11 Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy ... · 19 Aos meus pais Alfredo e Rosa,...

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Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy UNIGRANRIO

ALEX DE BRITO COELHO

TEOREMA DE PITÁGORAS: QUAL A SUA IMPORTÂNCIA PARA O ENSINO DAS CIÊNCIAS DA NATUREZA?

Duque de Caxias

2010

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ALEX DE BRITO COELHO

TEOREMA DE PITÁGORAS: QUAL A SUA IMPORTÂNCIA PARA O ENSINO DAS CIÊNCIAS DA NATUREZA?

Dissertação apresentada à Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, como parte dos requisitos parciais para obtenção do grau de mestre em ensino de Ciências na Educação Básica.

Orientadora: Professora Doutora Clícia Valladares Peixoto Friedmann Co-Orientador: Professor Doutor Renato Silva

Duque de Caxias

2010

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“Nos dias atuais, ninguém desconhece a importância das ciências

básicas, sem as quais não se pode obter uma tecnologia independente nem resolver os problemas

fundamentais com vistas ao bem-estar humano. Muito menos se ignora que o cultivo dessas ciências e o

estímulo às vocações jovens se faz através da difusão adequada das idéias avançadas.”

(Elon Lages de Lima, 1969).

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RESUMO

O texto faz referência ao Teorema de Pitágoras, desde o seu surgimento, no

contexto histórico até suas aplicações, fora do campo da Matemática. O texto apresenta um

breve relato sobre o aparecimento da Geometria e suas diferentes vertentes. São

apresentadas algumas de suas demonstrações, desde a mais usual a outras menos

conhecidas. Foi realizada, também, uma análise dos livros didáticos indicados pelo PCN

(Parâmetros Curriculares Nacionais) com objetivo de verificar se aspectos históricos sobre o

teorema são mencionadas pelos mesmos. A seguir, são apresentadas as diversas aplicações

do Teorema de Pitágoras: no campo da Matemática, incluindo as Geometrias Plana,

Analítica e Espacial; na Física e também na Biologia. Foi elaborado um estudo envolvendo

18 alunos, do nono ano do Ensino Fundamental, de um colégio particular localizado no

município do Rio de janeiro. Foram divididos em dois grupos, contendo nove alunos cada e

ministradas demonstrações distintas do Teorema de Pitágoras, seguido de resoluções de

exercícios. Posteriormente, ambos os grupos foram submetidos ao mesmo teste, com o

objetivo de verificar o entendimento do teorema levando em consideração às diferentes

formas como foram demonstrados.

PALAVRAS-CHAVE: Teorema de Pitágoras, Geometria, Demonstração.

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ABSTRACT

The text refers to the Pythagorean Theorem, since its appearance in the historical

context to their applications outside the field of mathematics. The text presents a brief

account of the emergence of geometry and its different aspects. Are presented some of his

statements, since the more usual to other less known. Was also carried out an analysis of the

textbooks listed by the NCP (National Curriculum) in order to verify historical aspects of

the theorem are mentioned by them. The Following are the various applications of the

Pythagorean Theorem: In the field of mathematics, including Geometry Plana, and

Analytical Characteristics; also in physics and biology. A study involving 18 students from

the ninth year of elementary school, a private school located in the municipality of Rio de

Janeiro. They were divided into two groups, with nine students each and given different

statements of the Pythagorean Theorem, followed by resolutions of exercises. Subsequently,

both groups underwent the same test, with the objective of verifying the understanding of

the theorem, taking into account the different ways have been demonstrated.

KEYWORDS: Pythagorean Theorem, Geometry, Demo.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1............................................................................................................................22 Figura 2............................................................................................................................24 Figura 3............................................................................................................................25 Figura 4............................................................................................................................26 Figura 5............................................................................................................................27 Figura 6............................................................................................................................45 Figura 7............................................................................................................................46 Figura 8............................................................................................................................47

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LISTA DE TABELAS Tabela 1 ..........................................................................................................................16 Tabela 2 ..........................................................................................................................32 Tabela 3 ..........................................................................................................................61 Tabela 4 ......................................................................................................................... 62

18

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 ....................................................................................................................... 64

19

Aos meus pais Alfredo e Rosa, Pelo carinho, amor, dedicação e preces para trilhar meu caminho com dignidade e coragem.

A Minha esposa Carla, Por toda espera e paciência, Por suportar a minha ausência, Pelos mais belos sentimentos, Pela compreensão em tantos momentos, Por ser companheira apesar de tão pequena, Por fazer meu esforço valer à pena, Pelo seu aconchego afável, Pelo nosso amor incomensurável. Ao meu irmão Anderson, Pelo apoio e pela torcida

20

AGRADECIMENTOS

A Deus, por iluminar meus pensamentos, fortalecer minha vontade, abençoar minha vida e permitir generosamente a realização de meus projetos. A minha esposa Carla, pelo companheirismo, compreensão com meus estudos e paciência com a minha ausência em tantos momentos. À minha mãe Rosa, pelas inúmeras preces e pedidos aos espíritos do bem para incentivar e ajudar em todos os momentos, por cuidar de mim e da minha esposa. Ao meu pai Alfredo, por todo o apoio e luta para dar o melhor em educação para mim e meu irmão. Ao meu irmão Anderson, pelo apoio em todos os momentos. À direção do Colégio Veríssimo, por autorizar a realização do trabalho com os alunos. Ao coordenador e amigo João Gentile, pelo apoio e compreensão durante a realização do curso e desenvolvimento da pesquisa. Aos amigos Anderson Andrada, Eduardo Sol e Márcio Azevedo pelo companheirismo e apoio. Aos colegas de turma Andréa, Valessa, Vanderlei e Sérgio Trindade, pelo trabalho de equipe. À secretária do Mestrado Fabiane Berbat, por me atender sempre com simpatia e paciência.

Especialmente, Aos meus orientadores Clícia e Renato, pela paciência, incansáveis revisões e ricas

sugestões. Também por todo entusiasmo, motivação e confiança em meus objetivos.

21

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................

11

2 TEOREMA DE PITÁGORAS.................................................................... 12

2.1 BREVE HISTÓRICO DA GEOMETRIA .............................................. 12

2.1.1 Os Elementos de Euclides.........................................................................

15

2.1.1.1 A Composição da Obra........................................................................... 16

2.1.2 As Diferentes Geometrias................................................ .........................

19

2.2 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE

PITÁGORAS.....................................................................................................

21

2.2.1 Por Semelhança de Triângulos.................................................................. 22

2.2.2 Pelo Cálculo de Áreas................................................................................

23

2.2.3 A demonstração do Presidente James Abram Garfield.............................

25

2.2.4 A demonstração de Leonard Da Vinci ...................................................... 26

2.3 OS PCN’S E OS LIVROS DIDÁTICOS..................................................... 28

3 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS .................................. 35

3.1 No Campo da Matemática............................................................................ 36

3.1.1 Em Geometria Plana.................................................................................. 36

22

3.1.2 Em Trigonometria...................................................................................... 38

3.1.3 Em Geometria Analítica............................................................................ 41

3.1.4 Em Geometria Espacial............................................................................. 43

3.2 Aplicações do Teorema de Pitágoras na FÍSICA......................................... 44

3.2 Aplicações do Teorema de Pitágoras na Biologia........................................ 47

4 A EXPERIENCIA EM SALA ..................................................................... 49

4.1 O Plano de Aula: Dados e Objetivos ........................................................... 49

4.2 A Metodologia.............................................................................................. 51

4.3 A análise da Avaliação................................................................................. 53

4.4 O Desempenho dos Alunos na Avaliação.................................................... 61

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................ 66

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................ 68

ANEXOS............................................................................................................ 71

ANEXO A – Lista de Exercícios ....................................................................... 71

ANEXO B – Teste de Sondagem....................................................................... 73

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1 INTRODUÇÃO

Este trabalho pretende mostrar a importância do Teorema de Pitágoras no ensino

da Matemática. Nesse sentido, foram explorados os seguintes aspectos: o itinerário

histórico do Teorema de Pitágoras dentro da geometria; algumas demonstrações deste

teorema; algumas de suas aplicações na Matemática, na Física e nas Ciências Biológicas

e uma experiência em sala de aula com dois grupos de alunos.

O capítulo 1 consiste de um breve histórico da geometria. Buscou-se dar ênfase

a parte desta história relacionada com Pitágoras, mais precisamente com o Teorema de

Pitágoras; começando com Euclides, os desdobramentos em conseqüência da sua obra,

passando por Tales de Mileto e encerrando com Pitágoras e a Escola Pitagórica.

No capítulo seguinte é feito um apanhado de algumas demonstrações do

Teorema de Pitágoras. Ao todo já foram catalogadas mais de 300 demonstrações e a

intenção foi mostrar apenas algumas que seguissem caminhos diferentes.

No terceiro capítulo são trabalhadas as aplicações do Teorema de Pitágoras no

campo da Matemática e fora dela também. Ainda na Matemática são verificadas

aplicações em suas ramificações como a Geometria Plana, Analítica e Espacial.

No último capítulo é relatada uma experiência feita com dois grupos de alunos

cujo objetivo foi trabalhar o Teorema de Pitágoras de duas formas diferenciadas; cada

uma delas aplicada a um grupo e verificar se havia diferença, em relação à

aprendizagem, por parte dos grupos.

24

2 TEOREMA DE PITÁGORAS

2.1 BREVE HISTÓRICO DO SURGIMENTO DA GEOMETRIA

A respeito da história do surgimento da geometria, Carl B. Boyer, em “A

História da Matemática”, de 1996, ressalva, entre outros aspectos, a importância dos

povos egípcios, babilônicos e gregos para o seu desenvolvimento. E sobre isso trata o

primeiro capítulo deste trabalho.

O ser humano sempre esteve rodeado por uma extensa variedade de formas

geométricas fornecidas pela natureza. As comparações em relação à forma, ao tamanho

e a percepção de certas configurações eram perceptíveis no homem primitivo, desde os

tempos mais remotos. É possível que da observação da natureza possam ter surgido as

primeiras noções de curva, superfície, volume, simetria, etc.

De maneira extraordinária, o homem primitivo conseguiu transformar suas

observações sobre a natureza e o espaço que o rodeava numa espécie de geometria

elementar, ou como preferem alguns autores, como (EVES, 2004; GUELLI, 1992),

geometria “rudimentar” básica, utilizada para construir casas, pirâmides, pintar vasos e

demarcar terras. Porém, o ser humano utilizava na maioria das vezes, apenas sua

intuição e a ciência, como tal, necessitava de uma fundamentação, ou seja, uma

comprovação.

Após séculos, o homem começou a se preocupar em estabelecer regras e

procedimentos gerais baseados em situações semelhantes, através da observação e

experimentação (GUELLI, 1992). Tal procedimento constituiu o método indutivo que,

segundo os empiristas Bacon, Hobbes, Locke e Hume citados por Boyer, foi

fundamentado exclusivamente na experiência, sem levar em consideração princípios

preestabelecidos. De forma contrária ao método dedutivo; o indutivo parte do singular

para alcançar a generalização como um resultado do trabalho de coleta de informações

particulares.

Precisar o local do surgimento da Geometria é tão difícil quanto imaginar seu

inventor. Heródoto, historiador grego (c. 484-425 a.C.), citado por Boyer (1988), por

25

exemplo, defende a idéia de que a Geometria nasceu no Egito, com a necessidade de

demarcação das terras inundadas pelas enchentes anuais do Rio Nilo, o que evidencia

que a noção intuitiva de distância figurava como um dos primeiros conceitos

geométricos pensados pelo ser humano. Heródoto apud Boyer, explica que por este

motivo a palavra geometria significa “medida de terra”.

Sesóstris... repartiu o solo do Egito entre seus habitantes... Se o rio levava parte do lote

de um homem... o rei mandava pessoas para examinar, e determinar por medida a

extensão exata da perda... Por esse costume, eu creio, é que a geometria veio a ser

conhecida no Egito, de onde passou para a Grécia. (1996, p.24).

Outros, por sua vez, defendem a idéia de que os lazeres de uma classe sacerdotal

culminaram com o surgimento da geometria. O certo é que as duas correntes

subestimaram a idade do surgimento da geometria (BOYER, 2006 p.5).

O homem da idade da pedra polida, período conhecido como Neolítico (entre

12000 e 4000 a.C.), pode não ter tido necessidade de demarcar suas terras e certamente

não havia muito para desfrutar de lazer, mas o certo é que suas figuras já demonstravam

certo conhecimento intuitivo de congruência e simetria, que são uma das bases da

Geometria.

