13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Módulo 7Modelos Actuariales
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
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Modelos Actuariales
CURSOMODULO 7 - MODELO AC!UA"#ALE
PROFESOR"AUL A$UMADA $ADDAD
CO"%DA
!' 2 ((0 330)
ra*umada+corp,ida'cl
CLASESLunes0.07 1/30 21/30 *rs
Mircoles 10.07 1/30 21/30 *rsMircoles 17.07 1/30 21/30 *rs
Lunes22.07 1/30 21/30 *rs
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Modelos Actuariales
CONTENIDO
1' #ntroducción
2' Modelos de ore,i,encia
3' euros de &ida
4' "entas
5' %rima 6eta
(' "eser,as
7' Modelos Compuestos
EVALUACIONControl escrito
-
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Modelos Actuariales
BIBLIOGRAFIA• Lie #nsurance Mat*ematics8 $ans U' 9erer
• Actuarial Mat*ematics or Lie Continent "is:8 Da,idC'M' Dic:son8 Mar; "' $ard;8 $o
-
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Modelos de "ieso #ndi,idual
Diplomado #nenier?a Actuarial
Julio 2013
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Modelos de "ieso #ndi,idual
• Distriución de%roailidades de la prdida
del aseurador @B
• &alor Esperado de
• &alor Esperado de 2
• &ariana de
INTRODUCCIÓNuponamos un seuro ue paa un enecio b sólo si el e,entocuierto ocurre dentro del per?odo de un aFo' uponamostamin ue la proailidad anual de ocurrencia del siniestro es q
==−==
=qb X
q X x f
)Pr(
)1()0Pr()(
bqqbq X E =+−= )1(0)(
( )( )qqbqbqb X Var
X E X E X Var
−=−=−=
1)(
)()()(2222
22
qb X E 22 )( =
-
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Modelos de "ieso #ndi,idual
• Distriución de%roailidades de la prdida
del aseurador @B
• &alor Esperado de
• &alor Esperado de 2
• &ariana de
INTRODUCCIÓNuponamos un seuro ue paa un enecio b sólo si el e,entocuierto ocurre dentro del per?odo de un aFo' uponamostamin ue la proailidad anual de ocurrencia del siniestro es q
==−==
=qb X
q X x f
)Pr(
)1()0Pr()(
bqqbq X E =+−= )1(0)(
( )( )qqbqbqb X Var
X E X E X Var −=−=
−=1)(
)()()(2222
22
qb X E 22 )( =
-
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Modelos de ore,i,encia
Diplomado #nenier?a Actuarial
Julio 2013
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Modelos de ore,i,encia
• !emas
– !iempo de ore,ida
– Gunción de ore,i,encia
– Guera de Mortalidad
– Le;es Anal?ticas de Mortalidad
–
El Modelo Discreto – !alas de Mortalidad
– Gracciones de AFos
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!iempo de ore,ida
Consideremos una persona de edad H aFos8 la ue
denotaremos como @HB'
Llamaremos !@HB8 o simplemente !8 a los aFos uetranscurrirIn *asta su allecimiento @sore,i,encia uturaB'
As?8 la edad de allecimiento de la persona serI H !
El tiempo de sore,i,encia ! es una ,ariale aleatoria conunción de distriución de proailidades/
La unción 9@tB representa la proailidad ue una personade edad H muera dentro de los t próHimos aFos8 paracualuier t Ko'
0,)(Pr )( ≥≤= t t T t G
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!iempo de ore,ida
%ara el desarrollo del modelo se asume ue/
• La distriución de proailidades G(t) es conocida
• G(t) es continua ; tiene una unción de densidad de
proailidades g(t)=G’(t)' De este modo/
• Esta ltima eHpresión se puede interpretar como la
proailidad ue la muerte de @HB ocurra en elinter,alo innitesimal entre t ; t+dt
)Pr()( dt t T t dt t g +
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!iempo de ore,ida
Para una persona de edad x
• %roailidad ue allecadentro de los próHimos t aFos/
•
%roailidad ue sore,i,a alos próHimos t aFos/
• %roailidad ue sore,i,a los
próHimos u aFos ; lueoalleca dentro de lossiuientes t aFos/
xt qt Gt T ==≤ )()(Pr
xt pt Gt T =−=> )(1)(Pr
xt u q
uGt uGt uT u
|
)()()(Pr
=
−+=+≤<
-
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!iempo de ore,ida
Para una persona de edad x
que sobre!"!e u a#os
• %roailidad ue allecadentro de los próHimos t aFos/
• %roailidad ue sore,i,a alos próHimos t aFos/
( )
u xt
xu
xt u p p
p
uG
t uGuT t uT
+
+==
−
+−=>+>
)(1
)(1/Pr
u xt
xu
xt u q p
q
uG
uGt uGuT t uT
+==
−−+=>+≤
/
)(1
)()()/(Pr
-
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!iempo de ore,ida
Dos re$a%"ones "&por'an'es
• La proailidad ue una persona de edad x sore,i,a u aFos ; alleca dentro delos próHimos t aFos8 es iual a la proailidad ue sore,i,a u aFos multiplicadapor la proailidad ue8 *aiendo cumplido x(u aFos8 alleca dentro de lospróHimos ' aFos'
u xt xu xt u q pq +=|
• La proailidad ue una persona de edad x sore,i,a u(' aFos8 es iuala la proailidad ue sore,i,a u aFos multiplicada por la proailidadue8 *aiendo cumplido x(u aFos8 sore,i,a ' aFos adicionales'
u xt xu xt u p p p ++ =
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!iempo de ore,ida
Esperana de ,ida de una persona de edad x /
En trminos de 9@tB/
∫ ∞
==0
ο
)()( dt t g t x E e x
( ) ∫ ∫ ∞∞
=−=00
ο
)(1 dt pdt t Ge xt x
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!iempo de ore,ida
• E)e&p$o *Dada la siuiente eHpresión para la proailidad de
sore,i,encia/
xt y xcon x
t x p xt −
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!iempo de ore,ida
B La proailidad ue una persona de 47 aFos
alleca antes de cumplir 50 aFos
cB La proailidad ue una persona de 47 aFossore,i,a 1 aFo
dB La proailidad ue una persona de 47 aFossore,i,a 30 aFos
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!iempo de ore,ida
eB La proailidad ue una persona de 47 aFos
sore,i,a 30 aFos ; muera dentro de los siuientes 5aFos
B La eHpectati,a de ,ida de una persona de 47 aFos
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Gunción de ore,i,encia
En el caso especial de un recin nacido8 donde x = 08 se
tiene ue la edad al allecer coincide con !
A la proailidad ue un recin nacido alcance la edad x sele denomina unción de sore,i,encia ; se denota por s(x)'De este modo/
0)( 0 ≥= xcon p x s x
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Gunción de ore,i,encia
%ara representar el patrón t?pico de mortalidad8 la unción
s(x) se supone continua ; decreciente con la edad x 8 cons(0) = 1 ; s(∞) = 0
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Gunción de ore,i,encia
Las proailidades de allecimiento ; sore,i,encia a
cualuier edad H se pueden eHpresar en trminos de launción de sore,i,encia/
)(
)(
0
0
x s
t x s
p
p p
x
t x xt
+== +
)(
)()(
x s
t x s x sq xt
+−=
xt xt x p p p 00 =+
xt xt pq −=1
-
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Gunción de ore,i,encia
• E)e&p$o +Dada la siuiente unción de sore,i,encia/
Calcule la proailidad ue una persona de 21 aFosmuera despus de cumplir 40 aFos8 pero antes decumplir 57 aFos
( ) 1210121)( 5.0
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Guera de Mortalidad
La uera de mortalidad de @ x B a la edad x+t se dene
como/
En trminos de la uera de mortalidad8 la proailidad ueuna persona de edad x alleca en el inter,alo entre t ;t+dt serI:
La proailidad ue una persona de x aFos sore,i,a t aFos/
( ))(1ln)(1
)(t G
dt
d
t G
t g t x −−=−=+ µ
dt pdt t T t t x xt +=+
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Guera de Mortalidad
%or lo tanto8 la esperana de ,ida de una persona de edad
x:
∫ ∞
+=0
ο
dt pt e t x xt x µ
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Guera de Mortalidad
• E)e&p$o ,Dada la siuiente órmula para la uera de mortalidad/
Calcular 20pH
850105
3
85
1
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Le;es Anal?ticas
Diremos ue G(t) es una distriución de proailidades
anal?tica o NmatemItica si puede ser eHpresada medianteuna órmula simple'
A pesar de ue en la actualidad la tendencia es a deri,ar ladistriución G(t) a partir de oser,aciones8 mediantetcnicas estad?sticas de raduación8 las unciones
anal?ticas siuen siendo de inters teórico ; prIctico'
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Le;es Anal?ticas
Le- de De .o"!re /*0+12%ostula la eHistencia de una edad mIHima P para losseres *umanos ; asume ue T estI uniormementedistriuida entre las edades H ; ω
xt x
t x
p xt −
-
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Le;es Anal?ticas
Le- de Go&per'3 /*4+12
%ostula ue la uera de mortalidad creceeHponencialmente con la edad lo cual reQeKa el procesode en,eKecimiento meKor ue la le; de De Moi,re ;adicionalmente elimina el supuesto de una edadmIHima ω
0>= ++ t con Bc t x
t x µ
( )( )c
Bmconcmc p t x xt
ln1exp =−−=
-
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Le;es Anal?ticas
Le- de .a5e6a& /*4782
Es una eneraliación de la le; de 9ompert' Areauna constante AR0 independiente de la edad alcrecimiento eHponencial de la uera de mortalidad'
0>+=
+
+ t con Bc A
t x
t x µ
( )( )c
Bmconcmc At p t x xt
ln1exp =−−−=
-
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Le;es Anal?ticas
Le- de 9e"bu$$ /*:,:2
uiere ue la uera de mortalidad crece como unapotencia de t 8 en ,e de eHponencialmente'
( ) 00 >>+=+ n yk cont xk n
t x µ
( )[ ]
−+
+−= ++ 11
1exp n
n
xt xt xn
k p
-
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Le;es Anal?ticas
• E)e&p$o 1i la mortalidad siue la le; de Moi,re con PS'Calcular E@!@1(BB ; &ar@!@1(BB
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El Modelo Discreto
Denimos la ,ariale aleatoria K=K(t) como el nmero
entero de aFos ue ,i,irI @HB' La distriución deproailidades de K estI dada por/
%ara k S 081828T'
En este caso8 la eHpresión para la esperana de ,idacorresponde al ,alor esperado de K ; se denota por e x
( ) k x xk q pk T k k K +=+
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El Modelo Discreto
Es posile relacionar la esperana de ,ida del Modelo
Discreto con la del el Modelo Continuo *aciendo alunossupuestos
i representa la racción de aFo durante la cual @ x B estI,i,o en el aFo de su allecimiento8 entonces/
En este caso8 si es una ,ariale aleatoria con unadistriución continua entre 0 ; 18 entonces E@B S
%or lo tanto/
S K T +=
2
1ο += x x ee
)()()( S E K E T E +=
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!alas de Mortalidad
En la prIctica la distriución de proailidades del tiempo
uturo de ,ida de una persona de edad x se puedeconstruir a partir de talas de mortalidad'
Una tala de mortalidad es esencialmente una tala deproailidades de muerte a un aFo @q x B8 para cada edad
entera8 la cual dene totalmente la distriución de V'Comnmente8 una tala de mortalidad presenta doscolumnas con ,alores denominados l x ; d x 8 los cuales
tienen la siuiente denición en trminos de la unción desore,i,encia s(x)/
)(0 x sl l x =1+−= x x x l l d
-
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!alas de Mortalidad
El ,alor de l0 se elie en orma aritraria ; se puede
interpretar como Nel nmero de ,idas iniciales'
El ,alor de cada l x se puede interpretar como Nel nmero
de sore,i,ientes a la edad x '
%or lo tanto8 la interpretación de d x
ser?a el nmero de
muertes entre las edades x ; x+1'
Las proailidades de muerte ; sore,i,encia se puedenotener directamente de las columnas l x ; d x de la tala de
mortalidad/
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!alas de Mortalidad
Para una persona de edad x
• %roailidad ue una personade edad x sore,i,a 1 aFo/
•
%roailidad ue una personade edad x sore,i,a ' aFos /
• %roailidad ue una persona
de edad x
alleca dentro deun aFo /
x
x x
l
l p 1+=
x
t x xt
l
l p +=
x
x
x
x x x
l
d
l
l l q =
−= +1
-
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!iempo de ore,ida
Para una persona de edad x
• %roailidad ue una personade edad x alleca dentro delos siuientes t aFos/
• %roailidad ue una personade edad x sore,i,a lospróHimos u aFos ; lueoalleca dentro de lossiuientes t aFos/
∑−+
=
+ =−=11 t x
x y
y
x x
t x x xt d
l l
l l q
x
t u xu x xt ul
l l q +++ −=|
-
