2- métodos de discretização

F6D370 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II

Prof. Carlos Raimundo Erig Lima

2. ME TODOS DE DISCRETIZAÃAO

Existem muitos me todos de discretizaãao que podem ser aplicados a

funão es de transferˆncia analágicas. Um dos me todos de discretizaãao e a jü

conhecida aplicaãao da transformada Z a funãao analágica discretizada. Porem

este me todo de discretizaãao nem sempre leva em conta particularidades do

processo de discretizaãao. Por outro lado, alguns me todos apresentam um custo

computacional menor, permitido algoritmos menores, mais simples e rü pidos.

Sao apresentados os seguintes me todos de discretizaãao:

• Transfomada Z do sinal discretizado.

• Funãao de Transferˆncia pulsada e seguidores

• Me todo das diferenãas

• Transformaãao bilinear

• Transformaãao bilinear e com pre -distorãao de frequ ˆncia

A seleãao adequada apropriada do me todo de discretizaãao deve levar em

conta o que se espera do algoritmo de controle discretizado em comparaãao

com o desempenho do sistema analágico. Algumas propriedades mais utilizadas

sao:

• NÉmero de pálos e zeros.

• A largura de banda e a frequ ˆncia de corte.

• O ganho DC.

• A margem de fase e margem de ganho.

• A resposta temporal.

E possıvel que alguma destas propriedades nao sejam preservadas

durante o processo de discretizaãao. A escolha de um me todo de discretizaãao

tambe m estü relacionada com a facilidade de implementaãao computacional.

1



2.1 Transformada z do sinal discretizado

Dado um sistema contınuo, define-se a transformada z do sinal

discretizado como:

Propriedades:

• H(z) tem a mesma resposta ao impulso que H(s)

• Se H(z) e estü vel, H(z) tambe m o serü .

• H(z) nao preserva a resposta em frequ ˆncia (alising). E vü lido se nao for

observado o teorema da amostragem de Niquist. Ou seja pode ser

resolvido se a frequ ˆncia de amostragem for aumentada.

• Se H(s) e uma funãao complicada e nao tabulada, serü necessü rio utilizar

expansao em fraão es parciais para encontrar a funãao discretizada final.

• Nao considera os elementos introduzidos no sistema durante o processo

de discretizaãao.

2.2 Transformada z da funã a o de transferencia pulsada com

seguradores

Uns dos elementos introduzidos em um sistema discreto ao discretizar um

sistema analágico sao os seguradores. E interessante definir um segurador de

ordem zero. Pode-se considerar um sistema de controle digital, parciamente

representado na figura 2.1. E inevitü vel a existˆncia de um bloco que converta

F(z) = Z[{fk kk

kf z}]= −

=

∞

∑∆

0

2



sinais discretos em sinais contınuos (conversor D/A). Entre um conversao e

outra, o sinal de entrada e segurado na saıda do bloco. Esta operaãao de

memorizaãao da ultima amostra ate uma nova entrada introduz um novo termo

na funãao discreta resultante do sistema.

t

PLANTA Contınua

G(s) Conversor A/D

Conversor D/A

Sequ encia Impulso

k

1

uk

Funcao Resultante

T

1

ut

FIGURA 2.1 - Representaãao parcial de um sistema de controle discreto onde e

enfatizado a operaãao de um segurador.

Em funãao da figura pode-se escrever:

U ss

es

sT

( ) = −−1

, ou seja, Y ses

G ssT

( ) ( )=− −1

,

onde a funãao

1− −es

sT

e conhecida como segurador de ordem zero.

3



Para um segurador de ordem zero (ZOH)

D z Zes

D ssT

( ) ( )=−

−∆ 1 ou ainda,

Propriedades:

• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o serü .

• Se D(s) e nao tabulada, serü necessü rio utilizar expansao em fraão es

parciais.

• D(z) nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆncia.