A preocupação com a forma era evidente nas seqüências de figuras encontradas

no período pré-histórico. Há registros também de cestas e tecidos que traziam desenhos

que sugeriam proposições aritméticas e geométricas (idem).

Uma outra possibilidade para o surgimento da geometria apareceu na Índia, com

uma espécie de ritual primitivo, os Sulvasutras, ou melhor, “regras da corda” que eram

aplicadas nas construções de templos e altares (EVES, 2004 p.248).

Após o declínio do poder egípcio e da Babilônia, os gregos se tornaram

referência intelectual e inauguraram no séc. VI a.C. a denominada Geometria Moderna,

baseada na confirmação de resultados lógicos, formalizados sobre pressupostos básicos.

A partir deste momento eram descartados resultados que provinham apenas de

observações e experimentações. Dessa maneira surgia o método dedutivo1,

1 Método dedutivo: raciocínio que parte do geral ao particular, do universal ao singular. Com base em enunciados ou premissas chega-se a uma conclusão necessária, em virtude da correta aplicação de regras lógicas. (Meis, Leopoldo de - O Método Científico - Como o Saber Mudou a Vida do Homem, 2005).

26

fundamentado em provas e demonstrações que são a base da geometria utilizada nos

dias de hoje.

Segundo Eves (2004), Tales de Mileto (aproximadamente de 624 - 585 a.C.) foi

o pioneiro na geometria moderna. Sem muita preocupação lógica, demonstrou algumas

propriedades importantes como: proporcionalidade entre os segmentos determinados

por um feixe de paralelas sobre duas transversais, os teoremas das bissetrizes interna e

externa, e as utilizou para a determinação de distância sobre a superfície terrestre. Tal

preocupação lógica foi iniciada por Pitágoras de Samos (c. 532 a.C.) e posteriormente

desenvolvida pela escola que fundou - a Escola Pitagórica, em Crotona, uma antiga

cidade-estado da Magna Grécia, situada no sul da Itália; atualmente conhecida como

Crotone, uma província da Calábria.

A escola Pitagórica era uma espécie de sociedade filosófico-religiosa secreta de

regras rígidas. Pelo fato dos pitagóricos trabalharem com a matemática desprovida de

objetivos práticos, diz–se que praticavam a chamada matemática pura. Entretanto muito

pouco se sabe da rotina e dos trabalhos desenvolvidos por eles. Como praticamente não

registraram nada, as informações sobre eles tornam-se inseguras e obtidas muitos

séculos após o fechamento da escola (EVES, 2004 p.95).

Ao sábio grego Euclides de Alexandria (c. 300 a.C.) coube tentar organizar toda

a geometria desenvolvida pelo método dedutivo (Geometria Moderna). Não há certeza

sobre a sua formação, mas acredita-se que tenha estudado em Atenas, na Academia de

Platão (BOYER, 1999 p.12). Escreveu sobre óptica, astronomia, música, mecânica e até

sobre secções cônicas; mais da metade do que ele escreveu se perdeu. Entre as obras

que sobreviveram há: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e

Óptica.

A seguir, será visto um resumo de Os Elementos, principal obra de Euclides que

serviu de base para a fundamentação teórica de toda a geometria moderna, o que pode

ser visto em Boyer, 1999 na pagina 13. As informações sobre Os Elementos, que serão

vistas na próxima seção, foram retiradas a partir da página 166, do livro Introdução à

História da Matemática, de Howard Eves (2004).

27

2.1.1 OS ELEMENTOS

Eves (2004) ressalta que Os Elementos, constituída de treze volumes, foi a obra

mais estudada e reproduzida na história do mundo ocidental. Devido a sua simplicidade

do estilo geométrico e a busca constante da clareza e beleza formal, tal obra tem sido

admirada pelos matemáticos e filósofos de todos os países e de todos os tempos.

Poucos foram os livros editados, traduzidos e comentados da mesma forma que

Os Elementos. Na Grécia Antiga, esta obra foi comentada por Proclus (410 - 485),

aproximadamente 700 anos depois de Euclides. Depois por Heron (10 – 75 d.C) e por

último, Simplício (490 - 560). Já na Idade Média foi traduzida para o latim e para a

língua árabe. Após a descoberta da imprensa, em 1450, foram produzidas várias

edições, em diversas línguas européias.

