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2 - VETORES
Geométricamente, vetores são representados por segmentos orientados no plano ou no espaço.
Figura 1: Vetor
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Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmocomprimento representam o mesmo vetor.
Figura 2: Vetores iguais
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2.1 Direção e Sentido
Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportesdesses vetores são paralelas ou coincidentes.
Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidoscontrários.
uu
v
v
rs
r~s
r//s
Figura 3a: Vetores u e v com mesma direção e mesmo sentido.
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2.1 Direção e Sentido
Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportesdesses vetores são paralelas ou coincidentes.
Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidoscontrários.
uu
v
v
rs
r~s
r//s
Figura 3b: Vetores u e v com mesma direção e sentidos contrários.
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2.2 Vetor unitário:
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2.2 Vetor unitário:
2.3 Vetores colineares:
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
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2.2 Vetor unitário:
2.3 Vetores colineares:
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
2.4 Vetores coplanares:
Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares.Três vetores poderão ou não ser coplanares.
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u v
w
Figura 4a: u, v e w são coplanares
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u
v
w
Figura 4a: u, v e w são coplanares
v
w
Figura 4b: u, v e w não são coplanares
u
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2.5 Soma de Vetores
u
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2.5 Soma de Vetores
u v
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2.5 Soma de Vetores
u v
u+v
Figura 5a: Soma de vetores
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2.5 Soma de Vetores
u v
u+v
uv
u+v = v+u
Figura 5a: Soma de vetores
v u
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
w
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
w
u+v
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
w
u+v
(u+v)+w
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
wv+w
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
wv+w
u+(v+w)
Figura 5b: Soma de vetores
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A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
v
wv+w
(u+v)+w = u+(v+w)
u+v
Figura 5b: Soma de vetores
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Propriedades:
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v
v + (-u) = v - u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u-u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u-u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u-u
v + (-u) = v - u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u-u
v + (-u) = v - u
v
u
Figura 6: Diferença de vetores
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v
v + (-u) = v - u
u-u
v + (-u) = v - u
v
u
v - u
Figura 6: Diferença de vetores
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2.6 Multiplicação por um escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
![Page 35: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/35.jpg)
2.6 Multiplicação por um escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
![Page 38: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/38.jpg)
2.6 Multiplicação por um escalar
v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
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2.6 Multiplicação por um escalar
v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2v
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2.6 Multiplicação por um escalar
v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2v-1.5v
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2.6 Multiplicação por um escalar
v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2v-1.5v
0.5v
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2.7 Ângulo entre vetores
v
u .
.
.A
B
O
v
u
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2.7 Ângulo entre vetores
v
u .
.
.A
B
O
v
u
v u
Figura 8: Ângulo entre vetores
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vu
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vu
u
v
u+v
v
u
.
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2.8 Vetores no
Figura 9: Decomposição de um vetor no plano
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![Page 48: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/48.jpg)
0 x
y
(1,0)
(0,1)
Figura 10: Base canônica
![Page 49: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/49.jpg)
0 x
y
Figura 11: Decomposição de umvetor no plano xy
![Page 50: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/50.jpg)
0 x
y
0 x
y.
Figura 12:
Figura 13:
![Page 51: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/51.jpg)
0 x
y . P(2,3)
2
3
![Page 52: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/52.jpg)
![Page 53: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/55.jpg)
![Page 56: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/56.jpg)
0 x
y
Figura 14: Soma de vetores
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0 x
y
Figura 14: Soma de vetores
![Page 58: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/58.jpg)
0 x
y
42
1
3
![Page 59: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/59.jpg)
0 x
y
642
1
3
4
![Page 60: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/60.jpg)
0 x
y
Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar
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0 x
y
Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar
![Page 62: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/62.jpg)
0 x
y
2
3
![Page 63: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/63.jpg)
0 x
y
2 4
3
6
![Page 64: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/64.jpg)
0x
y
2
3
![Page 65: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/65.jpg)
0x
y
2
3
-6
-9
![Page 66: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/67.jpg)
![Page 68: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/68.jpg)
O x
Figura 16: Vetor B - A
A
B
.
.
y
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O x
Figura 16: Vetor B - A
A
B
.
.
y
![Page 70: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/70.jpg)
O x
A
B
.
.y
431
1
2
3
4
-2
.D
.P
.
.C
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O x
A
B
.
.y
431
1
2
3
4
-2
.D
.P
.
.C
![Page 72: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/73.jpg)
.
..
. .
A B
C
M N
![Page 74: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/74.jpg)
x
y
0
Figura 17: Vetor no plano
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x
y
0-4
3
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x
y
0
![Page 77: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/77.jpg)
x
y
0
![Page 78: 2 - VETORES - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~boff/Disciplinas - semestre 2013-1/Geometria Analitica... · Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas ... Paulo Winterle.](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022051202/5a84164a7f8b9ac96a8b5459/html5/thumbnails/78.jpg)
x
y
0
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Placa
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Placa
x
y
0
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REFERÊNCIAS
[1] GEOMETRIA ANALÍTICA; Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.
[2] GEOMETRIA ANALÍTICA; Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira.
[3] MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA; Reginaldo J. Santos, Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais