1939 d (2)

Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 1

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

I – Introdução:

Definição: Função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto domínio, um único elemento de um conjunto contra-domínio.

Exemplos:- f (x) = |x| : No conjunto dos números inteiros Z, a função f associa cada inteiro

x a um único módulo |x| .

- f (x) = 2x2 + 1 : A função f associa a cada real x um único valor 2x2 + 1.

Notação e terminologia:

1. A função f de domínio D e contra-domínio E denota-se f: D E

2. Se a função f associa x a y, y chama-se imagem de x e x a pré-imagem de y. Denota-se f: x y ou, simplesmente, f (x) = y.

3. O conjunto das imagens chama-se Conjunto Imagem. Denota-se Im(f).

4. Função vetorial: domínio e contra-domínio são espaços vetoriais.

Exemplo: A função f (x, y) = (2x, x – y, x + 2y) associa elementos de R2 aos de R3.

Dessa forma, as funções ou aplicações onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais são chamados de funções vetoriais ou transformações vetoriais.

Assim, T: V W representará uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W.

Como T é uma função, cada V tem um só vetor imagem W, tal que T .

Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : VW é chamada linear de V em W se:

a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(u) = T(u) para u, v V, u e v são vetores (elementos de um espaço vetorial); e R, um escalar qualquer


A transformação linear T é uma função vetorial tal que, para todo u, v e , observa-se as duas condições citadas anteriormente.

T é chamado de operador linear quando V e W tem a mesma dimensão.

Obs:. Usaremos T.L. para nos referimos a uma transformações linear e, não colocaremos a “seta” em e .

Interpretação geométrica: Uma transformação linear T transforma uma matriz diagonal em uma matriz diagonal. Além disso, uma transformação linear T mantém a proporcionalidade.

- u, v: vetores (elementos de um espaço vetorial);- Como vetores, u e v podem ter coordenadas;- T(u) e T(v) também são vetores e também têm coordenadas;- Domínio e contra-domínio são implicitamente dados na definição da imagem

genérica

Exemplo:

F(x,y) = (x + 1, x + y) é uma transformação linear? Não: Seja x = (0,1) e y = (1,0): x + y = (0,1) + (1,0) = (1,1). Se F fosse uma transformação linear, teríamos de ter F(0,1) + F(1,0) = F(1,1). Mas F(0,1) = (1,1) , F(1,0) = (2, 1) e F(1,1) = (2,2) F(0,1) + F(1,0) = (3,2) (2,2) = F(1,1)

Exemplo: Seja a transformação T: 2 2 definida por T (x, y) = (x + y, y).Fazendo = (1, 2) e = (3, 1), teremos:

T = (3, 2); T =(4,1) e T T (4, 3) = (7, 3)

y

x0

3

2

1

4321

y

x0

1

2

3

3 4 7

T


Exemplo:

a) T: R R b) T: R3 R T(x) = (x + 2) T(x,y,z) = (x + y + z)

Exemplo.:1) A transformação identidade I: V V tal que I é linear, pois:i) ii)

2) A transformação nula T: V W, f (v) = 0 é linear, poisi)ii)

3 ) Seja a transformação T: 2 2 : T (x, y) = (x, 2y). Sejam = (x1, y1) e = (x2, y2).

i)

ii)

Se = (1, 2) e = (4, 1), teremos:T = (1, 4), T = (4, 2) e T = T (5, 3) = (5, 6) = T + TT = T (2, 4) = (2, 8) = 2.(1, 4) = 2.T

Observação:

Para reconhecer uma transformação linear, basta ver se cada coordenada da imagem gerada é uma expressão linear (combinação linear das variáveis livres).

Para provar que uma transformação é linear, é necessário verificar as condições genericamente (não se pode provar substituindo números nas expressões).

Já para provar que uma transformação não é linear, basta apresentar um contra-exemplo (um exemplo numérico para o qual não vale uma ou as duas propriedades).

WV

OT


Propriedades:

1ª) Se T : V W é uma T.L. então T , ou seja, a imagem do vetor V é o vetor W.Esta propriedade decorre da condição ( ii ) da definição para = 0. Ou seja:( ii )

2ª) Se T: V W é uma T.L. e B = é uma base de V, teremos:T.(a1 +... + an ) = a1. T( )+... +an.T.( ) , para a1,..., an .Esta propriedade decorre da definição de T.L., ou seja:T.(a1 + a2 +... +an ) = T(a1 )+ T.(a2 ) +... +T.(an ) = a1.T( ) + a2T( )+... + an.T.( ).

Como B = { } é uma base para V, o conjunto{ T( ),...,T( ) } é uma base para a imagem da transformação.

