1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte
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Estatística 2
1.Teste de Hipóteses 1.Teste de Hipóteses
Prof. Gustavo B. Araujo
Bibliografia→ Anderson, Sweeney e Williams – cap. 9→Morettin e Bussab – cap. 12
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Recapitulando
- Teste de Hipóteses:
→ usado quando estamos interessados em testar alguma informaçãofeita sobre uma população (sobre um parâmetro de uma população).
→ a idéia é supor verdadeira a hipótese em questão e verificar a→ a idéia é supor verdadeira a hipótese em questão e verificar aprobabilidade que se teria de encontrar determinado resultado amostral, dadoque a hipótese é verdadeira.
→ se a probabilidade de encontrarmos certo valor amostral for muitobaixa, dada uma população com parâmetro igual ao de nossa hipótese,passamos a acreditar que o parâmetro populacional não deve ser o da hipótese.
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- Teste de Hipóteses – procedimento geral:
- X é uma variável aleatória da população.
- Hipótese: um parâmetro θ da população é igual a um valor específico,digamos θ .digamos θ0.
- Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa população e comela deseja-se comprovar ou não a hipótese feita.
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1° Passo) Explicitar a hipótese nula (H0) a ser testada, assim como ahipótese alternativa (H1).
2° Passo) Fixar o nível de significância (8) do teste:8 = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira)e usar esta informação para construir a região de rejeição do teste
0 0e usar esta informação para construir a região de rejeição do teste
(Região Crítica).
3° Passo) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostrapertencer à região crítica, rejeite H0, caso contrário, não rejeite H0.
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Teste para Proporção
1° Passo) Temos uma população e uma hipótese sobre a proporção pde indivíduos portadores de certa característica. Esta hipótese afirma que essaproporção é igual a certo valor p0.
H0 : p = p00 0
→ o problema fornece informações sobre a hipótese alternativa, quepode assumir três formas:
H0 : p ≠ p0 (teste bilateral)
H0 : p > p0 (teste unilateral à direita)
H0 : p < p0 (teste unilateral à esquerda)
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Obs: O estimador de interesse, , a proporção amostral, tem umadistribuição aproximadamente normal:
2° Passo) Fixado um valor de 8, devemos construir a região crítica para2° Passo) Fixado um valor de 8, devemos construir a região crítica parap, sob a suposição de que o valor do parâmetro definido por H0 seja overdadeiro.
3° Passo) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostrapertencer à região crítica, rejeite H0, caso contrário, não rejeite H0.
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Ex.: Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavamligados em seu programa especial da última segunda-feira. Uma estaçãoconcorrente contesta a afirmação, sustentando que menos de 60% dostelevisores estavam ligados no programa especial. Para verificar as afirmações,selecionou-se uma amostra de 200 famílias e verificou-se que 104 assistiram aoprograma. Qual das emissoras provavelmente estava certa, considerando nívelprograma. Qual das emissoras provavelmente estava certa, considerando nívelde significância de 5%?
1° Passo) Explicitar a hipótese nula (H0) a ser testada, assim como ahipótese alternativa (H1).
H0 : p = 0,60
H1 : p < 0,60
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2° Passo) Fixamos 8 = 0,05 e supondo que H0 seja verdadeira:
Assim, a região crítica será dada por: RC = { }.→ queremos achar o valor tal que = 0,05.→ ou seja:→ ou seja:
= 0,05 →
→ Segue-se que = 0,543. Assim: RC = { }.
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3° Passo) Como = 0,52, podemos perceber que .
→ portanto, somos levados a rejeitar H0.
→ ou seja, há evidência de que a audiência do programa especial desegunda-feira provavelmente não foi de 60% e sim inferior a esse número.segunda-feira provavelmente não foi de 60% e sim inferior a esse número.
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Probabilidade de Significância
- O método de construção de um teste de hipóteses parte da fixação donível de significância 8.
→ esse procedimento pode levar à rejeição da hipótese nula para umvalor de 8 e à não-rejeição para outro valor (menor).
- Outra maneira de proceder consiste em apresentar a probabilidadede significância ou nível descritivo ou ainda p-valor do teste.
→ os passos são muito parecidos aos já apresentados. A principaldiferença está em não construir a região crítica. O que se faz é indicar aprobabilidade de ocorrer valores da estatística mais extremos do que oobservado, sob a hipótese de H0 ser verdadeira.
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- Vamos voltar ao exemplo anterior das emissoras de televisão.
Ex.: Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavamligados em seu programa especial da última segunda-feira. Uma estaçãoconcorrente contesta a afirmação, sustentando que menos de 60% dostelevisores estavam ligados no programa especial. Para verificar as afirmações,televisores estavam ligados no programa especial. Para verificar as afirmações,selecionou-se uma amostra de 200 famílias e verificou-se que 104 assistiram aoprograma. Qual das emissoras provavelmente estava certa?
