COLGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDO CORREIAEducador - Itamar Santos Nascimento / Disciplina - MATFIN Srie: 3. do Ensino Mdio Turmas: 3M20 - 3M26 (Matutinas); 3M48 - 3M52 (Vespertinas).

PORCENTAGEM

Definio Se x um nmero real, tem-se que representa a frao

A expresso por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O smbolo % uma deturpao da abreviatura Cto (ciento) - usada pelos mercadores italianos do sculo XV nas suas transaes - e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francs, Le Guide de Negotien ( O Guia do Comerciante). Assim, por exemplo, citar 20% isoladamente o mesmo que citar 20/100. Reciprocamente todo nmero real sempre pode ser escrito como porcentagem tome cuidado com as dzimas infinitas peridicas ou no peridicas em relao ao uso de aproximaes nas trocas de smbolos. uma forma de amostragem estatstica, onde temos o total da amostra frente a uma quantidade de eventos. aplicada em grande gama de situaes da qumica, mas principalmente em estequiometria, solues e orgnica. Se tivssemos de colocar o conceito de porcentagem numa equao matemtica, poderamos fazer assim: Onde % o smbolo para porcentagem; parte o evento que se estuda e todo o total da amostra que se estuda. Exemplo 01: Numa sala de 30 pessoas temos 8 pessoas usando camisas verdes, 14 pessoas usando azul e 8 pessoas usando camisetas brancas. Transforme estas informaes em porcentagem. Resposta: Vamos usar o conceito de porcentagem... Porcentagem de Camisetas Verdes => %CV = 8/30 x 100 = 26% aproximadamente Porcentagem de Camisetas Azuis => %CA = 14/30 x 100 = 46% aproximadamente Porcentagem de Camisetas Brancas => %CB = 26% aproximadamente

Variao Percentual muito parecido com a porcentagem, com a diferena de usar o conceito de intervalo amostral. Usado para calcular a porcentagem de intervalo amostral, podemos calcular desta forma: onde % a variao percentual, 1. valor o primeiro valor do intervalo amostral e 2. valor segundo valor do intervalo amostral.

A frmula fica assim expressa: ( )

TAXA PERCENTUAL (i %)

Uma breve vasculhada no mundo virtual da internet nos permite achar diversas definies para a palavra TAXA. Veja abaixo aquela que se aproxima de fato do que usaremos em Matemtica Financeira. Seguem algumas possveis definies como exemplos: Taxa , em geral, uma prestao exigida para um servio, ou a razo de algo. Pode ser: Taxa- Forma de tributo a ser paga para uso de servios pblicos. Taxa (preo)- Regulamentao governamental sobre preos de servios ou mercadorias (fixao de preos). Taxa (razo)- Razo sobre um valor (Exemplo: taxa de juros). Taxa - Sinnimo de txons. Termo em latim referente a um conjunto de txon de uma determinada diviso botnica, animal ou bacteriolgica. Ex. subfamlia Faboideae: Abrus, Acmispon, Acosmium, Adenocarpus, Adenodolichos, Adenolobus,...

Visto posto podemos definir TAXA assim: Taxa a razo sobre um valor. geralmente expresso em porcentagem ou frao unitria. Logo, uma taxa percentual pode ser assim expressa:

guisa de exemplo: Imagine que o Colgio Edvaldo Brando Correia promova uma pesquisa a fim de averiguar trs informaes importantes, so elas: quantidade de alunos homens, mulheres e surdos. Aps pesquisa efetuada constatou-se no alunado:

