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2ª Fase - Matemática

Introdução A prova de Matemática procura selecionar candidatos com um conhecimento crítico e integrado do conteúdo apresentado no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. A leitura atenta dos enunciados das questões, a formulação correta dos problemas e a apresentação de respostas claras são indispensáveis para o sucesso do candidato. As questões de Matemática aplicadas na segunda fase do Vestibular 2018 são originais, trazem enunciados claros e objetivos, e muitas vezes focalizam mais de um tópico do programa, no intuito de integrar conhecimentos. A média geral de desempenho dos candidatos na prova de Matemática foi igual a 11,9 pontos, de um total de 24 pontos, com um desvio padrão de 6,0 pontos. Esses resultados caracterizam um grau médio de dificuldade da prova, o que é desejável para uma seleção adequada. A seguir, para cada questão aplicada, apresentamos o enunciado, os objetivos, uma resolução detalhada e uma análise do desempenho dos candidatos. Acrescentamos alguns comentários gerais, visando a um melhor aproveitamento deste material.

Questão 13 A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades do Ensino Fundamental em três escolas particulares nos

anos de 2017 e 2018.

ANO Escola A Escola B Escola C

2017 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.500,00

2018 R$ 1.150,00 R$ 1.320,00 R$ 1.680,00

a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas mensalidades de 2017 para 2018.

b) Uma família tem três filhos matriculados na Escola B. Suponha que essa escola ofereça um desconto

de 10% na mensalidade para o segundo filho e de 20% para o terceiro filho. Calcule o valor a ser gasto

mensalmente com os três filhos em 2018.

Objetivo da Questão A questão exige do candidato a aplicação do conceito de variação percentual e o cálculo de porcentagens.

Resposta Esperada a) (2 pontos)

Para a Escola A, o aumento percentual foi de 𝑅$ 1.150,00−𝑅$ 1.000,00

𝑅$ 1.000,00× 100% = 0,15 × 100% = 15%. Para a

Escola B, foi de 𝑅$ 1.320,00−𝑅$ 1.200,00

𝑅$ 1.200,00× 100% = 0,10 × 100% = 10%. Para a Escola C, foi de

𝑅$ 1.680,00−𝑅$ 1.500,00

𝑅$ 1.500,00× 100% = 0,12 × 100% = 12%. Portanto, a Escola A teve o maior aumento percentual

nas mensalidades de 2017 para 2018.

b) (2 pontos) A mensalidade para o primeiro filho é de 𝑅$ 1.320,00. Para o segundo filho, a mensalidade é de 𝑅$ 1.320 −0,1 × 𝑅$ 1.320,00 = 𝑅$ 1.320,00 − 𝑅$ 132,00 = 𝑅$ 1.188,00. Para o terceiro filho, a mensalidade é de

𝑅$ 1.320 − 0,2 × 𝑅$ 1.320,00 = 𝑅$ 1.320,00 − 𝑅$ 264,00 = 𝑅$ 1.056,00. Assim, o valor a ser gasto

mensalmente com os três filhos em 2018 será de 𝑅$ 1.320,00 + 𝑅$ 1.188,00 + 𝑅$ 1.056,00 = 𝑅$ 3.564,00.

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Desempenho dos candidatos

Comentários Gerais É uma questão de resolução muito simples, não apresentando dificuldades para os candidatos – foi classificada como "Fácil". Um erro muito comum no item (a) foi expressar as porcentagens de forma

incorreta como, por exemplo, representar a proporção 0,12 como 0,12% ou 1,12% e não como 12%.

Questão 14 Sendo 𝑐 um número real, considere a função afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.

a) Encontre todas as soluções da equação [𝑓(𝑥)]3 = 𝑓(𝑥3), para 𝑐 = 1.

b) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a função 𝑔(𝑥) = log(𝑥𝑓(𝑥) + 𝑐) esteja definida para todo

número real 𝑥.

Objetivo da Questão Avaliar a habilidade para efetuar operações algébricas com expressões que envolvem composição de funções.