É importante destacar que este material chegou aos dias de hoje sem alterações

relevantes em relação ao original. A mais antiga cópia2 de Os Elementos, datada de 880,

encontra-se em uma biblioteca na Universidade de Oxford, na Inglaterra. Trata-se, em

sua maioria, de uma publicação de trabalhos desenvolvidos anteriormente. Seu êxito foi

tão grande que conseguiu superar a casa dos milhares de exemplares impressos em todo

o mundo e durante mais de dois milênios foi referência para o estudo de geometria.

Pelo fato de não apresentar a geometria como um emaranhado de dados sem

nenhum tipo de ligação e sim como um sistema lógico, Os Elementos tem uma

importância fundamental na história da matemática. As definições, os axiomas (ou

postulados) e os teoremas aparecem seguindo uma linearidade. Cada teorema remete, ou

resulta, de definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma

demonstração formal e rigorosa. Este método, chamado axiomático, foi amplamente

utilizado por Euclides. Desta forma, Os Elementos representam o primeiro e um dos

mais importantes exemplos de um sistema lógico-formal e ideal, imitado e seguido por

diversas outras ciências. Embora tenha se esforçado, e muito, para axiomatizar a

geometria com os meios a sua disposição na época, pode-se observar que o sistema

2 A maior parte dos textos antigos foram revisados por Têon de Alexandria, no séc IV. Os Elementos foram à primeira obra matemática impressa em Veneza, em 1482; pouco depois da invenção da imprensa, em 1450.

28

escolhido por Euclides apresentou, em alguns momentos, resultados desprovidos de

demonstrações, com isso ele utilizou sua intuição para chegar a determinados

resultados.

A seguir será apresentada uma tabela elaborada com base nos dados fornecidos

por EVES (2004) na qual o autor mostra, de forma resumida, os livros da coleção Os

Elementos e os principais tópicos tratados em cada um.

2.1.1.1 A COMPOSIÇÃO DA OBRA

Número do Livro Principais assuntos abordados

I

Inicia-se com as definições, axiomas e postulados, sendo o quinto, o mais importante deles. Cerca de 48 proposições são distribuídas da seguinte forma:

Da 1ª a 26ª: referem-se a propriedades do triângulo e incluem os três teoremas de congruência ( LLL, ALA e LAL);

Da 27ª a 32ª: regulamentam a teoria das paralelas e provam que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos (180º);

Da 33ª a 46ª: trabalham com paralelogramos, triângulos e quadrados, com destaque para as relações entre áreas;

A 47ª: Teorema de Pitágoras e sua demonstração feita por Euclides;

A 48ª: é o recíproco do Teorema de Pitágoras.

II

Apresenta quatorze proposições que tratam de transformações

de áreas e a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui

os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas.

III

Consiste em 39 proposições contendo muitos dos teoremas

familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e

medidas de ângulos.

Mais 16 proposições que discutem a construção, com régua e

29

IV compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e

quinze lados, bem como inscrição desses polígonos num

círculo dado.

V

Apresenta a Teoria das Proporções de Eudoxo (408 a.C. - 355 a.C.)

na sua relação direta com a geometria. Através dela, aplicável tanto

a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que

se resolveu o problema dos números irracionais descobertos pelos

pitagóricos.

VI

Destina-se à semelhança de figuras planas. Novamente são

abordados o teorema de Pitágoras e a secção de ouro, mas

agora como relações envolvendo as razões de grandezas. É de

particular interesse o teorema que contém o primeiro problema

de máxima: que chegou até os dias de hoje, com a prova de

que o quadrado é, de todos os retângulos de um dado

perímetro, o que tem área máxima.

VII

Começa com o que hoje chamamos de algoritmo euclidiano,

para obter o máximo divisor comum de dois ou mais números

inteiros (mdc) e sua utilização para verificar se dois inteiros

são primos entre si. Há, também, uma exposição da teoria das

proporções numérica (ou pitagórica).

VIII Refere-se, quase que integralmente, ao estudo das proporções

contínuas e progressões geométricas.