Exemplo:

1) Seja a T.L. T: 2 3 tal que T.(1, 1) = (2, -1, 1) e T(0, 1) = (0, 0, 1).Determinar a Lei de Transformação (x, y).B = { (1, 1), (0, 1) } é base do 2 pois a1(1, 1) +a2(0, 1) = (0, 0)

a1 = a2 = 0, ou seja, = (1, 1) e = (0, 1) são L.I. Logo, todo vetor v 2 pode ser escrito como combinação linear de e .

(x, y) = a1.(1, 1) +a2.(0, 1) Assim: (x, y) = x.(1, 1) +(y – x).(0, 1) e, T.(x, y) = x.T.(1, 1) + (y – x).T.(0, 1) = x.(2, -1, 1) + (y – x). (0, 0, 1)T.(x, y) = (2x, -x, y)

II - Núcleo e Imagem de uma Transformação.

Núcleo : Seja a transformação linear T: VW, núcleo é o conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W:

N(T) ou Ker (T) = {v V/ T(v) = 0}

OBS. O núcleo de uma transformação T: VW é um subespaço de V.


O núcleo, ou Kernel, de T é o subconjunto de V definido por:

Ker (T) = N (T) = { V ; T ( ) = }

Imagem: Chama-se imagem de uma transformação T: VW ao conjunto de vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v V.

Im(T) = {w W / T(v) = w para algum v V}.

A imagem de T é o subconjunto de W definido por Im (T) = { W; T( ) = , para algum V }

Exemplo:1. Dada a transformação T indique N(T) e Im(T).T:R2R2

(x, y) (x + y, x - y)

Exemplo:Seja a transformação linear T: 2 2 definida por T(x, y) = (x +2y, 2x +4y). Determine o núcleo e a imagem da T.L.

Núcleo: Devemos ter T.( ) = . Logo, (x +2y, 2x +4y) = (0, 0) N (T) = { (-2y, y); y }; dim N (T) = 1 e, uma base para o núcleo pode ser B = { (-2, 1) }.

Imagem: T ( )= . Seja = (a, b), temos: (x +2y, 2x +4y) = (a, b) x + 2y = a (-2) x +2y = a 2x +4y = b 0 + 0 = -2a +b b = 2a

WVT

Im T

N ( T)


Logo, Im (T) = { (a, 2a); a } = {a.(1, 2); a }dim Im (T) = 1 e uma base { (1, 2) }.

Exemplo:

Seja T: 3 3; T (x, y, z) = (x + 2y –z, y + 2z, x +3y +z).a) Determinar o núcleo de T, a dimensão do núcleo e uma de suas bases;b) Determinar a imagem de T, a dimensão e uma de suas bases.

a) N (T) = ? T ( ) = x +2y –z = 0 (-1) x + 2y –z = 0 y +2z = 0 y + 2z = 0 (-1) x +3y +z = 0 0 + y + 2z = 0

y = -2z x – 4z – z = 0 x = 5zN (T) = { (5z, -2z, z) ; z } = { z (5, -2, 1); z } Dim N = 1 ; Base = { (5, -2, 1) }

b) Im (T) = ? (a, b, c) Im (T) se existe (x, y, z) 3 tal que: (x +2y –z, y +2z, x +3y +z) = (a, b, c)

ou x + 2y –z = a (-1) x + 2y –z = a x + 2y –z = a y + 2z = b y + 2z = b (-1) y + 2z = b x + 3y + z = c y + 2z = -a + c 0 = -b –a + c

ou c = a + b Im (T) = { (a, b, a +b) : a, b } = { (a, 0, a) + (0, b, b) ; a, b } = { a (1, 0, 1) + b (0, 1, 1) ; a, b }. Fazenso a = b = 1, temos Base = { (1, 0, 1), (0, 1, 1) } e dim Im (T) =2.

Exemplo:

Seja T : 3 3 uma T.L. e B + { = (0, 1, 0), =(1, 0, 1), = (1, 1, 0) } uma base do 3. Sabendo que T ( ) = (1, -2), T ( ) = (3, 1) e T ( ) = ( 0, 2), determinar:a) A lei T. (x, y, z)b) O Ker Tc) A Im T

a) Como B é uma base de 3, temos:(x, y, z) = a.(0, 1, 0) + b.(1, 0, 1) + c. (1, 1, 0) b + c = x a + c = y Temos: b = z; c = x – z e a = -x + y +z b = z


Então:

(x, y, z) = (-x + y + z).(0, 1, 0) + z (1, 0, 1) + (x – z ). (1, 1, 0)

Aplicando T, temos:

T (x, y, z) = ( -x + y + z) T (0, 1, 0) + z T (1, 0, 1) + (x – z) T (1, 1, 0) = (-x + y + z) (1, -2) + z (3, 1) + (x – z) (0, 2) = (-x + y + z, 2x – 2y – 2z) + (3z, z) + (0, 2x – 2z) = (-x + y + 4z, 4x – 2y –3z )

b) Núcleo : T (v) = (-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z) = (0, 0)

-x + y + 4z = 0 (2) -x + y + 4z = 0

4x – 2y – 3z = 0 2x + 0 + 5z = 0 x =

+ y + 4z = 0 5z + 2y + 8z = 0

N (T) = { z } = { z ; z }

Base = { ( }

c) Imagem : T ( ) = (-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z ) = (a, b)

-x + y + 4z = a 4x – 2y – 3z = b

III - Operadores inversíveis

Quando o operador linear T admite a inversa T-1, diz-se que T é inversível.

Exemplos . 1. Seja o operador linear em R2 definido por:T(x,y) = (4x - 3y, -2x + 2y)


a) mostrar que T é inversível;b) Encontrar uma regra para T-1 como a que define T.

2. Seja o operador linear T: R2 R2, T(x,y) = (x, -y)a) Demonstrar se T é inversível;b) Determinar o operador inversível;c) Fazer a verificação com os vetores v1 = (3, 2) e v2 = (5, -1).

III - Matriz de uma transformação linear

1. Uma matriz A(m x n) determina uma transformação linear TA :Rn Rm, onde TA(v) = Av.

Seja a matriz: A

1 2

2 3

0 4

.

Essa matriz determina a transformação TA :R2 R3 onde, v Av ou TA (v) = Av que é linear. Efetuando Av, onde v = (x,y) R2 é um vetor coluna 2 x 1.

e portanto, TA é definida por:

TA (x,y) = (x + 2y, -2x+3y,4y)

2. É válido para seu inverso, isto é, um a transformação linear TA :Rn Rm sempre pode ser representada por uma matriz m x n.

3. Para que possamos dar uma interpretação geométrica do significado de uma transformação linear, consideremos uma transformação linear no plano. Seja o operador linear T :R2 R2 definido por:T(x,y) = (-3x + y, 2x + 3y) e os vetores u = (-1,1) e v = (0,1) e suas transformações T(u) = (4,1) e T(v) = (1,3)u+v é diagonal do paralelogramo determinada por u e v, sua imagem T(u + v) representa a diagonal do paralelogramo determinado por T(u) e T(v), isto é, T(u + v) = T(u) + T(v). T preserva a adição de vetores.

Propriedade: Uma transformação linear T:V W fica completamente definida quando se

conhece uma base de V e as imagens dos vetores que formam essa base de V.


Demonstração:. Seja = {v1, v2} uma base qualquer do R2. Todo o vetor v = (x, y) base canônica de V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores desta base (), ou seja,

V = (x, y) = a(v1) + b(v2), onde “a” e “b” são as coordenadas de v na base

Aplicando-se a T. L. sobre v, segue que:T(v) = T(av1) + T(bv2)T(x, y) = aT(v1) + bT(v2)T(x, y) = aw1 + bw2

Ex. Determine a T. L. tal que T(1, -1) = (3, 2, -2) e T(-1,2) = (1, -1, 3)

IV – Transformações Lineares do R2 para o R2

a) Reflexão: *Em torno do eixo y *Em torno do eixo x T:R2 R2 T:R2 R2

u T(u) u T(u)(x,y) (-x, y) (x,y) (x, -y)x

y

x

y

1 0

0 1

x

y

x

y

1 0

0 1

* Em torno da origem: *Em torno da reta y = xT:R2 R2 T:R2 R2

u T(u) u T(u)

(x,y) (-x, -y) (x,y) (y, x)x

y

x

y

1 0

0 1

x

y

x

y

0 1

1 0

*Em torno da reta y = -xT:R2 R2

u T(u)(x,y) (-y, -x) x

y

x

y

0 1

1 0

b) Dilatações e contrações.T:R2 R2

u T (u) = u(x,y) (x, y) R


x

y

x

y

0

0

obs.Se > 1, T dilata o vetor;Se < 1, T contrai o vetor;Se = 1, T é a identidade;Se < 0, T troca o sentido do vetor;Se = 0, T é uma projeção ortogonal sobre o eixo.

