Resumo Teórico

VETORES

Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e

o sentido de uma grandeza física vetorial.

Parece ser bem complicado, mas na realidade é uma coisa bastante simples. Para

facilitar, imagine uma situação em que você está em uma rua movimentada de São

Paulo e visualiza um carro muito bonito. Impressionado com a imagem corre para

contar a um colega sobre o tal carro, e no mesmo instante este colega lhe pergunta:

- Uau! Onde você viu este carro?

- No centro de São Paulo.

- Mas o carro ia em que direção?

- Ele ia na mesma direção da Av. Rebouças.

- Mas em que sentido o carro seguia?

- Ele ia pela Rebouças sentido ao centro.

- E qual era a velocidade em que o carro se movia?

- Pô! uma máquina daquelas só podia estar a uns 190 km/h.

Sem perceber você acabou de determinar ao seu colega o VETOR que representa o

carro visto.

Antes de lembrá-los como é que se pode enxergar um vetor em uma história como

esta, precisamos lembrar da definição de um vetor.

O QUE É VETOR

Vetor (do latim vector = condutor), como já dissemos é um instrumentos usado,

principalmente pela física, que reúne "dentro de si" três informações sobre um corpo ou

um móvel.

MÓDULO (intensidade, número real não-numérico)

SENTIDO

DIREÇÃO

Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da

letra, como . O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor,

porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais

matemáticos que representam módulo, | |.

Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples

Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informações necessárias. veja:

Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r,

horizontal;

Sentido: Fica notável que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita,

neste caso;

Módulo: O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é,

graficamente representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nossa

caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u.

OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centímetros, o

módulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o módulo do

vetor possuiria 3 metros, etc.

Agora, possuímos todo o conhecimento necessário para retornar àquela história e

dela tirar todas as informações do vetor que representa o carro visto. Então faça isto

antes de continuar o seu estudo.

As informações do vetor são:

Sentido: Sentido centro de São Paulo.

Direção: A mesma direção da Av. Rebouças.

Módulo: Aproximadamente 190 km/h.

VETORES IGUAIS E VETORES DIFERENTES

Este é outro item muito importante para entendermos, definitivamente, um vetor.

Para que dois vetores sejam iguais eles, necessariamente, precisam possuir módulos,

sentidos e direção iguais. Por exemplo:

Os vetores acima são iguais, pois possuem as três informações, que constitui um vetor,

iguais.

Se tivermos dois vetores que possuem módulos e direções iguais, porém sentidos

diferentes, dizemos que que estes vetores são diferentes e opostos. Por exemplo:

Estes dois vetores são diferentes, pois possuem a mesma direção (horizontal), o mesmo

módulo, porém o sentido contrário e opostos.

CÁLCULOS COM VETORES

Agora que já sabemos tudo o que é importante sobre um vetor, iremos aprender a

trabalhar com eles.

Alguns dos cálculos que iremos analisar necessitará das lembranças que possuímos

sobre trigonometria, se por algum acaso você não se lembrar deles, recomendo que faça

uma pequena revisão com seu livro ou caderno para que depois possamos estar dando

continuidade a este estudo.

ADIÇÃO DE VETORES

Quando executamos uma operação com vetores, chamados o seu resultado de

resultante . Dado dois vetores = A - O e = B - O, a resultante é obtida

graficamente trançando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela ao outro.

Em que é o vetor soma. Como a figura formada é um paralelogramo, este método é

denominado método do paralelogramo. A intensidade do vetor é dado por:

Esta expressão é obtida pela lei dos co-senos para o triângulo OÂC:

E a partir desta equação basta substituir os valores do paralelogramo acima, para se

obter a equação do método do paralelogramo.

Quando temos um caso particular onde os vetores estão em posições ortogonais entre si,

basta aplicar o teorema de Pitágoras.

SUBTRAÇÃO ENTRE DOIS VETORES

Dados dois vetores = A - O e = B - O, o vetor resultante é dado por = - =

(A - O) - (B - O) = A - O - B + O;

= A - B, onde A é a extremidade e B é a origem.

Analiticamente o vetor é dado por:

Módulo:

Direção: da reta AB

Sentido: de B para A

Se tivéssemos efetuado = A - B, o sentido seria de A para B e o módulo seria o

mesmo.

PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR

O produto de um número a por um vetor , resultará em um outro vetor dado por:

Módulo: | | = a ·

Direção: A mesma de ;

Sentido: 1) se a > 0 - o mesmo sentido de

2) se a < 0 - contrário de .

Vetor Oposto

Antes de entrarmos em outra parte importante do estudo de vetor, precisamos

entender o que é um vetor oposto. Denomina-se vetor oposto de um vetor , o vetor

com as seguintes características:

A figura representa o vetor e o seu oposto .

Preste Atenção para dois detalhes:

1. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (a = 0º), o

vetor resultante será:

2. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos (a = 180º),

o vetor resultante será:

DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR

São dados um vetor e um sistema de dois eixos ortogonais x e y:

Projetando ortogonalmente as extremidades do vetor nos eixos x e y, obtendo suas

componentes retangulares e .

Analiticamente temos: o triângulo OP'P é retângulo, portanto

ADIÇÃO DE MAIS DE DOIS VETORES (método do polígono)

Neste método o objetivo é formar um polígonos com os vetores que se deseja

somar, obedecendo ao seguinte critério: a partir de um ponto, previamente escolhido,

coloca-se um vetor eqüipolente a um dos outros vetores dados e assim sucessivamente.

O vetor soma ou resultante será aquele que tem origem na origem do primeiro e

extremidade do último .

Vetor eqüipolente é um vetor que tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo

sentido que o vetor considerado. Exemplo: Determinar o vetor soma dos vetores abaixo.

Resolução: Fixando o ponto O arbitrariamente

Note que:

Quando a extremidade do último vetor coincidir com a origem do primeiro,

isto é, quando o polígono for fechado, o vetor resultante será nulo. (R = 0)

Em qualquer ordem de colocação dos vetores, o vetor Resultante terá o mesmo

módulo.

VETOR SOMA DE MAIS DE DOIS VETORES

Quando o sistema é formado por mais de dois vetores concorrentes e co-planares, a

solução analítica é possível. Para tanto deve-se empregar o método das projeções de

cada vetor em dois eixos perpendiculares. Neste item vamos considerar o ângulo que o

vetor forma com o eixo de referência como sendo um ângulo menor ou igual a 90º. O

eixo de referência será sempre o eixo x. De acordo com esta convenção, observa-se o

ângulo que cada vetor da figura forma com o eixo x.