1943 d

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha

Olá pessoal,

Nesta aula, terminaremos de revisar alguns tópicos de álgebra linear necessários para o estudo da econometria, disciplina a ser comentada nos nossos próximos encontros. Oriento que o material disponibilizado até agora trata-se apenas de notas de aula, não substituindo a leitura, que é indispensável, dos livros citados na bibliografia recomendada.

Para os alunos não tenham condições de adquirir um bom livro de álgebra linear, ou para aqueles que tenham interesse em aprofundar seus conhecimentos no tema, recomendo que acessem as notas de aulas organizadas por capítulos, do prof. João Carlos Alves Barata, disponibilizadas no seguinte endereço:

http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/capitulos.html

AUTOVALORES E AUTOVETORES

1. Definição: Seja T: V V, um operador linear. Um vetor v V, v 0, é vetor característico do operador T se existe um R tal que:

T(v) = v

O número real tal que T(v) = v é denominado valor característico de T associado ao vetor próprio.

Ex. O vetor v = (5, 2) é vetor característico do operador linear:

T: R2 R2

T(x, y) = (4x + 5y, 2x + y) associado ao valor característico = 6, pois a T(v) = T(5, 2)T(5, 2) = (30, 12) (30, 12) = 6v

Já o vetor v = (2, 1) não é vetor característico deste operador T, pois a T(2, 1) = (13, 5) (2, 1) para qualquer R.

Autovalores e autovetores surgem em modelos de séries temporais de equações múltiplas (VAR).

Os autovalores da matriz (quadrada) A são todas as constantes que satisfazem a equação:

(*)

1


Se esse sistema tiver apenas 1 solução x = 0, então a matriz (A – I) tem um determinante diferente de zero.

Mas nosso interesse será matrizes com autovalores e autovetores não nulos. Então:

Esse é o “polinômio característico”. Suas raízes são os autovalores de A.Para cada autovalor i haverá uma família de vetores (um subespaço) que

satisfaz o sistema (*). São chamados autovetores.

1. Determinação dos valores característicos (autovalores)

Seja T: R3 R3 e A = a matriz canônica de T

Ou seja, A = [T]

Se v e são vetor e valor característico do operador de T, tem-se

Av = v ( v é matriz coluna 3x1)

Ou

Av - v = 0Se v = Iv (I matriz identidade), então:(A - I)v = 0

Para que este sistema homogêneo admita solução não nula, det(A -I)= 0 equação característica do operador T e suas raízes são os valores característicos do operador T.

det

ou

2


det

det (A - I) é um polinômio em denominado polinômio característico.

2. Determinação dos vetores característicos (autovetores)

A substituição de l pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares (A - I) = 0, permite determinar os vetores característicos associados.

]

3. Diagonalização de operadores

Seja T:VV, a cada B de V corresponde uma matriz [T]B que representa T na base B. Nosso propósito é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T. Essa matriz é uma matriz diagonal.

Propriedade:

Autovetores associados e autovalores distintos de um operador T:VV são linearmente independentes. Sejam T(v1) = 1v1 e T(v2) =2v2 1 2

a1v1 + a2v2 = 0 (1) e a1T(v1) + a2T(v2) = 0

a11 v1 + a22 v2 = 0 (2)

multiplicando (1) por 1 , temos:

Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

autovalores de T ou de A: são as raízes da equação

det(A – I) = 0,

autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equaçãoAv = v ou (A – I)v = 0.

3


a11 v1 + a21 v2 = 0 (3)

subtraíndo (3) de (2)

a11 v1 + a22 v2 - a11 v1 - a21 v2 = 0

a2(2- 1)v1 = 0

2- 1 0 e v2 0 logo a2 = 0.

Corolário: Sempre que tivermos um operador T: R2R2 com 1 2 , o conjunto {v1, v2}, formado pelos autovetores associados, será uma base do R2.

Exemplo:

Seja T: R2R2

T(x, y) = (4x+5y, 2x+y)

Por outro lado, sempre que tivermos uma base de um espaço formada por vetores próprios e conhecermos os valores próprios associados, podermos determinar o respectivo operador desse espaço.

Exemplo:

Os valores próprios de um operador linear T: R2R2 são 1 =6 e 2 =-1, sendo v1 = (5, 2) e v2 = (1, -1). Determinar T(x , y).

Chamando de P a base acima, isto é:

P = {(5, 2),(1, -1)}T(5, 2) = 6(5, 2) + 0(1, -1)T(1, -1) = 0(5, 2) –1(1, -1)

A matriz [T]P = representa o operador T na base dos vetores

próprios e é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são 1 e 2.

Definição: A matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P-1AP seja diagonal.

Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A, ou que P é a matriz diagonalizadora.

Exemplo:Determinar uma matriz P que diagonalize A.

4


T: R2 R2

T(x, y) = (4x +5y, 2x +y).

4. Diagonalização Ortogonal

Dada uma matriz A de ordem n x n, existe uma matriz ortogonal P tal que a matriz P-1AP = PTAP é uma matriz diagonal? Se existir uma tal matriz, dizemos que A é otogonalmente diagonalizável e que P diagonaliza A ortogonalmente.