Resolva as questes abaixo propostas: 1) Calcule a taxa equivalente, mensal, de 41,3% a.a. 2) Encontre a taxa equivalente, no perodo de 43 dias, taxa efetiva de 16,58% ao semestre. 3) Determine a taxa equivalente nos perodos de 20, 71, 90 e 180 dias correspondentes taxa efetiva de 3% am. 4) Uma aplicao realizada taxa efetiva de 17,5% ao ano. Encontre a taxa equivalente ao ms e ao perodo de 99 dias. 5) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalizao mensal. 6) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalizao bimestral. 7) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalizao mensal? 8) Que taxa efetiva bimestral corresponde taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalizao mensal? 9) Um financiamento realizado pelo prazo de 115 dias, a uma taxa de juros de 26% aa + a variao da TR. Projetando-se, que a TR no perodo apresentar uma variao constante de 1,74% ao ms, determine a taxa composta da operao. 10) Uma empresa realiza uma operao de emprstimo pelo prazo de 129 dias, taxa de 22% aa + TR. Considerando que a TR variou 6,05% no perodo, calcule a taxa composta desta operao. 11) Um banco oferece recursos taxa de 2,31% am mais variao da inflao. Supondo um financiamento por 187 dias e uma variao da inflao de 6,56% no perodo, determine a taxa conjunta desta operao. 12) Uma empresa realizou um emprstimo pelo prazo de 122 dias, a uma taxa de juros mais TR, tendo um custo efetivo de 19,4%. Sabendo-se que a TR variou 13,8% no perodo, calcule a taxa real da operao. 13) Um cliente obteve o rendimento de 24,3% ao realizar uma aplicao em CDB, pelo prazo de 235 dias. Considerando a inflao no perodo de 17,2%, determine a taxa real mensal desta aplicao.

14) Certa categoria profissional obteve um reajuste salarial de 19,3%. Considerando que a inflao, no mesmo perodo, foi de 21,4%, calcule qual foi a taxa real. Obs.: interprete o resultado. 15) Um cliente obteve, em uma aplicao financeira, um rendimento de 17,4%. Calcule a taxa real da operao considerando uma inflao de 12,8%. 16) Para a captao em CDB, certo banco est pagando 24,3% bruto ao ano, em operaes com prazo de 33 dias corridos, com 25 dias teis. Determine a taxa over mensal da operao. 17) Um CDB pr-fixado paga 28% ao ano para aplicaes em 31 dias corridos, com 21 dias teis. Calcule a taxa over mensal correspondente. 18) Determine a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa over de 2,01% ao ms, para uma operao em 36 dias corridos, com 23 dias teis. 19) Determine a taxa anual de um CDB pr-fixado com base em uma taxa over de 4,8% ao ms. (ndc=40 e ndu=28) 20) A inflao nos ltimos 3 meses foi de 5,4%, 4,8% e 3,9% ao ms, respectivamente, determine a taxa acumulada no perodo e a taxa mdia mensal efetiva.

GABARITOTabela 1 - Gabarito das questes acima propostas

1) 2,9228602% am 11) 22,8618186% ap 2) 3,7327152% ap 12) 4,9209139% ap 3) 1,990131% ap 9,2727% at 4) 1,3529722% am 5) 12,6162419% as 16) 2,39376% am 6) 4,5335831% at 17) 3,038307% am 7) 6,1677812% aa 18) 16,6547344% aa 8) 6,09% ab 19) 49,6124033% aa 9) 15,0220554% ap 20) 14,7671088% ap 10) 13,8823129% ap 4,6981836% am 7,2460812% ap 13) 6,0580205% ap 19,4052297% as 14) - 1,72981878% ap (prejuzo) 4,5346846% ap 15) 4,0780142% ap

REGRA DE TRS SIMPLES

Definio: como o nome j sugere a regra de trs simples incorpora trs informaes ou elementos bsicos conhecidos e um desconhecido. De modo simples pode-se dizer que na Regra de Trs, trs termos so conhecidos e um desconhecido. Ento precisamos calcul-lo. Usa-se a proporo para efetuar tal procedimento de clculo. H dois tipos de anlise quando do clculo mediante a Regra de Trs, a saber: Caso1: Grandezas Diretamente Proporcionais

Exemplo: Um automvel em: 1 hora percorre 60 km. 2 horas percorre 120 km. 3 horas percorre 180 km. fcil perceber que podemos estabelecer as seguintes igualdades:

Assim, tempo e distncia so grandezas diretamente proporcionais. Portanto, grandezas diretamente proporcionais so aquelas que quando aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razo da primeira.

Caso 2: Grandezas Inversamente Proporcionais Um automvel faz um percurso em: 1 hora com velocidade de 90 km / h. 2 horas com velocidade de 45 km / h. 3 horas com velocidade de 30 km / h.

Visto posto, tempo e velocidade so grandezas inversamente proporcionais. Portanto, duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razo da primeira.

Quaisquer problemas que envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos atravs de um mtodo prtico, chamado Regra de Trs Simples.

Observe estes dois seguintes problemas resolvidos; 1) Comprei 5m de corrente por R$ 20,00. Quanto pagarei por 12m? Soluo:

Metros 5 12

Reais 20 x

Note que aumentando a quantidade de metros, o valor tambm aumenta. As flechas de mesmo sentido indicam grandezas diretamente proporcionais.

