2° em 2° bimestre

Matemática – 2a série – Volume 1

58

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

MATRIZES: DIFERENTES SIGNIFICADOS

VOCÊ APRENDEU?

Operações entre duas matrizes

1. Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano:

1

1

0

2

3

4

5

6

y

x2

D

C

G

H

B

F

A

E

3 4 5 6 7 8 9

Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.

a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical do polígono ABCD devem ser deslocadas para que, ao final, coincidam com o polígono EFGH?


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b) Represente em uma matriz A(4x2)

as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de ma-neira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

c) Represente em uma matriz B(4x2)

as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de ma-neira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

d) Escreva uma matriz C(4x2)

de tal forma que A + C = B.

2. Na representação a seguir de um plano cartesiano, podemos observar três triângulos congruen-tes. O triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que, por sua vez, se transladado, poderá coincidir com o triângulo GHI.


60

1

1

2

3

4

5y

–1

–1

–2

–3

–2–3 2 3 4

E

B

H

F

C

I

D

A

G

x0

a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo DEF?

b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo DEF, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?

c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?


61

d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz con-tenha coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente ao triângulo DEF pela letra N, e a matriz referente ao triângulo GHI pela letra P.

e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N.

f ) Escreva uma matriz R, tal que N + R = P.

g) Escreva uma matriz T, tal que M + T = P.


62

3. No Campeonato baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas cinco equipes participantes:

Equipe Vitória Empate Derrota

Barro Vermelho 3 2 0

Carranca 2 1 2

Veneza 2 0 3

Colonial 1 1 3

Olaria 1 0 4

Resultado Pontos

Vitória 3

Empate 1

Derrota 0

Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em uma matriz de ordem 5x1.

4. O proprietário de duas cantinas, em escolas diferentes, deseja contabilizar o consumo dos se-guintes produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são consumidos, por semana, 40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de quei-jo e 9 quilos de presunto. Na cantina da escola B são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranjas, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que revende de dois fornecedores, cujos preços, em reais, são expressos na tabela a seguir:


63

Produtos Fornecedor 1 Fornecedor 2

1 dúzia de laranjas 1,20 1,10

1 garrafa de água mineral 0,80 0,90

1 quilo de queijo 5,00 6,00

1 quilo de presunto 9,00 7,50

Com base nessa informações, responda:

a) Uma matriz 2x4 em que esteja registrado o consumo semanal dos produtos listados na cantina A e também na cantina B.

b) Uma matriz 4x2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os produtos listados.


64

c) Uma matriz 2x2 contendo os preços totais cobrados por fornecedor para cada cantina.

d) Quanto o proprietário economizará comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.

LIÇÃO DE CASA

5. No período de Páscoa, Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos de chocolate. Para planejar seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e custo de material para quatro tipos de ovos.

Tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade de cada tipo de ovo

Itens Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Chocolate (gramas) 120 250 180 160

Açúcar (gramas) 100 120 100 80

Recheio (gramas) 160 180 200 100

Embalagem (folhas) 0,5 1,5 1,0 1,0


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Tabela 2 – Custo de cada tipo de material (R$)

Chocolate (kg) Açúcar (kg) Recheio (kg) Embalagem (folhas)

12,00 1,50 28,00 1,20

a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de chocolate.

b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela a seguir, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades de cada tipo de chocolate.

Tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido

Tipo de chocolate Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Margem de lucro (%) 60 80 100 100


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Leitura e análise de texto

Matriz de compensação

Podemos utilizar matrizes para registrar a frequência com que acontecem dois eventos que se complementam. Por exemplo, vamos supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário, que disputam entre si várias partidas de três jogos diferentes, A, B e C. Jonas ganha 37% das partidas do jogo A, 62% das partidas do jogo B e 45% das partidas do jogo C. Com base nesses dados, podemos escrever uma tabela e/ou uma matriz 2x3:

Porcentual de vitórias de cada jogador

Jogador Jogo A Jogo B Jogo C

Jonas 37 62 45

Mário 63 38 55

M37 62 45

63 38 55

Vale ressaltar, entretanto, que os valores alocados na segunda linha, referentes às por-centagens de ganho de Mário, poderiam ter sido suprimidos da matriz, visto que a soma dos elementos de cada coluna é sempre 100. Em outras palavras, se sabemos a porcentagem de vitórias de um jogador, sabemos também sua porcentagem de derrotas. Bastaria, por-tanto, escrever a seguinte matriz 1x3:

A B C Jonas (37 62 45)

A esse tipo de matriz dá-se o nome de “matriz de compensação”, porque os resultados favoráveis a um elemento “compensam” os resultados, não registrados na matriz, favoráveis ao outro.

VOCÊ APRENDEU?

6. Duas redes de televisão A e B competem entre si tentando obter o maior índice de audiência em cada horário. Neste momento, as duas redes planejam levar ao ar programas com uma hora de duração para o mesmo horário noturno. A rede A dispõe de 2 opções de programas (A1 e A2), enquanto a rede B dispõe de 3 opções de programas possíveis (B1, B2 e B3). Tentando fazer a melhor opção,


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as redes contrataram um instituto de pesquisa de opinião para avaliar como se divide a prefe-rência do público quando cada opção da rede A for colocada em confronto com cada opção da rede B. Assim, o instituto avalia, por exemplo, que, se os programas A1 e B1 forem ao ar simultaneamente, 60% do público assistirá ao A1 e 40%, ao B1. Na tabela seguinte estão re-presentados esse e os demais resultados dos confrontos entre as opções de programas de A e B.