2.3 TRANSFORMAÃ A O BILINEAR , DE TUSTIN OU TRAPEZOIDAL

Considerando-se o sistema U sE s

H sa

s a( )( )

( )= =+ e sua equaãao diferencial

associada:

du(td t

au(t ae(t)

( )) )+ = , pode-se resolver a equaãao diferencial pela

integral:

[ ]u t au ae dt

( ) ( ) ( )= − +∫ τ τ τ0 , relaãao esta que pode ser discretizada:

D z z ZD s

s( ) ( )

( )= −

−∆

1 1

4



[ ] [ ]u kT) au ae d au ae dkT T

kT T

kT( ( ) ( ) ( ) ( )= − + + − + ∴

−

−∫ ∫τ τ τ τ τ τ0

[ ]u kT) u kT T) au ae dkT T

kT( ( ( ) ( )= − + − +

−∫ τ τ τ .

Segundo a prápria definiãao de integral a integral [ ]− +−∫ au ae d

kT T

kT( ) ( )τ τ τ

e dada pela ü rea de − +au ae( ) ( )τ τ para (kT T) kT− < <τ .

Se esta ü rea e aproximada por um ret–ngulo tem-se uma aproximaãao

pelo me todo das diferenãas Backward ou Forward, discutidas posteriormente. A

figura 2.2 representa esta aproximaãao.

kT kT-T

Backward

kT kT-T

A rea: T[-au[kT-T]+ae[kT-T]]

A rea: T[-au[kT]+ae[kT]]

Forward

FIGURA 2.2 - Representaãao da aproximaãao da ü rea sob a curva entre duas

amostras consecutivas, segundo o me todo das diferenãas.

Se a aproximaãao for segundo um trape zio, tem-se a aproximaãao

trapezoidal, representada graficamente na figura 2.3.

5



Trapezoidal

kT kT-T

A rea: T[-au[kT-T]+ae[kT-T] -au[kT]+ae[kT]]/2

FIGURA 2.3 - Representaãao da aproximaãao da ü rea sob a curva entre duas

amostras consecutivas, segundo o me todo bilinear, de Tustin ou trapezoidal.

Da figura 2.3 pode-se representar ainda:

[ ]u kTaTaT

u kT TaT

aTe kT T e kT[ ]

( /( /

[ ]( /

( /[ ] [ ]=

−+

− ++

− +1 2)1 2)

2)1 2) ,

de onde, pode-se obter a seguinte relaãao: H za

Tzz

a( ) = −

+

+

2 11

, ou seja:

Propriedades:

• E fü cil aplicar, uma vez que trata-se de simples substituiãao de variü veis.

• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o e .

+−

=

=∆

112

)()(

zz

Ts

sDzD

6



• Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆncia de D(s).

A figura 2.4 apresenta o mapeamento realizado por este me todo de

discretizaãao sobre o plano z.

σ 2

jw

3

1 1

2

3 Im

Re

Plano s Plano z

TSTsz

−+

=22

)1()1(2

+−

=zTzs

FIGURA 2.4 - Mapeamento do me todo de discretizaãao bilinear sobre o plano Z.

2.4 M´todo das diferenã as - backward diference

Dado D sU sE s

( )( )( )

= , os termos em s (ou derivativos ddt

) serao

considerados como:

dy tdt

y k y kt

y kT y kT TT

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]=

− −=

− −1∆

Aplicando-se a transformada Z:

Y z z Y zT

zT

Y z( ) ( )

( )−

=−

− −1 11

7



Logo, tem-se a relaãao:

Propriedades:


• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o e .


• dy t

dty k y k

T( ) [ ] [ ]

=− − 1

dy t

dty k y k y k

T

2

2 22 1 2]( ) [ ] [ ] [

=− − + −

dy t

dty k y k y k y k

T

3

3 33 1 3 2] 3( ) [ ] [ ] [ [ ]

=− − + − − −



D z D s

sz

T

( ) ( )=

=−

−

∆

1 1

8



σ 2

jw

3

1 1

2

3

Im

Re

sz

T=− −1 1

zsT

=−1

1

Plano s Plano z

FIGURA 2.5 - Mapeamento do me todo de discretizaãao das diferenãas

backward.