Respopsta: R$ 48,00.

2) Com 8 pedreiros podemos construir um, muro em 3 dias. Quantos dias levaro 6 pedreiros para fazer o mesmo trabalho? Pedreiros 8 6 Dias 3 x

Note que diminuindo a quantidade de pedreiros, o nmero de dias aumenta. As flechas de sentidos contrrios indicam grandezas inversamente proporcionais. Assim devemos inverter a grandeza pedreiros.

Resposta: 4 dias.

AGORA HORA DE PR EM PRTICA O QUE VOC APRENDEU! MOS A OBRA!

1. Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levar para se consumir? a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min d) 3h 20 min e) 3h 18min

2. (SESD-94) 30 operrios deveriam fazer um servio em 40 dias. 13 dias aps o incio das obras, 15 operrios deixaram o servio. Em quantos dias ficar pronto o restante da obra? a) 53 b) 54 c) 56 d) 58

3. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distncia em trs horas e meia. Nas mesmas condies e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastar para percorrer a mesma distncia? a) 2h30min18s e) 2h29min28s b) 2h37min8s c) 2h37min30s d) 2h30min30s

4. (UFMG) Um relgio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasar: a) 24 min b) 30 min c) 32 min d) 36 min e) 50 min

5. Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg farinha. Quantos quilogramas de trigo so necessrios para fabricar 28Kg de farinha?

6. Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levaro 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 7. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito velocidade mdia de 210Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito velocidade mdia de 140Km/h?

8. Uma torneira despeja 30 litros de gua a cada 15 minutos. Quanto tempo levar para encher um reservatrio de 4m de volume?

9. Um, relgio adianta 40 segundos em cada 6 dias. Quantos minutos adiantar em 54 dias?

10. Com 4 latas de tinta pintei 280m de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?

11. Um automvel percorreu uma distncia em 2 horas, velocidade mdia de 90Km por hora. Se a velocidade medi fosse de 45Km por hora, em quanto tempo o automvel faria a mesma distncia?

12. Para se transportar cimento para a construo de um edifcio, foram necessrios 15 caminhes de 2m cada um. Quantos caminhes de 3m seriam necessrios para se faze o mesmo servio?

1 Questo

2

3

4

5 40Kg

6 96h

7 3 min

8 2000 min

9 6 min

10 Questo 770m

11

12 10 caminhes

4

REGRA DE TRS COMPOSTAA regra de trs composta um processo prtico para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplo: Um fbrica, em 3 dias de trabalho, produz 360m de tecidos, fazendo funcionar 8 mquinas. Em quantos dias poder produzir 1 080m de tecidos, fazendo funcionar 6 mquinas? Soluo: A Dias 3 x B Tecidos 360 1 080 C Mquinas 8 6

Note que comparando a grandeza que tem a incgnita com cada uma das outras percebemos que: A e B so grandezas diretamente proporcionais. A e C so grandezas inversamente proporcionais.

Assim devemos: 1.) Inverter os valores correspondentes da ltima grandeza:

2.) Igualar a razo que contm o termo

com o produto das outras razes:

Resposta: 12 dias. VAMOS PRATICAR O QUE ORA FOI APRENDIDO? 1.) Dez mquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 mquinas que tm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido?

2.) Numa fbrica, 12 operrios, trabalhando 8 horas por dia, conseguem fazer 864 caixas de madeira. Quantas caixas sero feitas por 15 operrios que trabalham 10 horas por dia? 3.) Na merenda escolar, 40 crianas consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite devero ser consumidos por 45 crianas em 20 dias? 4.) A despesa de alimentao de 12 pessoas, durante 8 dias, de R$ 160,00. Qual ser o custo da alimentao de 15 pessoas durante 5 dias? 5.) Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Para fazer o mesmo trabalho, quantos dias levaro 12 homens, trabalhando 5 horas por dia? 6.) Um aluno resolve 300 exerccios em 10 dias, estudando 4 horas por dia. Quantos exerccios ele resolver em 12 dias, estudando 8 horas por dia? 7.) Uma CSA construda, em 8 dias, por 9 pedreiros que trabalham 5 horas por dia. Em quantos dias 12 pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, poderiam fazer a mesma casa? 8.) Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2 700 litros de gua. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas?