Tabela: porcentagem de audiência para a rede A

OpçõesProgramas da rede B

B1 B2 B3

Programas da rede AA1 60 20 30

A2 40 75 45

Responda:

a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual será a porcentagem de audiência prevista para cada programa?

b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quanto por cento a mais?


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c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor dife-rença entre as audiências?

7. Duas indústrias de automóveis (A e B) disputam a preferência dos consumidores. Os modelos produzidos por uma e outra indústria são semelhantes, sendo um deles um modelo popular; o outro, um modelo médio; e o último, uma van para 8 passageiros. A preferência porcentual da população de uma cidade pelos modelos de uma ou outra indústria está registrada na tabela de compensação a seguir:

Tabela: porcentagem de preferência para veículos produzidos pela indústria A

ModelosVeículos da indústria B

Popular Médio Van

Veículos da indústria A

Popular 15 25 65

Médio 70 75 45

Van 80 64 42

Responda:

a) Qual dos três modelos, popular, médio ou van, apresenta porcentual favorável à indústria A, quando comparado com modelo correspondente da indústria B?


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b) Analise o porcentual de preferência na comparação entre modelos diferentes das duas indústrias. Qual é a maior diferença de preferência, considerando-se o mesmo modelo?


Resolução de imagens: os pixels

O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido a partir da reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas uma cor e é denominada pixel (picture element). O conjunto dos pixels dá a impressão de algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se pode observar na figura a seguir.

Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma área, quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, implicando uma foto de melhor qualidade ou de maior resolução.

© M

edio

imag

es/P

hoto

disc

/Thi

nkst

ock/

Get

ty I

mag

es


70

Ao adquirir uma máquina fotográfica digital, uma das primeiras características ava-liadas pelo comprador são os megapixels. Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divide determinada área em 6 milhões de pixels (6x106), enquanto outra, de 7.1 MP, é capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e 100 mil pixels (7,1x106). Assim, apenas por esse quesito, é possível avaliar que a qualidade da segunda câmera é superior à da primeira.

Uma fotografia, dessa maneira, pode ser entendida como uma matriz formada por n elementos em que cada um deles é um pixel de imagem. Quanto mais elementos a matriz contiver em uma mesma área, melhor será a resolução da fotografia. Observe, por exemplo, os desenhos dos retângulos seguintes, nos quais foi inserida a letra R. Acima de cada retângulo aparece registrada a quantidade de pixels. Nesta ilustração, fica claro como a qualidade da imagem é superior com o aumento da quantidade de pixels.

1 x 1 2 x 2 5 x 5 10 x 10 20 x 20 50 x 50 100 x 100

O tamanho de uma imagem digital é definido pela ordem da matriz, isto é, pela quantidade de linhas e colunas que a forma. Por exemplo, se uma imagem tem 119 linhas e 116 colunas de tamanho ela terá um total de 119 . 116 = 13 804 pixels.

Determinado modelo de máquina digital pode alterar a resolução da foto. À escolha do fotógrafo, as fotos podem ser produzidas com as seguintes especificações:

pixels

pixels

pixels

pixels

pixels

© iS

tock

phot

o/T

hink

stoc

k/G

etty

Im

ages


71

VOCÊ APRENDEU?

8. Considere uma foto de 7.1 MP de resolução (3072x2304 pixels) em que a linha 1 000 da matriz seja formada apenas por pixels de cor verde, divididos igualmente entre 3 tonalidades em ordem crescente de posição nas colunas:

Tonalidade 1

Tonalidade 2

Tonalidade 3

Assim, dos n elementos da 1 000a linha da matriz, os n

3 primeiros são verdes na tonalidade 1,

os n

3 seguintes são verdes na tonalidade 2 e os

n

3 últimos são verdes na tonalidade 3. Nessa

condição, qual será a tonalidade do pixel ai,j, isto é, do elemento da matriz que ocupa a linha i e a

coluna j nos seguintes exemplos?

a) a1 000, 1 000

b) a1 000, 500

c) a1 000, 2 000


72

9. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução em que todos os elementos bi,j da matriz sejam

pixels de cor azul, de modo que cada elemento bi,j, isto é, o elemento que ocupa na matriz a

posição dada pela linha i e pela coluna j, seja representado pela sentença bi,j

= 2i – j e as tonali-dades sejam associadas ao pixel de acordo com o seguinte código:

i,j ≤ 200 Tonalidade 1

i,j ≤ 320 Tonalidade 2

i,j ≤ 1 000 Tonalidade 3

i,j > 1 000 Tonalidade 4

Nessas condições, qual é a tonalidade do elemento:

a) b40, 100

?

b) b1 000, 1 000

?

c) Que estiver na 1 200a linha e 1 200a coluna?

d) Quantos pixels da 300a linha vão ter tonalidade 3?

