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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSACENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA E DE PRODUOPROJETO DE MONOGRAFIA

DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA DE MEDIDAS EMTEMPO REAL DE TENSO, CORRENTE, POTNCIA EENERGIA CONECTADO PORTA PARALELA DO

COMPUTADOR

MARCELO ANTNIO ALVES LIMA

VIOSA MGJANEIRO/2007

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DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA DE MEDIDAS EMTEMPO REAL DE TENSO, CORRENTE, POTNCIA EENERGIA CONECTADO PORTA PARALELA DO

COMPUTADOR

Trabalho de Concluso de Cursosubmetido Universidade Federal deViosa para a obteno dos crditosreferentes disciplina Monografia eSeminrio do curso de EngenhariaEltrica.

VIOSA MGJANEIRO/2007

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DEDICATRIA

Aos meus pais, minha irm, meus amigos e minha namorada Tatiana.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeo a Deus por ter me dado o milagre da vida. Aos meus pais pela

tima educao que me deram, o que com certeza me possibilitou de hoje estar escrevendo

este trabalho. Aos meus avs Raimundo e Maria, a Tio Geraldo e Marina, por sempre terem

acreditado no meu sucesso. Tatiana, pelo imenso carinho, conforto e apoio. A Augusto de

Caux Henriques Damasceno, pela amizade, pelas inmeras ajudas nos estudos (inclusive neste

trabalho) e pelas discusses produtivas. A Janison Rodrigues de Carvalho, pela amizade, pelas

ajudas nos estudos, por agentar meus desabafos e pelas companhias nas baladas. A

Alexandre Tadeu Gomes de Carvalho, por ter depositado confiana em mim e permitido que

eu ampliasse meus conhecimentos em seu laboratrio. Ao meu orientador de monografia

Andr Gomes Torres, por ter me sugerido este trabalho e me ajudado a dar os primeiros

passos nos novos conhecimentos adquiridos.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Tenso e corrente em um circuitoN...........................................................14

Figura 2 Potncia instantnea peridica e potncia mdia .......................................15

Figura 3 - Representao dos 3 tipos de potncias atravs do tringulo de potncias.

(a) tringulo de potncias, (b) tringulo de potncias com as equaes das 3

potncias, (c) tringulo de potncias para uma cargaRL, (d) tringulo de potncias

para uma cargaRC.......................................................................................................20

Figura 4 - Sinal de corrente de uma carga no-linear alimentada pela rede eltrica e o

seu espectro..................................................................................................................21

Figura 5 - Diagrama de blocos das etapas do processamento digital de sinais no

tempo contnuo ............................................................................................................23

Figura 6 - Representao de um sinal no tempo discreto ............................................23

Figura 7 - (a) Sinal no tempo contnuo, )(txa ; (b) sinal no tempo discreto, )(nx ; (c)

sinal amostrado em T, )(txi .........................................................................................25

Figura 8 - (a) Sinal no tempo contnuo, )(txa ; (b) espectro de )(txa ; (c) trem de

impulsos )(tp ; (d) espectro de )(tp ; (e) sinal amostrado em T, )(txi ; (f) espectro

ideal de )(txi ................................................................................................................26

Figura 9 - (a) Espectro do sinal no tempo contnuo. Espectros de )(txi para: (b)

cs = 2 ; (c) cs 2 ......................................................................27

Figura 10 - Um sinal falso devido a subamostragem ..................................................28

Figura 11 - Circuito bsicosample and hold...............................................................29

Figura 12 - Sinais de entrada e sada de um circuito sample and hold........................30

Figura 13 - Representao em diagrama de blocos de um comparador analgico .....31

Figura 14 - Diagrama geral de uma classe de ADCs .................................................32

Figura 15 - Filtro digital de primeira ordem................................................................33

Figura 16 - Filtro digital tipo FIR forma direta ...........................................................36

Figura 17 - Filtro digital tipo IIR forma direta ............................................................36

Figura 18 - Diagrama de blocos da parte experimental ...............................................37Figura 19 - Circuito integrado ACS754-050 e seu diagrama de blocos......................39

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Figura 20 - Tenso de sada versus corrente primria .................................................40

Figura 21 - Sinal de tenso original e depois condicionado para a faixa de 0 a 5V....41

Figura 22 - Circuito condicionador de sinal ................................................................42

Figura 23 - Circuito do filtro passa-baixas de 2 ordem ..............................................43

Figura 24 - Circuitos dos filtros anti-aliasing utilizados .............................................44

Figura 25 - Resposta em freqncia dos filtros ...........................................................45

Figura 26 - Diagrama de blocos do ADS7816.............................................................46

Figura 27 - Circuito de converso A/D........................................................................46

Figura 28 - Interconexo dos blocos............................................................................48

Figura 29 - Fluxograma ...............................................................................................50Figura 30 - Especificao das caractersticas de transmisso do filtro passa-baixas ..52

Figura 31 Fotos das placas confeccionadas e da apresentao dos resultados na tela

do computador .............................................................................................................55

Figura 32 Freqncia de amostragem e sadas do circuito condicionador e sensor

de corrente....................................................................................................................56