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!alas de Mortalidad
i ien au? se *a denido la tala de mortalidad en
trminos de la unción de sore,i,encia8 en la prIcticaestas talas se constru;en en orma emp?rica utiliandodatos estad?sticos ; tcnicas ue in,olucran estimación8raduación ; eHtrapolación'
Las talas se constru;en para polaciones espec?cas8dierenciadas por actores tales como seHo8 tipo de seuro8eneración8 etc'
i a iualdad de condiciones las talas ,ar?an sólo con laedad8 se les denomina Ntalas areadas'
i las talas toman en cuenta el *ec*o ue personas de lamisma edad pueden tener distinta proailidad de allecer8dependiendo del tiempo transcurrido desde la emisión dela pólia @momento en ue ue e,aluado el estado de saluddel aseuradoB8 se les denomina Ntalas selectas'
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!alas de Mortalidad
• E)e&p$o ;Considere la siuiente tala de mortalidad/
x qx (‰)
30 0.660
31 0.713
32 0.770
33 0.834
34 0.903
35 0.979
Calcular/aB Una columna con el nmero de ,i,os a cada edad@lHB8 asumiendo l30 S 1'000
-
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!alas de Mortalidad
B La proailidad ue una persona de 30 aFos alleca
antes de cumplir 35 aFos
cB La proailidad ue una persona de 33 aFos
sore,i,a 2 aFos
dB La proailidad ue una persona de 30 aFos
sore,i,a 4 aFos ; muera dentro del siuiente aFo
-
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Gracciones de AFo
Es posile otener la distriución de proailidades de T a
partir de la tala de mortalidad por interpolación8 para locual es necesario realiar un supuesto sore la e,oluciónde las proailidades de muerte @uq x B o la uera de
mortalidad @ µ x+uB entre dos edades enteras consecuti,as
@con 0WuW1B
A continuación se presentan dos de los supuestoscomnmente usados'
-
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Gracciones de AFo
L"nea$"dad de $a probab"$"dad de &uer'e
i se asume ue uq x es una unción lineal de u8interpolando entre uS0 ; uS1 se tiene
De lo anterior se puede deducir ue/
x xu quq =
x xu qu p −=1
x
x
u x uq
q
−=+ 1 µ
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Gracciones de AFo
Fuer3a de &or'a$"dad %ons'an'e
i se asume ue la uera de mortalidad µ x+u esconstante sore cada inter,alo unitario con un ,alorue llamaremos µ x+8 se tiene/
x x pln2/1 −=+ µ
( ) u xu
xu pe p x == +− 2/1 µ
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euros de &ida
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
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euros de &ida
• !emas
– !ipos >Isicos de euros de &ida – %aos al Gallecimiento
– !ipos 9enerales de euros
– Górmulas "ecursi,as
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euros de &ida
En un contrato de seuro de ,ida el enecio consiste
en el pao nico de la suma aseurada en un tiempouturo'
En el caso eneral8 tanto el momento del pao como sumonto serIn ,ariales aleatorias ue se puedeneHpresar como unción de la ,ariale aleatoria T @aFosde sore,idaB'
El ,alor presente del pao del enecio se denomina Z ; es calculado en ase a una tasa de inters Ka i8llamada tasa de inters tcnica'
El ,alor esperado del pao E(Z) serI entonces la primanica del contrato'
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de%roailidades
• %rima del euro
• &ariana
,...2,1,01 == + k parav Z K
k x xk
k
q pk K v Z ++
==== )Pr()(Pr 1
x
k
k x xk
k Aq pv Z E ==∑∞
=+
+
0
1)(
( ) 22 )()( x
A Z E Z Var
−=
VIDA ENTERACure toda la ,ida del aseurado ; paa un capital de 1 unidad
al nal del aFo de allecimiento'
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de %roailidades
• %rima del euro
• &ariana
k x xk
k q pk K v Z ++ ==== )Pr()(Pr 1
TE.PORAL%aa un capital de 1 unidad al nal del aFo de allecimiento8 solo
si la muerte ocurre dentro de un plao de n aFos'
+=−=
=+
....,1,0
1,..,1,01
nnk para
nk parav Z
K
1
:
1
0
1)(n x
n
k
k x xk
k Aq pv Z E ==∑−
=+
+
( ) 21:2 )()( n x A Z E Z Var −=
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de %roailidades
•
%rima del euro
• &ariana
DOTAL PUROUn dotal puro de plao n considera el pao del capital sólo si el
aseurado se encuentra ,i,o al nal del aFo n'
( ) 21:
2 )()(n x
A Z E Z Var −=
≥−=
=nk parav
nk para Z
n
1,..,1,00
xn
n
xn
pn K v Z
qn K Z
=≥===
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de %roailidades
•
%rima del euro
• &ariana
DOTALEs una cominación de un seuro temporal ; un dotal puro' De este
modo8 un seuro dotal paa el capital al nal del aFo deallecimiento si la muerte ocurre dentro de n aFos8 de lo contrariopaa el mismo monto al nal del aFo n'
+=−=
=+
....,1,
1,..,1,01
nnk parav
nk parav Z
n
K
n xn xn x A A A Z E
:
1
:
1
:)( =+=
nk para pv Z
nk paraq pv Z
xn
n
k x xk
k
≥==
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de%roailidades
• %rima del euro
• &ariana
TIPOS GENERALES DE SEGUROSConsideremos un seuro de ,ida entera con enecios ,ariales
de aFo en aFo @c B ; con suma aseurada paadera al nal delaFo de allecimiento'
1
1
++= k
k vc Z
k x xk
k
q pv Z ++
== )(Pr 1
∑∞
=+
++=
0
1
1)(k
k x xk
k
k q pvc Z E
( )
( )
2
0
12
1
2
)()( Z E q pvc Z Var k k x xk
k
k −=∑
∞
= +
+
+
-
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Górmulas "ecursi,as
Las órmulas recursi,as relacionan las primas nicas de
dos edades consecuti,as' Estas órmulas son tiles paraescriir aloritmos8 pero tamin tienen interesantesinterpretaciones teóricas'
Considerando un seuro de ,ida entera ue paa unaunidad al nal del aFo de muerte ; recordando ue/
e puede otener la siuiente relación/
11 +−=
x x xk
p p pk
x x x x pvAvq A 1++=
-
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%aos al Momento de Gallecer
$asta au? *emos asumido ue los siniestros se paan
al nal del aFo de allecimiento'
i ien esto tiene la ,entaKa de ue los cIlculos sepueden realiar directamente utiliando talas demortalidad8 no reQeKa la realidad en orma realista'
i8 en el eHtremo8 se considera ue los siniestros sepaan en el instante del allecimiento8 deemos usarnue,amente la ,ariale continua T!