PESQUISA INDIVIDUAL

Há diferenças entre os diversos modelos de televisão fabricados por determinada in-dústria e mais ainda entre modelos de fabricantes diferentes. As medidas das telas, que nor-malmente são expressas em polegadas, são apenas uma das diferenças, talvez a mais simples de identificar. Outra diferença, também muito importante para que a imagem da TV seja a mais perfeita possível, é a resolução da imagem projetada.

Pesquise sobre as diferenças entre as resoluções dos diversos modelos de TV de plasma ou de LCD fabricados atualmente. Nessa pesquisa, você, com certeza, se deparará novamente com os pixels. Elabore uma tabela com os dados obtidos, em folha avulsa, para comparar com os resultados das pesquisas dos demais colegas.


73


Matrizes e o princípio da tomografia

A tomografia computadorizada é uma moderna técnica da medicina que permite visua-lizar o interior do corpo de uma pessoa por meio de uma série de imagens que possibilitam aos médicos identificar diversos tipos de problemas, como, por exemplo, a existência de regiões cancerígenas. Na atividade a seguir, aproveitaremos o modo como são produzidas as imagens de uma tomografia para simular situações-problema envolvendo matrizes.

O funcionamento de um tomógrafo computadorizado consiste, basicamente, na emis-são de feixes de raios X que não atravessam todo o organismo da pessoa, mas fazem var-reduras em um único plano. Desse modo, um feixe de raios, ao varrer um plano ou uma “fatia”, projeta ao final uma imagem que é unidimensional, isto é, uma tira com trechos claros e escuros, conforme aquilo que tenha encontrado pelo caminho (órgãos, ossos etc.). O desenho seguinte representa o momento em que uma pessoa é exposta aos feixes de raios de um tomógrafo.

Quem já passou por esse tipo de exame sabe que, durante cerca de meia hora, um grande equipamento executa movimentos circulares e ruidosos, como se estivesse, de fato, “fa-tiando” nosso corpo com os feixes unidimensionais de raios X. O feixe de raios X, emitido em um único plano, projeta uma tira com trechos claros e escuros, como neste desenho:

© C

on

exão

Ed

itori

al


74

À medida que o tomógrafo se movimenta, outros feixes de raios X são emitidos e novas tiras são geradas. A reunião dessas tiras em uma única imagem forma uma “chapa” semelhante à que é mostrada no desenho a seguir:

Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos pontos escuros ou claros, respectivamente. Além disso, simplificando a constituição dessas microrregiões claras ou escuras, vamos supor que todas tenham o formato de pequenos quadrados, de maneira que uma região plana possa ser, de fato, uma região quadriculada, em que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n, conforme a seguinte representação, em que a malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

Nesse caso, podemos associar ao desenho uma matriz 8x8 formada por elementos que são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e regiões escuras ou claras.

Quando nosso tomógrafo simplificado efetuar um corte, ou, em outras palavras, gerar uma tira de regiões claras ou escuras, serão lançados valores das quantidades de cada tipo de região, sem que, no entanto, sejam ainda conhecidas quais regiões têm esta ou aquela


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característica. Se isso for feito como no exemplo a seguir, saberemos que 4 quadrículas dessa linha deverão ser escuras. Mas quais?

4

Registrando simultaneamente a quantidade de quadrículas escuras ou claras de cada coluna, é possível reconstituir a “imagem”, como no caso do desenho abaixo:

1 0 0 1 0 1 0 1

4

Observe o exemplo a seguir, da recomposição de uma imagem em um quadriculado de 3x3.

0 3 1

1

2

1

Respeitando as quantidades

registradas na vertical e horizontal,

será esta a imagem.

Observe nestes outros exemplos como podemos associar a reconstituição da “imagem” a uma matriz.

1 2 1

3

0

1

1 1 1

0 0 0

0 1 0

1 3 2

2

3

1

0 1 1

1 1 1

0 1 0


76

VOCÊ APRENDEU?

10. Determine as regiões “escuras” de cada caso seguinte e escreva também uma matriz associada à composição.

Problema 1 Problema 2

0 1 2

1

2

0

0 1 2

2

1

0

Problema 3 Problema 4

2 0 2

2

0

2

1 3 1

1

3

1

Problema 5

4 3 4 0 5

4

2

4

2

4


77

Problema 6

5 3 4 0 5 0 5 2 2 0 1 5 1

10

4

8

5

6


78


MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES


Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação ma-temática entre os índices que definem sua posição na matriz. A matriz M, escrita a seguir, por exemplo, tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, ela é de ordem 2x3 (dois por três) e seus elementos respeitam a seguinte relação:

Cada elemento da matriz é igual à soma dos índices (i, j) que definem sua posição matriz.