Figura 33 Um pequeno sinal coletado e sua DFT ....................................................57

Figura 34 Resultados das medidas de um ferro de passar ........................................59

Figura 35 Resultados das medidas de um micro-computador PC............................60

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LISTA DE TABELA

Tabela 1 Principais especificaes do ACS754-050 ................................................40

Tabela 2 Descrio dos pinos do ADS7816 .............................................................47

Tabela 3 Algumas especificaes do ADS7816.......................................................47

Tabela 4 Coeficientes obtidos...................................................................................54

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SIMBOLOGIA

A/D Analgico/Digital

ADC Conversor Analgico/DigitalCS Seleciona chip

D/A Digital/Analgico

DAC Conversor Digital/Analgico

DFT Transformada Discreta de Fourier

EOC Fim de converso

FIR Resposta ao impulso de durao finita

IIR Resposta ao impulso de durao infinitaIRQ0 Sinalizao de um pedido de interrupo de hardware pelo relgio do sistema

RMS Raiz quadrada da mdia do valor ao quadrado

S/H Amostrador/Segurador

TTL Lgica transistor-transistor

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SUMRIO

DEDICATRIA........................................................................................................... I

AGRADECIMENTOS ...............................................................................................II

LISTA DE FIGURAS...............................................................................................III

LISTA DE TABELA ..................................................................................................V

SIMBOLOGIA..........................................................................................................VI

SUMRIO ................................................................................................................VII

RESUMO................................................................................................................... IX

ABSTRACT............................................................................................................... IX

1 INTRODUO....................................................................................................10

1.1 Objetivos ...........................................................................................................11

1.2 Organizao do Texto .......................................................................................11

2 REVISO DE LITERATURA...........................................................................13

2.1 Potncia em Regime Permanente C.A. .............................................................13

2.1.1 Introduo................................................................................................13

2.1.2 Potncia no Domnio do Tempo e Potncia Mdia.................................132.1.3 Valores Eficazes ......................................................................................16

2.1.4 Fator de Potncia .....................................................................................18

2.1.5 Potncia Reativa ......................................................................................19

2.1.6 Sinais Peridicos No-Senoidais.............................................................20

2.2 Processamento Digital de Sinais no Tempo Contnuo......................................22

2.2.1 Introduo................................................................................................22

2.2.2 Amostragem de Sinais no Tempo Contnuo ...........................................23

2.2.2.1 Teorema da Amostragem ...........................................................24

2.2.3 Circuito Sample-and-Hold ......................................................................29

2.2.4 Conversor Analgico-Digital ..................................................................30

2.3 Filtros Digitais ..................................................................................................33

3 DESENVOLVIMENTO DO SISTEMA DE MEDIO DE TENSO E

CORRENTE...............................................................................................................373.1 Sensor de Corrente ............................................................................................38

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3.2 Placa de Condicionamento de Sinal..................................................................41

3.3 Filtros Passa-Baixas ..........................................................................................42

3.3.1 Freqncia de Amostragem e Projeto dos Filtros Anti-Aliasing ............44

3.4 Conversores A/D...............................................................................................45

3.5 Interconexo dos Blocos ...................................................................................48

3.6 Software C/C++ .............................................................................................48

3.7 Projeto dos Filtros Digitais ...............................................................................52

4 RESULTADOS E DISCUSSES.......................................................................55

4.1 Freqncia de Amostragem ..............................................................................56

4.2 Quantizao.......................................................................................................574.3 Respostas dos Filtros Digitais ...........................................................................58

5 CONCLUSES....................................................................................................61

5.1 Trabalhos Futuros .............................................................................................61

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.....................................................................62

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RESUMO

Este trabalho descreve a implementao de um sistema de aquisio de dados para

sinais de tenso e corrente de equipamentos residenciais e industriais. O Sistema constitudopor um circuito eletrnico conectado porta paralela de um computador e por um software

que controla o circuito e realiza o processamento digital. O C/C++ foi a linguagem de

programao utilizada. Os sinais discretos de tenso e corrente obtidos possuem informaes

teis que podem ser extradas pelo processamento digital. O software calcula em tempo real

valores de tenso e corrente RMS, potncia mdia, fator de potncia e energia consumida

atravs de filtros digitais. Este trabalho explora uma importante tcnica do processamento

digital de sinais: filtragem digital. Como aplicao do sistema, so apresentados e discutidosresultados de medidas em equipamentos eltricos comuns.

Palavras-Chave: aquisio de dados, processamento digital de sinais, filtros digitais,

qualidade de energia.

ABSTRACT

This work describes the development of an acquisition data system for voltage and

current signals of residencial and industrial loads. The system is composed by the electronic

circuit conected to the parallel port of a personal computer and the software who controls the

circuit and does the digital processing. The C/C++ was the programing language used here.

The discrete signals of voltage and current obtained possess some usefull information who

can be extracted by digital processing. The software produces in real-time values of RMS

voltage and current, average power, power factor and consumed energy by the use of Digital

Filters. It can be seem that this work explore an important technique of Digital Signal

Processing: digital filtering. Results of measurements in usual electrical equipments are

shown.