-
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euros de &ida
• &alor %resente de los>enecios
• Distriución de%roailidades
• %rima del euro
• &ariana
VIDA ENTERA CON PAGOS AL .O.ENTO DE FALLECERConsideremos un seuro de ,ida entera con suma aseurada de
1 unidad paadera al momento del allecimiento'
t x xt pt g += µ )(
T v Z =
∫ ∞
+==0
)( dt pv A Z E t x xt t
x µ
( )2
0
2
)( xt x xt t
Adt pv Z Var −= ∫ ∞
+ µ
-
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%aos al Ginal del Mes de Gallecimiento
En la prIctica es comn asumir ue los siniestros se
paan al nal del mes de allecimiento' En este caso laprima nica se denota
uponiendo una distriución uniorme de los
allecimientos en el aFo de muerte8 se puede demostrarue/
Donde i es la tasa tcnica anual ; i(") corresponde a/
)12( x A
x x A
A
)12(
)12( =
( )
−+= 1112 12
1)12(
-
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"entas
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
-
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"entas
• !emas
– !ipos de "entas – %aos Graccionados
– Górmulas "ecursi,as
-
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"entas
Una renta ,italicia consiste en una serie de paos ue
se realian mientras un aseurado de edad inicial H est,i,o'
As?8 la renta puede ser representada como unaanualidad cierta ue se reciirI por un periodo de
tiempo ! @tiempo de sore,idaB ; su ,alor presente esuna ,ariale aleatoria ue se denota X'
-
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!ipos de "entas
• &alor %resente de los>enecios
•
Distriución de%roailidades
• %rima del euro
• &ariana
RENTA VITALICIA"enta &italicia anticipada con paos anuales eui,alentes a 1
unidad
1
2...1 +=++++= K
K !vvv"
k x xk K q p!"
++== )(Pr
1
x
k
k x xk K !q p!" E ==∑
∞
=++
01
)(
( )
d con
A A
d
" Var x x
+=
−=
1
1)( 22
2
-
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!ipos de "entas
%or otra parte8 una renta ,italicia tamin puede ser
pensada como una serie de paos de una unidadsólo en caso de sore,i,encia del aseurado/
De este modo tenemos dos eHpresioneseui,alentes para la prima nica de una renta,italicia anticipada' En la primera tomamos cadaanualidad como una unidad' En camio en laseunda pensamos una renta ,italicia como unaserie de dotales puros'
∑∞
=
=0k
xk k
x pv!
-
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!ipos de "entas
!amin podemos eHpresar la prima nica de una
renta ,italicia en trminos de la prima neta de unseuro de ,ida entera'
%ara esto descomponemos X como la resta de unaanualidad perpetua menos una anualidad dierida en
:1/
!omando el ,alor presente de X
d Z
d vv
d d "
k
K −=−=−=
+
+ 1111 1
1
d
A
! x
x
−=1
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos de "entas
Apro,ec*ando esta orma de X8 podemos calcular
directamente su ,ariana/
Al seundo momento de Z se le denomina # A x 8 por lo
ue podemos escriir/
( )2222
)()(1)(
)( Z E Z E d d
Z Var " Var −==
( )222
1)( x x A A
d " Var −=
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos de "entas
• Ren'a Te&pora$
El ,alor presente de una renta temporal anticipadapor n aFos es/
En orma similar a una renta ,italicia8 la prima nicase puede eHpresar de cualuiera de las siuientesormas/
+=−=
= +....,1,
1,..,1,01
nn K para!
n K para!"
n
K
xn
n
k nk x xk K n x
p!q p!! ∑−
=++ +=
1
01:
∑−
==
1
0:
n
k
xk k
n x pv!
-
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!ipos de "entas
!amin se pueden deducir ue/
En este caso la ,ariana serI/
d
A!
n x
n x
:
:
1−=
( )2::
2
2
1)(
n xn x A A
d " Var −=
i d
-
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!ipos de "entas
• Ren'a D"
-
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!ipos de "entas
• Ren'as Ven%"das
A dierencia de las rentas anticipadas8 ue entreanlos paos al inicio de cada aFo8 las rentas ,encidaslo *acen al n de cada per?odo/
Las respecti,as ,ariales aleatorias X dieren sóloen el primer pao de 1 unidad8 por lo tanto la primanica de una renta ,italicia ,encida serI/
K
K avvv" =+++= ...2
1−= x x !a
!i d " t
-
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!ipos de "entas
!amin se puede eHpresar este resultado en
trminos de la prima nica de un seuro de ,idaentera reemplaando YH por/
X recordando ue/
e otiene/
d
+
=1
d
A! x x
−=1
( )( )1
11−
−+=
Aa x x
A Aa x x x −−+−=
1
( ) Aa x x +−= 11
% G i d
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%aos Graccionados
Consideremos el caso donde se realian m paos
anuales por un monto de 1.m cada uno8 en los per?odos08 1.m8 2.m8T8 mientras el aseurado est ,i,o'
AnIloamente a las órmulas anteriores8 podemosescriir la siuiente relación para la prima nica/
)(
)(
)(
)( 1m
m
x
m
m
xd
A
d ! −=
% G i d
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%aos Graccionados
%ara otener una eHpresión en trminos de YH *acemos
uso del supuesto ue los allecimientos se distriu;enuniormemente en el aFo ; son independientes delper?odo V' %or lo tanto podemos reemplaar/
Entonces/
xm
m
x A
A
)(
)( =
)()()(
)( 1mm
x
m
m
x
d
A
d ! −=
% G i d
-
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%aos Graccionados
AdemIs reemplaado/
e otiene/
Desarrollando ; arupando/
Deiniendo Z@mB ; [@mB en orma con,eniente8 seotiene la eHpresión/
x x d! A −=1
( ))()()(
)( 11mm
x
m
m
x
d
d!
d !