2.5 M´todo das diferenã as - forwards diference

Dado D sU sE s

( )( )( )

= , os termos em s (ou derivativos ddt

) serao considerados

como:

dy tdt

y k y kt

y kT T] y kT]T

( ) [ ] [ ] [ [=

+ −=

+ −1∆

Aplicando a transformada Z:

Y z z Y zT

zT

Y z( ) ( )

( )−

=−

1

Logo, tem-se a relaãao:

D z D s

sz

T

( ) ( )=

=−

∆

1

9



Propriedades:


• Se D(s) e estü vel, D(z) nao o e necessariamente. Este me todo tende a gerar

instabilidade.




σ 2

jw

3

1 1

2

3 Im

Re

sz

T=

− 1

z Ts= +1

FIGURA 2.6 - Mapeamento do me todo de discretizaãao das diferenãas forward.

10



2.6 DISTORÃ A O EM FREQUE NCIA NA TRANSFORMAÃ A O BILINEAR

O me todo de Tustin introduz uma distorãao em frequ ˆncia. Pode-se

apresentar esta distorãao pelo exemplo de discretizaãao do filtro H sa

s a( ) =

+ .

Para obter a resposta em frequ ˆncia faz-se s=jw.

H jwa

a jwa ajwa w

( ) =+

=−+

2

2 2 , cujo mádulo e dado por:

H jwa

a wa

a w( ) =

+=

+

2

2 2 2 2 , para um valor particular de frequ ˆncia w

=a, tem-se:

H jw( ) ==12

Discretizando o filtro pela transformaãao bilinear:

H za

Tzz

a( ) ( )

( )

= −+

+2 1

1, fazendo-se z = ejwT:

H ea

Tee

a

a

Tee

a

jwTjwT

jwT

jwT

jwT

( ) ( )( )

( )( )

=−+

+=

−+

+2 1

12 1

1

H e

Tjtg

wTa

jwT( ) =+

22

2, que em mádulo e :

11



H ea

Ttg

wTa

jwT( ) =+

422

2 2, que para o mesmo valor de mádulo obtido no

filtro contınuo:

H ea

Ttg

wTa

wT

arctgaTjwT( ) =

+= ⇒ =4

2

12

22

22 2

, que e um valor

diferente da frequ ˆncia para obtenãao do mesmo valor de mádulo. Pode-se

ainda relacionar:

sT

zz

=−+

−

−

2 11

1

1( )( ) , fazendo-se s= jw' e z = ejwT:

jwT

ee

jwT

jwT′ =−+

−

−

2 11

( )( ) , de onde obtem-se que : ′ =w

Ttg

wT22

.

A relaãao entre w' e w pode ser visualizada na figura 2.7. Pode-se concluir

que a resposta em frequ ˆncia e distorcida, sendo que esta distorãao e menor

para baixos valores de w. Na prü tica para wT/2<17° ⇒ w' ≈ w.

A transformaãao bilinear comprime a frequ ˆncia contınua 0< w' <∞ em

uma faixa digital limitada a 0<wT<π.

FIGURA 2.7 à Representaãao da distorãao em frequ ˆncia observada na

discretizaãao pela trasformaãao bilinear.

12



A figura 2.8 apresenta a comparaãao da resposta frequencial de sistemas

discretizados segundo vü rio me todos de discretizaãao e um sistema contınuo.

FIGURA 2.7 à Resposta frequencial de sistemas discretizados em comparaãao

com um sistema contınuo.

