2 PR-Transmission Lines

7/23/2019 2 PR-Transmission Lines

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Pedro PinhoGabinete 09 (F.0.11)

[email protected]

PROPAGAO ERADIAO


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ADEETC PROPAGAO ERADIAO [email protected]

Os fenmenos de propagao de ondas em linhas de transmisso

podem ser abordados como uma extenso da teoria dos circuitos oucomo uma especializao das equaes de Maxwell;

A diferena fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria dalinha de transmisso ocomprimento eltrico (). Nos circuitosas dimenses fsicas so muito menores que o comprimento deonda, enquanto que nas linhas de transmisso so uma fraoconsidervel do comprimento de onda;

A linha de transmisso vista como um circuito de parmetrosdistribudos, em que a tenso e a corrente variam em amplitude efase ao longo da linha.

2

Motivao: O que uma linha de transmisso?


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Linha cujo comprimento fsico (L) da ordem de grandeza docomprimento de onda.comprimento de onda;cvelocidade da luz no vcuo;nndice de refrao do meio;

Sen=1 ec=3108m/s,

paraf=50Hz temos=6Mm (6106m) Ondas correntes abastecimento eltrico

paraf=1GHz (1109Hz) temos=0.3m Microondas

paraf=200THz (11014Hz) temos=1.5m (1.510-6m)

Ondas de luz (fibras ticas)Com o aumento de f, o diminui podendo tender para valores da

ordem de grandeza do comprimento fsico da linha (L) ou docircuito em anlise, resultando em implicaes em termos de anlise;Em anlise de circuitos e mesmo em cadeiras de eletrnica temos

tipicamente ondas/fasores cujas frequncias so tipicamente baixas!! 3

Linha de transmisso: definio

nf

c

~ L


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Para se perceber a influncia da frequncia / comprimento de onda

num circuito, consideremos a situao seguinte:

Verifica-se uma variao da impedncia de entrada da linha com afrequncia.

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Linha de transmisso vista como um circuito

~L=1m

ZL=100

Zin

Frequncia [Hz] Zin []

0 100

1K 99.9+j0.0047100k 99.997-j0.47

1M 99.7-j4.7

10M 77.73-j34.27

20M 49.1-j35.03

100M 100


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Uma linha de transmisso consiste numa estrutura fsica formada

por dois condutores paralelos com dimenses e formaslongitudinalmente invariantes.Condutor sobre o terreno

Linha bifilar;

Linha bilar blindada;

Mais recentemente:Par entrelaado (cabos UTP para redes Ethernet,);

Cabos multifilares;Cabos USB;

Cabos coaxiais;

Linhamicrostrip;

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Tipos de linhas de transmisso


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ADEETC PROPAGAO ERADIAO [email protected] 6

Exemplos de linhas de transmisso


7/68ADEETC PROPAGAO ERADIAO [email protected]

Porque temos dois condutores separados por um dieltrico h umefeito capacitivo representado por uma capacidade C distribudaparalelo (F/m) relacionada com a permitividade do dieltrico;

Aos condutores que transportam a corrente est associada umaindutncia Lsrie distribuda (H/m), devida ao campo magnticoentre os condutores;

Os condutores tm uma condutividade finita, pelo que possuemuma resistncia Rdistribuda srie (/m), a qual causa as perdasohmicas;

Os condutores esto separados por um dieltrico que pode no serideal (condutividade no nula) ou seja pode haver conduo entreambos. Uma condutncia distribuda paralelo (S/m) justificar asperdas no dieltrico;

As grandezas L, C, Re Gesto uniformemente distribudas ao longoda linha e o seu valor depende da frequncia e da geometria da prpria

LT. 7

Modelo da linha de transmisso


8/68ADEETC PROPAGAO ERADIAO [email protected] 8

Parmetros distribudos: cabo coaxial e linha bilar

Cabo coaxial Linha bifilar

C [F/m]

L [H/m]

R [/m]

G [S/m]

a

bln

2

ln2

ba

a

bln

2

1 1

2

sR

a b

a

dln

adln

;s sR f

R

a

2a

2b

2a

2b

a

dln

2



Se o circuito (linha) a partir de determinada frequncia, muito

longo para utilizar a analise de circuitos vamos dividi-lo numacascata de circuitos muito curtos e todos iguais;

