307OS EM VIGAS) - Crea-PR

Revista Técnico-Científica do CREA-PR - ISSN 2358-5420 - 22ª edição – Novembro de 2019 - página 1 de 18

DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DE ESFORÇOS EM VIGAS

MÚLTIPLAS DE CONCRETO EM PONTES RODOVIÁRIAS

Desenvolvimento de Ferramenta Computacional

David Santana Venancio (Professor, UNIFACEAR – Centro Universitário FACEAR);

[email protected]

Resumo: Neste artigo é apresentada a ferramenta computacional AMECalc, que utiliza o

método simplificado de Engesser-Courbon, afim de obter os coeficientes de distribuição

transversal dos esforços em vigas múltiplas de concreto para pontes rodoviárias. Tal

ferramenta é comparada com quatro modelos de pontes com diferentes posições de cargas

e que, utilizando o método dos elementos finitos, são comparados os resultados de ambos

métodos e apresentando relação entre si. Não se buscou dimensionar estruturas, mas sim

contribuir no uso computacional com a ferramenta de código livre e possibilitar a análise das

estruturas sujeitas à um carregamento móvel. O carregamento considerado no AMECalc é

unitário na posição que o usuário deseja obter as situações para cada reação de apoio,

tomando assim como resultante as linhas de influência para cada posição da carga

mensurada no programa. Além da linha de influência pelo método de Engesser-Courbon,

caso o usuário desejar, o AMECalc é capaz de calcular os coeficientes de impacto vertical,

impacto adicional de números de faixas, conforme preconiza a NBR 7188/2013, mas as

mesmas não são levadas em consideração nas linhas de influência.

Palavras-chave: Engesser-Courbon; Distribuição transversal; Ferramenta; MEF.

TRANSVERSAL DISTRIBUTION OF EFFORTS IN MULTIPLE BEAMS

OF CONCRETE IN ROAD BRIDGES

Computational Tool Development

Abstract: In this paper we present the AMECalc computational tool that uses the simplified

Engesser-Courbon method to obtain the coefficients of transversal load distribution in

concrete beams for concrete bridges. This tool is compared with four bridging models with

different load positions, and using the finite element method, the results of both methods are

compared and the relationship between them is compared. It was not sought to dimension


structures, but to contribute to the computational use with the free code tool and thus enable

the analysis of the structures subject to a mobile load. The load considered in the AMECalc

is unitary in the position that the user wants to obtain the situations for each support reaction,

thus taking as a result the influence lines for each position of the load measured in the

program. In addition to the line of influence by the Engesser-Courbon method, in case the

user wishes the AMECalc is able to calculate the vertical impact coefficients, additional

impact of numbers of bands, as recommended in NBR 7188/2013, but they are not taken in

influence lines.

Keywords: Engesser-Courbon; Transverse Distribution; Tool; FEM.

1. INTRODUÇÃO

Graças ao avanço do conhecimento e da tecnologia, têm nos permitido aprofundar

conceitos e teorias no que tange a modelagem e análise dos mais diversos tipos de

elementos estruturais, seja utilizando métodos simplificados ou mais sofisticados.

Se tratando do análise estrutural de pontes, o modelo adotado deve ser aquele que

permita uma boa avaliação da resposta da estrutura real aos esforços nela prevista (NBR

7187, 2003).

Neste artigo, é explorado o método simplificado de Engesser-Courbon, que trata da

obtenção dos coeficientes de distribuição de esforços transversais em pontes.

Foi desenvolvida uma ferramenta computacional escrita em linguagem Free Pascal,

batizada de AMECalc que, na sua base de cálculo, apresenta o método de Engesser-

Courbon.

Além do método proposto, serão apresentados em caráter de conhecimento, demais

métodos que tratam da distribuição de esforços em pontes, como método de Leonhardt,

teoria de Huber, Pelikan-Esslinger e de Guyon-Massonet; também será apresentada a

aplicação de métodos sofisticados, em particular o método dos elementos finitos (MEF) com

a utilização da ferramenta ANSYS (ANSYS, 2012). A aplicação do MEF objetiva determinar

o estado de tensão e deformação do sólido sujeito a carregamento externo (AZEVEDO,

2003).


