13/Maio/2016 – Aula 20 Átomo de hidrogénio Modelo de Bohr ... · PDF...
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1
11/Maio/2016 – Aula 19
13/Maio/2016 – Aula 20
Átomo de hidrogénioModelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos.
Aplicações: - nanotecnologias;- microscópio por efeito de túnel.
Equação de Schrödinger a 3 dimensões.
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Aula anterior
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3
Aplicação: microscópio por efeito de túnel
Diagrama de um microscópio por efeito de túnel
Uma ponta de prova ( “tip” ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( ≈≈≈≈ 1 nm) da superfície que se pretende analisar.
Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 αααα L .
Se os sensores piezoeléctricosreceberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante.
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4
Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0,001.10-9 m, ≈≈≈≈ 1/100 dodiâmetro atómico típico.
Imagem topográfica por efeito de túnel
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões
2 2 2 2 2 2 2x y z
cin cin 2 2 2
p p pE E ( x, y,z ) -
2m 2m x y z
ψ ψ ψψ
+ + ∂ ∂ ∂= → = + +
∂ ∂ ∂
�
( )( )
2
2 2
d x 2m- E-U
dx
ΨΨ=
�
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
2m- E-U x, y, z
x y z
Ψ Ψ ΨΨ
∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ �
Aula anterior
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Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = ∞∞∞∞ no exterior:
Partícula confinadaTem-se ψψψψ (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo:
x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L.
( ) yx zn yn x n z
x, y,z A sen sen senL L L
ππ πψ
=
A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: x
y
z
LL
L
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77
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Níveis de energia permitidos:
�2π 2
2m L2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) =
h2
8mL2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) = E
En1,n2 ,n3
=�
2π 2
2m L2n
12 + n
22 + n
32( ) = E
1n
12 + n
22 + n
32( )
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8
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado.
a) b)
Neste caso, para o 1º nível excitado:
E211 = E 121 = E 112 = 6 E1
(grau de degeneração = 3).
Diagrama de níveis de energiaa) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico
Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados .
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Átomos – modelo de Bohr do hidrogénio
Átomo de hidrogénioelemento mais abundante no universoprodução de energia no Sol ( p + p →→→→ d + e+ + νννν + 0,42 MeV )teste para as teorias da Física Quântica.
Modelo de Bohr do hidrogénio
Como explicar a existência de riscas espectrais para os elementos? Por exemplo, as linhas das séries de Balmer para o hidrogénio:
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10
Modelo planetário semi-clássico :
1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio rn .
n
h2 r n n
pπ λ
= =
2) só as órbitas para as quais o comprimento é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis :
3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb:
2 2
2n o n
m v e
r 4 rπε=
Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos.
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Comparação : modelo de onda estacionária para as órbitas electrónicas ⇒⇒⇒⇒ 2ππππ rn = n λλλλ = n (h/p)
Modelo de Bohr
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Electrão livre
Estados excitados
Estado fundamental
Energia: [J] , [eV]
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13
Energia total numa órbita circular :
En =1
2mvn
2 + U( rn ) =1
2mvn
2 −e2
4πεo
rn
= −e2
8πεo
rn
de 2) : 2π rn
=nh
mv
→ v2
=n �
mrn
2
de 3) :mv2
rn=
e2
4πεo rn2
→ v2
=e2
4πεo mrn
rn = n2 �2 4πεo
me2
= n2 ao
Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m
En = −e2
8πεo n2ao
= −E0
n2
Energias permitidas:En = -13,6 eV /n2
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14
rn = n2 �2 4πεo
me2
= n2 ao
Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m
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Modelo de Bohr :
1. O espectro de energia é explicado : En = -13,6 eV / n2.2. O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com
hf = Einicial – Efinal ≡≡≡≡ ∆∆∆∆E .3. O raio de Bohr ao está de acordo com o tamanho do átomo de
hidrogénio no estado fundamental.