Questes

1 10 dias

2 1350 caixas

3 234 litros

4 R$ 125,00

5 18 dias

6 720 exerccios

7

8 7 500 litros

5 dias

MATEMTICA FINANCEIRA

CONCEITOS BSICOS A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa. CAPITAL O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em ingls usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). JUROS Juros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

O juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro

lado, quem for capaz de esperar at possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste nterim estiver disposta a emprestar esta quantia a algum, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinncia na proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros.

QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?

A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

TAXA DE JUROS

A taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em frmula temos:

Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = nmero de perodos

Exemplo: Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei sero: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nmero de perodos )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicao de R$70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o perodo n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Da ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, j que um ano comercial possui 360 dias.

Exerccios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m. 4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m. Ento j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o perodo n em relao mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030; Da, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples?

Objetivo: M = 2.P

Dados: i = 150/100 = 1,5 Frmula: M = P (1 + i . n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros do perodo seguinte. Chamamos de capitalizao o momento em que os juros so incorporados ao principal. Aps trs meses de capitalizao, temos: 1 ms: M =P.(1 + i) 2 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a frmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao ms para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do perodo:

J=M-P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 3,5% ao ms.

Resoluo: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? Usando a frmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41. Portanto o montante R$9.066,41 Relao entre juros e progresses No regime de juros simples: M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. comeando por P e razo J = P.i.n

No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. comeando por P e razo ( 1 + i ) n Portanto:

num regime de capitalizao a juros simples o saldo cresce em progresso aritmtica num regime de capitalizao a juros compostos o saldo cresce em progresso geomtrica

TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas i1 e i2 so equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo perodo de tempo, atravs de diferentes sistemas de capitalizao, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . O montante M ao final do perodo de 1 ano ser igual a M = P(1 + i a ) Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . O montante M ao final do perodo de 12 meses ser igual a M = P(1 + im)12 .

Pela definio de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M.

Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 Da conclumos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta frmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida. Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, ento teremos: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,082 = 1,1664 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao ms? 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12 = 1,0614 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS PROPORCIONAIS

So taxas que guardam entre si as mesmas propores que os prazos: 8% ao ano ~ 4% ao semestre, pois 8/4 = 12/6 12% ao ano ~ 1% ao ms, pois 12/1 = 12/1

TAXAS EFETIVAS (Reais)

A taxa Efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos: - 140% ao ms com capitalizao mensal. - 250% ao semestre com capitalizao semestral. - 1250% ao ano com capitalizao anual. Taxa Real: a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao.

TAXAS NOMINAIS A taxa nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalizao mensal. - 1150% ao ano com capitalizao mensal. - 300% ao ano com capitalizao trimestral. Exemplo: Uma taxa nominal de 15 % a.a., capitalizao mensal, ter 16.08 % a.a. como taxa efetiva: Realmente, usamos a taxa proporcional : 15% a.a. proporcional a 1,25% a.m., pois 15/12 = 1,25

Agora, usando 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1+ 0,0125)12 = 1,1608 ==> ia = 0,1608 a.a = 16,08% a.a

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 so equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo perodo de tempo, atravs de diferentes sistemas de capitalizao, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . O montante M ao final do perodo de 1 ano ser igual a M = P(1 + i a ) Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . O montante M ao final do perodo de 12 meses ser igual a M = P(1 + im)12 .

Pela definio de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M.

Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 Da conclumos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta frmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, ento teremos: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,082 = 1,1664 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao ms? 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12 = 1,0614 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS PROPORCIONAIS

So taxas que guardam entre si as mesmas propores que os prazos: 8% ao ano ~ 4% ao semestre, pois 8/4 = 12/6 12% ao ano ~ 1% ao ms, pois 12/1 = 12/1

TAXAS EFETIVAS (Reais)

A taxa Efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos: - 140% ao ms com capitalizao mensal. - 250% ao semestre com capitalizao semestral. - 1250% ao ano com capitalizao anual. Taxa Real: a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao.