2 3 4

3 4 5

i = 1

i = 2

j = 1 j = 2 j = 3

=

1 + 1

2 + 1

1 + 2

2 + 2

1 + 3

2 + 3

Exemplo 1

Obter a matriz A assim definida: A = (ai,j

)3x3, tal que ai,j

= i + 2j

A ordem dessa matriz é “3x3”, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de cada termo, enquanto o índice j indica sua coluna. Sabendo disso, vamos atribuir a i e j os valores possíveis e calcular cada termo identificado por a

i,j.

a11

= 1 + 2 . 1 = 3 a12

= 1 + 2 . 2 = 5 a13

= 1 + 2 . 3 = 7

a21

= 2 + 2 . 1 = 4 a22

= 2 + 2 . 2 = 6 a23

= 2 + 2 . 3 = 8

a31

= 3 + 2 . 1 = 5 a32

= 3 + 2 . 2 = 7 a33

= 3 + 2 . 3 = 9

E temos a matriz A:

A

3 5 7

4 6 8

5 7 9


79

Exemplo 2

Obter a matriz E assim definida:

E = (ei,j)

2x3, tal que e

i,j =

2 se i + j <− 3

2i + j se i + j > 3

A matriz E tem ordem “2x3”, isto é, tem 2 linhas e 3 colunas. Para obter seus elementos, é pre-ciso considerar, de início, se a soma dos índices que definem a posição de cada um é maior, menor ou igual a 3.

Soma menor ou igual a 3 Soma maior do que 3

e11

= 2 (pois 1 + 1 = 2 3) e13

= 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 >3)

e12

= 2 e22

= 2 . 2 + 2 = 6

e21

= 2 e23

= 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, esta é a matriz E:

E2 2 5

2 6 7

Exemplo 3

Observe os 5 pontos numerados de 1 a 5. Vamos ligá-los de determinada maneira, obedecendo a um código estabelecido por intermédio dos elementos colocados em uma matriz.

5

4 3

2

1

A matriz seguinte, formada apenas por “1” ou “0”, determinará a ordem e a maneira como devemos ligar esses pontos.

C

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 1 0

0 1 1 0 1


80

O código é o seguinte:

ci,j = 0, não devemos unir i com j.

ci,j

= 1, devemos unir i com j.

Destaquemos 3 elementos da matriz C a fim de exemplificar a ligação dos pontos.

c13

= 1 (ligar 1 com 3)

c14

= 1 (ligar 1 com 4)

c15

= 0 (não ligar 1 com 5)

5

4 3

2

1

Continuando a obedecer à regra estabelecida e completando todas as ligações permitidas entre os 5 pontos, teremos formado um pentagrama.

5

4 3

2

1

VOCÊ APRENDEU?

Unindo pontos a partir de código registrado em uma matriz

1. Dada a matriz D e os pontos desenhados, você deve uni-los ou não a partir do seguinte código estabelecido para os seus elementos:

ij = 1, unir i com j.

ij = 0, não unir i com j.


81

D

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

5

6 4

3

2

1

Codificando um desenho por uma matriz

2. Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho foram unidos a partir de código definido em uma matriz. Escreva essa matriz.

1

9

6

2

10

7

3

11

4

12

5

13

8

Criando um código e um desenho

3. Observe os 7 pontos representados abaixo. Você deve escrever uma matriz de codificação, com “1” ou “0”, de maneira que, ao ligar os pontos na ordem determinada, seja produzida a repre-sentação de um cubo.

2

4 3

17

6

5

Criando um desenho e codificando-o com uma matriz

4. Imagine um desenho que possa ser obtido a partir da união de, pelo menos, 8 pontos. Marque apenas os pontos no papel e numere-os, sem, todavia, uni-los. Escreva a matriz de codificação para a união de pontos em seu desenho. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega,


82

de maneira que, enquanto você une os pontos do desenho dele, ele une os pontos de seu de-senho. Por fim, peça que seu colega corrija seu trabalho enquanto você corrige o dele.


83


SISTEMAS LINEARES EM SITUAÇÕES-PROBLEMA

VOCÊ APRENDEU?

1. Duas locadoras de automóveis A e B estipulam a remuneração de seus serviços da seguinte maneira:

A: valor fixo de 80 reais mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.

B: valor fixo de 120 reais mais 1 real por quilômetro rodado.

Com base nesses dados, determine:

a) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 140 km.

b) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 300 km.


84

c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o automóvel em B do que em A.

2. Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga:

Quanto a loja está cobrando por tipo de aparelho?


85

3. Um funcionário recém-contratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela, contendo as quantidades de 3 tipos de produtos, A, B e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação.

Quantidade Valor da transação (em mil R$)

Tipo A B C Total

Loja 1 3 4 –1 8

Loja 2 4 5 2 20

Loja 3 1 –2 3 6

Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto.

4. Quatro escolas participaram de um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram disputadas. Aos vencedores de cada prova foram atribuídas medalhas de ouro, prata ou bronze, dependendo da classificação final, respectivamente, 1o-, 2o- ou 3o- lugares. A quantidade de medalhas de cada escola, ao final da competição, é apresentada na tabela seguinte, assim como o total de pontos conseguidos pelas escolas, considerando-se que a cada tipo de medalha foi atribuída uma pontuação.


86

EscolasMedalhas

Pontuação finalOuro Prata Bronze

A 4 2 2 46

B 5 3 1 57

C 4 3 3 53

D 3 3 7 53

Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo de medalha?

5. O técnico de uma equipe de futebol estima que, ao final de 12 partidas, sua equipe consiga 24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por derrota é 0, determine:

a) O número de pontos da equipe se vencer 4 jogos, empatar 4 e perder 4.


87

b) O número máximo de pontos que a equipe pode conseguir.

c) Uma combinação possível de números de vitórias-empates-derrotas para que a equipe con-siga os almejados 24 pontos.

d) Todas as possibilidades para que a equipe consiga atingir 24 pontos.