Expressão de Rydbergpara os comprimentos de onda observados
R = constante de Rydberg (medida experimentalmente)
2 2final inicial
1 1 1R
n nλ
= −
∆ E =hc
λ= hcR ∆
1
n2
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protão
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Série de Lyman(ultravioleta)
Série de Balmer(visível)
Série dePaschen(infravermelho)
A partir do modelo de Bohr:
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Níveis de energia do electrão
Estado fundamental, r1
Estado excitado, r2
Estado excitado, r2
Estado excitado, r3
Estado excitado, r4
Estado excitado, r4
Estado excitado, r3
Estado fundamental, r1
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19
Energia potencial U(r) :
2
o
eU( r )
4 rπε= −
r
protão: +e
electrão: -e
Ene
rgy
U(r) : poço de potencial 3D –superfície de revolução
1=n
∞=n
n 2
13,6 eVE
n
−=
A energia de ionização é a energia necessária que deve ser fornecida para “arrancar” um electrão até E = 0.
Os estados ligados têm energia E < 0
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20
a) Determine a energia e o comprimento de onda para o limite da série de Brackett (n2 = 4) b) determine os três maiores comprimentos de onda desta série e indique as suas posições numa escala linear
a) A energia dos fotões é dada por i fhf E E E∆= = −
n = ∞= ∞= ∞= ∞ 0iE =O limite da série é obtido para e
0 0f 2 2
2 2
E EE E
n n∆
= − = − − =
A energia do fotão para n2 = 4 é igual a2
13,6 eVhf 0,850 eV
4= =
O comprimento de onda da radiação resultante duma transição de energia ∆∆∆∆E = h f é
1240 eV nm
Eλ
∆
⋅=
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21
λλλλmin é encontrado para a transição n = ∞∞∞∞ →→→→ n2 = 4:
min
1240 eV nm1459 nm
0,850 eVλ
⋅= =
in 5,6 e7=b) Os três maiores comprimentos de onda são dados por
0 0i f 0 02 2 2 2 2
i 2 2 i i
E E 1 1 1 1E E E E E
16n n n n n∆
= − = − − − = − = −
( )5 4
1 1E 13,6 eV
16 25
0,306 eV
∆ →
= −
=
5 4
1240 eV nm4052 nm
0,306 eVλ →
⋅= =
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22
( )6 4
1 1E 13,6 eV
16 36
0,472eV
∆ →
= −
=
6 4
1240 eV nm2627 nm
0,472 eVλ →
⋅= =
( )7 4
1 1E 13,6 eV
16 49
0,572 eV
∆ →
= −
=
7 4
1240 eV nm2168 nm
0,572 eVλ →
⋅= =
7→→→→4 6→→→→4 5→→→→4
---|---------|---------------------------------------------|--------
2168 nm 2627 nm 4052 nm
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E1
E2
LASER
Absorção:
LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
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Emissão espontânea:
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Emissão estimulada:
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26
E1
E2
hυ
(a) Absorption
hυ
(b) Spontaneous emission
hυ
(c) Stimulated emission
Inhυ
Out
hυ
E2
E2
E1 E
1
Absorption, spontaneous (random photon) emission and stimulatedemission.
© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
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27
When a sizable population of electrons resides in upper levels, this condition is called a "population inversion", and it sets the stage for stimulated emission of multiple photons. This is the precondition for the light amplification which occurs in a LASER and since the emitted photons have a definite time and phase relation to each other, the light has a high degree of coherence.
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28
O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)
Consideremos agora :
1. A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a densidade de carga do átomo:
ρρρρcarga (r) = - e |ψψψψ(r)|2 Coulomb/m3
2. A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão espacial ⇒⇒⇒⇒ são necessários 3 números quânticos para descrever cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ).
Estado fundamental, n = 1 , com distribuição de densidade electrónica dada por P(r) = |ψψψψ |2.
Modelo quântico do átomo de hidrogénio
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29
−�
2
2m
∂2ψ
∂x2+
∂2ψ
∂y2+
∂2ψ
∂z2
+ U( r ) ψ = E ψ
Esses números quânticos (para além de n ) são uma consequência directa da equação de Schrödinger a 3 dimensões:
r
protão: + e
electrão: -e
2
o
eU( r )
4 rπε= −
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30
Equação de Schrödinger a 3 dimensões:
−�
2
2m
∂2ψ
∂x2+
∂2ψ
∂y2+
∂2ψ
∂z2
+ U( x,y,z) ψ = E ψ
2
2 2 2o
eU( x, y,z ) -
4 x y zπε=
+ +
Forma do poço de potencial que mantém o electrão confinado.