*Na direção do eixo x *Na direção do eixo yT:R2 R2 T:R2 R2 > 0

(x,y) (x, y) > 0 (x,y) (x, y)x

y

x

y

0

0 1

x

y

x

y

1 0

0

c) Cisalhamentos*Na direção do eixo x (horizontal) *Na direção do eixo y (vertical)T:R2 R2 T:R2 R2

(x,y) (x + y, y) > 0 (x,y) (x, x + y)x

y

x

y

1

0 1

x

y

x

y

1 0

1d) Rotação (sentido anti-horário): A rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ângulo , determina uma transformação linear T: R2 R2, cuja matriz canônica é:

T:R2 R2

T(x,y) = (x cos - y sen , x sen + y cos)

[T]: cos sen

sen cos

x

y matriz de rotação de um ângulo , onde 0 2

V - Matriz de uma transformação linear em base não canônica

Se conhecemos uma base A = {v1, v2, ...,vn} de um espaço vetorial V de dimensão n, podemos escrever qualquer vetor v V como combinação linear desta base, assim:

v = x1v1 + x2v2+ . . . + xnvn

onde os escalares x1, x2,, . . . ,xn serão as coordenadas de v na base , ou seja:.


vA =

Definição: Sejam T: V W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Consideremos T: R2 R3, então A = {v1, v2} e B = {w1, w2, w3} bases de V e W. Um vetor v V, pode ser expresso como:

v = x1v1 + x2v2

ouvA = (x1, x2)

onde x1, x2 são as coordenadas de v na base A

A imagem de v, T(v) será:T(v) = y1w1 + y2w2 + y3w3 (1)

ou

T(v)B = (y1, y2, y3)

Por outro lado:T(v) = T(x1v1 + x2v2), que podemos escrever na forma:

T(v) = x1T(v1) + x2T(v2) (2)

Sendo T(v1) e T(v2) vetores de W, eles são combinação linear de B:T(v1) = a11w1 + a21w2 + a31w3 (3)T(v2) = a12w1 + a22w2 + a32w3 (4)

Substituindo estes vetores em (2) vem:

T(v) = x1(a11w1 + a21w2 + a31w3) + x2(a12w1 + a22w2 + a32w3)

ou

T(v) = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2 + (a31x1 + a32x2)w3

Comparando esta igualdade com (1) conclui-se que:

y1= a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

y3 =a31x1 + a32x2


ou na forma matricial:

ou simbolicamente:[T(v)]B = [v]A sendo denominada matriz de T em relação as bases A e B

Observação: As colunas da matriz são as componentes das imagens dos vetores da base A em relação a base B, conforme (3) e (4). Ou seja [ [T(v1)B] [T(v2)B] ]

VII – MATRIZ MUDANÇA DE BASE

Queremos determinar a matriz , e para tanto tomamos o seguinte;Sendo A e B bases quaisquer do R2 e C={(1, 0), (0, 1) a base canônica do R2, vem que:

= [v1 v2] = A e

= [w1 w2] = B

Compondo as transformações, temos: = = = = B-1A

Também podemos determinar a matriz mudança de base ou mudança de coordenadas, obtendo os vetores na base nova, que formarão as colunas de I, ou seja:

= [(v1)B (v2)B (v3)B]

ExemploSejam as bases A = {v1, v2} onde v1 = (2, -1); v2 = (-1, 1)} e B = {w1, w2} onde w1 = (1,0), w2 = (2, 1)} bases do R2. Determinar a matriz de mudança de base de A para B. Calcular [v]B, sendo v=(4,3)

Aplicações da matriz de rotação.

T =

Transformando a base canônica do R2, temos:


T(1, 0) = (cos , sen)T(0, 1) = (-sen , cos )

Portanto a base P = { (cos , sen), (-sen , cos )} é obtida da base canônica C = {(1,0), (0,1)} pela rotação de um ângulo . Assim a base C determina o sistema de coordenadas retangulares x0y, a base P determina também um sistema de coordenadas retangulares x´0y´ que provém do sistema x0y por meio da rotação de um ângulo . Consequentemente, cada ponto R ou cada vetor v do plano possui coordenadas (x, y) em relação ao sistema x0y e (x´, y´) em relação ao sistema x´0y´.

Então, a matriz de rotação é uma matriz de mudança de base de P para C, isto é ,

Observação: Toda a matriz A que representa uma rotação tem detA = 1

Por exemplo, para uma rotação de 45º no sistema x0y, o vetor v = (4, 2) na base canônica será [v]P= (x´, y´) = (3 ) na base P.

Bibliografia Recomendada

1. SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. 2. BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003.3. BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004.1. LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA,

20046. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Aplicações. Editora: LTC, Rio de Janeiro, 1999. 7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 2000. 8.ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981.

Recomendo que vocês exercitem seus conhecimentos na lista de exercícios referente ao “Ponto 49”.

Um forte abraço e até o nosso próximo encontro.

Serginho.

1939 d (2)

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