2 ANO DESENHO GEOMETRICO.pdf

8/16/2019 2 ANO DESENHO GEOMETRICO.pdf

1/42

DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2015 1

APOSTILA 2015

DESENHO GEOMÉTRI O

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


2/42


Sumário

1.Geometria Espacial....................................................................................................................4

1.1 Definições básicas da Geometria Espacial.............................................................................4

1.2 Posições de uma Reta............................................................................................................5

1.3 Plano.......................................................................................................................................6

1.4 Semirreta.................................................................................................................................6

1.5 Pontos Colineares e Segmentos Consecutivos......................................................................6

1.6 Congruência de Segmentos....................................................................................................7

2. Ângulos......................................................................................................................................82.1 Instrumento para medir ângulo................................................................................................8

2.2 Classificação de Ângulos........................................................................................................8

2.3 Curvas.....................................................................................................................................8

3.Postulados..................................................................................................................................8

3.1 Postulado sobre pontos e retas...............................................................................................8

3.2 Postulados sobre o plano e o espaço.....................................................................................9

3.3 Posições relativas de duas retas...........................................................................................10

3.4 Postulado de Euclides ou das retas paralelas.......................................................................113.5 Determinação de um plano...................................................................................................12

3.6 Posições relativas de reta e plano.........................................................................................12

3.7 Ângulos..................................................................................................................................14

4. Diedros e triedros....................................................................................................................15

4.1 Diedros..................................................................................................................................15

4.2 Triedros.................................................................................................................................15

4.3 Ângulo poliédrico...................................................................................................................15

5. Polígonos.................................................................................................................................19

5.1 Classificação de polígonos....................................................................................................19

5.2 Elementos do Polígono.........................................................................................................19

5.3 Perímetro do Polígono...........................................................................................................20

5.4 Figuras Geométricas Planas.................................................................................................20

6. Poliedros..................................................................................................................................21

6.1 Poliedros convexos e côncavos............................................................................................216.2 Classificação dos poliedros...................................................................................................22


3/42


6.3 Poliedros regulares................................................................................................................22

6.4 Relação de Euler...................................................................................................................23

6.5 Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo.........................................................24

7. Sólidos de Platão.....................................................................................................................247.1 Poliedros platônicos..............................................................................................................24

7.2 Classificação dos poliedros de Platão...................................................................................25

8. Prismas....................................................................................................................................29

8.1 Elementos do prisma.............................................................................................................29

8.2 Classificação do prisma.........................................................................................................30

8.3 Secção do prisma..................................................................................................................31

8.4 Áreas do prisma....................................................................................................................31

8.5 Volume do prisma.................................................................................................................32

9. Cubo........................................................................................................................................34

9.1 Diagonais da base e do cubo...............................................................................................34

9.2Áreas e Volumes....................................................................................................................35

10.Paralelepípedo.......................................................................................................................38

10.1 Paralelepípedo reto e oblíquo.............................................................................................38

10.2 Diagonal da base e do paralelepípedo...............................................................................38

10.3 Área e volume do paralelepípedo.......................................................................................39

Referências bibliográficas...........................................................................................................42


4/42


1° BIMESTRE

1. Geometria Espacial

A Geometria nasceu das necessidades e das observações do homem.

Os conhecimentos Geométricos começaram a serem utilizados muitos séculos antes de Cristo.

No Egito, por exemplo, as cheias do Rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam os campos

de plantação. Quando as águas voltavam ao nível normal, os escribas egípcios dividiam

novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. Foi a partir de

procedimentos como esse dos Egípcios que nasceu a Geometria experimental. Também a

origem da palavra Geometria está associada a esse fato: geo significa terra e metria significa

medida.

Outros povos também estudaram a Geometria, como os assírios, os babilônios, os chineses e

os gregos. Os gregos fizeram muitas descobertas a respeito de figuras geométricas.

A Geometria que estudamos hoje é conhecida como euclidiana, em homenagem ao grego

Euclides, o primeiro matemático a apresentar a Geometria de forma organizada. Por quase

dois séculos, todos os estudos Geométricos se basearam em seu famoso livro, “Os

Elementos”.