−−=
)()(
)(
)()(
)(
mm
m
xmm
m
xd
!
d
d!
−−=
)()()( m!m! xm
x β α −=
% G i d
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%aos Graccionados
Una aproHimación *aitual es suponer ue/
Lo ue se puede ,ericar oteniendo la serie de !a;lorde amas unciones ; considerar sólo el primer trmino'
Ginalmente8 en la prIctica podemos utiliar laaproHimación/
mmm ym2
1)(1)( −≈≈ β α
m
m!! x
m
x2
1)( −−=
Gó l " i
-
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Górmulas "ecursi,as
Considerando la prima nica de una renta ,italicia
anticipada con pao anual de una unidad/
eparando el primer trmino de la sumatoria/
"eemplaando en la sumatoria k $ x por $ x k%1 $ x+1
∑∞
=
=0k
xk k
x pv!
∑∞
=+= 11 k xk
k
x pv!
11
1
1
11
1
11 +−
∞
=
−+−
∞
=
∑∑ +=+= xk k
k
x xk
k
x
k
x pv pv p pv!
Górmulas "ecursi as
-
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Górmulas "ecursi,as
"ealiando el camio de ,ariale =k%1
e otiene la siuiente relación entre las rentas a lasedades x ; x+1
Una relación eui,alente se otiene reemplaando $ x
por @1-q x B
1
0
1 +∞
=∑+= x # #
#
x x pv pv!
11 ++= x x x ! pv!
111 ++ −+= x x x x !qv!v!
Górmulas "ecursi,as
-
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Górmulas "ecursi,as
Otra relación interesante se consiue reemplaando &
por 1%d en esta ltima ecuación
Donde se oser,a ue el inters anado es necesariopara nanciar la dierencia entre la pensión ; la
lieración de reser,as'
11)1(1 ++ −−+= x x x x !qv!d !
1111 +++ −−+= x x x x x !qv!d !!
111 )(1 +++ −−+= x x x x x !qv!!!d
-
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%rimas 6etas
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
%rimas 6etas
-
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%rimas 6etas
• !emas
– !ipos >Isicos de euros – !ipos 9enerales de euros
euros de &ida
-
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euros de &ida
Los seuros pueden considerar un pao nico de prima
o paos periódicos por un plao determinado'
%ara una pólia de seuro podemos denir la prdidatotal ' del aseurador como la dierencia entre el ,alorpresente de los enecios ; el ,alor presente del paode primas'
%ara una prima dada8 la ,ariale aleatoria ' podrI tomar,alores positi,os o neati,os'
Las primas se denominan primas netas si cumplen conel llamado N%rincipio de Eui,alencia8 esto es ue el
,alor presente esperado de las primas paadas iuale al,alor presente esperado de los enecios entreadospor la pólia'
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
V"da En'era
Consideremos un seuro de ,ida entera de 1 unidad decapital paadero al nal del aFo de allecimiento8nanciado con una prima neta anual x
La prdida del reaseurador serI/
!omando el ,alor esperado de ' ; aplicando el principiode eui,alencia se tiene/
1
1
+
+
−= K x K
! $ v %
x
x
k
xk
k
k
k x xk
k
x!
A
pv
q pv
$ ==∑
∑∞
=
∞
=
++
0
0
1
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
i se eHpresan los paos de primas como la dierencia
de dos perpetuidades8 una empeando en el momento 0; otra en el momento K 18 L se puede reescriir como/
De este modo se puede otener la siuiente eHpresiónpara la ,ariana/
d
$ v
d
$ % x K x −
+= +11
)(1)( 12
+
+= K x vVar
d
$ %Var
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
Te&pora$
Consideremos un seuro temporal de duración n8 por 1unidad de capital paadero al nal del aFo deallecimiento'
La prdida del reaseurador serI/
La prima neta anual es/
≥−
−=−= +
+
n K para! $
n K para! $ v %
nn x
K n x
K
1
:
1
1
:
1 1,..,1,0
n x
n x
n
k
xk
k
n
k
k x xk
k
n x !
A
pv
q pv
$ :
1
:
1
0
1
0
1
1
: == ∑
∑−
=
−
=+
+
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
Do'a$ Puro
En un dotal puro de capital 1 unidad ; duración nla prdida del reaseurador serI/
La prima neta anual es/
≥−
−=−= +
n K para! $ v
n K para! $ %
nn x
n
K n x
1
:
1
1
: 1,..,1,0
n x
n x
n
k
xk
k
xn
n
n x !
A
pv
pv $
:
1
:
1
0
1
: ==
∑−
=
-
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!ipos 9enerales de euros
-
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!ipos 9enerales de euros
Considerando el tipo eneral de seuro de ,ida del
cap?tulo anterior' Asumimos ue el seuro se nanciacon primas anuales anticipadas Π0, Π1, Π2, …, Πk .
