1ª Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística para Engenharia

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E EXATAS (ICTE) DISCIPLINA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Professor Gustavo Araújo Teixeira

1ª Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística para Engenharia

1. Suponha que o conjunto fundamental seja definido por | 0 2U x x . Sejam os

conjuntos A e B definidos da seguinte forma:

1 1 3| 1 |2 4 2

A x x e B x x

. Descrever os seguintes conjuntos:

a) A B

b) A B

c) A B

d) A B

2. Um lote é formado por 10 peças vermelhas, 6 amarelas e 4 azuis. Três peças são

escolhidas ao acaso (sem reposição). Calcular a probabilidade de:

a) Todas as peças serem vermelhas;

b) Nenhuma peça ser vermelha;

c) Ao menos uma peça ser vermelha;

d) Exatamente uma peça ser vermelha;

e) No máximo uma peça ser vermelha.

3. Um vendedor prevê que a probabilidade de consumar uma venda no primeiro contato

telefônico com um cliente é de 55%. Já a probabilidade de efetuar uma venda no

segundo contato, caso o cliente não tenha comprado ao ser contatado pela primeira vez,

é de 60%. Suponha que este vendedor faça no máximo duas ligações telefônicas para

cada cliente. Se ele entrar em contato com um cliente, calcular a probabilidade de esse

cliente efetuar a compra.

4. Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado,

95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas críticas, 60% dos produtos

parcialmente aprovados recebiam boas críticas e 10% dos produtos ruins recebiam boas

críticas. Além disso, 40% tinham sido altamente aprovados, 35% parcialmente

aprovados e 25% tinham sido produtos ruins. Qual a probabilidade de que um produto

atinja uma boa crítica?

5. Uma loja de presentes emprega 4 mulheres para fazerem embrulhos. Raquel

embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar os preços em 3% dos embrulhos;

Helena embrulha 15% e deixa de tirar os preços em 5% dos casos; Joana é responsável

por 40% dos embrulhos, esquecendo-se de tirar os preções em 4% das vezes; e Cristina

embrulha os restantes e esquece-se dos preços 3,5% das vezes.

a) Qual a probabilidade de um presente comprado na loja não ter preço?

b) Suponha que você tivesse comprado um presente desta loja e depois verificado

que ele tinha preço. Qual a probabilidade dele ter sido embrulhado por Joana?




6. Sejam A e B dois eventos associados a um determinado experimento aleatório.

Suponha que P(A)=0,40, enquanto que P(AUB)=0,70. Seja P(B)=p. Para que valores de

p:

a) Os eventos A e B serão mutuamente excludentes?

b) Os eventos A e B serão independentes?

7. Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se três bolas

aleatoriamente da urna, sem reposição. Determinar a função e densidade de

probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória X que

representa o número de bolas brancas extraídas da urna.

8. O volume de vendas de uma empresa é representado por uma variável aleatória cuja

função densidade de probabilidade é dada por

,0 1( )

,1 2

x xf x

c x

Determinar:

a) O valor da constante c;

b) A função de distribuição acumulada da variável aleatória x.

9. A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional discreta

(X,Y) é p(x,y)=2(2x+y), onde x e y são valores inteiros tais que 0 2x e 0 3y .

a) Determinar o valor da constante c;

b) Determinar a ( 1, 2)P X Y ;

c) Determinar a probabilidade marginal de X e Y.

10. O consumo de gasolina de uma marca de carro em determinada viagem é

representado por uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada

por ( ) ,0 22

xg x x , e o consumo de óleo é representado por uma variável aleatória

Y com função densidade de probabilidade dada por 3

( ) ,0 24

yh y y . Supondo que

o consumo de gasolina e o consumo de óleo sejam independentes, qual a probabilidade

do consumo de óleo ser menor que o consumo de gasolina?

11. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória unidimensional

contínua X é dada por 1

( )2

f x x , 0<x<2.

a) Determinar o valor esperado de X.

b) Determinar o desvio padrão de X.

12. Determinar o desvio padrão da variável aleatória Y=3X+4, sabendo-se que a

variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por1

( ) ,1 32

f x x .

13. Suponha que cada amostra de ar apresente 10% de chance de possuir uma

determinada molécula rara. Admite-se que as amostras são independentes com relação à

presença da molécula rara. Nas próximas 18 amostras, determinar a probabilidade de

pelo menos 4 amostras possuírem uma molécula rara.




14. Uma determinada empresa tem dois eventuais compradores para seu produto, que

pagam preços em função da qualidade. O comprador A paga R$1300 se em uma

amostra de 5 peças não encontrar nenhuma não defeituosa, e paga R$650 por peça, caso

contrário; o comprador B paga R$900 por peça, desde que encontre no máximo uma

peça defeituosa em 5 peças, pagando R$700 por peça, caso contrário. Qual dos

compradores deve ser escolhido pelo empresário, sabendo-se que na produção 8% das

peças são defeituosas?

15. Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição de Poisson, com

parâmetro α. Sabemos que p(2)=2/3.p(1). Calcular p(0) e p(3).

16. Em um posto de gasolina, chegam automóveis para abastecimento com taxa de 20

automóveis por hora. Determinar a probabilidade de pelo menos dois automóveis

chegarem a este posto em 15 minutos.

17. As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão

ocupadas 45% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas

em chamadas sucessivas sejam independentes. Qual é a probabilidade de terem de ser

realizadas cinco chamadas até a primeira não estar com a linha ocupada?

18. Dez minutos é o tempo médio entre as chamadas telefônicas para o escritório de

uma corporação. Podemos considerar o tempo entre as chamadas telefônicas entre as

chamadas telefônicas como uma variável aleatória.

a) Qual é a probabilidade de a primeira chamada ocorrer entre 7 e 12 minutos

depois que você chega ao escritório.

b) Qual a probabilidade de não haver chamadas para o escritório dentro de um

intervalo de 30 minutos?

19. O tempo entre as chegadas de mensagens eletrônicas em seu computador é

representado pro uma variável aleatória exponencial com média 2 horas.

a) Determinar a probabilidade de você ter que esperar mais de três horas para

receber uma mensagem em seu computador.

b) Determinar a probabilidade de você receber em seu computador 3 ou mais

mensagens em 8 horas.

20. O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com

uma média de 0,002 polegada (0,05 m) e um desvio padrão de 0,0004 polegada (0,1

mm).

a) Qual é a probabilidade de o diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegada

(0,07 mm)?

b) Qual deve ser o desvio padrão do diâmetro para termos uma probabilidade

de 95,053% de o diâmetro não exceder 0,0023 polegada (0,06 mm)?




21. O volume de latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente, com uma média

de 12,4 onças fluidas (381,5 ml) e um desvio padrão de 0,1 onças fluidas (3,1 ml).

a) Se todas as latas com volume inferior a 12,1 onças fluidas (372,3 ml) ou

superior a 12,6 onças fluidas (387,7 ml) forem rejeitadas, que proporção

de latas será rejeitada?

b) Determinar a probabilidade de exatamente 40 latas terem de ser

analisadas até a primeira lata ser rejeitada.

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