1.1 Definições básicas da Geometria Espacial

A geometria é construída a partir de três ideias: a ideia de ponto, reta e plano.

Podemos ter a ideia de ponto observando marcas de lápis:

Podemos ter a ideia de reta se puder imaginar um fio, sem começo nem fim, bem esticado:

______________________________________________

Agora, se considerarmos apenas um pedaço desse fio e o mantivermos bem esticado, temos a

ideia de um segmento de reta:

_____ . _________________________________ . ________

Para indicar retas, usamos letras minúsculas do alfabeto (a,b,c, ...... r,s,t ...) ou dois pontos

dessas retas. Veja o segmento de reta abaixo:


5/42


Os segmentos de reta serão indicados através dos pontos que representam as extremidades

desses segmentos:

Na geometria, consideramos a reta como um conjunto de pontos. Assim, dada uma reta r,

dizemos que há pontos que pertencem (A, C) e pontos que não pertencem (B, F) a essa reta.

Veja:

1.2 Posições de uma Reta

As retas podem ter várias posições.

Veja agora as posições de uma reta:

Veja agora posições de duas retas:


6/42


Duas retas que tem um único ponto em comum são chamadas de retas concorrentes.

Duas retas distintas que estão em um mesmo plano e não tem ponto em comum são

chamadas retas paralelas.

1.3 Plano

Observe, agora, a região externa de uma garrafa ou de uma bola, ou, ainda a parte superior de

uma mesa, ou do piso de uma sala. Essas regiões nos dão idéia de superfície.

Se pudermos imaginar que é possível prolongar o tampo de uma mesa em todas as direções,

teremos a ideia de plano:

1.4 Semirreta

Como já vimos, na geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um

ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois

conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semirreta.

O ponto A é chamado origem das semirretas.

Na reta abaixo, o ponto A divide a reta r nas semirretas AM e AN :

AM Indica a semirreta de origem em A e que passa por M;

AN Indica a semirreta de origem em M e que passa por A.

1.5 Pontos Colineares e Segmentos Consecutivos

Pontos que pertencem a uma mesma reta são chamados de pontos colineares.


7/42


M, P e N são pontos colineares.

Dois segmentos que possuem uma extremidade em comum são chamados de segmentos

consecutivos:

AB e BC são segmentos consecutivos.

Dois segmentos consecutivos podem ser:

Colineares:

AB e BC são segmentos consecutivos e colineares, pois estão contidos numa mesma reta r.

Não Colineares:

AB e BC são segmentos consecutivos e não colineares, pois não estão contidos em uma

mesma reta.

1.6 Congruência de Segmentos

Dois segmentos que possuem a mesma medida são chamados congruentes.

Exemplo de Aplicação

AB e CD , se lê A B congruente ao segmento C D.


8/42


2. Ângulos

Considere três pontos não colineares (que não pertencem a uma mesma reta) A, O e B.

Ângulo geométrico AÔB é a figura formada pelas semirretas AO e OB:

Na figura:

O ponto O é o vértice do ângulo;

As semirretas AO e OB são os lados do ângulo.

2.1 Instrumento para medir ângulo

O instrumento mais usado para medir ângulos é o transferidor. O transferidor tem como

unidade o grau Indicamos um grau assim: 1º.

2.2 Classificação de Ângulos

A medida do ângulo é classificada assim:

Medida do Ângulo: Nome do Ângulo:

Igual a 90º Reto

Maior que 90º Obtuso

Menor que 90º Agudo

2.3 Curvas

Veja os tipos de curvas:Curva aberta simples: É uma curva aberta onde as linhas não se cruzam.

Curva aberta não simples: É uma curva aberta, porém as linhas se cruzam.

Curva fechada simples: É uma curva fechada onde as linhas não se cruzam.

Curva fechada não simples: É uma curva fechada onde as linhas se cruzam.

3. Postulados

3.1 Postulado sobre pontos e retas


9/42


P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.

3.2 Postulados sobre o plano e o espaço

P5) Por três pontos não colineares passa um único plano.