Assim, portanto, busca-se apresentar a distribuição de esforços transversais em

vigas múltiplas para pontes rodoviárias utilizando a ferramenta computacional desenvolvida

especificadamente para a aplicação do método de Engesser-Courbon.

2. MÉTODOS DE DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DE ESFORÇOS

Segundo Kripka (2008), o processo de cálculo estrutural é dividido em duas etapas,

sendo: análise e dimensionamento. Conhecer os esforços atuantes nos elementos que

compõe a estrutura de uma ponte proporciona uma melhor análise do comportamento

estrutural, bem como o dimensionamento para os esforços internos que atuam nesses

elementos. Desse modo, a análise estrutural consiste em conhecer os efeitos de um sistema

de forças sobre a estrutura, ou seja, como a estrutura reage na incidência de esforços sobre

ela.

A partir do conhecimento do comportamento estrutural, efetua-se o dimensionamento

que objetiva, principalmente, que a estrutura não entre em colapso e nem acabe gerando

deformações excessivas, causando assim um desconforto a quem for destinado ao uso.

Com o advento da tecnologia, a análise de uma ponte, por exemplo, torna-se mais

simples do que se fazia antigamente, onde os cálculos estruturais eram feitos manualmente

e que custavam tempo e não se podia ainda garantir que fosse a melhor técnica executiva

adotada. Mesmo com a inserção tecnológica, o desenvolvimento de cálculo manual com a

utilização de métodos simplificados produziu uma coerência com métodos mais sofisticados

(que utilizava os computadores como parte do processamento dos cálculos) e que esses

métodos simplificados são utilizados até os dias de hoje, em virtude da aproximação dos

resultados aos cálculos processados pelos computadores.

Destacam-se, portanto, alguns métodos simplificados/aproximados: Fauchart,

Leonhardt, Guyon-Massonet, Rusch e Engesser-Courbon entre outros, que intrinsecamente

possibilitam discretizar os esforços atuantes em pontes nas seções solicitadas.

Para métodos mais sofisticados, é possível citar: Teoria das placas Kirchoff,

diferenças finitas, elementos finitos, entre outros.

2.1. Principais métodos aproximados

Longo (1979) descreveu uma série métodos aproximados, citados a seguir:


a) Teoria das Placas Ortótropas de Huber: Descrito pela substituição dos elementos

estruturas da ponte (formada por longarinas, transversinas e laje) por um único elemento de

espessura constante. Utiliza equações diferencias que seu uso não se torna tão comum, no

entanto apresenta resultados razoáveis. Método responsável por introduzir os métodos a

seguir.

b) Método de Guyon-Massonet: Método que utiliza coeficientes de distribuição vertical,

em que é possível, em conjunto com os valores da rigidez à torção e flexão dos elementos,

determinar os esforços mais desfavoráveis na estrutura. Tal método apresenta valores

razoavelmente aceitos.

c) Método de Pelikan-Esslinger: Baseado na equação de Huber, no entanto

desprezada a rigidez à torção e flexão, considera que as vigas principais são rígidas e as

longarinas são flexíveis. Por tal método, analisar as longarinas flexíveis acaba sendo mais

utilizado em estruturas mistas ou metálicas.

d) Método de Leonhardt: Introduz distribuição transversal de cargas de acordo com o

grau de rigidez à rotação, considerando as transversinas flexíveis apoiadas nas longarinas.

Propõem-se, portanto, o método à introdução de coeficientes para distribuição diretamente

utilizando as equações de equilíbrio de forças. Tal método facilita a utilização em diversos

tipos de pontes formadas em grelhas.

2.2. Método de Engesser-Courbon

Para utilizar o método de Engesser-Courbon, deve-se considerar que as

transversinas sejam infinitamente rígidas, desprezando-se, portanto, os efeitos de torção.

Muito aplicado em pontes/viadutos de pequena largura em relação ao vão, para que sejam

consideradas rígidas. Assim o carregamento se distribui entre as longarinas,

proporcionalmente a um coeficiente de distribuição transversal (LONGO, 1979).