La prdida del aseurador serI/
%or el principio de eui,alencia las primas netascumplirIn con/
i las primas son iuales a @prima ni,eladaB8
entonces /
∑=
++ Π−=
K
k
k
k
K
K vvc %0
1
1
∑∑ ∞
=
∞
=+
++ Π=
00
1
1
k
xk
k
k
k
k x xk
k
k pvq pvc
∑∑ ∞
=
∞
=
+
+
+
=
0
0
1
1
k
xk
k
k
k x xk
k
k
pv
q pvc
$
-
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"eser,a de %rimas 6etas
Diplomado Ciencias Actuariales
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"eser,as de %rimas 6etas
-
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"eser,as de %rimas 6etas
• !emas
– !ipos >Isicos de euros – !ipos 9enerales de euros
– Górmula "ecursi,a
– "elaciones
"eser,a de %rimas 6etas
-
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"eser,a de %rimas 6etas
Consideremos un seuro nanciado por primas netas' Al
momento de la emisión el ,alor presente esperado delas primas uturas serI iual al ,alor presente esperadode los enecios uturos @principio de eui,alenciaB8*aciendo ue la prdida esperada del reaseurador seacero'
Esta eui,alencia entre primas uturas ; eneciosuturos en eneral no se cumplirI durante la ,iencia dela pólia en los aFos posteriores a la emisión'
La reser,a en cualuier momento t @denominada t B
serI entonces la dierencia ue se produce entre el,alor presente esperado de los enecios uturos ; el,alor presente esperado de las primas por reciir'
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
V"da En'era
Consideremos un seuro de ,ida entera de 1 unidad decapital paadero al nal del aFo de allecimiento8nanciado con una prima neta anual x
La reser,a al nal del aFo : serI/
En orma eui,alente/
k x xk x xk ! $ AV ++ −=
∑∑
∞
=+
∞
=+++
+ −=00
1
#
k x #
#
x
#
#k xk x #
#
xk pv $ q pvV
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
Te&pora$
Consideremos un seuro temporal de duración n8 por 1unidad de capital paadero al nal del aFo deallecimiento' La reser,a al nal del aFo : serI/
En orma eui,alente/
k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= :
1
:
1
:
1
:
∑∑ −−
=+
−−
=+++
+ −=1
0
1
:
1
0
11
:
k n
#
k x #
#
n x
k n
#
#k xk x #
#
n xk pv $ q pvV
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
Do'a$ Puro
En un dotal puro de capital 1 unidad ; duración n8 lareser,a de prima neta al nal del aFo : serI/
En orma eui,alente/
k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= :
1
:
1
:
1
:
∑−−
=++−
− −=1
0
1
:
1
:
k n
#
k x #
#
n xk xk n
k n
n xk pv $ pvV
!ipos >Isicos de euros
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos >Isicos de euros
Do'a$
Consideremos un seuro dotal ue paa el capital alnal del aFo de allecimiento si la muerte ocurre dentrode n aFos8 de lo contrario paa el mismo monto al naldel aFo n' La reser,a al nal del aFo k serI/
En orma eui,alente/
k nk xn xk nk xn xk ! $ AV −+−+ −= ::::
∑∑ −−
=
++−−
−−
=
++++ −+=
1
0
:
1
0
1
:
k n
#
k x #
#
n xk xk n
k nk n
#
#k xk x #
#
n xk pv $ pvq pvV
!ipos >Isicos de euros
-
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!ipos >Isicos de euros
E)e&p$o
Consideremos los siuientes seuros/
!ipos >Isicos de euros
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos >Isicos de euros
Calculando las reser,as anuales8 se otiene/
!ipos >Isicos de euros
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos >Isicos de euros
!ipos 9enerales de euros
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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!ipos 9enerales de euros
Considerando el tipo eneral de seuro de ,ida descrito
anteriormente8 la reser,a de prima neta al nal del aFok se puede eHpresar como/
∑∑ ∞
=++
∞
=+++
+++ Π−=
00
1
1
#
k x #
#
#k
#
#k xk x #
#
#k k pvq pvcV
Górmula "ecursi,a
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Górmula "ecursi,a
En el seuro eneral8 la órmula ue relaciona las
reser,as en : ; :* es la siuiente/
i el aseurado llea ,i,o al n del aFo k 8 entonces la
reser,a de prima neta mIs el ,alor presente esperadode las primas de los próHimos * aFos serI sucientepara paar un seuro de ,ida por esos aFos mIs undotal puro por la cantidad k+* al nal del aFo k+*'
V v pq pvc pvV &k &
k x&
&
#
#k xk x #
#
#k
&
#
k x #
#
#k k ++
−
=+++
+++
−
=++ +=Π+ ∑∑
1
0
1
1
1
0
Górmula "ecursi,a
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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ó u a ecu s a
$aciendo * S 18 otenemos una relación entre las
reser,as de prima neta de dos per?odos consecuti,os/
Lo ue nos indica ue la reser,a de prima neta sepuede calcular recursi,amente en dos direcciones/
– Calcular sucesi,amente 1 # 8T8 partiendo del,alor inicial 0 S0
– Calcular n%1 n%# 8T8 en ese orden partiendo de un
,alor conocido de n
[ ]k xk k xk k k pV qcvV ++++ +=Π+ 11
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Górmula "ecursi,a
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%or su parte/
es la prima de rieso8 eui,alente a la prima de unseuro temporal a un aFo para curir el capital neto enrieso'
( ) k xk k r k qV cv +++ −=Π 11
Górmula "ecursi,a
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Escriiendo la prima de a*orro desde : S 0 *asta : S K-
18 multiplicando cada ecuación por @1iB-:
; sumando8se otiene/
en este resultado8 la reser,a en el tiempo K es el,alor acumulado de las primas de a*orro paadas desdela emisión de la pólia8 capitaliadas a la tasa de intersi
∑−
=
− Π+=1
0
)1( #
k
s
k
k #
# V
Górmula "ecursi,a
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%or otra parte8 podemos encontrar una interesante
relación entre la reser,a en el tiempo : ; en :1'%artiendo por la relación/
"eemplaando & S @1iB-1 ; desarrollando se puede
escriir/
( ) ( ) k xk k k k k k k qV cV V V ++++ −−Π++Π+= 111
( )[ ]k xk k k k k qV cV vV ++++ −+=Π+ 111
Górmula "ecursi,a
-
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Esta ltima ecuación nos indica ue la reser,a nal serI
iual a la suma de la reser,a inicial8 mIs la primapaada del mes8 mIs el inters anado sore los ondosiniciales8 menos el capital en rieso paado a laspersonas allecidas en el per?odo'
En esta relación se asa la determinación del ,alor delondo de los seuros uni,ersales entre dos per?odosconsecuti,os'
"elaciones
-
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Es posile otener di,ersas eHpresiones para k x
considerando la ecuación de la reser,a del seuro de,ida entera desarrollado anteriormente/
@1B
Junto con las siuientes relaciones/
@2B
@3B
k x xk x xk ! $ AV ++ −=
d
A! k xk x
++
−=1
k xk xk x ! $ A +++ =
"elaciones
-
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• k x en unción de x 8 Y x+k ; d
DespeKando A x+k de la relación @2B/
"eemplaando en la relación @1B8 se otiene/
( ) k x x xk !d $ V ++−=1
k xk x d! A ++ −=1
"elaciones
-
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• k x en unción de Y x ; Y x+k
"eemplaando A x S Y x x en la relación @2B para :S0 se
otiene/
"eemplaando en la relación anterior/
x
x!
d $ 1=+
x
k x xk
!