10/42


P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

3.3 Posições relativas de duas retas

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:


11/42


Temos que considerar dois casos particulares:

Retas perpendiculares: sr

Retas ortogonais: sr

t r e st sr //

t

s

3.4 Postulado de Euclides ou das retas paralelas

(P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:


12/42


r s s P

r P ///

3.5 Determinação de um plano

Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um

plano também pode ser determinado por:

Uma reta e um ponto não pertencente a essa reta

Duas retas distintas concorrentes

Duas retas paralelas distintas.

3.6 Posições relativas de reta e plano

Vamos considerar as seguintes situações:


13/42


Reta contida no plano

Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

r

r Ber A

Be A

Reta concorrente ou incidente ao plano

Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando

P r .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.

Reta paralela ao plano

Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t

contida no plano ; portanto, r // .

//// r t et r

Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r .


14/42


(P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por

uma única reta que passa por esse ponto.

3.7 Ângulos

O ângulo entre duas retas

reversas é o ângulo agudoque uma delas forma com

uma reta paralela à outra:

O ângulo entre uma reta e

um plano é o ângulo que a

reta forma com sua

projeção ortogonal sobre o

plano:


15/42


Observações:

(1°) Se 90 , então r é perpendicular a .

(2°) Se 0 , então r é paralela a ou r esta contida em .

4. Diedros e triedros

O encontro de planos formam ângulos, estudaremos os casos de ângulos e planos a seguir:

4.1 Diedros

Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura

geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

4.2 Triedros

Três semirretas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que

formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

4.3 Ângulo poliédrico

Sejam n, 3n , semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo

semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as


16/42


outras semirretas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo

poliédrico.

Exercícios sobre Geometria Espacial

1- O que é Geometria Espacial?

2- Dadas as afirmações sobre retas, pontos e planos, classifique cada afirmação emverdadeira ou falsa:

a) Uma reta tem dois pontos distintos.b) Fora de uma reta, existem infinitos pontos.c) Três pontos quaisquer são sempre colineares.

d) Dois pontos quaisquer são sempre colineares.e) Fora de uma reta, existem pontos que são colineares.f) Três pontos quaisquer sempre determinam um plano.g) Por um ponto passam infinitas retas.h) Por três pontos não alinhados passam três planos diferentes.i) Uma reta que tem um ponto comum com um plano está contida nele. j) Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas.k) Uma reta qualquer de um plano divide-o em dois semiplanos.l) No espaço, existem infinitas retas.m) Quatro pontos distintos, com quaisquer três deles não colineares, determinam apenas

cinco retas.

3- Que ideia (ponto, reta ou plano) você tem quando observa:

a) A cabeça de um alfineteb) O piso da sala de aulac) Uma corda de violão bem esticadad) O encontro de duas paredese) Um grão de areiaf) Um campo de futebol

4- Dadas as afirmações a seguir, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa:

a) Por uma reta pode ser traçada apenas dois planos.b) Duas semirretas de mesma origem são sempre colineares.c) Três pontos distintos determinam três retas distintas.d) Por um ponto sempre passa uma reta.e) Três pontos não colineares determinam três retas distintas.


17/42


f) Três pontos distintos determinam um único plano.g) O plano é sempre ilimitado.h) Em um plano, existem mais de três pontos.i) Por dois pontos distintos sempre passa uma única reta. j) O plano que passa por dois pontos dados é único.

5- Em relação ás afirmações a seguir, reescreva aquelas que julgar falsas, corrigindo-as:

a) Existem finitos pontos que pertencem a um plano e infinitos pontos que não pertencem aoplano.

b) Por um ponto passam infinitas retas.c) Três pontos quaisquer determinam sempre uma única reta.d) Existem infinitas retas que estão contidas em um único plano.e) Quando dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta não está

contida no plano.

6- A maioria das mesas e cadeiras que utilizamos no dia a dia possui quatro pernas. Noentanto, dependendo da regularidade do piso onde estão apoiadas, elas podem balançar. A fim de evitar o balanço, alguns objetos são construídos com três pernas, como o tripé

para a câmera fotográfica ou luneta e o suporte para pintar telas. Por qual motivo, emgeral, os objetos que possuem três pernas não balançam?