6. Na feira livre da quarta-feira, Helena foi comprar ingredientes para fazer um bolo. O kit de ingredientes continha farinha de trigo, fubá e chocolate em pó, totalizando 2 kg, pelo custo de 4 reais. Intrigada com o valor do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada produto, ouvindo dele que o quilo da farinha de trigo custava 1 real, que o quilo do chocolate em pó custava 20 reais, e que o quilo do fubá custava 2 reais. Quanto de cada produto havia no kit que Helena?


88

LIÇÃO DE CASA

7. Paulo realizou uma prova de Matemática formada por três partes. Paulo acertou 25% das questões da primeira parte, acertou 50% das questões da segunda parte e acertou 75% das questões da ter-ceira parte, totalizando 120 pontos. O total máximo de pontos que qualquer aluno poderia obter na prova era igual a 230.

a) Escreva uma equação linear que relacione a quantidade de pontos conseguidos por Paulo nessa prova ao porcentual de acertos em cada parte.

(Sugestão: chame de x, y e z os totais de pontos máximos possíveis em cada uma das três partes.)

b) Se o total máximo de pontos da primeira parte da prova é 60 e o total máximo da segunda é 90, quantos pontos Paulo fez na terceira parte?


89

8. Observe a tabela a seguir, que contém os dados sobre a audiência de 3 redes de televisão em 3 períodos do dia.

Audiência Manhã Tarde Noite Total de pontos

Rede 1 2 4 –1 11

Rede 2 4 3 2 27

Rede 3 3 –2 2 10

Nessa tabela, cada ponto positivo indica que 1 000 pessoas estão com a televisão conectada à rede, e cada ponto negativo indica que 1 000 pessoas deixaram de sintonizar a rede no período avaliado.

Considerando que são atribuídos diferentes pesos à audiência, em função do período do dia, descubra o peso atribuído a cada um dos períodos.


90


91


RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:

ESCALONAMENTO X CRAMER


Escalonamento e situações-problema

Um sistema linear pode ser resolvido de mais de uma maneira. Uma delas consiste em utilizar o método da adição, exemplificado na resolução do sistema seguinte, de duas equações.

2x – 3y = 11 2x – 3y = 11

x + 2y = 2 –2x – 4y = – 4

0x – 7y = 7 y = –1

Se y = –1 x + 2 . (–1) = 2

x = 4

S = {(4, –1)}

(–2) +

Esse procedimento, de multiplicar as equações por números diferentes de zero para, em seguida, adicioná-las com o objetivo de eliminar uma incógnita, é generalizado para a reso-lução de sistemas de duas ou mais equações e é denominado método de escalonamento.

Ao resolvermos sistemas pelo método de escalonamento, utilizamos, normalmente, matrizes formadas pelos coeficientes numéricos presentes nas equações.

Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada matriz completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos inde-pendentes. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizamos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos a

i,j da matriz

em que i > j. O exemplo seguinte retoma a resolução do sistema de equações anteriormente resolvido, explicitando o escalonamento.

Exemplo 1

Vamos resolver por escalonamento o sistema apresentado:

2 – 3 11

1 2 2

Esta é a matriz completa do sistema, for-

mada pelos coeficientes das incógnitas

e pelos termos independentes das duas

equações. Para escaloná-la, devemos

tornar nulo o elemento a21

= 1, que é o

único elemento ai,j em que i > j.

Aqui está a combinação

linear entre as linhas 1 e 2

da matriz, gerando uma

nova linha 2.

A matriz do sistema foi escalonada.

Na nova equação da linha 2 da

matriz, temos:

0x – 7y = 7 ou y = –1.

Substituindo esse valor em uma das

equações iniciais, obtém-se x = 4.

L1 2 – 3 11

L2 1 2 2

L1 2 – 3 11

L1 – 2 L

2 0 – 7 7


92

Exemplo 2

x + y + z = 3

2x – y – 2z = 2

x + 2z = 4

1 1 1 3

Mcompleta

= 2 – 1 – 2 2

1 0 2 4

Na matriz escalonada, deverão ser

nulos os elementos destacados.

L1 1 1 1 3

L2 2 – 1 – 2 2

L3 1 0 2 4

1 1 1 3

0 – 3 – 4 – 4

0 – 1 1 1

1 1 1 3

0 – 3 – 4 – 4

0 0 7 7

–2L1 + L

2

–L1 + L

3–L

2 + 3L

3

A última linha da matriz nos fornece a equação: 7z = 7 z = 1.

Substituindo o valor encontrado para z na segunda equação da matriz final, temos:

–3y – 4z = – 4 –3y – 4 . 1 = – 4 y = 0

A primeira linha da matriz nos ajuda a calcular o valor de x:

x + y + z = 3 x + 0 + 1 = 3 x = 2

Assim, a solução do sistema é apresentada por: S = {(2, 0, 1)}.

Observe, no próximo exemplo, como podemos utilizar o método de escalonamento sem, toda-via, escrevermos a matriz completa do sistema.

