1

Equaes de Conservao

Teorema de Transporte de Reynolds Equao de Conservao de Massa (continuidade)

Equao de Conservao de Quantidade de Movimento Linear (2a Lei de Newton) Equao de Navier-Stokes

Equao de Energia Mecnica

Equao de Conservao de Quantidade de Movimento Angular

2

Teorema de Transporte de Reynolds

Variao total = taxa de variao + fluxo lquido saindo com o tempo de da grandeza grandeza especfica de uma grandeza especfica no VC atravs da SC de um sistema

= grandeza especfica ; = massa especfica ; d = volume infinitesimal d m = massa infinitesimal ; d m = d ; d = grandeza no volume infinitesimal ; d = d m = d

permite transformar as equaes para sistema (massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)

dm = d

sistema

dm = d

SC

VC

V2

V1

3

d m= dA L= = dA Vn dt

quantidade da grandeza que cruza a superfcie: d m = dA L= = dA Vn dt =

fluxo lquido de massa cruzando a SC

dA

dm = d

SC

VC

V2

V1

taxa de acumulao de uma grandeza especfica

=

VCVCd

tdm

t

SC

AdnV

+

=SCVCsistema

AdnVdttd

d

nV

V

V

Vn

Vn Vn

4

Equao de Conservao de Massa Sistema:

00 == td

mddtd

d

sistema

dm = d

sistema

Volume de controle:

A B Variao com o tempo da Fluxo lquido de massa da massa do volume de controle atravs da superfcie de controle

=+ SCVC

AdnVdt 0

5

Aplicando o teorema de Leibnitz

t

a t

b t

ta t

b tf x dx f x dx dbdt f b

dadt f a( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) = +

ao termo A , temos

t

V Ct

V Cd d =

. .

Aplicando o teorema de divergncia de Gauss ao termo B, temos

V n d A div V d

VCSC = ( )

Somando A com B

t div V dVC

+

= ( )

0

Queremos que est equao seja vlida para qualquer volume, portanto, dividindo por d e aplicando o limite d tende a zero, obtemos a equao de conservao de massa diferencial, vlida para qualquer ponto

t

div V+ =( )

0 ( I )

Variao da massa Fluxo lquido de massa com o tempo por por unidade de volume unidade de volume

A equao acima pode ser rescrita sabendo que VV)V()V( +==

div

como

t

V V+ + =

0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D AD t

At

V A= +

variao local variao temporal convectiva

temos DD t

V

+ =

0 ( II )

7

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas curvilneas:

Coordenadas cilndricas:

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

+ w

zv

yu

xt

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

+

zr uzu

rur

rrt

Equao de Conservao de Massa ou

Continuidade

0=+ )(div V

t

0=+ )(div V

DtD

ou 0=

+

ii

xu

t)(

Casos Particulares 1. Regime Permanente:

2. Incompressvel:

0=)(div V

0=)(div V

i

jij

ii

i

jij

i

jjijj

ii x

eeu

xu

tx

eeu

x

uee

tue

xe

t

+

+

=

+

+

=

+

= )()(

)()(

)(

0

8

Equao de Conservao de Quantidade de Movimento Linear (2a Lei de Newton)

tDVDff

tDVDdfdamF cSextext

=+= =

fora de corpo: Cf

fora volumtrica,ex: fora gravitacional gf g

=

fora de superfcie: fff pS

+=

9

dydzxP )(

dy

dz

dydzdxxP )( +),,( zyx

- fora de presso: fora normal compressiva pf

dx

= kzPj

yPi

xPf p

Pf p =

dFp,x= P dy dz - (P dy dz + P/x dx dy dz) = - P/x d fp,x = - P/x logo fp,y = - P/y e fp,z = - P/z

10

Fora de superfcie viscosa resultante na direo x

yxdzz

yxzxdyy

zxzydxx

zyF zxzxzxyx

yxyxxx

xxxxx

++

++

++=,

zyxzyx

F zxyxxxx

++=,

conveno n

n

++=

zyxf zxyxxxx

,

dx dz

f

fora viscosa: fora definida por um tensor, em cada face possui 3 componentes, dois tangenciais e um normal