Keywords:data acquisition, digital signal processing, digital filtering, power quality.

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1 Introduo

Diversos equipamentos eletro-eletrnicos absorvem corrente eltrica da rede de

alimentao com caractersticas de forma de onda distorcidas, isto , a corrente absorvida

no senoidal como deveria ser. Desta forma, so provocados vrios danos rede de

fornecimento de energia eltrica, principalmente perda de energia no sistema de

transmisso e distribuio. Atualmente, estes e outros problemas da qualidade da energia

eltrica so muito prejudiciais, e no sero resolvidos em curto prazo, o que indica ser este

um campo de pesquisa necessrio para o momento e para o futuro.

Portanto, necessrio investir no desenvolvimento de equipamentos de medio

para verificao e fiscalizao dos consumidores. Neste sentido, se faz justo investigar

formas de medio e anlise do consumo de energia eltrica mais adequadas que as

convencionais. Este trabalho tem por objetivo apresentar um equipamento de baixo custo e

verstil que realize a aquisio de sinais eltricos, e um programa que controla a interface e

analisa os dados obtidos.

O equipamento adquire os sinais de tenso e corrente de alimentao dos

equipamentos ligados rede eltrica atravs de dois conversores A/D e depois envia osdados para o computador, atravs da porta paralela (porta de impressora). Um circuito

condicionador ajusta o sinal de tenso medido dentro da faixa permitida pela entrada de seu

conversor A/D. O sensor de corrente baseado em efeito Hall, o sinal de corrente

convertido em tenso e devidamente condicionado, e aplicado entrada de outro

conversor A/D. Segundo o teorema da amostragem, a mxima freqncia dos sinais

amostrados no deve ultrapassar a metade da taxa de amostragem dos conversores A/D.

Para que o teorema seja respeitado, so utilizados filtros analgicos passa-baixas anti-

aliasing para cada um dos sinais.

Um programa escrito em linguagem C++ executado em modo real. Este programa

responsvel por controlar e receber dados dos conversores A/D, e determina o intervalo

de aquisio dos dados dos seus circuitos de amostragem e reteno. importante que as

amostras sejam feitas a intervalos bem regulares para que a anlise fornea resultados

corretos. A fim de manter a freqncia de amostragem constante, so explorados recursos

de interrupo IRQ0 em modo real. O programa tambm manipula os dados obtidos, e a

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partir deles, calcula outros dados importantes, tais como tenso e corrente eficazes,

potncia mdia, fator de potncia e consumo de energia. Estes dados so obtidos em tempo

real, ou seja, to logo realizada uma nova aquisio, j so calculados novos valores. Para

que isto seja realizado, so utilizados filtros digitais, que permitem que a cada novo dado de

entrada, uma nova sada seja obtida. O programa mostra os resultados na tela do

computador e tambm salva em arquivo de texto para posterior anlise.

1.1 Objetivos

Este trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento de um prottipo queadquira sinais de tenso e corrente de cargas alimentadas pela rede eltrica, os converta

para a forma digital e propicie a sua transferncia para a memria do computador

utilizando-se como interface a porta paralela. Alm disso, o trabalho tem outros objetivos,

quais sejam:

Estudo de potncia eltrica em regime C.A., alm de tenses e correnteseficazes e de fator de potncia;

Estudo das tcnicas de processamento digital de sinais de tempo contnuo,tais como teorema da amostragem, circuitos de amostragem e reteno e

converso analgico-digital;

Estudo de filtros digitais e discretizao de sistemas, e de suas aplicaes naanlise de qualidade de energia eltrica;

Desenvolvimento do sistema de medidas de tenso, corrente, potncia eenergia e verificao de seu funcionamento.

1.2 Organizao do Texto

O texto apresentado est organizado nos seguintes captulos:

No captulo 2 so apresentadas a teoria de potncia eltrica em regime C.A., as

tcnicas de processamento digital de sinais no tempo contnuo e a teoria de filtros digitais,

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conceitos tericos necessrios para a compreenso do desenvolvimento do sistema de

medio proposto.

No captulo 3 so estudados detalhadamente todos os blocos constituintes do

prottipo, tais como sensor de corrente, circuito condicionador de sinal, filtros anti-aliasing,

conversores A/D, o software de controle da interface e de anlise dos dados obtidos e a

implementao dos filtros digitais.

No captulo 4 so apresentados resultados experimentais ilustrando o desempenho

do prottipo e discusses sobre seu funcionamento.

No captulo 5 so apresentadas as concluses do trabalho, em conjunto com

propostas de continuidade.

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2 Reviso de Literatura

Na reviso de literatura so apresentados todos os conceitos fundamentais, os quais

devem ser enfatizados e conhecidos para o desenvolvimento e implementao do sistema

de medio proposto.

