1 LISTA DE EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR PROF. HENRIQUE

1) Resolva os seguintes sistemas lineares:

b)

2) Determine k para que o sistema admita soluo e, em seguida, exiba a soluo:

3) Considere as matrizes:

a) Obtenha os produtos A.B e B.A

b) Use o resultado do item anterior para resolver o sistema

4) Obtenha as inversas das matrizes (caso elas sejam invertveis). Sugesto: Realize operaes elementares sobre as

linhas da matriz at obter uma matriz linha-reduzida forma escada que seja igual matriz identidade.

a)

c)

d)

e)

f)

5) Calcule os determinantes das matrizes seguintes:

6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, d

um contra exemplo.

7) Considere os subespaos V dados abaixo. Em cada caso, verifique se W subespao vetorial de V.

a) V = IR2, W = {(x, 4x); x IR}

b) V = IR3, W = {(x, 2, 5x); x IR}

c) V = IR2, W = {(x, y) IR2; y = 3x 8}

d) V = IR3, W = {(x, y, z) IR3; y = 3z x}

e) V = M2x2(IR), ; ,2 3

a bW a b

b a

f) V = M2x3(C), 1 0

; , ,0

pW p q r

q r

g) V = P(IR), W = P2(IR) = {a + bx + cx2; a, b, c IR}, isto , o conjunto dos polinmios de grau 2 sobre IR.

8) Em cada caso abaixo obtenha W1 W2, W1 + W2 e verifique se W1 W2.

a) W1 = {(x, y, z, t) IR4; x + y = 0 e z t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) IR

4 ; x y z + t = 0} subespaos do IR4.

b) W1 = {(x, 2x); x IR} e W2 = {(x, 4x); x IR} subespaos do IR2.

9) Obtenha um conjunto de vetores geradores para cada um dos seguintes subespaos:

a) W = {(x, y, z, t) IR4; 2x + y z + 4t = 0}

b) W = {(x, y, z, t) IR4; x + y = 0 e z t = 0}

10) Verifique que os vetores obtidos em cada item do exerccio 9 so LI (linearmente independentes).

11) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores so LD (linearmente dependentes) ou LI (linearmente

independentes):

a) V = IR3, S = {(1, 2, 3), (2, 1, 2), (3, 1, 1), (4, 1, 2)}

b) V = IR2, S = {(1, 1), ( 1, 1)}

Gabarito:

1) a) 7 1 17

, ,16 16 8

S

b) S = {(0,0,0)} c) SI d) S = {( 3z, 0, z)} e) SI f) 9 21

, 2 3 ,2

zS z z

2) k = 6 S = {( 8, 10)}

3) a) AB = BA = I b) S = {(3,0,3,1)}

4) A no invertvel 1

2 1 3

1 1 2

1 1 3

C

5) det A = 0 det B = 21 det C = 2 det D = 16

6) (a) V (b) V (c) F (d) F (e) V (f) F (g) F

7) So subespaos: a, d, e, g. No so subespaos: b, c, f.

8) a) W1 W2 = {(0, 0, z, z); z IR}, W1 + W2 = {(x + a, x + b, z + c, z a + b + c); a, b, c, x, z IR}, W1 + W2

no soma direta, pois W1 W2 {(0, 0, 0, 0)}.

b) W1 W2 = {(0, 0, 0, 0)}, W1 + W2 = {(x a, 2x + 4a); a, x IR}, W1 W2, isto , W1 + W2 soma direta, pois

W1 W2 = {(0, 0, 0, 0)}.

9) a) W = [(1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 4, 1)] b) W = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)]

11) a) LD b) LI