Tal método utiliza o conceito de superestrutura da ponte enrijecida, no entanto, é

notável que possui restrição em sua utilização, pois, haja visto que é necessário adequar o

modelo real (espacial) para um modelo simplificado, desse modo nem sempre convergindo

para a boa avaliação dos esforços em virtude das suas limitações (MOURA et al, 2016).

Os resultados obtidos por este método serão mais satisfatórios na medida em que o

parâmetro lambda for menor (ALVES, 1994), sendo:


(1)

Onde λ λ λ λ é o parâmetro de verificação do método, L é o comprimento do tabuleiro ou

longarina; l é a largura do tabuleiro ou transversina; n é número de longarinas; ρρρρ L é a rigidez

média das longarinas; ρρρρ T é a rigidez média das transversinas (de acordo com o sistema

internacional de unidades).

Jovem et al (2016) exemplifica, de modo analítico, que o tabuleiro formado por

grelhas (longarinas e transversinas) possuem comportamento monolítico/corpo rígido, ou

seja, a malha formada pelas longarinas e transversinas reproduzem apenas efeito de

translação vertical e rotação vertical produzida pelo posicionamento de uma carga P (Fig. 1),

desprezando assim os efeitos de torção.

Essa hipótese leva em consideração por simplesmente admitir que a largura do

tabuleiro seja pequena em vista ao seu comprimento, tratando assim como um corpo rígido

transversal.

Figura 1 - Deslocamento de corpo rígido transversal.

Fonte: Jovem et al (2016).

A Fig. 1 pode ser escrita numericamente em função dos estudos aplicados à

mecânica das estruturas, onde se admite que as deformações sejam baixas, as seções

permanecem planas na inerência de esforços e o comportamento é linear-elástico, sendo:


(2)

Onde Pi é a parcela de carga na longarina; P é a carga total; e é a excentricidade da

carga em relação ao eixo de simetria da seção transversal; di é a distância da viga n em

relação ao eixo de simetria da seção transversal.

Para que descubra o coeficiente de distribuição vertical “ki”; basta considerar P = 1,

desse modo Pi = ki.

3. METODOLOGIA

O estudo foi realizado em três etapas Em primeira etapa foi com pesquisa das

principais fontes bibliográficas da área até o momento. O estudo, aprofundamento,

compreensão dos conceitos foram obtidos nessa primeira etapa. Em uma segunda etapa, foi

feito estudo da linguagem Free Pascal com a utilização do software livre Lazarus, de modo a

construir a ferramenta computacional AMECalc, integrando com os conceitos obtidos na

primeira etapa. A terceira etapa foi o lançamento dos modelos das pontes estudadas,

utilizando o software ANSYS baseado no Método dos Elementos Finitos, para análise do

comportamento mecânico e aplicado nessa etapa o método simplificado, com a utilização do

AMECalc e que, posteriormente, foi validado, através da comparação com resultados já

obtidos em trabalhos similares disponíveis na literatura.

Foram propostos quatro modelos de pontes com parâmetro lambda (Eq.1) distintos,

descrito na Tabela 01. Cada modelo possui posicionamento de carga unitária, conforme

demonstrado na Tabela 02. Tais modelos e cargas foram lançados no AMECalc para

comparação com resultados obtidos no ANSYS.


Tabela 1 - Características da ponte – lançamento no AMECalc Descrição Modelo1 Modelo2 Modelo3 Modelo4

Largura (m) 10,00 10,00 20,00 20,00 Comprimento (m) 40,00 30,00 120,00 60,00 Quantidade de vigas 5,00 3,00 8,00 10,00 Quantidade de transversinas 5,00 3,00 20,00 10,00 Ec (MPa) 28200 28200 28200 28200 Gc (MPa) 11750 11750 11750 11750 Largura das longarinas (m) 0,60 0,40 0,40 0,40 Altura da longarina (m) 1,20 1,50 1,50 1,50 Largura das Transversinas (m) 0,60 0,30 0,40 0,40 Altura das transversinas (m) 1,20 1,50 1,50 1,50 Espessura da laje (m) 0,20 0,30 0,20 0,20