2.1 Potncia em Regime Permanente C.A.

2.1.1 Introduo

Nesta seo sero estudadas as relaes de potncia para uma rede que excitada

por tenses ou correntes peridicas. Sero feitas anlises para tenses e correntes senoidais,

visto que quase toda a energia eltrica gerada nessa forma. A potncia instantnea a

velocidade na qual a energia absorvida por um elemento, e varia em funo do tempo. A

mais importante medida de potncia, particularmente para tenses e correntes peridicas,

apotncia mdia. A potncia mdia igual taxa mdia na qual a energia absorvida por

um elemento, e independente do tempo. Potncias mdias so encontradas na faixa entre

poucos picowatts, em aplicaes como em satlites de comunicao, at milhes de watts,em aplicaes tais como o suprimento de eletricidade para uma grande cidade. Ser vista

tambm uma regra matemtica para caracterizar as tenses e correntes peridicas,

conhecida como valor eficaz ou rms, alm do conceito de fator de potncia associado a

uma carga.

2.1.2 Potncia no Domnio do Tempo e Potncia Mdia

A potncia instantnea que entra em um circuito Nde dois terminais (Figura 1)

definida por [01]:

)()()( titvtp = (2.1)

onde v(t)e i(t)so a tenso e a corrente instantneas nos terminais, respectivamente. Sep

positivo, a energia entregue ao circuito. Sep negativo, a energia devolvida do circuito

para a fonte.

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Sendo que a capacidade de armazenamento de energia de um indutor ou de um

capacitor finita, estes elementos passivos no podem continuar recebendo energia sem

devolv-la. Portanto, no estado permanente e durante cada ciclo, toda a energia recebida

por um indutor ou um capacitor devolvida. A energia recebida por um resistor, entretanto,

utilizada na realizao de trabalho.

Figura 1 Tenso e corrente em um circuitoN

Para exemplificar, considera-se o caso de tenso e corrente senoidais. Uma tenso

senoidal )cos( tVvm

= aplicada nos terminais de uma impedncia =

||ZZ estabelece

uma corrente )cos( = tIi m , em que o ngulo de defasagem entre a tenso e a

corrente. A potncia entregue impedncia no tempo t:

(2.2)

A potncia instantnea na Eq. (2.2) consiste de uma componente senoidal

)2cos(21 tIV

mm mais uma componente independente do tempo cos21

mmIV , que a

potncia mdiaP[01]. A potncia mdia tambm chamada depotncia ativa oupotncia

tile tem como unidade o Watt (W). A componente senoidal, por sua vez, varia no tempo e

tem freqncia duas vezes maior que a freqncia da tenso e da corrente.

)2cos(2

1cos

2

1

)]2cos([cos2

1

)cos(cos)(

+=

+=

==

tIVIV

tIV

ttIVvitp

mmmm

mm

mm

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Matematicamente, o valor mdio de qualquer funo peridica definido como a

integral no tempo da funo durante um perodo completo, dividida pelo perodo. Portanto,

a potncia mdiaPpara uma potncia instantnea peridicap dada por [02]:

+

=Tt

t

pdtT

P1

1

1 (2.3)

onde t1 arbitrrio, e Tum perodo completo do sinal.

A potncia mdia para tenso e corrente puramente senoidais ilustrada na Figura

2. Durante parte de um ciclo, a potncia instantnea positiva, o que indica que o fluxo de

potncia est entrando na carga. Durante o restante do ciclo, a potncia instantnea

negativa, o que indica que o fluxo de potncia se dirige da carga para a fonte. O fluxoresultante de potncia durante um ciclo , entretanto, no-negativo e chamado de potncia

mdia.

Figura 2 Potncia instantnea peridica e potncia mdia

Sendo o valor mdio de )2cos( t em um perodo igual a zero. Da Eq. 2.2

observa-se que [01]:

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cos2

mmIVP= (2.4)

Logo, a potncia mdia absorvida pelo bipolo representado na Figura 1, considerandotenso e corrente senoidais, determinada pelas amplitudes Vm e Im e pelo cosseno do

ngulo de defasagem.

Se o bipolo um resistor R, ento 0= , e mm RIV = , de forma que a Eq. (2.4)

torna-se

2

2

1mR RIP = (2.5)

No caso de um indutor, = 90 , e no caso de um capacitor, = 90 , logo paraqualquer dos dois, pela Eq. (2.4), 0=P . Portanto, um indutor ou um capacitor, ou para o

caso de uma rede constituda somente por indutores e capacitores ideais, em qualquer

combinao, a potncia mdia dissipada zero. Fisicamente, indutores e capacitores ideais

armazenam energia durante uma parte do perodo e a devolvem durante a outra parte, de

forma que a potncia mdia entregue zero.

Se 0= , o dispositivo equivalente a um resistor, e se 2/= (ou 2/ ), o

dispositivo equivalente a uma indutncia (ou a uma capacitncia). Para 02/

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O valor eficaz de qualquer corrente (tenso) peridica uma constante que igual

corrente (tenso) c.c., que iria entregar a mesma potncia mdia para uma resistncia R

[02]. Desta forma, seIef o valor eficazde i, pode-se escrever:

==T

ef dtRiT

RIP0

22 1

da qual a corrente eficaz :

=T

ef dtiT

I0

21 (2.6)

De forma similar:

=T

ef dtvT

V0

21 (2.7)

O termo eficaz traduo da abreviatura de rms. Analisando a Eq. (2.6), observa-se

que na verdade, toma-se a raiz (root) quadrada da mdia (mean) do valor ao quadrado

(square) da corrente.

