3 Componentes intrnsecas da velocidade e da acelerao

Na seo 1 foram definidas velocidade escalar e acelerao escalar para uma partcula. Em diversos problemas da engenharia, h necessidade de se conhecer tambm as direes e os sentidos da velocidade e da acelerao. Para isso, nesta seo ser apresentada uma abordagem vetorial do movimento da partcula.

3.1 Vetor velocidade

Conforme foi visto na seo referente ao Triedro de Frenet, a posio de um ponto P no espao tridimensional pode ser determinada pelo vetor posio, de acordo com a equao (3.1).

OPOP = (3.1)

Fig. 3.1 Vetor posio

O vetor velocidade da partcula definido pela taxa de variao do vetor posio em relao ao tempo:

dtPd

dtOPd

v ==

(3.2)

Pela regra da cadeia obtm-se:

dtds

dsPd

dtPd

v ==

(3.3)

Como dtds

v = vem:

dsPd

vdtPd

v ==

(3.4)

Na seo 3.1.1 ser determinado o mdulo e a direo do vetor dsPd

.

3.1.1 - Vetor dsPd

Na seo 2.2, referente ao versor tangente do Triedro de Frenet, foi visto que o tal versor obtido pela equao:

dtPd

dtPd

=

Como t um parmetro qualquer, o arco s, definido entre as posies P1 e P2 (veja fig. 3.2) tambm poderia ser tomado como parmetro. Assim, o versor tangente ficaria definido pela equao (3.5).

dsPd

dsPd

= (3.5)

Pela figura 3.2, o mdulo do vetor POP = representa a corda e s define o

arco entre as posies 1P e 2P . Se s tender a zero ( 0s ), o comprimento do arco

e a corda tendem ao mesmo valor, ou seja 1=dsPd

.

Fig. 3.2 - Vetor P

Desta forma, a equao (3.5) toma a forma:

dsPd

= (3.6)

Substituindo a (3.6) na (3.4) vem:

vdsPd

vv == (3.7)

A equao (3.7) mostra que, a cada instante, a direo do vetor velocidade da partcula tem direo tangente trajetria (veja figura 3.3).

Fig. 3.3 - Vetor velocidade

V

3.2 Vetor acelerao

Nesta seo ser avaliada a variao do vetor velocidade em relao ao tempo, denominada de acelerao.

Derivando a equao (3.7) em relao ao tempo, obtm-se:

vvdtvd

+= (3.8)

Pela regra da cadeia do clculo I:

dsd

vdtds

dsd

dtd

=== (3.9)

Observando as equaes (2.4.1.8) e (2.6.5) das sees 2.4.1 e 2.6, aqui

reescritas, pode-se concluir que os vetores dsd

e n

so paralelos.

=

OPOPOP

OPOPOPn

(2.4.1.8)

( )4

'

'"'

PO

POPOPOdsd

=

(2.6.5)

Como 1=n vem:

ndsd

dsd

= (3.10)

Substituindo (3.10) em (3.9) obtm-se:

ndsd

v

= (3.11)

Como

1=

dsd

(veja definio de curvatura na seo 2.6), obtm-se:

nv

= (3.12)

Substituindo (3.12) em (3.8) vem:

nv

vdtvd

a

2

+== (3.13)

Pela equao (3.13) observa-se que o vetor acelerao resultante da soma de dois vetores:

- um,

v , na direo da reta tangente curva, que caracteriza a variao do

mdulo da velocidade em relao ao tempo, denominado de acelerao tangencial;

- o outro, nv

2

, na direo e sentido do versor normal, que caracteriza a variao

da direo da velocidade, denominado de acelerao normal (ou centrpeta). Estes vetores esto mostrados na figura 3.4.

Fig. 3.4 - Vetor acelerao

V

nV

2

n