IX

Trata de alguns teoremas importantes, tais como: Teorema

Fundamental da Aritmética ( “todo número inteiro maior que

um pode se expressar como produtos de primos”); Teorema de

Euclides (a cerca da infinidade dos números primos), fórmula

da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica

e a fórmula para obter números perfeitos.

X Considerado o mais complexo de todos, trata dos irracionais e

sua relação com a reta real.

XI É dedicado a geometria sólida (atualmente chamada de

geometria espacial). Envolve as definições, os teoremas sobre

30

Tabela 1 – Tabela sobre o conteúdo de cada volume de Os Elementos de Euclides (Boyer, 2004)

Embora Euclides tenha esquematizado as bases da geometria de seu tempo, que

são referências importantes até os dias atuais; outras geometrias apareceram ao longo

dos séculos destacando-se aquelas que surgiram de tentativas de demonstrar o 5º

postulado enunciado no Livro I de Os Elementos.

Os próximos parágrafos descrevem brevemente algumas dessas geometrias;

assim como outras, que podem ser entendidas como “variações” da Geometria

Euclidiana, como por exemplo, a Geometria Analítica.

Ainda sobre os postulados publicados por Euclides apud Boyer no Livro I de Os

Elementos, o mesmo escreveu:

Postulado 5: Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma

dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos,

então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do

mesmo lado em que estão esses dois ângulos. (1992, p.28)

Certamente o quinto postulado foi o mais famoso e também o mais discutível de

todos eles. Equivale ao que hoje a geometria espacial chama de “axioma das paralelas”

segundo o qual, por um ponto P exterior a uma reta r passa uma e somente uma paralela

a reta r dada. A polêmica se deu pelo fato de este postulado não ser tão evidente quanto

os anteriores. O próprio Proclus apud Boyer escreveu:

Este postulado deve ser riscado da lista, pois é uma proposição com muitas

dificuldades que Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de que duas

linhas retas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo prolongadas,

acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária. (...) É claro, portanto, que

devemos procurar uma demonstração do presente teorema, e que este é estranho ao

caráter especial dos postulados. (1992, p.23).

retas e planos no espaço e sobre paralelepípedos.

XII Destina-se a obter razões entre áreas de figuras planas e entre

volumes de sólidos, através do método atualmente conhecido

como método de exaustão.

XIII São desenvolvidas construções visando à inscrição dos cinco

poliedros regulares numa esfera, os chamados poliedros de

Platão.

31

2.1.2 AS DIFERENTES GEOMETRIAS

Segundo Eves (2004) vários matemáticos se dedicaram ao estudo do quinto

postulado de Euclides e dessa forma foram surgindo caminhos alternativos para sua

compreensão e também aplicação. Mesmo Euclides e vários de seus sucessores

tentaram, sem sucesso, demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas

previamente estudados. Entretanto, diante deste obstáculo, outros, resolveram transpô-

lo. Como exemplo, Janos Bolyai (1802 - 1860), um jovem húngaro que partiu da

negação desse postulado como hipótese. Contemporâneo e trabalhando de forma

independente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856) publicou em 1829 a

sua versão da geometria não-euclidiana que denominou inicialmente de "imaginária" e

mais tarde "pangeometria". Atualmente, esta geometria é chamada Geometria

Hiperbólica.

No início do século XIX, Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Riemann

e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguiram efetivamente demonstrar que o quinto

postulado era um axioma; um resultado necessário e independente dos demais. Nas

tentativas de mostrar que o postulado de Euclides não era verdadeiro, os matemáticos

acima citados substituíram-no por outros axiomas, cada qual associado a uma nova

geometria.

Substituindo o axioma das paralelas, foi possível construir duas geometrias

diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a

nenhuma contradição, ou seja, surgiam duas novas ramificações da geometria que

tiveram como ponto de partida o quinto postulado. Apesar de serem dificilmente

compreensíveis, foram lentamente reconhecidas como alternativas legítimas à geometria

euclidiana. A partir daí, existiam três sistemas geométricos diferentes: a geometria

euclidiana, por vezes também chamada Parabólica; a geometria de Lobachevski,

também denominada Hiperbólica e a geometria de Riemann, também chamada Elíptica

ou Esférica. Sendo as duas últimas conhecidas como geometrias não euclidianas.