9

Circuito equivalente das linhas de transmisso

Rdx Ldx

Cdx Gdx

dx



Aplicando a lei das malhas e dos ns de Kirchhoff ao circuito

seguinte obtemos:

10

Equao diferencial de propagao na linha de transmisso

0,),(),(),( tdxxvt txiLdxtxiRdxtxv

0,),(

),(),(

tdxxit

tdxxvCdxtdxxVGdxtxi


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Relembrando o conceito de fasor, aplicado a uma tenso ou a umacorrente, a correspondncia que existe entre ambos a seguinte:

A nica diferena em relao analise de circuitos tradicional o factodos fasores de tenso e corrente (em modulo e fase) dependerem daposioxao longo da linha de transmisso.

De igual forma podemos escrever que:

12

Conceito de fasor

tje e(x)R)(cos)(),( V xtxVtxv )()((x) xjexV V

tje e(x)R)(cos)(),( I xtxItxi )()((x) xjexI I

j t j t

e e

j t j t j t

e e e

vR e R e

x x x

iR e R e R j e

t t t

VV

I I I


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As solues das equaes anteriores so:

Fazendo:

Os fasores tenso e corrente podem ser escritos da forma seguinte:

designada por constante de propagao (m-1)

Z0 a impedncia caracterstica da linha (); 14

Soluo para o regime forcado sinusoidal II

xx ee ZYZY VVV 21 1 2

/ /

x xe e ZY ZYV V

IZ Y Z Y

ZY j

0||/ 00j

eZZ YZ

xx ee 21 VVV xx eZ

eZ

0

2

0

1 VVI



Multiplicando a equao fasorial da tenso por ejwt e tomando a

parte real do resultado obtemos o valor instantneo da tenso.

De igual forma, a corrente na linha de transmisso dada por:

15

Equaes de tenso e corrente no domnio do tempo

)(2)(1

21

21),(

),(

xtjxjxtjxj

e

tjxx

e

eeeeeeRtxv

eeeRtxv

VV

VV

1 1 2 2( , ) cos cosx xv x t e t x e t x V V

1 21 0 2 00 0

( , ) cos cos| | | |

x xi x t e t x e t xZ Z

V V


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A constante de propagao dada pela equao seguinte

Tem como unidade o inverso de um comprimento, uma vez queZeYso respetivamente a impedncia longitudinal e a admitnciatransversal da linha de transmisso por unidade de comprimento.

edependem dos parmetros da linha (R, L, G, C) e da frequncia

de trabalho. 17

Constante de propagao

))(( CjGLjRj ZY

RGLC)CG)(LR(2

1 2222222

RGLC)CG)(LR(2

1 2222222



A parte real da constante de propagao determina a variao de

amplitude das ondas incidentes de tenso e de corrente no sentidode propagao devido ao fator e-x. Da designar-se por constantede atenuao a qual se exprime em Np/unidade de comprimento.

Para a onda refletida de tenso e de corrente o amortecimento

devido a exponencial ex

; 18

Significado fsico de


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A parte imaginria da constante de propagao determina a variao

de fase das ondas de corrente e de tenso por unidade decomprimento e dai designar-se porconstantedefasee exprime-seem radiano/unidade de comprimento (normalmente rad/m);Os fasores da onda incidente -tenso ou corrente- sofrem uma

variao de fasexem atraso: o fasor roda no sentido dos ponteiros

do relgio proporcional a distnciaxao gerador.Os fasores da onda refletida sofrem uma variao de fase tambm

proporcional distncia xmas em avano: o fasor respetivo roda nosentido contrario aos ponteiros do relgio;

A fase l, onde l corresponde ao comprimento da linha, denominada frequentemente como comprimento eltrico da linha.Um comprimento eltrico de 180o significa que, frequncia de

trabalho, a linha tem um comprimento 2.

20

Significado fsico de


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Constantes de ate. e fase de um cabo coaxial em funo da frequncia


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A contribuio da resistncia distribuda R para a constante deatenuao tende a aumentar com afdevido ao efeito pelicular;

A contribuio da condutncia distribuda em cabos de elevadodesempenho normalmente muito baixa na gama inferior de utilizaodo cabo mas como diretamente proporcional a fa sua contribuiorelativa aumenta com a frequncia.