7- Complete as afirmações abaixo:

a) Em uma ______________, assim como fora dela, existem infinitos pontos.b) Por um _______________ passam infinitas retas.c) Por três pontos não colineares temos um único _________________.d) O plano tem ________________ retas.

8- Escreva todos os postulados vistos em sala de aula.

9- Em relação às afirmações abaixo, diga quais são verdadeiras e quais são falsas:

a) Duas retas reversas são sempre distintas.b) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas.c) Duas retas que não têm ponto comum são reversas.d) Duas retas distintas ou são reversas, ou são paralelas, ou são concorrentes.e) Duas retas de um mesmo plano são paralelas ou concorrentes.f) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.g) Se dois planos têm uma reta comum, eles têm um ponto comum.h) Dois planos distintos podem ter em comum apenas três pontos não colineares.i) Dois planos podem ter um único ponto comum. j) Duas retas perpendiculares são concorrentes.k) Duas retas paralelas podem ser ortogonais.l) A medida do ângulo entre duas retas é 90º; logo elas são perpendiculares ou ortogonais.

m) Duas retas reversas formam um ângulo de 90º; logo elas são ortogonais.n) Duas retas concorrentes são perpendiculares.

10- Dados duas retas quais são as posições possíveis entre elas?

11- Defina retas ortogonais. Exemplifique com um desenho essa definição.

12- Defina:

a) Diedro

b) Triedro

13- Sobre diedros marque a opção correta:


18/42


a) Se uma secção de um diedro for um ângulo reto, então ele é um diedro reto.

b) Um diedro obtuso pode ter uma secção medindo 90º.

c) Um diedro reto não pode ter secções agudas.

14- Responda certo ou errado, justificando quando for necessário:

a) Ângulo plano de um diedro é ângulo de secção de reta.

b) Se duas secções de um diedro são congruentes, então elas são paralelas.

c) Não existe o triedro cujas faces medem 120º, 75º e 45º.

d) A terceira face do triedro cujas duas outras medem 50º e 130º devem ser maior que 60º e

menor que 160º.

e) Existem triedros cujas faces medem respectivamente 40º, 50º e 90º.

15- Prove que pelo menos uma face de um triedro tem medida menor que 120º.


19/42


2° BIMESTRE

5. Polígonos

As curvas fechadas simples formadas por segmento de reta recebem o nome de polígonos.

5.1 Classificação de polígonos

Os polígonos são classificados da seguinte maneira, em relação ao número de lados.

NÚMERO DE LADOS NOMENCLATURA

3 Triângulo

4 Quadrado

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono11 Undecágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

Os polígonos que não constam na relação acima são chamados de polígono de treze lados,

polígono de quatorze lados, polígono de dezenove lados, etc...

5.2 Elementos do Polígono


20/42


Os segmentos AB , BC , CD , DE , EF e FA são os lados do polígono.

Os pontos A, B, C, D, E F, pontos comuns a dois lados são os vértices do polígono.

Unindo os vértices A e C do polígono, você construiu uma diagonal do polígono. As diagonais

são obtidas ligando-se dois vértices não consecutivos do polígono.

No polígono A B C D E F, notamos que:

Os ângulos formados por dois lados consecutivos são chamados de ângulos internos do

polígono.

Os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo são os ângulos

externos do polígono.

Obs.: Os prolongamentos dos lados são sempre ordenados.

Num polígono o número de lados, de vértices, de ângulos internos e externos é igual.

Em todo polígono o número de lados é igual ao número de vértices, que, por sua vez é igual ao

número de ângulos internos e ângulos externos.

5.3 Perímetro do Polígono

Para calcular o perímetro de um polígono, temos de calcular a soma das medidas de seu lado.


Primeiro, somamos os 10 cm com os outros 10 cm, depois somamos o resultado (20 cm) com

os 5 cm e o resultado (25cm) com os outros 5cm, e achamos o resultado 30cm.

O perímetro desse retângulo é 30 cm.

10 + 10 + 5 + 5 = 30 cm

5.4 Figuras Geométricas Planas

Quadrado: Quadrilátero retangular cujos lados são iguais entre si e cujos ângulos são retos.

Retângulo: Quadrilátero cujos ângulos são retos e os lados opostos são iguais.