λλλλ (“lambda”) 0,30 0,53 0,24 0,51 Fonte: Autor (2018)

Tabela 2 - Carregamento – Lançamento no AMECalc

Carregamento Modelo1 Modelo2 Modelo3 Modelo4

P1 Sobre a V1 Sobre a V1 Sobre a V1 Sobre a V1 P2 Sobre a V3 Sobre a V2 Sobre a V4 Sobre a V4 P3 - - Entre a V4 e V5 Sobre a V5 P4 - - Entre a V1 e V2 Entre a V1e V2

Fonte: Autor (2018)

Nomeou-se cada modelo de acordo com a posição da carga P, sendo a

nomenclatura dada por:

a) M1C1: Modelo 01 com Carga P sobre a V1;

b) M1C2: Modelo 02 com Carga P sobre a V3;

c) M2C1: Modelo 01 com Carga P sobre a V1;

d )M2C2: Modelo 02 com Carga P sobre a V2 ;

e) M3C1: Modelo 03 com Carga P sobre a V1;

f) M3C2: Modelo 03 com Carga P sobre a V4;

g) M3C3: Modelo 03 com Carga P entre a V4 e V5;

h) M3C4: Modelo 03 com Carga P entre a V1 e V2;

i) M4C1: Modelo 04 com Carga P sobre a V1;

j) M4C2: Modelo 04 com Carga P sobre a V4;

k) M4C3: Modelo 04 com Carga P entre a V5;

l) M4C4: Modelo 04 com Carga P entre a V1 e V2;


4. FERRAMENTA DESENVOLVIDA

AMECalc (referência à Aplicação do Método de Engesser-Courbon), ferramenta

desenvolvida pelo autor, em linguagem Free Pascal com utilização da plataforma gratuita

Lazarus, compatível com Delphi (LAZARUS, 2018).

A arquitetura do AMECalc foi baseada na interação gráfica com o usuário a partir da

tecnologia IDE (integrated development environment) ou, em tradução livre, significa

ambiente de desenvolvimento integrado, na qual possui como característica a agilidade em

programação, aumentando assim, a produtividade na construção de um programa. A Fig. 2

apresenta a interface gráfica.

Figura 2. Tela principal do AMECalc

Fonte: Autor (2018)

O programa traz como valor padrão Ec=28200MPa e Gc=11750MPa, porém o

usuário pode arbitrar o valor que desejar.

O programa lê o campo de definições e já se torna possível o cálculo dos

coeficientes de Impacto Vertical (CIV), Impacto Adicional (CIA) e de Número de Faixas

(CNF) em seus respectivos botões, conforme NBR7188/2013 recomenda e de acordo com

as equações citadas neste trabalho.

Basicamente o programa traz como valor de CIA=1,00 (caso o usuário não deseja

adicionar valor de CIA), no entanto pode ser alterada respectivamente para 1,25 (Concreto)


e CNF=0,90 podendo ser calculado de acordo com o número de faixas introduzido

anteriormente. Além de ser possível orientar o usuário através do botão “Avaliar”, que

verifica através da Eq. 2. O autor considerou como um valor de análise de lambda sendo

abaixo de 01 (um) para ter resultados mais refinados, mas não exclui a hipótese de ter

valores maiores que 01 (um) para aplicação do método.

Ao clicar no botão “Avaliar”, a partir dos valores de lambda (acima ou abaixo de 01);

o usuário pode receber as informações contidas nas Fig. 3 e 4.

Figura 3. Mensagem na tela para quando lambda for menor que 01 (um).

Fonte: Autor (2018).

Figura 4. Mensagem na tela para quando lambda for maior que 01 (um).


Independente dos valores de lambda, o usuário poderá seguir com o cálculo pelo

método de Engesser-Courbon. Ao passo de se introduzir o posicionamento das cargas e as

respectivas longarinas o usuário solicita através do botão “Calcular fator k” na qual no

campo “Resultados” a as “Linhas de Influência devido a posição da carga P”, onde irão

compor os seus respectivos campos as resultantes solicitadas.