26

Comportamento dea altas frequncias

Contribuies para a constante deatenuao do cabo Andrew Heliax

LDF4.5-50 estimadas a partir da tabelada constante de atenuao do fabricante


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Razo entre os fasores tenso refletida e incidente num ponto xda

linha e portanto ser um valor complexo.

No plano da carga teremos:

Atendendo definio anterior e definio de impedncia de cargapodemos escrever:

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Coeficiente de reflexo de tenso

)(

)()(

x

xx

V

V

ee

L

1

2

VV

1 20

1 2

( )

( )L

e eZ

e e

V VVZ

I V V

L

L0L

1

1Z

Lj0

0

eLL LL

Z

Z


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Equao generalizada da tenso e corrente na linha

)l2l2

2

1)(

)(

)(

x

L

x

x

L

x

xx

eex

eeex

eex

1

11

1

VV

VVV

VVV

)l22

1)(

)(

x

L

x

xx

eex

eex

1

1

II

III

dLd eed 2)l 1)( 1VV d2

0

1 1(d) eeZ

L

dVI


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Reflexes mltiplas: Gerador sinusoidal

11

)x()x()x( VVV


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Reflexes mltiplas: Gerador sinusoidal

Soma de duas progresso geomtricas de razo r


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Assim, em regime estacionrio, a tenso em funo dex dada por:

Em concluso:A tenso incidente e refletida no plano do gerador (V1e V2) dependem

da impedncia do gerador de forma direta (divisor resistivo) e indireta(pelo coeficiente de reflexo no gerador)

33

Tenso na linha de transmisso

xLxgLg

g eeeeZZ

Z

2

2

0

0

1

1(x)

VV


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Uma vez que a tenso imediatamente direita do plano deseparao tem de ser igual tenso imediatamente esquerda ento:

No plano de separao das duas linhas pode-se definir umcoeficiente de transmisso de tenso definido como:

35

Coeficiente de transmisso de tenso

xxx tVVV

int

11V

V

V

VV

V

Vt

t


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O modulo do coeficiente de transmisso tem um valor mnimo de 0e mximo de 2 e a respetiva fase esta compreendida entre [-/2 ;/2] radianos.

Se o troo 2 pode ser representado por uma impedncia equivalentede entrada Zinentotpode ser escrito de acordo com:

36

Coeficiente de transmisso de tenso

Tipo de carga L t

VSWR

ZL=0 -1 0

ZL= 1 2

ZL=Z0 0 1 1

1Zin

int


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Reflexes mltiplas


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39/68


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A figura mostra a tenso que seria observada no tempo (eixo

vertical) nos cinco pontos referidos anteriormente caso fossepossvel usar um osciloscpio para sondar a linha.

40

Interferncia entre ondas progressivasOnda estacionria

d d d


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A equao da tenso em funo de d, pode ser simplificada, semperda de generalidade no respeitante a analise da interferncia, sefizermos Zg= Z0e = 0.

Dois casos interessantes so o da carga adaptada (ZL= Z0) para oqual a amplitude da tenso na linha constante e igual a |Vg|/2 e ocaso de |L|= 1 (CC ou CA) em que a amplitude da tenso variarentre 0 e |V

g|;

41

Envolvente da onda estacionaria em linhas sem perdas

dLd eed 2)l 1)( 1VV djLdj eed 2)l 1)( 2

VV

g

dd

ed

LLL

dj

LL

2cos21)(

1)(

2

2

2

VV

2

VV

g

g

li li d d d


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A tenso na linha ser mxima (e a corrente mnima) quando severificar a condio:

Ou seja

A amplitude da tenso (mxima) dada por:

42

Localizao e amplitude dos extremos de tenso e corrente

2....1,0,ncom,22 max ndL

2....1,0,ncom24

max

nd L

L

LL

d

d

1)(

21)(

max

2

max

2

VV

2

V

V

g

g

L li li d d d


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A tenso na linha ser mnima (e a corrente mxima) quando severificar a condio:

Ou seja

A amplitude da tenso (mnima) dada por:

43

Localizao e amplitude dos extremos de tenso e corrente

2....1,0,ncom,122 min ndL

2....1,0,ncom4

1

24min

nd L

L

LL

d

d

1)(

21)(

min

2

min

2

VV

2

V

V

g

g


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C fi i d d i i VSWR


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Define-se como razo de onda estacionria a relao entre aamplitude mxima e a mnima da tenso na linha (igual relaoentre a amplitude mxima e mnima da corrente);