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xxyx

yyy

x

z

yz

zz

xz

xy

zx

zy

11

Procedendo de forma anloga para as outras direes

++=

zyxf zxyxxxx

,

++=

zyxf zyyyxyy

,

++=

zyxf zzyzxzz

,

=f

=

==

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxf

++++++=

zyxzyxzyxf zzyzxzzyyyxyzxyxxx

12

Equao diferencial de quantidade de movimento na forma vetorial

coordenadas cartesianas

+= PgtDVD

z

y

x

zPgwvu

z

y

x

yPgwvu

z

y

x

xPgwvu

zzyzxzzz

wyw

xw

tw

zyyyxyyz

vyv

xv

tv

zxyxxxxz

uyu

xu

tu

+

+

+

=

+++

+

+

+

=

+++

+

+

+

=

+++

13

PgtDVD

grad=

Pg grad=

Equao de Euler (fluido perfeito, no viscoso)

Equao da Hidrosttica:

Para fluidos viscosos, precisamos de uma informao adicional: relao entre a tenso cisalhante e a taxa de deformao do elemento de fluido

Casos Particulares:

14

pode-se demonstrar pelo uso da equao conservao de quantidade de movimento angular que o tensor simtrico

=

zzzyzx

zyyyyx

zxyxxx

Equao Constitutiva para fluidos Newtonianos =

Vxu

xv

yu

xxyxxy

=

+==

322,

Vyv

xw

zu

yyzxxz

=

+==

322,

Vzw

yw

zv

zzzyyz

=

+==

322,

+== IVVVf T

div

32gradgraddivdivdiv= ])([

15

Equao de Navier-Stokes: Equao de conservao de quantidade de movimento linear para

fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)

+

+

+

+

+

+

++=

+++

xw

zxv

yxu

xzu

zyu

yxu

x

zw

yv

xu

xxzu

yu

xu

tu

xpgwvu

32

+

+

+

+

+

+

+

++=

+++

yw

zyv

yyu

xzv

zyv

yxv

x

zw

yv

xu

yyzv

yv

xv

tv

ypgwvu

32

+

+

+

+

+

+

+

++=

+++

zw

zzv

yzu

xzw

zyw

yxw

x

zw

yv

xu

zzzw

yw

xw

tw

zpgwvu

32

16

A equao de Navier-Stokes simplifica bem se a massa especfica e a viscosidade foram constante A maioria dos lquidos podem ser considerados como fluidos

incompressveis A viscosidade da maioria dos gases aproximadamente constante

0= V

+++

=

+++

+++

=

+++

+++

=

+++

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

zzw

yw

xw

tw

zv

yv

xv

yzv

yv

xv

tv

zu

yu

xu

xzu

yu

xu

tu

zPgwvu

yPgwvu

xPgwvu

Navier-Stokes (propriedades constantes) VPgtDVD

2

+=

coordenadas cartesianas

Vf 2

=

17

Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilndricas

++

+

=

+++

+++

+

=

++++

++

+

=

+++

2z

2

22z

2

zzzz

2

2

22

2

2r

2

22r

2

rrrr

zu

ruz

zzu

zru

ru

rtu

r2z

uru

2

r

zu

zru

ru

rtu

2z

uru

2rr

r

2

zu

zru

ru

rtu

rur

rr1

zPguuu

u

r

2

r

ur

urrr

1

rPg

ruuuuu

u

r

2

r

ur

urrr

1

rPg

ru

uuuDireo radial Direo angular Direo axial

18

Equao de Energia Mecnica A energia mecnica de um sistema no se conserva, porm esta

equao muito til em diversas situaes.

Pode ser obtida atravs do produto escalar do vetor velocidade com a equao de conservao de quantidade de movimento linear

[ ]PgVtDVDV +=

ii VVVVouVVVV === 22

( )

+

=

+

=

VVV

tVV

tVV

tDVDV

2221

21

( ) VPVPPV = ( ) VVV = :

( )VVtVV

tVVV

tV

tDVD

decontinuidazero

+

=+

+

+

= ])([

Obs: (1)

(2)

Ento, operando o produto escalar

19

jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee ==== ::

Produto escalar de dois tensores (produto duplo):

VVVVV T

+= :])([:

32

Para fluido Newtoniano

ji

ijkk

i

j

ji

xu

xu

x

u

xu

V

+

== 32:

+

=

xu

xu

xu

xu

xu

xu

kk

ji

i

j

ji

ji

32

sempre positivo, a funo dissipao

+

=22

32

21

kk

i

j

ji

xu

xu

xu

Para fluidos No-newtonianos pode ser negativo V

:

20

Equao de Energia Cintica

( )

internaenergia

asvelirreverconverso

detaxa

viscosasforas

adevidotrabalho

detaxa

internaenergiaareversvelconverso

detaxa

pressoadevido

trabalhodetaxa

cionalgravitafora

adevidotrabalho

detaxa

cinticaenergia

delquidofluxo

cinticaenergia

deaumentodetaxa

VVVPVPgVVVVt

++=

+

:)( 22

21

21

pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido est sofrendo expanso ou compresso. As mudanas de temperatura podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presena de ondas de choque.

sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de velocidades elevados, como ocorre em lubrificao, extruso rpida e vos de alta velocidade.