Paralelogramo: Quadrilátero plano cujos lados opostos são paralelos.

Triângulo Eqüilátero: O que tem três lados iguais e, portanto, os três ângulos iguais.


21/42


Triângulo Isósceles: O que tem dois lados iguais e, portanto, dois ângulos iguais.

Triângulo Retângulo: Triângulo que tem um ângulo reto.

Triângulo Escaleno: O que tem todos os ângulos e lados desiguais.

Trapézio: Quadrilátero com dois planos paralelos.

Trapézio Isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são iguais.Trapézio Retângulo: Trapézio que tem dois ângulos retos.

Losango: Quadrilátero plano que tem os lados iguais, dois ângulos agudos e dois obtusos.

Círculo: Região de um plano limitado por uma circunferência.

Eclipse: Lugar Geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse

plano tem soma constante.

6. Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a

planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns

exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e

os vértices do poliedro.

6.1 Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas

faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face

determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.


22/42


Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está

contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

6.2 Classificação dos poliedros

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por

exemplo:

tetraedro: quatro faces

pentaedro: cinco faces

hexaedro: seis faces

heptaedro: sete faces

octaedro: oito faces

icosaedro: vinte faces

6.3 Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um

com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro Planificação Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares

8 vértices12 arestas


23/42


Octaedro


6 vértices

12 arestas

Dodecaedro

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas

Icosaedro


12 vértices

30 arestas

6.4 Relação de Euler

A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na

determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns

não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de

determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:

V - A + F = 2

Em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:



24/42


V=8 A=12 F=6

8 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18 F = 8

12 - 18 + 8 = 2

6.5 Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo

Podemos encontrar a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo com a seguinte

igualdade:

360.2V S Onde S é a soma dos ângulos internos do poliedro e V é o número de vértices.

7. Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces,

arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos considerando que entre

duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.

Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C. e estabeleceu importantes

propriedades em alguns poliedros.

7.1 Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler..


O prisma a seguir pode ser considerado um poliedro de Platão, pois se encaixa nas condições

descritas anteriormente.


25/42


As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas.

Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas.

A relação de Euler pode ser aplica, observe: o sólido possui oito vértices, seis faces e doze

arestas.

V – A + F = 2

8 – 12 + 6 = 2

14 –

12 = 2

2 = 2 (verdadeiro)

7.2 Classificação dos poliedros de Platão

Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes, de acordo com a tabela a seguir:

POLIEDRO ARESTA VERTICES FACES

Tetraedro 6 4 4Hexaedro 12 8 6

Octaedro 12 6 8

Dodecaedro 30 20 12

Icosaedro 30 12 20

Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do

Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente,aos elementos terra, água, fogo e ar, e o dodecaedro foi associado ao Universo.

Conheça os poliedros de Platão:


26/42



1.Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2

F = 2 – 6 + 10

F = 6

Portanto, o sólido possui 6 faces.

2.Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visualmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas.

Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da

pirâmide de base quadrangular.

Vértices Arestas Faces

V – A + F = 2 V – A + F = 2 V – A + F = 2

V – 8 + 5 = 2 5 – A + 5 = 2 5 – 8 + F = 2

V = 2 + 8 – 5 - A = 2 – 5 – 5 F = 2 – 5 + 8

V = 5 - A = - 8 x(-1) F = 5

A = 8

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de

um sólido convexo.

3.O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices.

Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.


27/42


Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os

vértices desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma F = x e V = x.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2x – 22 + x = 2

2x = 2 + 22

2x = 24

x = 12

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.

Exercícios sobre Poliedros

16- Defina:

a) Poliedrob) Icosaedroc) Poliedro regular

17- Enuncie a Relação de Euler.

18- Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Determine onúmero de vértices.

19- Quantas faces possui um poliedro convexo de 12 vértices e 20 arestas.

20- Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. Calcule o número de arestas do poliedro.

21- Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possui 8 faces e 14 arestas.

22- Determine o número de vértices de um poliedro convexo, sabendo que o número dearestas excede o número de faces em 4 unidades.

23- (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6unidades. Calcule o número de faces.

24- Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 8 unidades.