Da definio, o valor eficaz de uma constante (c.c.) simplesmente a prpria

constante. O caso c.c. um caso especial )0( = da mais importante tipo de forma de

onda, a tenso ou a corrente senoidal.Considera-se uma corrente senoidal )cos( += tIi

m, onde o ngulo de fase

inicial da corrente. Ento, da Eq. (2.6) encontra-se que [02]:

+=w

m

ef dttI

I/2

0

22

)(cos2

resolvendo-se a integral acima:

2

m

ef

II = (2.8)

Desta forma, uma corrente senoidal tendo uma amplitude Im, entrega a mesma potncia

mdia a uma resistnciaRque uma corrente c.c. de valor igual a 2/mI . Tambm se pode

ver que a corrente eficaz independente da freqncia ou da fase inicial da corrente.

Do mesmo modo, no caso da tenso senoidal, encontra-se que:

2m

ef

VV = (2.9)

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Substituindo-se esses valores na Eq. (2.4), para um bipolo alimentado por tenso e corrente

senoidais, chega-se a:

cosefefIVP= (2.10)

Na prtica, valores eficazes so empregados normalmente nas reas de gerao e

distribuio de energia. Por exemplo, a tenso que chega nas casas de 127V ou 220V.

Esses valores so eficazes, sendo que as amplitudes dessas tenses so, respectivamente,

V1802127 = e V3112220 = .

2.1.4 Fator de Potncia

O produto VefIef chamado de potncia aparente [02]. A unidade de potncia

aparente o voltampere (VA), de forma a se evitar engano e confuso com a unidade de

potncia mdia, o watt (W). A potncia aparente o valor constante mximo que a potncia

mdia pode assumir. Quando nesse caso, diz-se que h mxima transferncia da potncia.

A relao da potncia mdia com a potncia aparente definida como fator de

potncia[02]. Essa relao vlida para quaisquer formas de ondas da tenso e da corrente,

desde que sejam peridicas. Portanto, definindo-se o fator de potncia comofp, tem-se que:

efefIV

Pfp= (2.11)

Para o caso de tenso e corrente senoidais, a potncia mdia como descrito pela

Eq. (2.10). Sendo assim:

coscos

==efef

efef

IV

IVfp (2.12)

O fator de potncia, como pode ser visto, adimensional. Para o caso de cargaspuramente resistivas, a tenso est em fase com a corrente, sendo = 0, e, portanto fp = 1.

Nesse caso, a potncia mdia ser igual potncia aparente. Este um caso de fator de

potncia unitrio. Um fator de potncia unitrio tambm pode existir para cargas que

contenham indutores e capacitores, desde que suas reatncias se cancelem. Ajustar as

reatncias das cargas para que se aproximem dessa condio muito importante em

sistemas eltricos de potncia [02].

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Em uma carga puramente reativa, 90= ,fp= 0 e a potncia mdia zero. Neste

caso, a carga equivalente a uma indutncia ou a uma capacitncia, e a corrente e a tenso

diferem em fase de 90.

Uma carga para a qual 090

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2.1.6 Sinais Peridicos No-Senoidais

O aumento do nmero de equipamentos eletrnicos na indstria, edifcioscomerciais e mesmo nas residncias, dentre diversos outros equipamentos, tem provocado

um aumento crescente dos problemas nas redes eltricas devido insero de cargas no-

lineares no sistema. Os sinais de corrente e conseqentemente de potncia nesses casos so

peridicos, mas no senoidais. Em razo disso, constata-se a gerao de tenses no

senoidais, transitrios e outros distrbios. Estes e muitos outros problemas so casos de

estudos da rea de qualidade de energia.

(a) (b)

(c)

(d)

Figura 3 - Representao dos 3 tipos de potncias atravs do tringulo de potncias. (a)tringulo de potncias, (b) tringulo de potncias com as equaes das 3 potncias, (c)

tringulo de potncias para uma cargaRL, (d) tringulo de potncias para uma cargaRC

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A definio de potncia mdia apresentada na Eq. (2.3) tambm se aplica a sinais

peridicos no-senoidais. Um sinal peridico qualquer pode ser decomposto em uma srie

de senides com valores de freqncias sendo mltiplos inteiros da freqncia fundamental

do sinal [02]. Essas senides so chamadas de harmnicos. A Figura 4 mostra um sinal de

corrente com forte distoro harmnica e o seu espectro. Em geral, equipamentos

alimentados por fontes chaveadas apresentam esse formato de onda de corrente. Pode-se

observar a presena de freqncias mltiplas mpares da fundamental (60Hz), em especial

as primeiras (180Hz, 300Hz e 420Hz).

Figura 4 -Sinal de corrente de uma carga no-linear alimentada pela rede eltrica e o seuespectro

As definies de corrente eficaz e de tenso eficaz apresentadas na Eq. (2.6) e na

Eq. (2.7), respectivamente, tambm se aplicam a quaisquer formas de onda peridicas.