!V +−=1
"elaciones
-
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• k x en unción de A x ; A x+k
Utiliando la relación @2B para las edades H ; H:/
"eemplaando en la relación anterior/
d
A! y
d
A! k xk x
x x
++
−=
−=
11
x
xk x xk
A
A AV
−−
= +1
"elaciones
-
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• k x en unción de x 8 x+k ; A x+k
A partir de la relación @3B se otiene/
"eemplaando este resultado en la relación @1B/
k x
k xk x
$
A!
+
++ =
k x
k x
x xk A
$
$ V +
+
−= 1
"elaciones
-
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• k x en unción de x 8 x+k ; d
Cominando las relaciones @2B ; @3B se otiene/
"eemplaando en la eHpresión anterior/
( )d $ !
k x
k x +=
++
1
d $
$ $ V
k x
xk x xk +
−=
+
+
"elaciones
-
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• k x en unción de x 8 x+k ; d
Cominando las relaciones @2B ; @3B se otiene/
"eemplaando en la eHpresión anterior/
( )d $ !
k x
k x +=
++
1
d $
$ $ V
k x
xk x xk +
−=
+
+
-
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Modelos Compuestos
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
Modelos Compuestos
-
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• !emas
–
&alor Esperado de – &ariana de
– Distriución de
Modelos Compuestos
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En un modelo compuesto8 o modelo de rieso colecti,o8
el concepto Isico es el de un proceso aleatorio ueenera siniestros para un portaolio dado de pólias'
Este proceso se caracteria en trminos del portaoliocomo un todo8 mIs ue en trminos de las pólias
indi,iduales ue lo componen'
Modelos Compuestos
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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La ormulación matemItica de estos modelos es lasiuiente/
– ea , el nmero de siniestros ocurridos en un per?ododado' ea - 1 el monto del primer siniestro8 - 2 el
monto del seundo siniestro ; as? sucesi,amente'Entonces8 el monto total de los siniestros eneradospor el portaolio en estudio serI/
– El nmero de siniestros 68 es una ,ariale aleatoria ;estI asociado con la recuencia de los siniestros'
Adicionalmente8 los montos indi,iduales de lossiniestros - 18 - 28 T 8 - 68 tamin son ,ariales
aleatorias relacionadas con la se,eridad de lossiniestros'
' X X X S +++= ...21
Modelos Compuestos
-
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%ara *acer el modelo maneKale8 se realian los
siuientes supuestos/
• - 18 - 28 T son ,ariales aleatorias idnticamente
distriuidas
• Las ,ariales aleatorias ,8 - 18 - 28 T son mutuamenteindependientes
Modelos Compuestos
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Las distriuciones de , ; de los - i se pueden calcular
emp?ricamente mediante oser,aciones o se puedenestimar eliiendo aluna unción anal?tica adecuada'
En este ltimo caso8 para , es usual eleir unadistriución de %oisson o una inomial neati,a8 uepresentan interesantes propiedades'
Los -i8 en camio8 a menudo se modelan mediante unadistriución 6ormal o una 9amma'
Modelos Compuestos
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Cuando se utilia una distriución %oisson para modelar
el nmero de siniestros se dice ue tiene unaNdistriución %oisson compuesta'
%or su parte8 si se utilia una inomial neati,a8 se diceue tiene una Ndistriución inomial neati,acompuesta'
En esta sección nos enocaremos en el estudio de ladistriución de en trminos de las distriuciones de , ; de los -i8 suponiendo ue amas son conocidas
&alor Esperado de
-
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El ,alor esperado ; la ,ariana de pueden ser
eHpresados en trminos de las distriuciones Isicas de, ; de los -i8 considerando las eHpresiones para laesperana condicional ; para la ,ariana condicional/
Aplicando la eHpresión de la esperana condicional
( ) ( )( ) ' S E E S E /=
( ) ( )( ) ' X X X E E S E +++= ...21
&alor Esperado de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Dado ue todos los i tiene la misma distriución/
Ginalmente se otiene/
Este resultado indica ue el ,alor esperado de lossiniestros totales serI iual al producto entre ,aloresperado del nmero de siniestros ; el ,alor esperadodel monto de los siniestros'
( ) ( )( ) X 'E E S E =
( ) ( ) ( ) X E ' E S E =
&ariana de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Aplicando la eHpresión de la ,ariana condicional/
Dado ue todos los i tiene la misma distriución/
( ) ( )( ) ( )( ) ' S Var E ' S E Var S Var // +=
( ) ( )( ) ( )( ) ' X X X Var E X 'E Var S Var ++++= ...21
( ) ( ) ( ) ( )( ) X 'Var E ' Var X E S Var += 2
&ariana de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Ginalmente se otiene/
As?8 se oser,a ue la ,ariana de los siniestros totaleses la suma de dos componentes8 uno asociado a la,ariana del nmero de casos ; el otro asociado a la
,ariana del monto de los siniestros'
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Var ' E ' Var X E S Var += 2
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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En este cap?tulo sólo se mencionarIn los principales
mtodos disponiles para la determinación de la unciónde distriución del monto total de siniestros @.)'
El desarrollo eHtensi,o de estos mtodos ueda ueradel alcance de este curso'
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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• Con!o$u%"=n
La distriución del monto total de siniestros dependerIdel ,alor ue tome la ,ariale 6' %or lo tanto8eHpresado utiliando la proailidad total8 se tiene/
La %r@ - 1 - #'' - , \ x B puede ser determinada
calculando en orma sucesi,a las distriuciones de - 1 - 28 - 1 - 2 - 38 - 1 - 2 - 3 - 48 etc'8 mediante las
órmulas de con,olución'
∑∞
=
==≤=≤=0
)Pr()/Pr()Pr()(n
n ' n ' xS xS x (
∑∞
=
=≤+++=0
21 )Pr()...Pr()(n
n n ' x X X X x (
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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• Fun%"=n Generadora de .o&en'os
Este mtodo se asa en la relación nica ue seestalece entre una distriución de proailidades ;su unción eneradora de momentos'
La unción eneradora de momentos del monto totalde siniestros @/s(t)Bse puede deducir de las
correspondientes distriuciones de , ; - 8 de lasiuiente orma/
%or denición/)()( tS s e E t ) =
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Aplicando la eHpresión de la esperana condicional/
Considerando ue todos los -i son independientes ;tienen la misma distriución/
)/)(()( ' e E E t ) ts s =))(()(
)..( 21 ' X X X t
s e E E t ) +++=
))...(()( 21 ' tX tX tX
s eee E E t ) =
))()...()(()( 21 ' tX tX tX
s e E e E e E E t ) =
))(()(
' tX
s e E E t ) =
))(()( ' x s t ) E t ) =
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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"eemplaando / x (t) por
Lo ue nalmente se puede eHpresar como/
Otenida una eHpresión para /s(t) se puede uscar
la distriución relacionada entre las mltiplesidenticadas en la literatura especialiada'
))(log( t ) xe
)()( ))(log( t ) '
s xe E t ) =
))((log)( t ) ) t ) x ' s =
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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• AproHimación 6ormal
%ara un portaolio rande @con un nmero desiniestros 6 esperados randeB parece raonaleaproHimar la distriución de por una distriuciónnormal con parImetros =E(.) ; #=23(.)