Exemplo 3

Reduziremos o sistema de três equações a um sistema equivalente de duas equações, tornando

nulos os coeficientes de uma das incógnitas. Considerando que o coeficiente de z é nulo na

primeira equação, combinaremos as duas outras equações com o objetivo de tornar nulo o

coeficiente de z.

x – 3y = – 6

2x + y + z = 1

–x + 2y – 2z = 6

x – 3y = – 6

2x + y + z = 1

–x + 2y – 2z = 6

x – 3y = – 6

3x + 4y = 8

13y = 26 y = 2x – 3y = – 6

3x + 4y = 8

2L2 + L

3

–3L1 + L

2

Determinada uma das incógnitas, as demais podem ser obtidas por

substituição. A solução do sistema, nesse caso, é: S = {(0, 2, –1)}.

A nova combinação linear entre as

equações permitirá tornar nulo o

coeficiente de outra incógnita.


93

Os exemplos que analisamos anteriormente foram formados por sistemas lineares possíveis e determinados, isto é, sistemas que apresentam uma única solução. Há, porém, sistemas que apre-sentam mais de uma solução, chamados sistemas possíveis e indeterminados. O sistema seguinte, por exemplo, é um desses casos.

0x + 0y = 0x + y = 5

2x + 2y = 102L

1 – L

2 Há infinitos pares (x, y) que satisfazem esta condição.

Nesses casos, a solução do sistema deve ser escrita em função de um parâmetro ou de uma das incógnitas, como, por exemplo:

x + y = 5 y = 5 – x

Nessa condição, a solução do sistema, escrita em função de x, é:

S = {(x, 5 – x), x r}

Assim, para cada valor de x real, teremos um par ordenado (x, y) como solução. Veja alguns desses pares:

Para x = 0: (0, 5) Para x = 1: (1, 4) Para x = –2: (–2, 7) Para x = 2,4: (2,4; 2,6)

Observe agora um exemplo de sistema indeterminado de três equações:

Exemplo 4

Temos um sistema de duas equações idênticas,

o que nos permite concluir que o sistema é in-

determinado. Nesse caso, podemos determinar

duas incógnitas em função de uma terceira. Es-

colhemos determinar x e z em função de y.

Assim, as infinitas soluções desse sistema po-

dem ser escritas dessa forma, trocando y por k.

S = {(5 – 4k, k, –2 + 3k) k IR}

x + y + z = 3

2x – y + 3z = 4

–x – 4y = –5

–x – 4y = –5 x = 5 – 4y

x + y + z = 3

(5 – 4y) + y + z = 3 z = –2 + 3y

–x – 4y = –5

–x – 4y = –5

–3L1 + L

2

Por fim, vamos considerar a “discussão” de um sistema com base em parâmetros. Em outras palavras, vamos classificar o sistema (determinado, indeterminado ou impossível) de acordo com o valor dos parâmetros introduzidos nas equações.

Consideremos como exemplo de discussão de um sistema linear a situação-problema seguinte, apresentada originalmente no vestibular da Unicamp (Universidade Estadual de Campinas):


94

Exemplo 5

(Comvest/Vestibular Unicamp – 1995) Encontre o valor de a para que o sistema a seguir seja possível. Para o valor encontrado de a, ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

2x – y + 3z = a

x + 2y – z = 3

7x + 4y + 3z = 13

Escalonando o sistema, temos:

2 –1 3 a

1 2 –1 3

7 4 3 13

2 –1 3 a

0 5 –5 6 – a

0 10 –10 8

2 –1 3 a

0 5 –5 6 – a

0 0 0 4 – 2a

2L2 – L

12L

2 – L

3

7L2 – L

3

Como podemos ver, a última equação do sistema escalonado ficou reduzida a 0x + 0y + 0z = = 4 – 2a, ou, simplificadamente, 0 = 4 – 2a.

Assim, se a = 2, o sistema é possível e indeterminado, pois a igualdade anterior se reduziria a 0 = 0, que é verdadeira sempre. No caso em que a 2, o sistema é impossível.

Para obter a solução geral do sistema, considere a = 2 e z = k e escreva as respostas em função de k, de acordo com o seguinte procedimento:

2a- equação: 5y – 5z = 6 – a 5y – 5z = 4

5y – 5k = 4 yk

=+4 5

5

1a- equação: 2x – y + 3z = a 2x – y + 3z = 2

Substituindo y por 4 5

5

k, obtém-se x = 7 5

5

– k .

Assim, a resposta geral do sistema é:

S = 7 5

5

4 5

5

–,

k k, k , k 8 r

Atribuindo valores a k, podemos obter algumas das soluções, como:

S = 7

5

4

50, , .

S = 12

5,

1

5– , –1 .


95

VOCÊ APRENDEU?

1. Resolva os seguintes sistemas lineares:

a) x – 2y + 2z = 4

2x + y + z = –1

–3x – 14y + 19z = 63

b) x + 2y – 3z = 4

–3x – 4y + z = 0

5x + 3y – 10z = 1


96

c) 2x – y = 2

3y + z = 2

–3x + 2z = 1

d) x – 3y + 5z = 2

3x – y + 3z = 4

–2x + 2y – 4z = –3


97

2. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em fun-ção do parâmetro m.

a) mx + 2y = m – 1

2x + 4y = 3m

b) 3x – 2y + mz = 0

x + y + z = 0

2x – y – z = 0


98

3. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indetermi-nado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis.