Essa difusão da geometria propiciou, no século passado, diversos avanços no

campo das ciências exatas, dentre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de

32

Einstein (1879 - 1955), que permitiu provar que tais geometrias possuíam aplicações

práticas, contradizendo muitos cientistas da época.

Sem a intenção de discutir o quinto postulado, por volta do ano de 1600, o

matemático francês René Descartes (1596 – 1650) descobriu que havia uma relação

estreita entre as figuras geométricas e certos cálculos numéricos. De acordo com Asger

(p.54, 1984), René Descartes criou, em 1637, as fundações para os métodos da

Geometria Analítica no apêndice intitulado Geometria de sua obra Discurso do Método.

Desse apêndice tem-se que, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas

propriedades estudadas através de métodos algébricos Surgia, então, a chamada

Geometria Cartesiana, mas conhecida como Geometria Analítica e que apesar de tudo,

trabalha, basicamente, com a álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas

cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em

duas dimensões, mas por vezes também em três dimensões.

Segundo Martos (2002), em “Geometrias não-Euclidianas: uma proposta

metodológica para o ensino de Geometria no ensino fundamental”(p.49), os trabalhos

desenvolvidos e reconhecidos do arquiteto francês Gerard Desargues (1591-1661), do

filósofo Blaise Pascal (1623 – 1662) e do matemático francês Gaspard Monge (1746-

1818) impulsionaram o desenvolvimento da chamada Geometria Projetiva, também

conhecida como Geometria Perspectiva. Entretanto, apenas em 1895, o matemático

italiano Mario Pieri (1860-1913) conseguiu estabelecer um conjunto de axiomas para a

Geometria Projetiva. Para eles, a diferença fundamental entre a Geometria Projetiva e a

Geometria Euclidiana era que, a partir daquele momento, não haveria necessidade de

distinguir as seções cônicas entre círculos, elipses, parábolas e hipérboles ou diferenciar

as retas paralelas das não-paralelas. Dessa forma, a Geometria Projetiva permite

simplificar a formulação e a explicação de certas ideias, como o Teorema de Desargues;

que relaciona os lados e os vértices de dois triângulos cujos lados não são

necessariamente paralelos, e o Teorema de Pascal, que relaciona os vértices de um

hexágono numa cônica em que ele está inscrito.

Ainda segundo Martos (p.67), o matemático francês Gaspard Monge

desenvolveu a Geometria Descritiva (também chamada de Geometria Mongeana ou

método monge) que consiste num ramo da geometria que tem como objetivo representar

objetos de três dimensões em um plano bidimensional. Esse método teve grande

33

impacto no desenvolvimento tecnológico desde sua sistematização. Percebida sua

importância, a Geometria Descritiva foi tratada com atenção e considerada, no início,

uma espécie de segredo de estado. A Geometria Descritiva serve como base teórica para

o desenho técnico, permitindo a construção de vistas auxiliares, cortes, rebatimentos e

interseções de planos e sólidos.

As duas geometrias apresentadas anteriormente apresentavam, pela primeira vez

em muitos séculos, as primeiras verdadeiras “alternativas” à Geometria Euclidiana sem

que isto signifique, contudo, que os princípios desta tenham sido questionados com as

alternativas criadas.

Na próxima seção, serão vistas algumas das diversas demonstrações do Teorema

de Pitágoras. A finalidade é ressaltar, mais uma vez, a importância desse teorema, que

fascinou, não só matemáticos, ao longo do tempo. Também se teve o objetivo de

apresentá-las para enfatizar que certas demonstrações são fáceis de serem entendidas

por alunos da escola básica, por envolverem conceitos e resultados previamente

trabalhados na sala de aula.

2.2 AS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Na sua origem, o Teorema de Pitágoras foi descrito com o seguinte contorno: “A

área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das

áreas dos quadrados que tem como lados cada um dos catetos” (LIMA, 1991, p.52).

Devido a sua relevância para as ciências matemáticas, o Teorema de Pitágoras

tem merecido muita atenção de profissionais e amantes da disciplina, resultando no

surgimento das mais variadas formas de demonstrá-lo, dentre as quais foram

selecionadas quatro para serem apresentadas neste trabalho.

