brasileira no moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa. 7. Se A a proposio O soldado Vtor far a ronda noturna e o soldado Vicente verificar os cadeados das celas, ento a proposio A estar corretamente escrita como: O soldado Vtor no far a ronda noturna nem o soldado Vicente verificar os cadeados das celas. 8. A proposio Se a vtima no estava ferida ou a arma foi encontrada, ento o criminoso errou o alvo fica corretamente simbolizada na forma (A) B C. 9. Considere como V as seguintes proposies. A: Jorge briga com sua namorada Slvia. B: Slvia vai ao teatro. Nesse caso, (AB) a proposio C: Se Jorge no briga com sua namorada Slvia, ento Slvia no vai ao teatro. 10. Ao empregar os smbolos P, Q e R para as proposies primitivas Paulo l revistas cientficas, Paulo l jornais e Paulo l gibis respectivamente, correto simbolizar a proposio composta Paulo l gibis ou no l jornais e no l revistas cientficas por ((R Q) P). Suponha que P represente a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue o item seguinte. 11. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao

comrcio e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). Considere que P, Q, R e S representem as sentenas listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justia deve ser severa. R: A represso ao crime importante. S: A liberdade fundamental. Com base nessas informaes, julgue os prximos itens. 12. A sentena A liberdade fundamental, mas o homem precisa de limites. pode ser corretamente representada por P S. 13. A sentena A represso ao crime importante, se a justia deve ser severa. pode ser corretamente representada por RQ. Julgue os itens a seguir: 14. A proposio simblica (PQ)R possui, no mximo, 4 avaliaes V. 15. A proposio simbolizada por (AB)(BA) possui uma nica valorao F. 16. Uma expresso da forma (AB) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio AB. Julgue os itens a seguir: 17. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposies simples que formam a proposio Se Pedro for aprovado no concurso, ento ele comprar uma bicicleta, correto afirmar que h apenas uma possibilidade de essa proposio ser verdadeira. 18. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposies simples que formam a proposio O SERPRO processar as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso, correto afirmar que h apenas uma possibilidade de essa proposio ser julgada como V. 19. As proposies ABAB e ABAB so, ambas, tautologias. 20. Considere que uma proposio Q seja composta apenas das proposies A e B cujos valores lgicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo. Nessa situao, uma forma simblica correta para Q [A(B)][(A)(B)].


21. A proposio I: AB equivalente proposio II: (AB)(BA), isto , independentemente das valoraes V ou F de A e B, as proposies I e II tm sempre as mesmas valoraes. Proposies das formas A B, A B e B A so sempre equivalentes. A partir dessa informao e das definies includas no texto, julgue o item a seguir. 22. As proposies: Se Hlio conselheiro do TCE/AC,ento Hlio formado em Contabilidade e Hlio no conselheiro do TCE/AC ou Hlio formado em Contabilidade so equivalentes. Duas proposies so denominadas equivalentes quando tm exatamente as mesmas valoraes V e F. Por exemplo, so equivalentes as proposies (A) B e A B. Supondo que A simboliza a proposio: Alice perseguiu o Coelho Branco e B simboliza a proposio O Coelho Branco olhou o relgio, julgue os itens a seguir. 23. A proposio Se o Coelho Branco no olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco pode ser simbolizada por (B) (A). 24. A proposio Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco equivalente proposio O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco.

GABARITO EXERCCIOS COMPLEMENTARES

OBSERVAO: Caso encontre alguma questo que no esteja de acordo, favor entrar com recurso atravs do e-mail [email protected], informando curso; disciplina; nmero da questo, nmero da pgina e o esclarecimento.

3.1 Apostila Matemática e RL

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