Para 𝑐 = 1, temos 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Logo, a equação [𝑓(𝑥)]3 = 𝑓(𝑥3) se torna [2𝑥 + 1]3 = 2𝑥3 + 1. Já [2𝑥 +1]3 = (2𝑥)3 + 3 × (2𝑥)2 × 1 + 3 × (2𝑥) × 12 + 13 = 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1. Então, a equação acima se torna

8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 2𝑥3 + 1, ou seja, 6𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 = 0. Temos, então, 6𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 0 ou ainda

6𝑥(𝑥 + 1)2 = 0. Como um produto é nulo se e somente se um dos fatores é nulo, as soluções são dadas por

6𝑥 = 0 ou (𝑥 + 1)2 = 0, ou seja, 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −1. b) (2 pontos)

Temos 𝑔(𝑥) = log(𝑥𝑓(𝑥) + 𝑐) = log(𝑥(2𝑥 + 𝑐) + 𝑐) = log(2𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑐). Para que a função 𝑔 seja definida

para todo número real 𝑥, devemos ter 2𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑐 > 0 para todo número real 𝑥. Como o gráfico da função

quadrática 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑐 é uma parábola com a concavidade voltada para cima, para que 𝑞(𝑥) seja sempre positiva, a equação 𝑞(𝑥) = 0 não pode ter solução real, ou seja, seu discriminante deverá ser

negativo. Calculando o discriminante, temos ∆ = 𝑐2 − 4 × 2 × 𝑐 = 𝑐2 − 8𝑐 = 𝑐(𝑐 − 8). Como um produto é

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negativo se e somente se os fatores têm sinais contrários, para que ∆< 0, devemos ter (𝑐 < 0 e 𝑐 − 8 > 0) ou (𝑐 > 0 e 𝑐 − 8 < 0). Isso implica (𝑐 < 0 e 𝑐 > 8), o que é impossível, ou (𝑐 > 0 e 𝑐 < 8). Portanto, os

valores são 0 < 𝑐 < 8.


Comentários Gerais O desempenho dos candidatos, nesta questão, ficou abaixo das expectativas da banca. No item (a), a equação cúbica resultante é de fácil resolução, pois tem uma fatoração imediata. No entanto houve certa dificuldade na obtenção dessa equação, por erros algébricos ou na composição de funções, tais como [𝑓(𝑥)]3 = (2𝑥 + 1)3 = (2𝑥)3 + 13 ou 𝑓(𝑥3) = (2𝑥)3 + 1. Apesar de abordar Logaritmos, um assunto considerado difícil, o item (b) era de resolução simples, envolvendo apenas a solução de uma inequação quadrática. Porém, exigia o conhecimento da função logarítmica. A questão foi considerada "Difícil".

Questão 15 Considere a sequência de números reais (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) tal que (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é uma progressão geométrica

e (𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão 𝑤.

a) Determine a sequência no caso em que 𝑎3 = 3 e 𝑤 = 2.

b) Determine todas as sequências tais que 𝑎1 = 1 e 𝑎5 = 8.

Objetivo da Questão A questão explora os conceitos e propriedades de progressões aritméticas e geométricas em uma mesma sequência numérica.


Como (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é uma progressão geométrica de razão 𝑤, temos 𝑎2 = 𝑎1 × 𝑤 e 𝑎3 = 𝑎2 × 𝑤. Como 𝑎3 = 3

e 𝑤 = 2, temos 𝑎2 =𝑎3

𝑤=

3

2 e 𝑎1 =

𝑎2

𝑤=

3/2

2=

3

4. Como (𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) é uma progressão aritmética de razão

𝑤 = 2, temos 𝑎3 = 3, 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑤 = 3 + 2 = 5 e 𝑎5 = 𝑎4 + 𝑤 = 5 + 2 = 7. Portanto, a sequência é

(3

4,

3

2, 3,5,7).

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b) (2 pontos)

Como (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é uma progressão geométrica de razão 𝑤, temos 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 𝑎1 × 𝑤 = 𝑤 e 𝑎3 = 𝑎2 × 𝑤 =𝑤2. Como (𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) é uma progressão aritmética de razão 𝑤, temos 𝑎3 = 𝑤2, 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑤 = 𝑤2 + 𝑤 e

𝑎5 = 𝑎4 + 𝑤 = 𝑤2 + 2𝑤. Logo, devemos ter 𝑎5 = 𝑤2 + 2𝑤 = 8, ou seja, 𝑤2 + 2𝑤 − 8 = 0. O discriminante

dessa equação quadrática é dado por ∆= 22 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36, ou seja, √∆= 6. Logo, as

soluções são dadas por 𝑤 =−2−6

2=

−8

2= −4 ou 𝑤 =

−2+6

2=

4

2= 2. Para 𝑤 = −4, temos a sequência 𝑎1 =

1, 𝑎2 = 1 × (−4) = −4, 𝑎3 = −4 × (−4) = 16, 𝑎4 = 16 + (−4) = 12 e 𝑎5 = 12 + (−4) = 8. Para 𝑤 = 2, temos

a sequência 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 × 2 = 2, 𝑎3 = 2 × 2 = 4, 𝑎4 = 4 + 2 = 6 e 𝑎5 = 6 + 2 = 8. Portanto, as

sequências possíveis são (1, −4,16,12,8) ou (1,2,4,6,8).