Como conseqncia, a Eq. (2.11) para clculo do fator de potncia tambm se aplica a

quaisquer sinais de tenso e corrente peridicos de mesma freqncia fundamental.

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2.2 Processamento Digital de Sinais no Tempo Contnuo

2.2.1 Introduo

A maioria dos sinais que se encontram na natureza so contnuos no tempo, tais

como a temperatura, a fala e as imagens. Cada vez mais, algoritmos de processamento de

sinais de tempo discreto esto sendo usados para processar tais sinais, e so implementados

empregando sistemas de tempo discreto analgicos ou digitais. Para o processamento por

sistemas digitais, os sinais de tempo discreto so representados na forma digital em que

cada amostra uma palavra binria. Portanto, necessita-se de circuitos de interface

analgica para digital e digital para analgica para converter os sinais de tempo contnuo

para a forma de tempo discreto digital, e vice-versa. Como resultado, necessrio

desenvolver as relaes entre os sinais de tempo contnuo e os sinais de tempo discreto

equivalentes no domnio do tempo e no domnio da freqncia.

O circuito de interface que realiza a converso de um sinal de tempo contnuo para a

forma digital chamado de conversor analgico-digital (A/D). A operao reversa de

converso de um sinal digital em um sinal de tempo contnuo implementada pelo circuito

de interface chamado conversor digital-analgico (D/A). Em adio a esses dispositivos,

necessita-se de alguns circuitos. Sendo que a converso analgico-digital, freqentemente,

leva uma quantidade de tempo para ser realizada, necessrio assegurar que o sinal

analgico na entrada do conversor A/D permanea constante em amplitude at que a

converso se complete, a fim de minimizar o erro na sua representao. Isto realizado por

um dispositivo chamado de circuito sample-and-hold (S/H), que tem dois propsitos: ele

no apenas amostra o sinal de tempo contnuo de entrada, mas tambm segura o valor

analgico amostrado constante em sua sada por tempo suficiente para permitir umaconverso precisa pelo conversor A/D. A sada do conversor D/A possui uma onda na

forma de escada. Portanto necessrio suavizar o sinal de sada utilizando-se um filtro

analgico de reconstruo (suavizador). Finalmente, na maioria das aplicaes, os sinais de

tempo contnuo a serem processados tm uma largura de banda (bandwidth) maior que a

largura de banda dos processadores de tempo discreto disponveis. Para prevenir um efeito

prejudicial chamado aliasing, um filtro analgico anti-aliasing colocado antes do circuito

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S/H. O diagrama de blocos ilustrando os requerimentos funcionais para o processamento de

tempo discreto digital de um sinal no tempo contnuo indicado na Figura 5.

Figura 5 - Diagrama de blocos das etapas do processamento digital de sinais no tempocontnuo

2.2.2 Amostragem de Sinais no Tempo Contnuo

Na maioria dos casos, um sinal x(n)no tempo discreto consiste em uma seqncia

de amostras de um sinal )(txa , isto [03]:

)()( nTxnx a= . ,...2,1,0=n (2.15)

onde cada nmerox(n)corresponde a uma amplitude do sinal em cada instante nT. Como n

inteiro, T representa o intervalo entre dois pontos consecutivos nos quais o sinal

definido. Um exemplo de representao de um sinal no tempo discreto mostrado naFigura 6.

Figura 6 - Representao de um sinal no tempo discreto

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Caso deseja-se processar o sinal no tempo contnuo )(txa usando um sistema no

tempo discreto, preciso primeiramente convert-lo, conforme a Eq. (2.15), processar

digitalmente a entrada no tempo discreto e ento converter a sada no tempo discreto de

volta ao domnio do tempo contnuo. Portanto, para que essa operao seja efetiva,

essencial que se tenha a capacidade de restaurar um sinal no tempo contnuo a partir de suas

amostras. Nesta seo, sero mostradas as condies para que um sinal no tempo contnuo

possa ser recuperado a partir de suas amostras.

2.2.2.1 Teorema da AmostragemDado um sinal x(n) no tempo discreto derivado de um sinal )(txa no tempo

contnuo conforme a Eq. (2.15), define-se um sinal )(txi no tempo contnuo consistindo de

um trem de impulsos em nTt= , cada um deles com rea igual a )()( nTxnx a= [03].

Exemplos dos sinais )(txa , )(nx e )(tx i so representados na Figura 7.

O sinal )(tx i pode ser expresso como:

=

=n

i nTtnxtx )()()( (2.16)

A Eq. (2.16) tambm pode ser escrita como:

)()()( tptxtx ai = (2.17)

indicando que )(txi tambm pode ser obtido pela multiplicao do sinal )(txa no tempo

contnuo por um trem de impulsos definido como:

=

=n

nTttp )()( . (2.18)

Pode-se provar que a transformada de Fourier do sinal )(tx i dada por [03]:

=

=

k

ai kT

jjXT

jX 21

)( (2.19)

A Eq. (2.19) mostra que o espectro de )(txi composto de infinitas cpias deslocadas do

espectro de )(txa , sendo os deslocamentos na freqncia mltiplos inteiros da freqncia

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de amostragem Ts /2= . A Figura 8 mostra exemplos dos sinais )(txa , )(tp e )(txi e

suas respectivas transformadas de Fourier.