TAXAS NOMINAIS A taxa nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalizao mensal. - 1150% ao ano com capitalizao mensal. - 300% ao ano com capitalizao trimestral. Exemplo: Uma taxa nominal de 15 % a.a., capitalizao mensal, ter 16.08 % a.a. como taxa efetiva: Realmente, usamos a taxa proporcional : 15% a.a. proporcional a 1,25% a.m., pois 15/12 = 1,25 Agora, usando 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1+ 0,0125)12 = 1,1608 ==> ia = 0,1608 a.a = 16,08% a.a FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaes financeiras em um perodo de tempo. O tempo representado na horizontal dividido pelo nmero de perodos relevantes para anlise. As entradas ou recebimentos so representados por setas verticais apontadas para cima e as sadas ou pagamentos so representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o grfico abaixo:

Estes valores no podem ser simplesmente somados ou subtrados (a no ser com juros nulos), pois esto em tempos distintos e R$ 450 no 3 perodo no significam os mesmos R$450 em outros perodos; ele significa menos nos perodos anteriores e mais nos perodos seguintes, Por exemplo, com uma taxa de juros de 2% ao perodo, receber os R$450 no 3 perodo equivalente a receber R$450x1,02 = R$459 no 4 perodo, ou R$459x1,02 = R$468 no 5 perodo ou R$450/1,02 = R$441 no 2 perodo.

Problemas Propostos - Juros Simples

1) Determinar quanto render um capital de R$ 60.000,00 aplicado taxa de 22% ao ano, durante 7 meses. R = 7.700,00 2) Um capital de R$ 150.000,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50 Determinar a taxa anual. R = 4,43% 3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 1,5% ao ms, determinar o valor do capital aplicado. R = 44.973,73 4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicao de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses. R = 31.271,48 5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um emprstimo de R$ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 27% ao semestre. R = 156.500,00 6) Em quanto tempo um capital de R$ 900.000,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um montante de R$ 994.500,00. R = 350 dias 7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/1997 e resgatado em 20/01/1998. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicao foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o nmero de dias efetivo entre as duas datas. R = 16.722,22 8) Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicao no dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operao. R = 4,5% ao ms 9) Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ 600.000,00. R = 281.162,14 10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao ms, produz R$ 18.600,00 de juros. R = 15,5 meses ou 465 dias

11) Obteve-se um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 186.625,00 no final de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operao. R = 46,2% ao ano 12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. R = 25 meses 13) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a do seu valor. R = 2,5% ao ms 14) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicao foi de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao ms, calcular o valor do montante. R = 468.720,00 15) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzir juros de R$ 62.196,60 a uma taxa de 3% ao ms. R = 230 dias 16) Determinar o capital necessrio para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre. R = 420.000,00 17) A aplicao de R$ 356.000,00 gerou um montante de R$ 661.270,00 no final de 20 meses. Calcular a taxa anual. R = 51,45% 18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 5% ao ms e o prazo de 9 meses, calcular o valo dos juros. R = 310.344,83 19) Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, taxa de 2,6% ao ms. R = 537.750,00 20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao ms, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00. R = 508.451,76 21) Um ttulo de renda prefixada foi adquirido por R$ 980.000,00 e resgatado por R$ 1.147.776,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros. R = 2,14 22) Em que prazo uma aplicao de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 610.000,00 a taxa de 2,2% ao ms. R = 10 meses 23) A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de 77.293,33 no final de 186 dias. R = 54,40% R$

Juro Composto CAPITALIZAO COMPOSTA

Quando uma determinada soma de dinheiro est aplicada a juros simples, os juros so sempre calculados sempre sobre o montante inicial. quando uma soma est aplicada a juros compostos, os juros so calculados no apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros j vencidos. Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao a taxa varia exponencialmente em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da divida. A simbologia a mesma j conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o perodo e i, a taxa. A deduo da frmula do montante para um nico pagamento pouco mais complexa que aquela j vista para a capitalizao simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses. Dados: P = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao ms M=? quadro a seguir permite que visualizemos claramente o clculo do montante, ms a ms.

Ms

capital inicio ms (Pt) 1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86

juros cor. ms (Jt) 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 x 0,04 = 46,79

montante final ms (mt) 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65

(t)1 2 3 4 5

O valor do montante no final do quinto ms de R$ 1.216,65. O montante final de cada ms o valor do capital inicial do ms seguinte. Entretanto, essa forma de clculo bastante trabalhosa e

demorada. Vamos deduzir uma frmula que permita um clculo mais fcil e rpido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os clculos ali demonstrados.