Comentários Gerais A resolução do item (a) se resumia na aplicação direta de conceitos básicos de progressões aritméticas e geométricas, não apresentando maiores dificuldades. O item (b) foi proposto de forma completamente independente do item (a). No entanto, possivelmente por falta de uma leitura atenta, muitos candidatos,

erroneamente, usaram a priori o valor 𝑤 = 2, válido para o item (a), em vez de concluírem que 𝑤 = 2 era também válido para o item (b). A questão foi classificada como "Média".

Questão 16 A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com vértices situados nos pontos de

coordenadas 𝐴 = (−5,0), 𝐵 = (5,0), 𝐶 = (4,3) e 𝐷 = (−3,4).

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Determine a área desse quadrilátero.

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 𝐴 e é perpendicular à reta que passa pelos pontos 𝐵

e 𝐶.

Objetivo da Questão A questão combina conceitos de Geometrias Plana e Analítica, explorando o cálculo da área de um quadrilátero, cujos vértices estão representados no plano cartesiano, e equações de retas no plano.


Podemos decompor o quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 em três triângulos retângulos, 𝐴𝐹𝐷, 𝐸𝐶𝐷 e 𝐺𝐵𝐶, e um retângulo,

𝐹𝐺𝐶𝐸, como ilustra a figura abaixo.

Assim, 𝐴𝐹𝐷 tem área

1

2× (−3 − (−5)) × (4 − 0) = 4, 𝐸𝐶𝐷 tem área

1

2× (4 − (−3)) × (4 − 3) =

7

2, 𝐺𝐵𝐶 tem

área 1

2× (5 − 4) × (3 − 0) =

3

2 e 𝐹𝐺𝐶𝐸 tem área (4 − (−3)) × (3 − 0) = 21. Portanto, a área do quadrilátero

𝐴𝐵𝐶𝐷 é dada por 4 +7

2+

3

2+ 21 = 4 + 5 + 21 = 30.

b) (2 pontos)

A reta que passa pelos pontos 𝐵 = (5,0) e 𝐶 = (4,3) tem coeficiente angular 𝑚 =0−3

5−4= −3. Logo, a reta

perpendicular a ela tem coeficiente angular 𝑛 = −1

𝑚= −

1

−3=

1

3. Portanto, a reta procurada passa pelo ponto

𝐴 = (−5,0), tem coeficiente angular 𝑛 = 1/3 e sua equação é dada por 𝑦−0

𝑥−(−5)=

1

3, ou seja, 3𝑦 = 𝑥 + 5.

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Comentários Gerais No item (a), a área do quadrilátero dado pode ser calculada através da sua subdivisão em figuras planas com áreas de fácil obtenção. Dificuldades surgiram com o aumento desnecessário de figuras na subdivisão do quadrilátero. Quanto ao item (b), o que pode ser destacado é que, apesar de equação da reta ser um item muito básico em Geometria Analítica, houve muitos erros na aplicação da condição de perpendicularidade aos coeficientes das retas. Outro erro comum foi considerar que a reta solicitada passa pelo ponto 𝐶, sem uma justificação prévia. A questão foi classificada como "Média".

Questão 17 A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e ângulos internos 𝜃, 2𝜃 e 𝛽.

Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo 𝜃.

Prove que, se 𝑐 = 2𝑎, então 𝛽 = 90𝑜.

Objetivo da Questão Avaliar a aplicação de resultados simples sobre ângulos internos em um triângulo e o uso das leis do seno ou do cosseno.

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A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180𝑜. Logo, devemos ter 𝜃 + 2𝜃 + 𝛽 = 3𝜃 + 𝛽 =180𝑜. Como o triângulo é isósceles, então 𝛽 = 𝜃 ou 𝛽 = 2𝜃. Assim, 3𝜃 + 𝜃 = 4𝜃 = 180𝑜ou 3𝜃 + 2𝜃 = 5𝜃 =

180𝑜, ou seja, 𝜃 =180𝑜

4= 45𝑜 ou 𝜃 =

180𝑜

5= 36𝑜.

b) (2 pontos)

Pela Lei dos Senos, temos sen 𝜃

𝑎=

sen 2𝜃

𝑏. Considerando o fato de que sen 2𝜃 = 2 sen 𝜃 cos 𝜃 e 𝑐 = 2𝑎, temos

cos 𝜃 =𝑏

𝑐. Aplicando a Lei dos Cossenos ao lado de comprimento 𝑎, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 × cos 𝜃, obtemos

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ×𝑏

𝑐= 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏2 = 𝑐2 − 𝑏2, ou seja, 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. Logo, o triângulo é retângulo, com

hipotenusa de comprimento 𝑐 e, portanto, 𝛽 = 90𝑜.