Figura 7 - (a) Sinal no tempo contnuo, )(txa ; (b) sinal no tempo discreto, )(nx ; (c) sinal

amostrado em T, )(tx i

Da Eq. (2.19) e da Figura 8f, observa-se que, a fim de se evitar que as cpias

repetidas do espectro de )(txa interfiram umas com as outras, este sinal deve ter largura de

faixa limitada. Sua largura de faixa c deve ser tal que a extremidade superior do espectro

centrado na origem se situe abaixo da extremidade inferior do espectro centrado ems ,

isto , csc 2 (2.20)

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ou seja, que a freqncia de amostragem tem que ser maior que o dobro da largura da faixa

unilateral do sinal no tempo contnuo. A freqncia c= 2 chamada defreqncia de

Nyquist do sinal no tempo contnuo )(txa . Se a condio imposta pela Eq. (2.20) for

satisfeita, o sinal )(txa pode ser recuperado isolando-se a parcela do espectro de )(txi que

corresponde ao espectro de )(txa . Isto pode ser feito filtrando-se o sinal )(txi com um

filtro passa-baixas ideal com largura de faixa de s /2 [03].

Figura 8 - (a) Sinal no tempo contnuo, )(txa ; (b) espectro de )(txa ; (c) trem de impulsos

)(tp ; (d) espectro de )(tp ; (e) sinal amostrado em T, )(txi ; (f) espectro ideal de )(txi

Caso a condio imposta pela Eq. (2.20) no seja satisfeita, as repeties do

espectro interferem uma com a outra, e o sinal de tempo contnuo no pode ser recuperado

a partir de suas amostras. Essa sobreposio das repeties do espectro de )(txa em )(txi ,

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que ocorre quando a freqncia de amostragem menor que c2 chamada de aliasing

[03]. As Figuras 9b-d mostram os espectros de )(tx i para s igual a, menor que e maior

que c2 , respectivamente.

Figura 9 - (a) Espectro do sinal no tempo contnuo. Espectros de )(tx i para: (b)cs = 2 ; (c) cs 2

O resultado de toda esta abordagem realizada sobre recuperao de sinais de tempo

contnuo a partir de seus sinais em tempo discreto o Teorema da Amostragem de Nyquist,

enunciado a seguir.

TEOREMA DA AMOSTRAGEM:

Se um sinal )(txa no tempo contnuo tem largura de faixa limitada, isto , sua

transformada de Fourier tal que 0)( =jXa para c> || , ento )(txa pode ser

completamente recuperado a partir do sinal no tempo discreto )()( nTxnx a= se e somente

se a freqncia de amostragem s satisfaz cs > 2 . [03].

Para exemplificar a teoria sobre amostragem de sinais, apresentada anteriormente de

maneira formal, considera-se a seguinte situao. Imagina-se seguramente que a maior

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freqncia em um sistema de udio seja menor do que 10KHz. Sendo assim, deve-se

amostrar o sinal a 20000 amostras por segundo para que seja possvel reconstruir o sinal. Se

por algum motivo, um tom de 12KHz estivesse presente na entrada do sinal, infelizmente o

sistema no iria ignor-lo simplesmente por ele ser muito alto! Em vez disso, aconteceria o

fenmeno de aliasing (falseamento ou sobreposio). Um sinal falso seria gerado pela

amostragem do sinal a uma taxa menor do que a taxa mnima de duas vezes a maior

freqncia de entrada. Nesse caso, qualquer freqncia acima de 10KHz produziria uma

freqncia falsa. A freqncia falsa sempre a diferena entre qualquer mltiplo inteiro da

freqncia de amostragemFs(20KHz) e a freqncia de entrada que est sendo digitalizada

(12KHz) [04]. Em vez de escutar um tom de 12KHz no sinal reconstrudo, escutaria-se umtom de 8KHz que no o sinal original.

Ainda um outro exemplo de como o aliasing ocorre. Considera-se a onda senoidal

mostrada na Figura 10. Sua freqncia 1,9KHz. Os pontos mostram onde a forma de onda

amostrada, a cada 500s (Fs= 2KHz). Se os pontos que formam a onda amostrada forem

interconectados, descobre-se que eles formam uma onda cosenoidal que tem um perodo de

100ms e uma freqncia de 100Hz. Isso demonstra que a freqncia falsa igual a

diferena entre a freqncia de amostragem e a freqncia de entrada. Se pudesse escutar a

sada resultante dessa aquisio de dados, ela no soaria como 1,9KHz; ela soaria como

100Hz.

Figura 10 - Um sinal falso devido a subamostragem

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Num processo real de amostragem recorre-se ao projeto e a utilizao de Filtros

Passa-Baixas, passivos ou ativos, para remoo de sinais de alta freqncia do sinal a ser

amostrado, garantindo a relao cs > 2 e evitando-se assim o fenmeno de aliasing.