4.1. LIMITAÇÕES

Apesar da aplicação possuir interface básica e tempo de processamento rápido, isso se

deve também algumas limitações imposta no programa, sendo:

a) Que o valor de Ec (Módulo de Elasticidade Longitudinal) é relacionado apenas à

flexão das longarinas e Gc (Módulo de Elasticidade Transversal) à torção das vigas

transversais, sendo estas consideradas para todas as vigas do modelo considerado;


b) Calcula apenas vigas de seção retangular, com inércia constante ao longo do eixo

longitudinal da ponte;

c) Aplica o método apenas em pontes com longarinas paralelas entre si, não

aceitando pontes esconsas ou curvas;

d) Deve-se presumir a largura da ponte coincidente com a largura das transversinas

(quando ocorrer laje em balanço);

e) Considerado espessura da laje engastada na região da transversina com a

mesma largura da viga transversal, com a finalidade de aumentar a rigidez transversal da

transversina; essa colaboração da laje não ocorre na viga longitudinal.;

f) A avaliação do método é restrita a um fator único (lambda abaixo ou acima de 01);

g) Apresenta apenas as linhas de influência referentes a uma carga unitária e não

calcula envoltória dos esforços;

h) Não considera ação de carregamento próprio;

i) Limitado ao cálculo de até 10 vigas longitudinais.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1. M1C1 – MODELO 01 COM CARGA P SOBRE A V1

O gráfico apresentado na Fig. 05 mostra que a relação do Ansys e AMECalc são

inerentes, ocorrendo pouca variação dos resultados, no entanto mantendo-se os extremos

acrescidos, na posição da carga P em V1, o coeficiente de distribuição gerado pelo Ansys é

maior que no AMECalc.

Figura 05. Linhas de influência em M1C1




Na incidência da carga P sobre a V3, o método de Engesser-Courbon distribuiu

linearmente os esforços entre as vigas, algo que não aconteceu pelo modelo calculado no

ANSYS. O gráfico representado pela Fig. 06 mostra bem esse acontecimento.

Observando-se a rigor, o AMECalc configurou a distribuição mediana da carga, no

Ansys, a carga que situa diretamente sobre, recebeu o maior esforço distribuindo às demais

vigas.




Baseado nas informações geradas pelo AMECalc e ANSYS, os resultados são muito

próximos entre si na medida que a carga fica na extremidade observa-se na Fig. 07 que o

valor de maior influência se situa exatamente na região onde ocorre o carregamento P.





O gráfico representado na Fig. 08 demonstra o mesmo que ocorreu em M1C2,

confere-se na M2C2, na condição de corpo rígido, que AMECalc satisfaz os resultados,

distribuindo igualmente os valores dos esforços produzidos. Tal condição não foi

interpretada no ANSYS quando a carga P é aplicada no centro do tabuleiro, prevalecendo o

maior esforço diretamente sobre a V2.




As semelhanças dos resultados, constados na Fig. 09, são nítidas, possuindo a

mesma equivalência gráfica, a malha configurada resulta em uma boa condição dos

resultados e, seguindo a recomendação do parâmetro lambda, a confiabilidade do método é

evidente quando a carga é situada na extremidade da ponte.



5.6. M3C2 – MODELO 03 COM CARGA P SOBRE A V4;

Na Fig. 10 os resultado não são coincidentes entre os métodos aplicados, no

entanto, pode-se ainda observar a formação do corpo rígido do tabuleiro, trazido pelos


deslocamentos gerados, o que satisfaz a igualdade dos resultados dados pelo AMECalc

quanto a distribuição dos esforços/deslocamentos.



5.7. M3C3 – MODELO 03 COM CARGA P ENTRE A V4 E V5

Na Fig. 11, a analogia feita em M3C2 pode ser feita quanto ao M3C3, tornando

ainda mais perceptível a distribuição dos esforços quando a carga é aplicada no meio do

tabuleiro.




Na Fig. 12, pode-se observar a coincidência dos resultados com o método de

Engesser-Courboun e MEF, pois, ambos apresentam semelhança nos resultados gerados,

com pouca variação.