O VSWR varia na gama [1;+[;

Um VSWR baixo significa que a tenso e corrente na linha so osmnimos para entregar uma determinada potncia carga ou seja

que o coeficiente de reflexo baixo;Em aplicaes que envolvem o transporte de potncias elevadas as

linhas de transmisso podero estar a funcionar nos limitesmximos de tenso e corrente pelo que uma carga desadaptada pode

causar a sua destruio ou danos nas linhas e fontes de sinal. 45

Coeficiente de onda estacionaria VSWR

min

Max

(d)

(d)VSWR

V

V

||1

||1

L

LVSWR


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E l d li d d d i i d


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Exemplos da amplitude da onda estacionaria sem perdas

E l d lit d d d t i i d


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Exemplos da amplitude da onda estacionaria sem perdas

A li d i t f i li h i


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Pode-se demonstrar que a tenso em funo da distancia d,considerando Z

g= Z

0, ser dada por:

Onda estacionria para diferentes coeficientes de reflexo numa linha com atenuao de 0.2 Np/.

49

Analise da interferncia numa linha genrica

qdK 22 cospdsinh(d)VL1lnp

2q L


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Imp dn i d ntr d d m linh


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A impedncia de entrada assume, no contexto de linhas detransmisso, exatamente o mesmo significado que num circuitonormal;

51

Impedncia de entrada de uma linha

dtanhZdtanhZ

Z

eeeeZ

ee

eeZ

Z

eeeeZ

eeZeeZ

eZ

Z

e

eZ

Ze

Zee

eeZ(d)

L0

0L0

dd

dd

L0

dd

dd

0L

0dd

L

dd

0

dd

0

dd

L0

d

0L

0Ld

d

0L

0Ld

0d

L

d

d

L

d

0

Z

dtanjZ

dtanjZZ(d)

L0

0L0

Z=0

Anlise da natureza da impedncia de entrada da linha


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Carga adaptada: ZL=Z0;A impedncia de entrada da linha e Z(d) = Z0, o que significa que a

tenso refletida ser nula e a relao entre a tenso incidente e correnteincidente Z0;

Linha muito curta, le terminada em CC: ZL=0;A tenso praticamente nula enquanto a corrente e quase dupla da

corrente incidente. Este pequeno troo dever funcionar como umaindutncia pois a energia armazenada no campo magntico; E se ZLno for um CC mas sim uma resistncia de valor muito baixo

(inferior) a Z0?

Linha muito curta, le terminada em CA: ZL=;A corrente praticamente nula enquanto a tenso quase dupla da

tenso incidente. Este pequeno troo devera funcionar como umcondensador pois a energia armazenada no campo eltrico; E se ZLno for um circuito aberto mas uma resistncia de valor muito

elevado (superior) a Z0? 52

Anlise da natureza da impedncia de entrada da linha

Impedncia de entrada de uma linha terminada em CC


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A impedncia dada por:

e podemos observar no apenas a mudana de natureza da carga comoa sua periodicidade com/2;

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Impedncia de entrada de uma linha terminada em CC

tanjZ0ccZ

Impedncia de entrada de uma linha terminada em CA


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A impedncia dada por:

e podemos observar no apenas a mudana de natureza da carga comoa sua periodicidade com/2;

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Impedncia de entrada de uma linha terminada em CA

cot0ca jZZ

Propriedades da impedncia de entrada de uma linha sem perdas


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ZL= 57.7+j26.6 (L=0.25ej3;VSWR =1.7)

55




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ZL= 26.9+j79.9 (L=0.75ej3;VSWR =7.0)

Quanto maior for o VSWR mais vincadas sero as excurses naresistncia de entrada (R

in) e na reactncia de entrada (X

in);

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Transformadores com linhas de transmisso


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Uma carga resistiva RL pode ser transformada numa carga Z0pela intercalao de uma linha de /4 com uma impednciacaracterstica Z1dada por:

A impedncia de entrada de uma linha terminada numa carga complexapode ser tornada resistiva se for escolhido um comprimento conveniente. pois possvel adaptar uma gama restrita de impedncias com umsimples ajustamento do comprimento da linha.