1° Passo) Explicitar a hipótese nula (H0) a ser testada, assim como ahipótese alternativa (H1).
H0 : p = 0,60H1 : p < 0,60
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2° Passo) Admitindo a hipótese H0 verdadeira, .Colhida a amostra obtivemos = 0,52.→ portanto, podemos calcular qual a probabilidade de ocorrerem
valores de mais desfavoráveis para H0 do que esse.→ quanto menor for , maior será a evidência contra H0: p = 0,60.0
P( < 0,52|p = 0,60) = = P(Z < -2,30) = 0,01 ou 1%
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→ esse resultado mostra que, se a audiência do programa fosserealmente de 60%, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 200famílias com 52% ou menos de audiência seria de 1%.
→ isso sugere que, ou demos azar de estar diante de uma amostrabastante rara de ocorrer (probabilidade de 1 em 100), ou então a hipótesebastante rara de ocorrer (probabilidade de 1 em 100), ou então a hipóteseformulada não parece boa. Ou seja, os dados da amostra sugerem que ahipótese H0 deve ser rejeitada.
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- Como calcular o p-valor em um teste bilateral?
→ uma alternativa é tomar o p-valor bilateral como sendo igual a duasvezes o p-valor unilateral, prática que é razoável quando a distribuição daestatística do teste, sob H0, for simétrica.0
Ex.: Uma companhia de ônibus intermunicipais planejou uma novarota para servir vários locais situados entre duas cidades importantes. Umestudo preliminar afirma que a duração das viagens pode ser considerada umavariável normal , com média igual a 300 minutos e desvio padrão de 30minutos. As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentarammédia igual a 314 minutos. Esse resultado comprova ou não o tempo médiodeterminado nos estudos preliminares?
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1° Passo) Explicitar a hipótese nula (H0) a ser testada, assim como ahipótese alternativa (H1).
H0 : µ = 300H1 : µ ≠ 3001
2° Passo) Sob a hipótese de que H0 é verdadeira e pelo fato de que deU2 ser conhecido (U = 30), temos: ~ N(300 ; 900/10).
→ como o valor observado = 314, podemos encontrar a probabilidadede ocorrerem amostras com valores de mais extremos do que esse:
P( > 314) = = P(Z > 1,48) = 0,07
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→ Como a distribuição de é normal, portanto simétrica, tomamos8 = 0,14. Se considerarmos que essa probabilidade não é suficientementepequena para rejeitar H0, consideraremos que os estudos preliminares parecemestar corretos.
· um problema que pode ocorrer com o procedimento de dobrar o p-· um problema que pode ocorrer com o procedimento de dobrar o p-valor unilateral para obter o p-valor bilateral é que o valor encontrado pode sermaior do que um (o que viola o princípio da probabilidade de que nenhumevento pode ter probabilidade de ocorrência maior do que um).
→ por isso, às vezes é preferível anunciar o valor do p-valor unilaterale a direção segundo a qual a observação afasta-se de H0 (a probabilidade deacharmos um valor tão maior ou tão menor, dada a suposta veracidade de H0).
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Poder de um Teste
- Na construção de um teste de hipóteses, procuramos controlar o errode tipo I, fixando sua probabilidade de ocorrência, 8, e construindo a regiãocrítica de modo que P(rejeitar H0|H0 é verdadeira) = 8.
- Por outro lado, a probabilidade de erro do tipo II, na maioria doscasos, não pode ser calculada, pois a hipótese alternativa usualmente especificacasos, não pode ser calculada, pois a hipótese alternativa usualmente especificaum conjunto de valores para o parâmetro. A probabilidade β do erro de tipo IInão pode ser calculada, a menos que se especifique um determinado valoralternativo para µ.
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Ex.: Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-ossegundo uma distribuição normal, com média µ e variância U2 sempre igual a400 g2. A máquina foi regulada para µ = 500 g.
Periodicamente colhe-se uma amostra de 16 pacotes e verifica-se se aprodução está sob controle, isto é, se µ = 500 g ou não.
Uma dessas amostras apresentou uma média igual a 492g. Com nívelUma dessas amostras apresentou uma média igual a 492g. Com nívelde significância de 1%, você pararia ou não a produção para regular amáquina?
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→ no exemplo já visto da máquina de encher pacotes de café, a variávelaleatória X, que descrevia o peso de cada pacote, tinha uma distribuição normalcom média µ e variância 400 g2, de modo que a média amostral ~ N(500 ; 25),sob a hipótese H0 (n = 16 casos).
→ utilizamos o fato de que ~ N(500 ; 25) para determinar a região→ utilizamos o fato de que ~ N(500 ; 25) para determinar a regiãocrítica RC = .