A Fig. 13, mostra a incidência da carga P sobre a V1 Os métodos que foram

aplicados provocam uma semelhança dos valores de coeficiente de distribuição transversal

ao longo do tabuleiro.




Em analogia aos resultados obtidos pelo método de Engesser-Courbon, a Figura 14

possibilita constatar a coerência da distribuição de esforços transversais. Diferente que

observar a resultante gerada no ANSYS, que considera o maior carregamento sobre a V4.





O mesmo comportamento descrito no M4C2 é possível descrever o M4C3, de acordo

com a Fig. 15.




Na interpretação dos resultados apresentado na Fig. 16 de M4C4, não ocorreu uma

linearidade dos resultados.




6. CONCLUSÃO

Os resultados do método de elementos finitos e o método aproximado, utilizado no

AMECalc, foram satisfatórios, permanecendo principalmente que, o carregamento extremo

em cada modelo de ponte produziu uma grande aproximação dos coeficientes de

distribuição transversal entre os métodos, o que descreve em uma situação mais

desfavorável para análise de pontes, como recomendação normativa. Os maiores desvios

de resultados foram ao longo do tabuleiro, onde possivelmente se deve ao fato da

discretização ser muito refinada em MEF, comparado ao método de Engesser-Courbon,

Foi evidenciado que, na medida em que se tem pequena largura em relação ao

comprimento da ponte e, com o menor valor de lambda e a maior quantidade de

transversinas, os resultados tornam-se mais satisfatórios, como assim ocorreu nos modelos

M1, M3 e M4, com o carregamento imposto na extremidade da ponte.

Espera-se ainda que, a utilização do AMECalc em meio acadêmico possa ampliar o

ensino da disciplina de pontes, bem como o aprimoramento de sua versão, podendo assim

ser difundido o seu uso.

O autor sugere que para os próximos estudos seja possível introduzir nas versões do

AMECalc:

a) A possibilidade de alteração a rigidez para cada elemento constituinte da ponte;

b) Calcular diversos tipos de seção das vigas;

c) Criar uma hipótese consolidada para utilização em pontes esconsas ou curvas;


d) Criar diversas situações de avaliação perante ao parâmetro lambda;

e) Calcular e traçar as envoltórias de esforços, considerando o carregamento

permanente e móvel no próprio programa, baseado nos coeficientes gerados;

f) Calcular as linhas de influência e envoltórias em cada viga constituinte da seção

transversal;

g) Não limitar o número de vigas longitudinais.

REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7187: Projeto de pontes de

concreto armado e de concreto protendido - Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT,

2003.

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AZEVEDO, Á. F. M. Método dos Elementos Finitos. 1ᵃ. ed. Porto, Portugal: Faculdade de

Engenharia da Universidade do Porto, 2003.

KRIPKA, M. Analise Estrutural para Engenharia Civil e Arquitetura: Estruturas

Isostáticas. 2ᵃ. ed. São Paulo. PINI. 2008.

LONGO, H. I. Esforços Máximos em Pontes Tipo Grelha. Rio de Janeiro: Universidade

Federal do Rio de Janeiro, 1979. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil).

MOURA, M. W. et al. Comparação do Método de Fauchart e do Método dos Elementos

Finitos na Avaliação da Distribuição de Esforços Transversais em Pontes

Rodoviárias. Anais do 55º Congresso Brasileiro do Concreto, 2016.

ALVES, E.V. Análise Estrutural de Pontes em Vigas Múltiplas de Concreto Protendido.

Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1979. Dissertação (Mestrado em

Engenharia Civil), 1994.


JOVEM T.P. et al. Análise Comparativa da Distribuição de Carga em Pontes

Hiperestáticas de Concreto Armado com Múltiplas Longarinas Por Meio de Modelos

Analíticos Clássicos e do Método dos Elementos Finitos. Rio de Janeiro:2016.

LAZARUS. About Lazarus Project. Disponível em <https://www.lazarus-

ide.org/index.php?page=about>. Acesso em 30 de abril de 2018.

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