Quais matrizes são ortogonalmente diagonalizáveis?Somente matrizes simétricas.

Sendo a matriz A ortogonalmente diagonalizável, existe uma matriz ortogonal P tal que P-1AP é diagonal. Como P é ortogonal, os vetores coluna são ortonormais.

Exemplo:

Encontre um matriz que P que diagonaliza ortogonalmente a matriz:

A =

EXERCÍCIOS

1º) Calcule os autovalores e autovetores da matriz

Autovalores:

5


Autovetores:

Obs.: O produto dos autovalores de uma matriz é igual ao seu determinante.

2º) Considere o operador linear definido a seguir:

T: R2 R2

(x, y) (4x + 5y, 2x + y)

autovalores de , matriz canônica de T. Resolvemos a equação

característica det (A – I) = 0:

det (A – I) = 0 (4 – ) (1 – ) – 10 = 0 2 – 5 – 6 = 0

1 = – 1 e 2 = 6.

6


autovetores de A ou de T:

Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:

Então, = (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v1 = (– 1, 1).

Então = ( y, y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = ( , 1).

3º) Calcule os autovalores e autovetores da matriz a seguir:

equação característica: det(A – I) = 0.

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autovalores de A : os valores não são reais A possui autovalores complexos, igualmente válidos para nós!

O procedimento para se determinar os autovetores é o mesmo. Tente encontrar

os autovetores associados a estes autovalores.

4º) Encontre os autovalores e autovetores da seguinte matriz:

equação característica: det(A – I) = 0.

Então,

autovalores de A: 1 = 3; 2 = 3; 3 = – 1. Observe que um autovalor é duplo. autovetores de A:

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Temos ,então, dois representantes,

3 = – 1; origina o autovetor = (z, z, z), sendo um de seus representantes o

autovetor v3 = (1, , 1).

O conjunto dos autovetores {v1, v2, v3} é L.I. e forma uma base de R3.

4º ) Encontre os autovalores e autovetores da seguinte matriz:

equação característica de A ou de T:

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autovalores de A : são as raízes da equação 3 + 32 + 3 + 1 = 0.

Para resolver tal equação e procurando soluções inteiras, na expectativa de que

existam, usamos um importante teorema da álgebra que diz:

“ Se equação polinomial n + cn-1n-1 + .. + c1 + c0 = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente do termo de maior grau valendo 1, tem uma raiz inteira então essa raiz é um divisor do termo independente c0.”

O coeficiente de 3 é 1 e os divisores do termo independente são 1.

Verificando se um desses valores é solução da equação, vemos que:

1 = – 1 é uma das raízes e as outras são raízes da equação 2 + 2 + 1 = 0, que são 2 = – 1 e 3 = – 1. Os valores 1, 2 e 3 são os autovalores de A.

autovetores de A :

1 = 2 = 3 = – 1;

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Observe que apenas um vetor l.i. é encontrado. Dessa forma, não é possível formar uma base de autovetores de A (ou de T) para R3.

5º) Dada a matriz abaixo, ache os autovalores, os autovetores, a base e verifique se ela pode ser diagonalizável.

Solução:

O polinômio característico para acharmos os autovalores é dado por: .

No caso ou

Os autovalores são então: 1=4 2 = 3 = -2.

A fórmula para achar os autovetores é: ou seja

Os autovetores são:

Associados a 1=4

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; escalonando chega-se a:

ou seja x = y ; y = y ; z = 2y . Na forma vetorial y( 1, 1, 2).

Assim, os autovetores associados a 1=4 são os múltiplos do vetor v = (1, 1, 2)

Associados a 2=3= -2

; escalonando chega-

se a:

ou seja x = y -z ; y = y ; z = z . Na forma vetorial ( y-z, y, z), que

pode ser escrito assim: y( 1, 1, 0) + z(-1, 0, 1). Dessa forma, os autovetores associados a 2=3= -2 são combinações lineares dos vetores w = ( 1, 1, 0) e u = (-1, 0, 1).

Assim, existem 3 autovetores linearmente independentes. Resta saber se geram o R3. A matriz formada pelos autovetores é :

cujo determinante é 2, o que significa que o sistema linear formado por

essa matriz para qualquer vetor b em R3 é determinado, assim, os vetores geram R3.

Logo, formam uma base para o R3.

A base é : { (1, 1, 2), ( 1, 1, 0) , (-1, 0, 1)}

Para A ser diagonalizável a inversa de p (p-1) deve existir. Como seu determinante é diferente de zero a inversa existe e A é diagonalizável ou seja:

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Bibliografia Recomendada

1. SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. 2. BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003.3. BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004.1. LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA,

20046. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Aplicações. Editora: LTC, Rio de Janeiro, 1999. 7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 2000. 8.ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981.

Recomendo que vocês exercitem seus conhecimentos na lista de exercícios referente ao “Ponto 49”.

Um forte abraço e até o nosso próximo encontro, onde iniciaremos os estudos de temas relacionados à econometria.

Serginho

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