13



Yr(s) U(s) Y(s) E(s)

D(s) Gp(s)

2.7 Exercıcio Resolvido - Discretizaãao de Sistemas Contınuos (fonte:

Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pás-Graduaãao em

Engenharia Ele trica, DAS 6653 à Controle Digital de Sistemas Din–micos)

Utilizando a aproximaãao forward para a discretizaãao do sistema, avaliar

o seu comportamento temporal para diversos perıodos de amostragem (Ts =

0.1; 0.2; 0.4; 0.6 e 0.8 segundos). Comparar os resultados e observar os pálos

de malha fechada. Para a aproximaãao bilinear, observar a din–mica do sistema

para os mesmos valores do perıodo de amostragem. Comparar os resultados.

Figura 1: Malha de Controle à Caso Contınuo.

)3s2.3s(3

)s(G).s(D1)s(G).s(D

)s(Y)s(Y)s(G 2

P

P

rCL

++=

+==

)2(1)(+

=ss

sGP ⇒ )2.3s()2s(3)s(D

++

=

Discretizaãao da planta:

1. Aproximaãao forward sT1zs −

= ⇒ )1T2.3z(

)1T2z()z(D

s

sf −+

−+=

2. Aproximaãao bilinear

+−

=1z1z

T2ss

⇒ )2T2.3(z)2T2.3(

)1T(6z)1T(6)z(D

ss

ssb −++

−++=

Resultados de Simulaãao:

Foram realizadas simulaão es para o sistema discretizado para diversos

perıodos de amostragem possibilitando a comparaãao entre os me todos de

14



discretizaãao quanto aos pálos de malha fechada (Fig. 2) e quanto ` resposta

temporal do sistema (Fig. 3).

Discretizaãao do Controlador:

O modelo discreto do controlador + hold foi obtido empregando-se a

funãao c2dm da linguagem MATLAB. Quanto aos pálos de malha fechada

observa-se que quanto maior o perıodo de amostragem maior e a diferenãa

entre aqueles obtidos pela aproximaãao forward e pela aproximaãao bilinear.

Para o caso do perıodo Ts = 0.8 seg (Fig. 2-e) um pálo encontra-se fora do

cırculo unitü rio (z = -1.56) caracterizando a instabilidade do sistema.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

forward -bilinear -

15



(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

+ forward x bilinear

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x bilinear + forward

(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x bilinear + forward

(e) Ts = 0.8 seg.

Figura 2: Representaãao do Lugar das Raızes para diversos perıodos de amostragem.

A resposta temporal completa a anü lise em relaãao ` diferenãa entre

os dois tipos de aproximaãao, observando-se tambe m a caracterıstica de

instabilidade para a aproximaãao forward com Ts = 0.8 seg (Fig. 3-e).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

+ forwardx bilinear

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

+ forwardx bilinear

16



0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

bilinearforward

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

bilinearforward

(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

bilinearforward

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

bilinearforward

(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

bilinearforward

(e) Ts = 0.8 seg.

Figura 3: Resposta ao degrau unitü rio para diversos perıodos de amostragem.

17



Conclusao

O estudo comparativo realizado entre a discretizaãao utilizando

aproximaãao forward e bilinear permitiu a observaãao das principais

caracterısticas destes me todos.

A aproximaãao forward, embora apresente uma implementaãao mais

simples, permitiu a degradaãao na qualidade do modelo discreto na sua

capacidade de representaãao da din–mica do processo contınuo. Observou-se

que, com o aumento do perıodo de amostragem, pode ocorrer a instabilizaãao

do sistema.

A aproximaãao bilinear, de implementaãao um mais complexa, apresentou

uma adequada representaãao da din–mica do planta e, mesmo quando do

aumento do perıodo de amostragem e consequente perda de informaão es a

respeito do processo, conseguiu manter a estabilidade apresentando uma

pequena reduãao no desempenho.

Pela comparaãao entre as aproximaão es estudadas para a discretizaãao de

um processo contınuo a te cnica que utiliza aproximaãao bilinear foi a que se

mostrou mais adequada para aplicaãao no processo avaliado.

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