→ a regra de decisão para verificar se a máquina estava ou nãoproduzindo sob controle foi:
. se RC, a máquina não estaria sob controle; se RNR, a máquinanão estaria.
→ RNR é a região de não-rejeição do teste, dada neste caso por:
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→ a probabilidade β do erro de tipo II não pode ser calculada, a menosque se especifique um valor alternativo para µ.
→ uma vez que especificamos um valor alternativo para µ (porexemplo, µ = 505) é possível calcular a probabilidade do erro de tipo II:
β = P(não-rejeitar H |µ = 505) = P( RNR|µ = 505) =β(µ = 505) = P(não-rejeitar H0|µ = 505) = P( RNR|µ = 505) == P(487,1≤ ≤512,9|µ = 505)
→ ou seja: β(505) = P( RNR|µ = 505) = P(-3,58 ≤ Z ≤ 1,58) = 0,943 ou94,3%, usando o fato de que agora ~ N(505 ; 25).
· os cálculos feitos foram: Zi,8/2 = (487,1 – 505)/5 ; Zs,8/2= (512,9 – 505)/5
![Page 21: 1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042616/55cf9287550346f57b97309c/html5/thumbnails/21.jpg)
→ para qualquer outro valor do parâmetro µ podemos encontrar orespectivo valor de β, dada a região de aceitação original do teste.
- A quantidade 1 – β(µ) é usualmente chamada de poder ou potência doteste, e é a probabilidade de rejeitar a hipótese H0, dado um valor qualquer deµ, especificado ou não pela hipótese alternativa, e será dado por π .
0µ, especificado ou não pela hipótese alternativa, e será dado por π (µ).
→ no exemplo que acabamos de ver:π (µ) = P(rejeitar H0|µ) = P( < 487,1 ou > 512,9| µ)
![Page 22: 1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042616/55cf9287550346f57b97309c/html5/thumbnails/22.jpg)
→ na tabela abaixo temos alguns valores de β(µ) e de π (µ), paradiferentes valores de µ. Observe que quanto maior for a distância entre o valorfixado em H0 (µ = 500) e o valor atribuído para a outra hipótese (µ = 505, porexemplo), maior será a probabilidade de tomar a decisão correta.
Tabela: Valores de β(µ) e π(µ), usando a regra de decisão RC = {x ̅∈R|x ̅≤ 487,1 ou x ̅≥ 512,9}Tabela: Valores de β(µ) e π(µ), usando a regra de decisão RC = {x ̅∈R|x ̅≤ 487,1 ou x ̅≥ 512,9}Verdadeiro valor de µ
π(µ) (em %) β(µ) (em %)À esquerda de 500 À direita de 500500 500 1,0 99,0498 502 1,7 98,3495 505 5,7 94,3492 508 16,4 83,6490 510 28,1 71,9487 513 49,0 51,0485 515 66,3 33,7480 520 92,1 7,9475 525 99,2 0,8
![Page 23: 1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042616/55cf9287550346f57b97309c/html5/thumbnails/23.jpg)
Ex.: Retomando o exemplo anterior, se a amostra colhida fosse de 100pacotes ao invés de 16, mantivéssemos o mesmo nível de significância 8 = 1% ea mesma hipótese alternativa de que µ = 505:
a) qual seria a nova região crítica?b) qual seria o poder (π (µ)) do novo teste?(µ)
a) utilizamos o fato de que, com a nova amostra, ~ N(500 ; 4) paradeterminar a nova região crítica RC = { }.
b) os cálculos que temos de fazer são:Zi,8/2= (494,8 – 505)/2 e Zs,8/2= (505,2 – 505)/2Assim, temos: β(505) = P( RA|µ = 505) = P(-5,1 ≤ Z ≤ 0,1) = 0,54 ou 54%O poder do novo teste é: π (µ) = 46%.Dessa forma, vemos que π (µ,16) = 5,7% < π (µ,100) = 46%
![Page 24: 1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042616/55cf9287550346f57b97309c/html5/thumbnails/24.jpg)
→ não só para o valor alternativo de µ = 505 o teste realizado commaior amostra apresenta maior probabilidade de uma resposta correta. Paraqualquer outro valor, o teste realizado com amostra maior é ao menos tão bomquanto o teste com amostra menor. Dizemos, assim, que o teste baseado emamostras de tamanho 100 é mais poderoso do que o teste baseado em amostrasde tamanho 16.de tamanho 16.
→ esse fato está de acordo com a intuição de que um teste comamostras maiores deve levar a melhores resultados.
![Page 25: 1.2 Testes de Hipótese - 3a Parte](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042616/55cf9287550346f57b97309c/html5/thumbnails/25.jpg)