Determine o número de faces desse poliedro.

25- Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determine onúmero de arestas e de vértices desse poliedro.

26- Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares e 3 faces hexagonais. Determine onúmero de arestas e de vértices desse poliedro.

27- Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais.Determine o número de arestas e o número de vértices.

28- Quantos vértices tem o poliedro convexo, sabendo-se que ele apresenta uma facehexagonal e seis faces triangulares?


28/42


29- (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 facescom 5 lados. Calcule o número de vértices desse poliedro.

30- Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma facequadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

31- Calcule a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um:

a) hexaedrob) octaedroc) dodecaedrod) icosaedro

32- Qual a soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro que possui 12 faces e 30arestas?

33- Sabendo que em um poliedro de 8 arestas S é igual a 1080º, determine o número de faces.

34- Num poliedro, o número de vértices é igual ao número de faces. Determine S sabendo queesse poliedro possui 20 arestas.

35- (PUC-SP) Um poliedro possui 5 faces quadrangulares e 10 faces triangulares. Calcular asoma dos ângulos internos das faces.


29/42


3° BIMESTRE

8. Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, e , um polígono convexo R

contido em e uma reta r que intercepta e , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento ' PP , paralelo à reta r ' P :

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes

' PP paralelos a r .

8.1 Elementos do prisma


30/42


Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

Bases: as regiões poligonais R e S .

Altura: à distância h entre os planos e .

Arestas das bases: os lados '','','','','',,,,, A E E D DC C B B A EA DE CD BC AB ( dos

polígonos).

Arestas laterais: os segmentos ',',',',' EE DDCC BB AA .

Faces laterais: os paralelogramos A A EE E E DDC C BB BB AA '','','','' .

8.2 Classificação do prisma

Um prisma pode ser:

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

Prisma reto Prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:


31/42


Prisma regular triangularPrisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

8.3 Secção do prisma

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada

secção do prisma.

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano

paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes

(figura 2).

8.4 Áreas do prisma

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de

considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n. AF

(n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;


32/42


d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases.

AT = AL + 2AB

8.5 Volume do prisma

Sendo B A a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume V desse prisma é

dado por: h AV B . .


1- Determine a área total e o volume de um prisma hexagonal regular cujas arestas das basesmedem 2 cm e as arestas laterais medem 5 cm.

222

364

3.2.6

4

3..6 m A A

l A B B B

2605.2.6 cm A A L L

2)1533.(4603126036.2.2 cm A A A L BT

33305.36. cmh AV B

Exercícios sobre prismas

36- O que é prisma?

37- Como podem ser classificados os prismas?

38- Defina:

a) prisma regular

b) prisma retoc) prisma oblíquo

39- Determine a natureza (classificação) de um prisma sabendo que ele possui:

a) 7 facesb) 10 faces

40- Um prisma regular triangular tem 10 cm de altura. Sabendo que a medida da aresta dabase é de 6 cm, determine a área total e o volume do prisma.

41- A base de um prisma reto com 8 cm de altura é um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4cm. Determine:

a) a área da base


33/42


b) a área lateralc) a área totald) o volume do prisma

42- A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 cm e 12 cm.Calcule a área da base, a área lateral e a área total desse prisma cuja altura é igual a 10

cm.

43- Qual é a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma reto de alturaigual a 8 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm?

44- A altura de um prisma triangular regular é igual a 8 cm. Calcule a área total e o volumedesse prisma sabendo que a aresta da base mede 4 cm.

45- A altura de um prisma triangular regular é igual a 8 cm. Calcule a área total e o volumedesse prisma sabendo que a aresta da base mede 6 cm.

46- Um prisma triangular regular tem 4 cm de altura. Calcule o volume sabendo que a arestada base desse prisma mede 2 cm.

47- Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcule a área total do

sólido, sabendo que a área lateral é de 212cm .

48- Calcule a área total de um prisma regular, triangular, cuja área da base mede 2325 cm ecuja altura é igual ao perímetro da base.

49- A altura de um prisma triangular regular é 10 cm. Calcule a área da base, a área lateral e aárea total desse prisma, sabendo que o perímetro da base é igual a 18 cm(perímetro é asoma de todos os lados).