3x – y + 2z = 0

–x + y – 3z = m

x + y – kz = 2

4. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações.

a + b + 2c = 1

a – b – c = 0

ma – b + c = 2


99

5. Ana, Beto e Cadu foram comprar enfeites para a festa junina da escola. Em meio às compras, eles se perderam um do outro e resolveram, cada qual por sua conta, comprar aquilo que ha-viam combinado: pacotes de bandeirinhas, chapéus de palha e fantasias para a quadrilha.

Quando se encontraram no dia seguinte na escola e perceberam que haviam comprado muito mais do que pretendiam, cada um tratou de se defender, argumentando sobre o quanto haviam gastado. Primeiro foi Ana:

– Gastei 62 reais, mas comprei 4 pacotes de bandeirinhas, 4 montões de chapéus e 4 fantasias.

Depois, veio Beto:

– Eu comprei a mesma quantidade de enfeites que você, mas gastei menos, porque consegui 10% de desconto no preço dos chapéus. Quer dizer, gastei 60 reais.

Por último, falou Cadu:

– Pois é, gente, eu comprei apenas a metade de cada enfeite que cada um de vocês comprou, mas, comparativamente, gastei bem menos, porque consegui 20% de desconto no preço das ban-deirinhas e 10% no preço dos chapéus. Daí, gastei 29 reais.

Sabendo que o preço pago pela unidade de cada artigo foi o mesmo para os três jovens, res ponda:

Quanto custou para Ana cada pacote de bandeirinhas, cada montão de chapéus e cada fantasia?


100

6. Ernesto e Adamastor participaram de uma competição que avaliou suas pontarias. Tudo era muito rápido. Eles ficavam em uma sala, com várias bolas de borracha na mão, enquanto três alvos eram projetados rapidamente em uma parede. O objetivo era acertar em cada alvo a maior quantidade de bolas que conseguissem.

Primeiro foi Adamastor. Ele acertou três bolas no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e apenas uma bola no alvo 3. Ernesto, por sua vez, acertou uma bola no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e duas bo-las no alvo 3. Cada bola certeira valia uma quantidade de pontos que dependia do alvo acertado. Quer dizer, o alvo 1 não tinha a mesma pontuação do alvo 2 nem do alvo 3, assim como os alvos 2 e 3 também tinham pontuações diferentes.

Ao final da prova, Adamastor e Ernesto terminaram empatados, com 40 pontos cada um, mas ficaram sem saber quanto valia cada bola acertada em cada alvo.

a) É possível que cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tenha valido, respectivamente, 4, 16 e 3 pontos?

b) Supondo que cada bola certeira no alvo 1 tenha valido x pontos, encontre, em função de x, o total de pontos de cada bola certeira no alvo 2 e também no alvo 3.


101

LIÇÃO DE CASA

7. Resolva os sistemas:

a) x + 7y – 3z = 0

3x – 2y + z = 1

7x + 3y – z = –1

b) 2x – 6y = 10

–3x + 9y = –15


102

8. Em uma compra de 3 quilos de batata, 0,5 quilo de cenoura e 1 quilo de abobrinha, Arnaldo gastou R$ 14,45, porque não pediu desconto ao seu Manuel, dono da barraca na feira livre. Juvenal, por sua vez, comprou 2 quilos de batata, 1 quilo de cenoura e 2 quilos de abobrinha, pediu desconto de 50 centavos no preço do quilo da batata e de 20 centavos no preço do quilo da abobrinha, e gastou R$ 11,50. Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto de 1 real no preço do quilo da batata, 50 centavos de desconto no preço do quilo da cenoura, e 20 centavos de desconto no preço da abobrinha, gastando, no total, 18 reais pela compra de 3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem descontos, pelo quilo da batata?


Método de Sarrus e áreas de polígonos representados no plano cartesiano

O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático para ser uti-lizado em outras situações que não envolvam resolução de sistemas lineares. Um desses casos consiste no cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são conheci das as coor denadas de seus vértices.

Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcular sua área por intermédio da composição e/ou decomposi-ção de polígonos auxiliares. Consideremos o caso do triângulo de vértices com coordenadas A(1, 1), B(3, 2) e C(2, 4).

1

A

B

C

1

2

3

4

y

2 3 4 x0


103

1

A D

EF

B

C

1

2

3

4

y

2 3 4 x0

Contornando o triângulo ABC por um retângulo ADEF, podemos determinar a área de ABC subtraindo as áreas dos triângulos retângulos AFC, ABD e BCE da área do retângulo ADEF.

Área(ADEF)

= 2 3 = 6 u

Área(AFC)

= (3 1)

_____ 2 = 1,5 u

Área(ABD)

= (2 1)

_____ 2 = 1 u

Área(BCE)

= (2 1)

_____ 2 = 1 u

A área do triângulo ABC será igual a:

Área(ABC)

= 6 – (1,5 + 1 + 1) = 2,5 unidades de área.