M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 .......... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 O valor do montante no final do quinto ms dado pela expresso:M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

Montante

EXERCCIOS:

1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicao de um capital de 100.000,00 `a taxa de 3,75% ao ms? R = 144.504,39 2. Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual deste emprstimo. R = 8% ao ms e 151,817% ao ano. 1. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituio financeira de 12,486%, determinar qual o prazo em que um emprstimo de 20.000,00 ser resgatado por 36.018,23. R = 5 trimestres ou 15 meses. 2. Quanto devo aplicar hoje, taxa de 51,107% ao ano, para ter 1.000.000,00 no final de 19 meses? R = 520.154,96. 3. Uma empresa obtm um emprstimo de 700.000,00 que ser liquidado, de uma s vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse emprstimo dever ser quitado? R = 1.708.984,39 4. Em que prazo uma aplicao de 272.307,03 em letras de cmbio, taxa de 3,25% ao ms, gera um resgate de R$ 500.000,00?

R = 19 meses. 5. Um terreno est sendo oferecido por R$ 450.000,00 vista ou R$ 150.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa mdia para aplicao em ttulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao ms, determinar a melhor opo para um interessado que possua recursos disponveis para compr-lo. R = PRAZO. 6. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? R= 4,162% ao ms. 7. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao ms? R = 11 meses. 8. A aplicao de certo capital, taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros? R = 423.711,30 9. Qual mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms? R = melhor aplicar a juros compostos de 3% a m que render R$982,78 a mais que a 5% de juros simples. 10. No fim de quanto tempo um capital aplicado taxa de 4% ao ms, quadruplica o seu valor: no regime de capitalizao composta; no regime de capitalizao simples. b) 75 meses.

R = a) 35,35 meses

11. Uma loja financia um televisor de R$ 390,00 sem entrada para pagamento em uma nica prestao de R$ 700,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por ela? R = 12,41% a m 12. Fiz uma aplicao em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade ser de 25% ao bimestre. Qual o montante final? R = 823.076,91. 13. Foi oferecido a um aplicador um papel com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal? R = 19,52% a m. 14. Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma taxa de juros de 7,50% ao ms? R = 3.730,80. TAXAS EQUIVALENTES

Determinar as taxas equivalentes:

1. 584,11% ao ano em 60 dias? R: 37,78% 2. 750% ao ano em 63 dias? 3. 0,5% ao ms em 1 ano? 4. 17,56% ao ms em 90 dias? 5. 28,55% ao ms em 1 dia? 6. 1 % ao dia em 1 ms? R: 45,43% R: 6,17% R: 62,47% R: 0,84% R: 34,78%

7. 67% ao bimestre em 15 dias? R: 13,68% 8. 0,1% ao dia em 1 ano? 9. 15% a quinzena em 1 ms? R: 43,31% R: 32,25%.

Valor Atual e Valor Futuro

Presente, que significa o valor necessrio na data 0 para que, considerando os juros ocorridos, represente o mesmo Capital que todas as entradas e sadas do Fluxo completo, Analogamente, VF o Valor Futuro, que ser igual ao valor que terei no final do fluxo, aps juros, entradas e sadas. Na frmula M = P . (1 + i)n , o principal P tambm conhecido como Valor Presente (PV = presentvalue) e o montante M tambm conhecido como Valor Futuro (FV =future value). Ento essa frmula pode ser escrita como FV = PV (1 + i) n,ou simplesmente: F = P (1 + i) n Isolando PV na frmula temos PV = FV / (1+i)n,ou simplesmente: P = F / (1+i)n Na HP-12C, o valor presente representado pela tecla PV. Com esta mesma frmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente, para cada entrada ou sada do fluxo. Exemplo:

Quanto representar, daqui a 12 meses, uma aplicao de R$1.500,00 a 2% ao ms? Soluo: FV = 1500.(1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36 Num fluxo, com vrias entradas e sada, calculamos cada parcela no Presente ou no Futuro e somamos.