50- Dado um prisma reto de base hexagonal, cuja altura é mh 3 e cujo raio do círculo quecircunscreve a base é mr 2 , calcule:

a) a área da baseb) a área lateralc) a área total

51- Um prisma hexagonal regular tem área da base igual a 2324 cm . Calcule seu volume,sabendo que a altura é igual ao apótema da base.

52- Calcule o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base mede 4 cm e a

altura mede cm310 .

53- Calcule a área lateral de um prisma reto cuja aresta lateral mede 10 cm e cuja base é um

hexágono regular de apótema cmh 33 .

54- Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja área lateral éigual à área da base.

55- Epaminondas fez o projeto para construir uma coluna de concreto que vai sustentar umaponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta da base 2 m ealtura 8m. Calcule:

a) a área lateral que se deve utilizar em madeira para a construção da coluna;b) o volume de concreto necessário para encher a fôrma da coluna.


34/42


4° BIMESTRE

9. Cubo

O cubo é um prisma regular limitado por seis quadrados congruentes.

9.1 Diagonais da base e do cubo

Em qualquer cubo, é possível encontrarmos a diagonal da face, ou base, e a diagonal do

cubo.

Observando a base do cubo de aresta a e diagonal d, temos que:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

basedadiagonal ad ad

ad

aad

2.

2

2

2

22

222


35/42


Observando a diagonal D do cubo e utilizando o resultado anterior temos que:

Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

cubododiagonal a Da D

a D

aa D

aa D

3.

3

3

2

2

2

22

222

222

9.2 Áreas e Volumes

O cubo de aresta a é formado por 4 faces laterais, logo temos que a área lateral é dado

por:

2.4 a A L

Todas as seis faces quadradas compõem um cubo, logo temos que a área total é dada

por:

2.6 a AT

O volume de um cubo de aresta a é dado pelo produto da altura (aresta) pela área da base

(face), logo:


36/42


3aV


Encontre a área total e o volume de um cubo cuja diagonal mede 32 m.

Sabendo a medida da diagonal do cubo temos que:

ma

a

ad

2

332

3.

Sendo 2 m a medida das arestas desse cubo podemos dizer que:

2

2

2

24

4.6

2.6

.6

m A

A

Aa A

T

T

T

T

3

3

3

8

2

mV

V

aV

Assim temos que a área total desse cubo é de 24 m² e seu volume é de 8 m³.

Exercícios sobre cubo

56- Defina cubo.

57- Quanto mede a diagonal de um cubo de aresta cm310 ?

58- Sabendo que a aresta de um cubo mede 5 cm, calcule a diagonal e a área total dessecubo.

59- Num cubo de aresta 10 cm, qual é a área total?

60- Qual é o volume de um cubo que tem 10 cm de aresta?

61- Determine o volume de um cubo cuja diagonal mede m3 .

62- A área total de um cubo é de 2150m . Calcule a medida de sua aresta.

63- Um cubo tem área total de 2384m . Sua diagonal mede:

a) m8

b) m28

c) m38

d) m16

e) m58


37/42


64- Uma caixa- d’água cúbica tem 3 cm de aresta interior. Sabendo que l dm 11 3 , calcule acapacidade, em litros, dessa caixa.

65- A diagonal de uma face de um cubo mede dm25 . Calcule a diagonal, a área total e ovolume desse cubo.

66- A soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 dm. Sabendo que um cubopossui 12 arestas, calcule a área da superfície total e o volume desse cubo.

67- Três cubos de chumbo com arestas de 5 cm, 10 cm e 20 cm, respectivamente, sãofundidos numa peça única. Qual é o volume dessa peça?

68- Determines quantos 2cm de madeira são necessários para fabricar uma caixa de formacúbica com aresta medindo 22 cm.

69- Sabe-se que um cubo tem 2216m de área total. Calcule o volume desse cubo.

70- O volume de uma caixa cúbica é de 343000 litros. Determine o valor da área total da

caixa. Dado l m 10001 3 .


38/42


10. Paralelepípedo

Paralelepípedo é um prisma que possui faces formadas por paralelogramos, onde a é o

comprimento, b a largura e c a altura desse poliedro.