Tais filtros so chamados de filtros anti-aliasing [05]. O objetivo do filtro Passa-Baixas

anti-aliasing , portanto, tornar o sinal em um sinal de largura de faixa limitada.

2.2.3 Circuito Sample-and-Hold

A sada em largura limitada do filtro analgico anti-aliasing ligada na entrada de

um circuito sample-and-hold (amostragem e reteno), que o segundo circuito na

interface entre os domnios de tempo contnuo e de tempo discreto. O circuito sample-and-

hold (S/H) amostra o sinal analgico em intervalos uniformes e retm o valor amostrado,

depois de cada operao de amostragem, por tempo suficiente para se ter uma converso

precisa pelo conversor A/D.

O circuito S/H bsico, mostrado na Figura 11, funciona do seguinte modo: Durante

a etapa de amostragem, a chave analgica S, que opera periodicamente, permanece fechada,

permitindo a ligao do sinal )(txa ao capacitor C e a sua carga at o valor dessa tenso.Durante o perodo de reteno, a chave permanece aberta, permitindo o capacitor carregado

segurar a tenso entre seus terminais at que a prxima etapa de amostragem se inicie. A

operao da chave controlada por um sinal digital de clock. O seguidor de tenso na sada

do circuito S/H age como um buffer entre o capacitor C e o estgio de entrada do conversor

A/D.

Figura 11 - Circuito bsicosample and hold

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As formas de ondas de entrada-sada do circuito S/H so mostradas na Figura 12,

onde a linha pontilhada representa o sinal de entrada )(txa e a linha slida representa o

sinal de sada )(txd , assumindo mudana instantnea do modo de amostragem para o modo

de reteno, e vice-versa.

Figura 12 - Sinais de entrada e sada de um circuitosample and hold

necessria a utilizao de um circuito S/H devido ao fato de os conversores A/D

levarem um certo tempo para a leitura do valor de tenso.

2.2.4 Conversor Analgico-Digital

A prxima etapa no processamento digital de um sinal analgico, a converso do

sinal de sada do circuito S/H para a forma digital, atravs de um conversor analgico-

digital (A/D). Sendo assim, o conversor A/D usado para converter o sinal de tempo

contnuo numa seqncia )(nx de nmeros. Um conversor analgico-digital recebe uma

tenso analgica de entrada, e aps um certo tempo, produz um cdigo digital de sada querepresenta a entrada analgica. Os sinais digitais so formados por conjuntos de bits, onde

cada bit pode assumir dois possveis nveis lgicos: 0 e 1.

Por exemplo, existem 256 possveis valores para um sinal digital de 8 bits. O

nmero de bits da sada do conversor A/D limita sua resoluo na representao do sinal

analgico de entrada, no qual existe um nmero infinito de valores de representao. A

principal caracterstica de um conversor A/D a sua resoluo, que determinada pelo

nmero de nveis discretos que podem ser assumidos pela sua sada. Para uma sada

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codificada na forma binria (0s e 1s) com um comprimento de N bits, o nmero de nveis

discretos disponveis N2 , e como resultado, a resoluo ou preciso 1 parte em N2

[05].

H uma variedade de conversores A/D que so usados em aplicaes de

processamento de sinais. Em todos esses conversores, o comparador analgico um

importante componente do circuito [05]. O comparador analgico um dispositivo que

compara duas tenses analgicas em sua entrada e fornece uma sada binria indicando

qual tenso de entrada maior. Com relao ao seu smbolo indicado na Figura 13, a

relao de entrada-sada do comparador analgico ser:

= +

,,

0V

VV

21

21

VV

VV

(2.21)

onde + >VV . Normalmente esses circuitos so projetados para que os nveis de tenso de

sua sada sejam compatveis com os nveis lgicos dos circuitos digitais convencionais.

Para a lgica TTL [04] +V compreende de 2V a 5V, e corresponde ao nvel lgico 1; e V

compreende de 0 a 0,8V, correspondente a nvel lgico 0.

Figura 13 - Representao em diagrama de blocos de um comparador analgico

Alguns tipos importantes de ADCs usam um DAC (conversor digital-analgico)

como parte de seus circuitos [04]. A Figura 14 mostra um diagrama em blocos geral para

essa classe de ADC. A temporizao para a operao fornecida pelo sinal de clock de

entrada. A unidade de controle contm o circuito lgico que comanda a seqncia de

operaes em resposta ao comando START, que inicia o processo de converso. O

amplificador operacional comparador tem duas entradas analgicas e uma sada digital que

muda de estado, dependendo de qual entrada analgica for maior.

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A operao bsica de ADCs desse tipo consiste nos seguintes passos:

1. O pulso START inicia a operao.2. Em uma freqncia determinada pelo clock, a unidade de controle modifica

continuamente o nmero binrio que armazenado no registrador.

3. O nmero binrio no registrador convertido para uma tenso analgicaVAXpelo conversor D/A.

4. O comparador compara VAX com a entrada analgica VA. Enquanto VAX