Neste exemplo, com 2% ao perodo: VF = -100x1,025- 250x1,024 +150x1,023 + 450x1,022 -350x1,02 + 300 = VP x1,025 VP = -100- 250/1,02 +150/1,022 + 450/1,023 -350/1,024 + 300/1,025 = VF/ 1,025

Fluxos Especiais

Dois tipos de fluxo de caixa aparecem muitas vezes no comrcio financeiro:

Fluxo UNIFORME Um valor A sai (ou entra) todos os perodos de 1 a n. A Relao entre VP e A : P = A/(1+i) +A/(1+i)2 +A/(1+i)3+ A/(1+i)4 +... + A/(1+i)n P = A. [ (1+i)(n-1) + (1+i)(n-2) +... (1+i)2 + (1+i)+ 1] / (1+i)n Entre os colchetes est a Soma (na ordem inversa) de uma P.G com Primeiro termo = 1 e Razo = (1+i) P/A= [ (1+i)n - 1] / [ i.(1+i)n ]

Fluxo GRADIENTE Um valor G no perodo 2; 2G,no perodo 3; 3G,no quarto e assim sucessivamente, at o perodo n A Relao entre VP e G : P = G/(1+i)2 +2G/(1+i)3+3G/(1+i)4+... + (n-1)G/(1+i)n P = G. [ (1+i)(n-2) + 2(1+i)(n-3) + 3(1+i)(n-4)+ ... + (n-1)] / (1+i)n possvel provar que esta soma resulta em: P/G= [ (1+i)n - 1 - n.i ] / [ i2.(1+i)n] Estas relaes (P/A e P/G), bem como outras (F/A, F/G, A/G, G/A,..) so tabeladas e servem para resolver inmeros problemas de fluxo de caixa.

Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno (TIR) de um Fluxo de Caixa a taxa que ANULA o Valor Presente (e Futuro) deste Fluxo. A equao f(x) = 0 resultante de x = (i + i) pode ser resolvida numericamente pelo Mtodo Numrico Iterativo de Newton-Raphson: X = x - f(x)/f(x), com x inicial prximo de 1. Para mais detalhes, ver Zeros de Funes em CAN. Primeira Prova de MAT CC04 Prof. Milton 09/set/2003 1) Uma compra custaria R$ 2000,00 a vista, mas foi paga com R$ 400,00 depois de um ms

(como se fosse uma entrada). A outra parte foi paga com R$ 20,00 no segundo ms, R$ 40,00 no terceiro ms, R$ 60,00 no quarto ms e assim em diante, at quando (conhecida a taxa de juros que era de 3% a.m.)? Quanto restou para pagar no ms seguinte ? Resposta: at o 15 ms + R$ 114,97 no 16 ms. 2) Que depsito agora, permitir uma retirada mensal, perptua de R$ 300,00 , supondo uma

taxa nominal de 16 % a.a. com capitalizao trimestral (pelo saldo mdio) ? Resposta: R$ 22.800,00.

3)

Depois de quanto tempo um capital dobra de valor, se sujeito a juros compostos numa taxa

de 0,1% a.d. ? Resposta: 1ano 10meses 29dias. 4) Uma companhia depositou R$ 30.000 num fundo de reserva no fim de cada ano, desde 1995,

at o ano passado. Como este fundo est pagando uma taxa de 15% a.a., quanto ter no final do prximo ano ? Resposta: R$ 544.611,55. 5) Em 09 de janeiro de 2004, deve-se quitar uma dvida no valor de R$ 4.000,00. Se pagarmos agora, gastaremos quanto? considerando um desconto de a) 2.00 % a.m. por fora ? Resposta: R$ 3.680,00.

b) 2,25 % a.m. composto ? Resposta: R$ 3.659,37. c) 2,50 % a.m. por dentro ? Resposta: R$ 3.636,36.

Sistemas de Amortizao e Emprstimos

Emprstimos

Em termos financeiros, a dvida surge quando uma certa importncia emprestada por um certo prazo de tempo. Quem assume a dvida obriga-se a pag-la da seguinte forma: o valor tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado no acordo inicial. Os emprstimos classificam-se em: Curto e mdio prazos: caracterizam-se por serem saldados at 3 anos. Longo prazo: sofrem um tratamento especial por existir vrias modalidades de restituio do principal e dos juros. Tais emprstimos tm suas condies previamente estipuladas por contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor. Amortizao

Conceito: Ato de pagar as prestaes que foram geradas mediante tomada de emprstimo. Perodo de amortizao: o intervalo de tempo existente entre duas amortizaes sucessivas.

Prazo de amortizao: o intervalo de tempo, durante o qual so pagas as amortizaes. Parcelas de amortizao: corresponde s parcelas de devoluo do principal, ou seja, do capital emprestado Nos sistemas de amortizao os juros sero sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se no houver pagamento de uma parcela, levar a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro. Saldo Devedor o estado da dvida, ou seja, o dbito, em um determinado instante de tempo.