10.1 Paralelepípedo reto e oblíquo

O paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-

retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo, ou seja, um paralelepípedo reto é

aquele cujo o encontro de todas as arestas formam ângulos de 90°.

O paralelepípedo é denominado oblíquo quando o encontre de suas arestas não formam

ângulos de 90°.

10.2 Diagonal da base e do paralelepípedo


39/42


Em qualquer paralelepípedo, é possível encontrarmos a diagonal da face, ou base, e a

diagonal do cubo.

Observando a base do paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura c.

Aplicando o teorema de Pitágoras temos que:

basedadiagonal bad

bad

22

222

Observando a diagonal D e utilizando o resultado anterior temos que:

pedo paralelepí dodiagonal cba D

cba D

cba D

222

2222

22

222

10.3 Área e volume do paralelepípedo

Sendo um paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura c temos que:

A área lateral é constituída por retângulos, com arestas paralelas e congruentes dois a dois,

cujas medidas são:


40/42


Logo:

cbca A L ...2

Da mesma maneira podemos dizer que a área total de um paralelepípedo é composta por:

Logo:

cbcaba AT ....2

O volume do paralelepípedo é dado pela relação entre seu comprimento, largura e altura, logo:cbaV ..


As dimensões de um paralelepípedo são 20 cm, 12 cm e 9 cm. Encontre a medida de uma

diagonal e o volume desse paralelepípedo.

Sabendo as dimensões do paralelepípedo temos que:

cm D

D

D

D

cba D

25

625

81144400

91220 222

222

3

2160

9.12.20

..

cmV

V

cbaV

Portanto, a diagonal desse paralelepípedo é 25 cm e seu volume é de 2160 cm³.


41/42


Exercícios sobre paralelepípedo

71- Defina paralelepípedo retângulo.

72- Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 10 cm,6 cm e 4 cm.

73- Determine a diagonal de um paralelepípedo retângulo que apresenta aresta lateral 4 cm earestas da base 2 cm e 6 cm.

74- Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Sabendo que sua diagonal

mede 103 , calcule o valor de k.

75- As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 20 cm, 8 cm e 5 cm. Calcule a áreatotal desse paralelepípedo.

76- Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15 cm, 12 cm e 6 cm.

77- Um paralelepípedo retângulo de altura 9 dm tem por base um quadrado com perímetro 40dm. Calcule:

a) a medida da diagonal do paralelepípedo;b) a área da sua superfície total.

78- Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de largura.Sabendo que a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume de concreto usado nessalaje.

79- Calcule quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir uma piscinaretangular de 8 m de comprimento, 5 m de largura e 1,60 m de profundidade.

80- Num paralelepípedo retângulo, a diagonal mede 142 m. Sabendo que as dimensõesdesse paralelepípedo estão em P.A de razão 2, calcule o volume do paralelepípedo.(Sugestão: represente as dimensões por x, x - 2 e x + 2).

81- Num paralelepípedo retângulo, o volume é 3600cm . Uma das dimensões da base é igualao dobro da outra, enquanto a altura é 12 cm. Calcule as dimensões da base desseparalelepípedo.

82- O volume de um paralelepípedo retângulo é 396m . Duas de suas dimensões são 3 m e 4m. Calcule a área total desse paralelepípedo.

83- O volume de um paralelepípedo retângulo é 3648m . Calcule a área total desseparalelepípedo, sabendo que suas dimensões são proporcionais aos números 4,3 e 2.

84- A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 20 m decomprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la.

85- Deseja-se cimentar um quintal regular com 10 m de largura e 14 m de comprimento. Orevestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3 cm de espessura. Qual éo volume da mistura utilizada nesse revestimento.


42/42

Referências Bibliográficas:

ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática.São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. SãoPaulo: Editora Ática, 2001

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy.Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único.São Paulo: FTD, 2002.
http://www.infoescola.com/geometria/poligonos/http://www.infoescola.com/geometria/poligonos/

2 ANO DESENHO GEOMETRICO.pdf

Documents

Transcript of 2 ANO DESENHO GEOMETRICO.pdf