13-finalizaçãodemomento

7/29/2019 13-finalizaodemomento

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PRODUTO VETORIAL

Conforme mencionado anteriormente, a formulao demomento no espao (em trs dimenses) mais conveniente

quando utilizamos o produto vetorial.O momento de uma fora em relao a um ponto pode serdeterminado atravs da aplicao das regras de produto vetorial.

Regras do produto vetorial.

O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C ematematicamente a operao escrita do seguinte modo:

Mdulo: o mdulo de C definido como o produto dos mdulos deA, B e o seno do ngulo entre os dois vetores, considerando suas origens em um mesmo ponto (0 180).

Direo e sentido: o vetorC tem uma direo que perpendicularao plano contento os vetores A e B de forma que seu sentido definido pela regra da mo direita, isto , circulando os dedos da

FrM OAR =

BAC =

ABsenC=

Desenhar sem a mo!!


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mo direita no sentido do vetor A para o vetor B; nesta situao odedo polegar indicar o sentido de C.

Agora conhecendo o mdulo, a direo e o sentido do vetor C,podemos escrever:

onde o escalar ABsen define o mdulo de C, e o vetor unitrio uCdefine a direo e o sentido do vetorC.Podemos ilustrar essas percepes no seguinte esquema:

Algumas propriedades.

A lei comutativa no vlida.

Multiplicao por um escalar:

CuABsenBAC ).( ==

ABsenC=

Cu

A

B

C

Colocar o ngulo de 90

entre os eixos CA e CB

ABBA

ABBA =


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A lei distributiva:

Formulao atravs de vetores cartesianos.

Podemos utilizar a equao do produto vetorial com um parde vetores unitrios cartesianos. Por exemplo, para obtermos i x j, omdulo do vetor resultante (i).(j).(sen90)=1.1.1=1. E sua direoe sentido so determinados utilizando a regra da mo direita. Ovetor resultante aponta na direo de k, positivo.

Ateno: No memorizar, entender como cada um foi obtido pelaregra da mo direita.

Vamos considerar agora um vetor de dois vetores quaisquerA e Bexpressos na forma de vetores cartesianos. Neste caso teremos:

aBABaABAaBAa )()( ===

)()()( DABADBA +=+

jik

ikj

kji

=

=

=

ijk

kij

jki

=

=

=

0

0

0

=

=

=

kk

jj

ii


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Efetuando as operaes do produto vetorial e combinando ostermos, podemos escrever:

Esta equao tambm pode ser escrita na forma maiscompacta de um determinante como:

Assim para determinarmos o produto vetorial entre quaisquerdois vetores cartesianos A e B, necessrio desenvolver umdeterminante cuja primeira linha formada pelos vetores unitrios i,

j e k, e a segunda e terceiras linhas contm as componentes x, y e

z dos dois vetores A e B.

)()( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++++=

)()()(

)()()()()()(

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBAkiBAjiBAiiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

+++

+++

++=

kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy )()()( +=

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

=


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DICA:

)( yzzy BABAi =

)( xzzx BABAj =

)( xyyx BABAk =

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

=

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

=

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

=


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De posse destes conceitos vamos agora para definirrealmente o momento de uma fora, atravs de uma formulaovetorial.

O momento de uma fora F em relao a um ponto O ou,

mais realisticamente, em relao ao eixo que passa pelo ponto O e perpendicular ao plano contento O e F,

pode tambm ser expresso utilizando o produto vetorial, isto :

Neste caso, r representa um vetor localizao (vetor posio) comorigem em O e extremidade em qualquer ponto sobre a linha deao da fora F. Veremos, agora que de fato o momento MO, ao serexpresso pelo produto vetorial, tem seu mdulo, sua direo e seusentido bem determinados.

MDULO

Se d = r.sen, temos:

DIREO E SENTIDO regra da mo direita

FrMO =

rFsenMO =

FdMO =


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Lembrando que a notao muito importante, e diz-se, rvetorial F,girando os dedos da mo direita no sentido de rpara F, o polegarser direcionado para cima, isto , perpendicular ao plano contentore F, e estar ma mesma direo e sentido do MO, momento emrelao ao ponto O.