VP

V

:

21

Equao de Energia Mecnica

Trabalhando o termo podemos rescrever a equao para a soma da energia cintica e potencial, gerando a equao de energia mecnica

Introduzindo a definio de energia potencial potencial por unidade de massa , definida com , temos que

gV

tV

tV

VVVgV

==

=

=+==

)()()(

)()(

=g

( ) VVVPVPVVVt

++=

++

+

:)())( 22

21

21

22

Equao de Conservao de Quantidade de Movimento Angular Esta equao pode ser obtida com o produto vetorial do vetor

posio r com a equao de conservao de quantidade de movimento linear

( ) [ ]PgrVVtVr +=

+

( ) ]:[][I][][][ +=+

rPrgrVrVt

Vr

o tensor de 3. ordem com componentes ijk (smbolo de permutao)

diferentesforemndicesdoisquaisquerse

ijkse

ijkseijk

0213ou1323211

312ou2311231

=

==

=+=

,

,

23

kjiijk wve= wv

Produto vetorial de dois vetores:

Produto vetorial de um vetor e tensor:

321

321

321

wwwvvveee

detwv =

jkiijlklkjkjii rrr eeeee ==

Se simtrico: no existe converso de momentum angular macroscpico em

momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se conservam separadamente.

0=]:[

24

CONDIES DE CONTORNO Interface fluido-slido: a velocidade do lquido igual a

velocidade do slido condio de no deslizamento: velocidades tangenciais iguais condio de impenetrabilidade: velocidades normais iguais

Interface plana lquido-lquido: as velocidades e tenses so contnuas atravs da interface

Interface plana lquido-gs: a tenso cisalhante nula na interface, uma vez que os gradientes do lado do gs so pequenos. Esta uma boa aproximao porque gases

25

ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos determinar as foras que atuam no corpo, isto , fora de arraste e sustentao.

Regio afetada pela presena do corpo CAMADA LIMITE

Fora da camada limite, o escoamento no afetado pela presena do corpo foras viscosas no so importantes

Quando o escoamento na camada limite desacelerado devido a uma diferena de presso, pode ocorrer uma reverso do escoamento e a camada limite separa-se da superfcie do corpo, formando a esteira

ESCOAMENTOS EXTERNOS A velocidade caracterstica a velocidade de

aproximao do corpo U A dimenso caracterstica o comprimento do corpo

na direo do escoamento, L

26

LURe = O nmero de Reynolds que caracteriza a

transio neste caso Re 5 x 105 laminar Re > 5 x 105 turbulento

27

ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos buscar a relao entre vazo e queda de presso.

Em um escoamento interno, longe da regio de entrada, observa-se que o escoamento no apresenta variaes na sua prpria direo, e a presso varia linearmente ao longo do escoamento. O escoamento considerado como hidro dinmicamente desenvolvido.

O comportamento na regio de entrada de uma tubulao apresenta o mesmo comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a regio de entrada de uma tubulao.

28

ESCOAMENTOS INTERNOS Considerando que o escoamento como hidrodinmicamente

desenvolvido. A velocidade caracterstica a velocidade mdia um A dimenso caracterstica o dimetro hidrulico, Dh

== dAuA1

AQu

TTm

m

th P

A4D =

At a rea transversal do escoamento e Pm o permetro molhado, o fator 4 introduzido por convenincia.

hm Du=Re

O nmero de Reynolds que caracteriza a transio neste caso Re 2300 laminar Re > 2300 turbulento

Nmero do slide 1Nmero do slide 2Nmero do slide 3Nmero do slide 4Nmero do slide 5Nmero do slide 6Nmero do slide 7Nmero do slide 8Nmero do slide 9Nmero do slide 10Nmero do slide 11Nmero do slide 12Nmero do slide 13Nmero do slide 14Nmero do slide 15Nmero do slide 16Nmero do slide 17Nmero do slide 18Nmero do slide 19Nmero do slide 20Nmero do slide 21Nmero do slide 22Nmero do slide 23Nmero do slide 24Nmero do slide 25Nmero do slide 26Nmero do slide 27Nmero do slide 28