Comentários Gerais A resolução do item (a) depende apenas do conhecimento de que a soma dos ângulos internos de um

triângulo é igual a 180𝑜. No item (b), a condição dada sobre os lados do triângulo indicava que seria adequado aplicar as leis do seno ou do cosseno para resolver a questão. Um erro recorrente nesse item resulta da visão equivocada que os candidatos têm sobre a condição matemática a ser obtida, passando a usá-la na própria resolução. No caso, usaram o fato de que 𝛽 = 90𝑜, em vez de prová-lo. Acreditamos tratar-se de uma falta de treinamento e do perfeito entendimento de como fazer uma demonstração em Matemática. A questão foi classificada como "Difícil".

Questão 18 Sabendo que 𝑝 e 𝑞 são números reais, considere as matrizes

1 0 1

1 2 e 0 .

1 1

p

A p B

p q

a) Prove que para quaisquer 𝑝 e 𝑞 teremos 𝐵𝑇𝐴𝐵 ≥ 0.

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b) Determine os valores de 𝑝 e 𝑞 para os quais o sistema linear nas variáveis reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧,

x

A y B

z

,

tem infinitas soluções.

Objetivo da Questão Avaliar a habilidade para efetuar operações básicas com matrizes reais e analisar um sistema linear quanto ao número de soluções, em função de parâmetros da matriz dos coeficientes.

Resposta Esperada a) (2 pontos) Efetuando o produto,

1 0 1

0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0

1 1

T

p p

p q p p q p q p p p q

p q q

B AB

2

0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) .

p

p q qp p q p q p qp p q q p q p q p q

q

Como 𝑝 + 𝑞 é um número real, (𝑝 + 𝑞)2 ≥ 0. Portanto, 𝐵𝑇𝐴𝐵 ≥ 0 para quaisquer números reais 𝑝 e 𝑞. b) (2 pontos)

Para que esse sistema tenha infinitas soluções é necessário que a matriz 𝐴 seja singular, ou seja, tenha determinante nulo. O determinante de 𝐴 é dado por det(𝐴) = 1 × 2 × 1 + 0 × 𝑝 × 1 + 1 × 𝑝 × 1 − 1 × 2 × 1 −0 × 1 × 1 − 1 × 𝑝 × 𝑝 = 2 + 0 + 𝑝 − 2 − 0 − 𝑝2 = 𝑝(𝑝 − 1). Logo, det(𝐴) = 0 se e somente se 𝑝(𝑝 − 1) = 0 e, como um produto é nulo se e somente se um dos fatores é nulo, devemos ter 𝑝 = 0 ou 𝑝 = 1. Para 𝑝 = 0, temos o sistema linear

0,

2 0,

.

x z

x y

x z q

Considerando a primeira e a terceira linhas, para que esse sistema admita solução, devemos 𝑞 = 0. Para

𝑝 = 1, temos o sistema linear

1,

2 0,

.

x z

x y z

x y z q

Pela primeira linha, temos 𝑧 = 1 − 𝑥. Substituindo essa relação na segunda e na terceira linhas, obtemos as

equações 2𝑦 + 1 = 0 e 𝑦 + 1 = 𝑞. Para que essas equações sejam consistentes, devemos ter 𝑞 =1

2.

Concluindo, para que o sistema tenha infinitas soluções, devemos ter 𝑝 = 𝑞 = 0 ou 𝑝 = 1 e 𝑞 =1

2.

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Comentários Gerais No item (a), os candidatos não mostraram habilidade para efetuar o produto com três matrizes, mesmo sendo a primeira uma matriz linha, a segunda uma quadrada e a terceira uma matriz coluna. No item (b), apesar de o tema Sistemas Lineares ser intensamente abordado no Ensino Médio, a condição para que o sistema seja indeterminado (com infinitas soluções), dada pelo determinante da matriz dos coeficientes, parece não ter sido assimilada pelos candidatos, levando-os a uma resposta parcial por inspeção direta. Essas parecem ter sido as principais razões para o fraco desempenho dos candidatos nessa questão, desempenho agravado pelo fato de ser a última questão da Prova de Matemática, como também do Exame. A questão foi classificada como "Difícil".

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