18 series de taylor e de maclaurin
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Série de Taylor e de Maclaurin
Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se
então seus coeficientes são dados pela fórmula
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Série de Taylor
Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )
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Série de Maclaurin
Para o caso especial , a série de Taylor torna-se
e recebe o nome especial de série de Maclaurin
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Exemplo 1
Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se entãoAssim para todo Logo a série de Maclaurin é
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Exemplo 1
Fazendo temos
Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é
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Investigação
Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que
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Polinômio de Taylor de grau n
é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são:
é chamado polinômio de Taylor de grau de em
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Ilustração
Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são
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Teste de Comparação no Limite
Graficamente
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Teorema
Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e
para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo
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Exemplo 3
Encontre a série de Taylor de em
Solução:
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Exemplo 4
Encontre a série de Maclaurin para senx.Solução:
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Exemplo 5
Encontre a série de Maclaurin para cosx.Solução:
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Exemplo 6
Encontre a série de Maclaurin para xcosx.Solução:
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Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em /3.
Solução:
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Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em /3.
Solução:
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Exemplo 7
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Gráfico
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Exemplo 8
Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real.Solução:
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Exemplo 8
(Série Binomial)
Converge se .
Notação radicional:
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Série Binomial
Se é um número real e , então
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Exemplo 9
Encontre a série de Maclaurin para afunção
e seu raio de convergência.
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Solução
Série binomial com . Substituindo por :
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Solução
A série converge para , ou seja, .
Portanto o raio de convergência é
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Tabela
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Exemplo 10
Calcule com erro inferior a 0,001.Solução:
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Exemplo
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