in emaro8 la calidad de la aproHimacióndependerI no sólo del tamaFo de la cartera enestudio8 sino de ue tan *omonea sea' Eneneral8 los resultados de esta estimación sonmeKores para ,alores de cercanos a la media
@E@BB ; menos satisactoria en los eHtremos de ladistriución'
Distriución de
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%or su parte8 si presenta una distriución %oissoncompuesta o inomial neati,a compuesta ; elnmero esperado de siniestros es rande8 entoncesse puede demostrar ue la ,ariale estandariada/
tiene aproHimadamente una distriución normalestIndar @6@081BB'
)(
)(
S Var
S E S −
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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AneHoGunciones Conmutati,as
Diplomado Ciencias Actuariales
Julio 2013
Gunciones Conmutati,as
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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• !emas
–
El Modelo Determin?stico – "entas &italicias
– euros de &ida
– %rimas 6etas
– "eser,as de %rimas 6etas
Gunciones Conmutati,as
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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En el pasado8 las unciones conmutati,as oaron deran popularidad deido principalmente a ue pod?anser tauladas8 simplicando as? los cIlculos numricosasociados al cIlculo de primas ; reser,as'
AdemIs8 las órmulas de ,alores esperados tales comoprimas nicas pod?an ser deri,adas de un modelo
determin?stico8 ?ntimamente relacionado a las uncionesconmutati,as'
En la actualidad8 el Icil acceso a computadores conran capacidad de cIlculo ; la creciente aceptación delos modelos asados en la teor?a de las proailidades
ue permiten un entendimiento mIs completo de losmecanismos del seuro8 *an *ec*o disminuir el uso delas unciones conmutati,as' in emaro stas siuensiendo de inters ;a ue permiten una aproHimaciónmIs intuiti,a a muc*as de las unciones actuariales'
El Modelo Determin?stico
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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#mainemos un rupo de ,idas de la misma edad al cualoser,amos durante el tiempo' En cada cumpleaFosreistramos como l
x al nmero de personas ue an
estIn ,i,as'
As?8 d x = l x 4 l x+1 es el nmero de muertos entre las
edadesx; x+1'
Con esto8 las proailidades ; los ,alores esperados sepueden calcular como simples proporciones ;promedios'
El Modelo Determin?stico
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%or eKemplo8 la proailidad ue una persona de edad x sore,i,a t aFos se eHpresa como/
La proailidad ue una persona de edad x alleca
dentro de un aFo serI/
x
t x xt
l
l p +=
x
x
x
x x x
l
d
l
l l q =
−= +1
El Modelo Determin?stico
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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La proailidad ue una persona de edad x sore,i,alos próHimos u aFos ; lueo alleca dentro de lossiuientes t aFos/
La eHpectati,a de ,ida a la edad x serI/
x
t u xu x xt u
l
l l q +++
−=|
∑∑ ∞
=
+∞
=
==11 k x
k x
k
xk xl
l pe
"entas &italicias
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Consideremos una renta ,italicia de paos anualesanticipados de 1 unidad' La prima nica de la rentaserI/
Multiplicando el numerador ; el denominador por & x 8tenemos/
∑∑ ∞
=
+∞
=
==00 k x
k xk
k
xk
k
xl
l v pv!
∑∞
=
+
+
=0k x
x
k x
k x
xl v
l v!
"entas &italicias
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
135/142
Deniendo las siuientes unciones conmutati,as/
%odemos ,ol,er a escriir
∑∞
=+=
=
0k
k x x
x x
x
* '
l v *
x
x x
*
' ! =
"entas &italicias
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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En orma similar se puede otener la órmula de laprima nica de una renta temporal por n aFos/
x
n x x
n x *
' ' ! +
−=
:
euros de &ida
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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Adicionalmente se denen las siuientes uncionesconmutati,as/
La ecuación de la prima nica de un seuro de ,idaentera de 1 unidad de capital se puede eHpresar como/
∑∞
=+
+
=
=
0
1
k
k x x
x x x
+ )
d v+
∑∑∑ ∞
=
+++∞
=
++∞
=+
+ ===0
1
0
1
0
1
k x
x
k x
xk
k x
k xk
k
k x xk
k
xl v
d v
l
d vq pv A
euros de &ida
-
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%or lo tanto8 para un seuro de ,ida entera/
%ara un seuro temporal/
%ara un seuro dotal/
x
x x
* ) A =
x
n x x
n x *
) ) A +
−=1
:
x
n xn x x
n x *
* ) ) A ++
+−=:
%rimas 6etas
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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La prima neta se deduce aplicando el principio deeui,alencia' %ara un seuro de ,ida entera serI/
Entonces/
De la misma orma se otienen las primas netas de unseuro temporal/
x
x
x
x x
*
)
*
' $ =
x
x
x '
) $
=
x
n x x
n x
'
) ) $ +
−=1
:
%rimas 6etas
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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X de un seuro dotal/
x
n xn x x
n x ' * ) ) $ ++ +−=
:
"eser,as de %rimas 6etas
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
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%ara un seuro de ,ida entera la reser,a de prima netaal nal del aFo : serI/
%ara un seuro temporal/
k x
k x xk xk x xk x xk
*
' $ ) ! $ AV
+
++++
−=−=
( ) ( )
k x
n xk xn xn xk x
n xk *
' ' $ ) ) V
+
++++ −−−=
1
:1
:
"eser,as de %rimas 6etas
-
8/17/2019 13raul Ahumada Módulo 7 -Modelos Acturiales
142/142
%ara un seuro dotal/
( ) ( )
k x
n xk xn xn xn xk x
n xk *
' ' $ * ) ) V
+
+++++ −−+−= ::