Cálculo I Profª Cinthia C L Caliari

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Lista de Exercícios – Aplicações de Derivadas

1) Se xxy 23 += e 5/ =dtdx , encontre dtdy / quando 2=x

2) Se 3622 =+ yx e 3/ =dtdy , encontre dtdx / quando 4=y

3) Se 222 yxz += e 2/ =dtdx e 3/ =dtdy , encontre dtdz / quando 5=x e 12=y

4) Ar está sendo bombeado para dentre de um balão esférico e seu volume cresce à taxa

de scm /100 3.Qual a velocidade com que o raio cresce quando o diâmetro for 50cm?

5) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da base 2m e a

altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque à taxa de min/2 3m ,

encontre a taxa pela qual o nível de água estará elevando quando a água estiver a 3 m de

profundidade.

6) O carro A segue em uma estrada (leste-oeste), em direção a oeste a 90 km/h e o carro B

segue em uma estrada (norte-sul), rumo ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo

para a interseção das duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro

quando o carro A está a 60m e o carro B está a 80m da interseção?

7) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. Com que taxa a área

do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 216cm ?

8) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8cm/s e sua largura está

crescendo a uma taxa de 3cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm,

quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo?

9) Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa de

min/3 3m . Quão rápido estará aumentando a altura da água?

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2

10) O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume

está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?

11) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente

sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a

estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.

12) Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 Km de um ponto de observação.

Após 20 s, sua velocidade de subida é de 700m/s e ele está a altura de 12Km. Determine a

velocidade com que ele se distancia do ponto de observação.

13) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a taxa de

1 cm2/min, encontre a taxa segunda a qual o raio decresce quando o diâmetro é 10 cm.

14) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um homem com

2 m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma

trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta da sombra quando ele está a 10 m do

poste?

15) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo

cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é de

10 cm e a área, 100 cm2?

16) Mostre que a função abaixo satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [ ]ba, e

determine todos os números c em ( )ba, tais que 0)(' =cf .

a) 11123)( 2 +−= xxxf ; [ ]4,0

b) 14)( 24 ++= xxxf ; [ ]3,3−

c) xsenxf 2)( = ; [ ]π,0

17) Determine se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio em [ ]ba, e, em

caso afirmativo, ache todos os números c em ( )ba, tais que ))((')()( abcfafbf −=− .

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3

a) 135)( 2 +−= xxxf ; [ ]3,1 b) ( )21

1)(

−=

xxf ; [ ]2,0

c) 3/2)( xxf = ; [ ]8,8− d) x

xxf4

)( += ; [ ]4,1

e) 32)( 23 ++−= xxxxf ; [ ]1,1− f) 14)( −+= xxf ; [ ]5,1

18) Estude as funções abaixo e trace seus gráficos:

a) 3

2 1)(

xx

xf−

= b) x

xxf

1)(

2 −=

c) ( ) 32

4)( −= xxf d) 22

)(x

exf −=

e) x

xxf

−−

=4

62)( f)

4)(

2 −=

xx

xf

g) x

xxf

1)(

3 −= h) 3

232)( xxxf +=

i) xxexf =)( j) xxxf ln)( =

k) )2ln()( 2 xxxf =

19) Seja

=

<≤−=

1,0

10,1

1)(

x

xxxf . Explique por que f tem um valor mínimo mas não tem um

valor máximo no intervalo [0, 1].

20) Seja

=

<<=

1,0,21

10,)(

x

xxxf . Explique por que f não tem um valor mínimo nem um valor

máximo no intervalo [0, 1].

21) Encontre os pontos de máximo e mínimo absolutos de f, se houver, nos intervalos

indicados.

a) 10124)( 2 +−= xxxf ; [1, 2] b) 3)2()( −= xxf ; [1, 4]

c) 14

3)(

2 +=

x

xxf ; [-1, 1] d) 291)( xxf −+= ; [-5, 1]

e) 2)( 2 −−= xxxf ; ( )∞∞− , f) 43 34)( xxxf −= ; ( )∞∞− ,

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4

g) 11

)(2

++

=xx

xf ; (-5, -1)

22) Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1m3 de volume. Determine as

dimensões que exigem o mínimo de material. (Desprezar a espessura do material e as

perdas na construção da caixa).

23) Um recipiente cilíndrico sem tampa deve ter 1m3 de capacidade. Se não há perdas na

construção, ache as dimensões que exigem o mínimo de material.

24) Para construir seis jaulas, como na figura, serão usados 300 m de gradeado. Determine

as dimensões que maximizam a área cercada.

25) Uma imobiliária possui 180 apartamentos, alugados por R$ 300,00 mensais. A

imobiliária estima que, para cada R$ 10,00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficarão

vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter renda mensal máxima?

26) Um campo petrolífero tem 8 poços que produzem um total de 160 barris de petróleo por

dia. Para cada poço adicional perfurado, a produção média por poço decresce 10 barris

diários. Quantos poços adicionais devem ser abertos para maximizar a produção?

27) Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que está a

margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do

campo de maior área?

28) Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo.

y

x

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5

29) Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 100m cuja área seja a

maior possível.

30) Um fazendeiro quer cercar um área de 15.000 m2 em um campo retangular e então

dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de

forma a minimizar o custo da cerca?

31) As margens de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as margens laterais têm 4 cm.

Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm2, encontre as

dimensões do pôster com a menor área.

GABARITO

1) 70 2) 5

56± 3)

1346

±

4) scm /25

1π

5) min/98

mπ

6) -134 km/h

7) scm /48 2 8) scm /140 2 9) min/25

3m

π

10) smm /25600π 11) hkm /3,596 12) hkm /560

13) min/40

1cm

π− 14) sm /1 15) min/6,1 cm−

16) a) 2 b) 0 c) 4

3,

4ππ

17) a) 2 b) não é contínua em [ ]2,0

c) não é derivável em ( )8,8− d) 2

e) -0,2 f) 2

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18) a)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

b)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

c)

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

d)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

e)

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

f)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

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7

g)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

h)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

i)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

j)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

k)

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

l)

21) a) Máximo em ( )2,1 e ( )2,2 Mínimo em

1,

23

b) Máximo em ( )8,4 Mínimo em ( )1,1 −

c) Máximo em

553

,1 Mínimo em

−−

553

,1

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8

d) Máximo em ( )17,5− Mínimo em ( )1,3−

e) Máximo não tem Mínimo em

−

49

,21

f) Máximo em ( )1,1 Mínimo não tem

g) Máximo em ( )222,21 −−−− Mínimo não tem

22) Lado = 3 2 e altura = 223

23) Raio da base = altura = 3

1π

24) x = 50m e y = 37,5m 25) R$ 330,00 26) 4 poços

27) 300x600 28) 50 e – 50 29) 25x25

30) 100x150 31) 24 e 36cm