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31
φφφφ
rθθθθ
x
y
z
Vai existir um número quântico associado a cada coordenada: r , θθθθ e φφφφ
Em coordenadas esféricas, U = U (r) apenas:
( )
2 2 2r x y z
arccos z / r
arctg( y / x )
θ
φ
= + +
=
=
0
0 2
θ π
φ π
≤ ≤
≤ ≤
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32
A função de potencial tem simetria esférica ⇒⇒⇒⇒ é mais fácil resolver este problema em coordenadas esféricas (r , θθθθ , φφφφ ), com U = U(r) .
Solução para o estado fundamental do hidrogénio: (n = 1, E = -13,6 eV)
/( , , ) o
13o
1 r ar e
aψ θ φ
π
−=
21
todo o espaço
P( r, , ) dV 1 | | dV 1θ φ ψ= ⇒ =∫ ∫Condição de normalização :
dV = elemento de volume
ao = raio de Bohr
Resolução da equação de Schrödinger:
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33
Elemento de volume com simetria esférica :
2dV 4 r drπ=
r• superfície de uma esfera: 4 ππππ r 2
• volume dV de uma coroa esférica com espessura dr
Densidade de probabilidade radial:
A probabilidade de encontrar o electrão em r dentro da coroa esférica de espessura dr é igual a
P(r)dr
oar /
Localização mais provável do electrão ⇔⇔⇔⇔ r = ao (raio de Bohr).
Para o estado com n = 1
2 2P( r ) 4 r | |π ψ=
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Em resumo: - dois modelos para o átomo de hidrogénio
1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com 2ππππ rn = n λλλλ , rn = n ao ,
• consegue prever os níveis de energia correctamente En = -13,6 eV/ n2.
2. Modelo quântico, em que o electrão está confinado a um poço de potencial da forma
U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)
• consegue obter os níveis de energia correctamente
En = -13,6 eV/ n2
• consegue obter a maior probabilidade de encontrar o electrão para r = ao a partir da densidade de probabilidade radial da função de onda.
No modelo quântico, o átomo é representado por uma nuvem definida pela densidade de probabilidade electrónica.
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Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas:
1. Coordenada radial rnúmero quântico principal n = 1, 2, 3 .... (⇔⇔⇔⇔ n do modelo de Bohr)
2. Ângulo polar θθθθnúmero quântico do momento angular l = 0, 1, 2 ... (n-1)
3. Ângulo azimutal φφφφnúmero quântico magnético m l ≡≡≡≡ m = -l, -l +1, 0, 1 ... l (2l+1) valores
φφφφ
rθθθθ
x
y
zO conjunto dos números quânticos (n, l, m)
tem origem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schrödinger) a 3 dimensões : todos os 3 números são necessários para especificar essa função de onda.
Números quânticos do átomo de hidrogénio
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No entanto, a energia total E só depende do número quântico principal (n ):
As funções de onda são indicadas pelo conjunto dos 3 números quânticos (n, l, m ),que só podem tomar certos valores:
Energia n l m estado nº de estados- 13,6 eV 1 0 0 1s 1
- 3,4 eV 2 0 0 2s 1
- 3,4 eV 2 1 1,0,-1 2p 3
-1,5 eV 3 0 0 3s 1
-1,5 eV 3 1 1,0,-1 3p 3
-1.5 eV 3 2 2,1,0,-1,-2 3d 5
... ... ... ... ... ...
Os estados são indicados de acordo com o valor de ll = 0 ≡≡≡≡ s ; l = 1 ≡≡≡≡ p ; l = 2 ≡≡≡≡ d ; l = 3 ≡≡≡≡ f ; ....
Por exemplo, o estado fundamental, de simetria esférica, é indicado por:
1 o100 3ao
r / a( r, , ) e
πψ θ φ
−=
n 2
13,6E eV
n= −
n,l ,m ( r , , )ψ θ φ
Número quântico principal ( n )
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Estados excitados, com E = - 3,4 eV , n = 2
o o o2,0,0 2,1,0 2,1, 1
r r r2
a a ao o o
r / 2a r / 2a r / 2a iA e B e cos C e sen e
φψ ψ θ ψ θ±− − − − ± = = =
Densidades de probabilidade radiais:
2, 0, 0 2, 1, 0 2, 1, ±±±± 1
1 o100 3
ao
r / a( r, , ) e
πψ θ φ
−=
Estado fundamental, de simetria esférica