Nesse processo é realizada uma série de multiplicações entre resultados de subtrações entre abscissas e entre ordenadas dos pontos A, B e C, além de uma divisão por 2. As etapas desse cálculo podem ser resumidas a um determinante de ordem 3, formado pelas coordenadas desses pontos, da seguinte forma:

Área(ABC)

= metade do valor absoluto de

1 1 1

3 2 1

2 4 1

=

2 2 12 4 4 3

2

5

22 5

+ + + +– ( ),

Deve ficar claro que a disposição das coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo no deter-minante é feita obedecendo à seguinte formatação:

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1


104

Além disso, o cálculo do determinante obedece à mesma sequência de passos do cálculo da área por composição e decomposição, conforme podemos constatar pela representação a seguir:

xC

C

B

AD E

FyC

yB

yA

y

xA

xB x0

Área(DEFC)

= (xB – x

C) (y

A – y

C)

Área(BFC)

= [(xB – x

C) (y

B – y

C)] ÷ 2

Área(ABE)

= [(xB – x

A) (y

A – y

B)] ÷ 2

Área(ADC)

= [(xA – x

C) (y

A – y

C)] ÷ 2

Área do triângulo ABC:

Área (ABC)

= (xB – x

C) (y

A – y

C) – {[(x

B – x

C) (y

B – y

C)] ÷ 2 + [(x

B – x

A) (y

A – y

B)] ÷ 2 +

+ [(xA – x

C) (y

A – y

C)] ÷ 2}

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e reduzindo os ter-mos semelhantes, obtemos:

Área do triângulo ABC = [ xA y

B + x

C y

A + x

B y

C – (x

C y

B + x

A y

C + x

B y

A)] ÷ 2

Essa expressão é, de fato, equivalente à que se obtém do cálculo do determinante menciona-do anteriormente, apenas com a diferença do “valor absoluto”, que deve ser incluído a fim de per-mitir que seja escolhida qualquer ordem para efetuar as subtrações entre valores de abscissas ou de ordenadas.

A área de um polígono representado no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coor-denadas de cada vértice, baseando-se no princípio de que um polígono pode ser dividido em vários triângulos, como no exemplo a seguir, em que calcularemos a área do quadrilátero ABCD.


105

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

Dividiremos o quadrilátero em dois triângulos: ABD e BCD. A área de ABCD será a soma das áreas dos triângulos ABD e BCD.

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

A(2;6) B(8;5)

C(2;1) D(5;4)


106

Área(ABCD)

= Área(ABD)

+ Área(BCD)

Área(ABCD)

= 12

2 6 1

8 5 1

5 4 1

1

2

8 5 1

2 1 1

5 4 1

+ =

Área(ABCD)

= 1

2 |[(10 + 30 + 32) – (25 + 8 + 48)]| +

1

2 |[(8 + 25 + 8) – (5 + 32 + 10)]| =

( – ) ( – )12

72 8112

41 4792

62

152

==+ +=

Área(ABCD)

= 7,5 unidades de área.

De outra maneira, em uma extensão da regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de

n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como se segue, sendo xi e y

i as coordenadas

de cada vértice do polígono com n vértices.

A = ∑=

+ +12 1

1 1i

n

i i i ix y y x( – ) ou A =12

x1

x2

x3

y3

y2

y1

.

.

.

xn y

n

x1 y

1

Nos produtos indicados pelas setas, é possível seguir o mesmo raciocínio do cálculo pelo mé-

todo de Sarrus: para a direita conserva-se o sinal, para a esquerda troca-se o sinal. Em seguida,

somam-se os resultados. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono

de n lados. O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono, e o sentido, horário ou

anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.

Observe que, na expressão anterior, o ponto (xn + 1

; yn + 1

), que é o último da parte inferior, é igual ao

ponto (x1; y

1), que é o primeiro da parte superior. Isso é necessário para caracterizar o “fechamento”

do polígono, isto é, para que todas as coordenadas sejam multiplicadas entre si.


107

Retomando o exemplo anterior, do quadrilátero ABCD, vamos utilizar essa expressão para calcular novamente sua área, porém sem a necessidade de dividi-lo em triângulos.

A(2;6) B(8;5)C(2;1) D(5;4)

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

Área(ABCD) = 12

2 68 52 15 42 6

12

= |(2 . 5 + 8 . 1 + 2 . 4 + 5 . 6) – (6 . 8 + 5 . 2 + 1 .5 + 4 . 2)| =

Área(ABCD) = 12

|10 + 8 + 8 + 30 – 48 – 10 – 5 – 8| = 12

|56 – 71| = 152

= 7,5 u.a.

Evidentemente, o resultado obtido para a área do polígono ABCD seria o mesmo se o cálculo fosse realizado por composição ou decomposição de figuras. A opção por este ou aquele procedi-mento dependerá das circunstâncias do problema.


108

VOCÊ APRENDEU?

9. Qual é a área do triângulo BAH de vértices B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema de eixos cartesianos da figura a seguir:

1B

A

H

1

2

3

4

5

6

y

2 3 4 5 6 x0


109

10. Calcule a área do pentágono COISA, representado a seguir:

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

2

A

C

S

I

O

x3 4 5 6 7 8


110

Qual dos polígonos, DECO ou LINA, tem a maior área?

D

O

E

C L

I

A N

2

–2

– 4

4

6

8

y

–4

–2 2 4 6 8 x0

Desafio!

2° em 2° bimestre

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