FORMULAO CARTESIANAAo estabelecermos coordenadas cartesianas, x, y, z, o vetor

localizao ou posio r e a fora F, podem ser expressos comovetores cartesianos, assim teremos:

MOMENTO RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORASSe um corpo est sob a ao de um conjunto de foras, omomento resultante das foras em relao ao ponto O pode serdeterminado pela soma vetorial resultante de sucessivas aplicaesda equao do momento (produto vetorial) e pode ser escrita como:

zyx

zyxO

FFFrrr

kji

FrM

==

kFrFrjFrFriFrFrM xyyyxzzxyzzyO )()()( +=

= )( FrMO


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Exerccio 1

Determine o momento da fora F em relao ao ponto O. Expresseo resultado como um vetor cartesiano.


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Exerccio 2

O poste mostrado est sujeito a uma fora de 60N na direo de Cpara B. Determine a intensidade do momento criado por essa foraem relao ao suporte no ponto A.


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Exerccio 3

O basto curvado se estende no plano x-y e tem uma curvatura de3m, sabendo que a fora F igual a 80N, determine o momentodessa fora em relao ao ponto O.


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Exerccio 4

O basto curvado se estende no plano x-y e tem uma curvatura de3m, sabendo que a fora F igual a 80N, determine o momentodessa fora em relao ao ponto B.


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Exerccio 5

A fora N, atua na extremidade da viga. Determine o momentodessa fora em relao ao ponto A.


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Exerccio 6A estrutura mostrada na figura est sujeita a uma fora de 80N.Determine o momento dessa fora em relao ao ponto A.


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Exerccio 7A fora F atua na extremidade da mo-francesa mostrada.Determine o momento dessa fora em relao ao ponto O. Resolvaeste exerccio utilizando as duas tcnicas da anlise escalar e daanlise vetorial.


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MOMENTO DE UMA FORA EM RELAO A UM EIXOESPECFICO.

Em algumas ocasies mais interessante definir o momentoem relao a um eixo auxiliar, seja para encontrar elementosespecficos de interesse, seja para entender o porqu ocorreudeterminada falha na regio de interesse.

Para determinar o momento em relao a um eixo o primeiropasso determinar o momento da fora em relao a um ponto dosistema e depois se realiza a projeo sobre o eixo que se deseja apartir do produto escalar.

A soluo contempla duas etapas, um produto vetorialseguido de um produto escalar.

VISUALIZAO

FORMULAO

( ) ( )zyx

zyxaaaOAay

FFF

rrr

kji

kujuiuFruM

++==

b Eixo auxiliar

rOA


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Resumindo:

Substituindo os valores que temos:

Ateno: Neste caso no possvel utilizar a dica apresentada emaula para calcular o determinante, afinal a primeira linha norepresenta mais apenas uma direo.

Podemos encontrar esse mesmo resultado se utilizarmos aformulao escalar e a regra da mo direita:

O vetorj, no resultado vetorial est atuando apenas como um

localizador, indicando a direo, como sabemos que ele um vetorunitrio, ou seja, vale 1, no ir alterar o resultado.

zyx

zyx

azayax

y

FFF

rrr

uuu

M =

Nmj

jj

My

6

0

4,0

0

3,0

0

2000

04,03,0

00

=

=

NmmNdFMy 63,0.20. ===


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Exerccio 1A fora F atua no ponto A mostrado na figura. Determine osmomentos dessa fora em relao ao eixo x.


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MOMENTO DE UM BINRIO

Um binrio definido como duas foras paralelas de mesmaintensidade, sentidos opostos e separadas por uma distncia d.

O efeito de um binrio proporcionar rotao ou tendncia derotao em um determinado sentido.

Formulao escalar:

dFM .=

Formulao vetorial:

FrM =


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BINRIOS EQUIVALENTES

Dois binrios so ditos equivalentes se produzem o mesmomomento. O momento resultante de dois binrios obtido pelasoma dos binrios.

Formulao escalar:

( )= dFMR .

Formulao vetorial:


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( ) = FrMR

Exerccio 2Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrada nafigura.Substitua esse binrio por um equivalente, composto por umpar de foras que atuam nos pontos A e B.

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