Transformador de8

Considerando a linha terminada em CC ou CA, a impedncia deentrada ser: Zin=jZ0 (se ZLfor um CC);

Zin=-jZ0(se ZLfor um CA);

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Transformadores com linhas de transmisso

LRZZ 01

Perdas de retorno


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A indstria em geral, tem necessidade de especificar de uma formasimplificada os seus dispositivos.Por outras palavras: tem necessidade de quantificar a proximidade das

impedncias de entrada/sada da de um valor de referncia usado emlinhas de transmisso (normalmente 50)

Uma das grandezas utilizada, expressa em dB, denominada de

perdas por retorno, RL. O IEEE define as perdas por retorno comoa relao (em dB) entre a potncia incidente e a potncia refletida nacarga, que se pode provar ser dado por:

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Perdas de retorno

L

ref

in

RL

PPRL

log20

log10


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Linhas de transmisso mais comuns


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Linha Bifilar;

Linha bifilartwisted(cabo UTP e USB);Cabo Coaxial;

Linha microstrip;A linha microstrip e muito usada em circuitos de RF: amplificadores,

filtros, divisores de potncia e outros dispositivos.Trata-se de uma fita de cobre de largurawe espessuratcolocada a uma

alturahde um plano de massa sobre um dieltrico com permitividaderelativar. Em resumo: w a largura da fita de cobre ou da linha;

t a espessura do cobre, tipicamente 35m; h a distncia entre a fita e o plano de massa;

A estrutura propaga uma onda quasi-TEM em que parte da energia sepropaga no dieltrico e parte no ar.

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Linhas de transmisso mais comuns


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Linhas microstrip - Equaes de sntese


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A equao de sntese permite calcular a largura da fita wpara obteruma determinada impedncia caracterstica uma vez conhecidas ascaractersticas do dieltrico.

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Linhas microstrip Equaes de sntese

0 1 1 0.110.23

60 2 1

r r

r r

ZA

rZ

B

02

377

2

82

2

12 0.611 ln 2 1 ln( 1) 0.39 2

2

A

A

r

r r

e w

e hw

whB B B

h

Medies em linhas de transmisso: TDR


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O TDR ( Time Domain Reflectometry) uma tcnica de anlise delinhas de transmisso no domnio do tempo, utilizando um impulsoestreito que colocado entrada da LT e fazendo a anlise dopossvel impulso refletido pela carga com recurso a um osciloscpio.

O principio de funcionamento idntico ao do radar e ao do sonar;

Utilizando esta tcnica possvel determinar por exemplo:O tipo de carga que termina uma LT;

A velocidade de propagao na LT;

A permitividade relativa do dieltrico;

A atenuao na linha;

. Principio de funcionamento idntico ao de um radar e do sonar.

Esta tcnica utilizada regularmente para a localizao de avariasem LT, nomeadamente na rede telefnica e de computadores;

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Medies em linhas de transmisso: TDR

Medies em linhas de transmisso: FDR


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Nesta tcnica utiliza-se um sinal em regime harmnico sinusoidal eno um impulso de curta durao como no TDR;

No entanto esse sinal ter uma frequncia que vai variar entre doisvalores pr definidos fmine fmax

Esta tcnica de variao da frequncia e da anlise da envolventeobtida devido refleco obtida designada por FDR (FrequencyDomain Reflectometry);

Ao variar a frequncia vamos obter diferentes padres daenvolvente da onda estacionria e como tal diferentes valores detenso entrada da linha;

Conhecidos os diferentes padres podemos determinar a carga quetermina a linha, a tenso mxima, mnima e calcular o VSWR.

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Medies em linhas de transmisso: FDR

Medies em linhas de transmisso: VNA


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A caracterizao de componentes e dispositivos de RF exigesistemas que realizem a medio de impedncias e transmissonuma larga gama de frequncias em tempo real;

O instrumento mais comum num laboratrio de RF , o analisadorde redes vetorial ou VNA (Vector Network Analyser).

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Medies em linhas de transmisso: VNA

Bibliografia:


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Pedro Pinho, Armando Rocha e Jos Pereira, Propagao Guiada deOndasEletromagnticas. GEN/LTC, Julho de 2014;

67

Bibliografia:


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2 PR-Transmission Lines

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