A primeira e mais singela demonstração do Teorema é feita através da

semelhança de triângulos, sendo também a mais difundida entre os professores de

matemática. Segue-se a esta, a demonstração clássica do Teorema de Pitágoras,

elaborada por Euclides (EVES, p.103, 2008) em seu livro “Os Elementos”, que envolve

o cálculo de área de quadrados. Derradeiramente são apresentadas duas outras

34

demonstrações, propostas, respectivamente, pelo ex-presidente norte-americano James

Abram Garfield e por Leonardo da Vinci, ambas envolvendo o cálculo de áreas de

polígonos.

2.2.1 Por Semelhança de Triângulos

Conforme anteriormente mencionado, esta primeira demonstração do Teorema

de Pitágoras é a mais comumente utilizada pelos professores de matemática do Ensino

Fundamental e Médio. Encontra-se no volume nove da coleção “Fundamentos de

Matemática Elementar” de Dolce e Nicolau3 (1998). Segundo seus autores, o Teorema

de Pitágoras poderia ser facilmente demonstrado a partir da semelhança de triângulos, o

que é hoje sugerido por quase todos os livros didáticos que tratam do assunto, tais

como: “Matemática e Realidade” (8ª série, Atual, 1996), “Matemática para a Realidade

de Hoje” (volume único, FTD, 2006) e “A mais nova conquista da Matemática”, (9º

ano, FTD, 2006).

Demonstração: Seja um triângulo retângulo, com o ângulo reto, trace a

altura do triângulo e seja H o ponto interseção da altura com o segmento BC. Tem-se

que , por serem retos e por serem coincidentes, assim

, pelo critério Ângulo – Ângulo (A.A.). De forma semelhante, se

prova que , consequentemente, . Sejam agora a=BC,

b=AC, c=BA, m=BH e n=CH. Pelas semelhanças descritas acima, tem-se que:

e , de onde se deduz que (I) e (II). Somando (I) e (II)

que: e como , concluímos que .

A figura abaixo ilustra esta demonstração.

3 Na realidade, foi feita uma versão mais detalhada da demonstração apresentada pelos autores citados.

35

Esta simples demonstração levou séculos para ser referenciada ao matemático

Pitágoras de Samos, em razão dos motivos já expostos neste trabalho.

2.2.2 Pelo Cálculo de Áreas

Segundo Elon Lages Lima (1991), em sua obra “Meu Professor de Matemática”

a demonstração a seguir é a mais bela de todas e encontra-se no Livro VI de Euclides,

“Os Elementos” (Ibid., p.54). Por utilizar apenas o conceito de áreas e, seguidamente, a

comparação entre as mesmas, Lima acredita que, até mesmo, um aluno do sexto ano do

Ensino Fundamental seja capaz de acompanhá-la, pois nos PCN’s (Parâmetros

Curriculares Nacionais), o conteúdo relacionado ao cálculo de áreas deve ser trabalhado

nas séries iniciais do segundo segmento do Ensino Fundamental, considerando-se que

os lados de quadriláteros são expressos por números inteiros. Abaixo, se encontra uma

demonstração mais detalhada do Teorema de Pitágoras pelo cálculo de áreas do que

aquela sugerida por Lima.

36

Demonstração: Sejam um triângulo retângulo, com o ângulo reto, a = BC,

b = AC, c = AB, e V1V2V3V4 um quadrado de lados l1 = V1V2, l2 = V2V3, l3 = V3V4, l4 =

V4V1, tais que li ≡ a+b, para i = 1,2,3,4. Considere Pi um ponto interior do segmento li

de forma tal que V1P1 ≡ V2P2 ≡ V3P3 ≡ V4P4 ≡ b, consequentemente tem-se que V2P1≡

V3P2 ≡ V4P3 ≡ V1P4 ≡ a, como cada ângulo Vi, é reto por serem ângulos de um

quadrado, tem-se que: P1V2P2 P2V3P3 P3V4P4 P4V1P1 , pelo

critério ângulo, lado, ângulo (ALA). Logo o quadrilátero P1P2P3P4 é tal que: P1P2 ≡ P2P3

≡ P3P4 P4P1 c (I). Por outro lado, tem-se que V1P1 P4 + P4P1P2 + P2P1V2

= V1P1V2 = 2R, sendo R um angulo reto. Como V1P1 P4 ≡ A, P2P1V2 ≡ , e A

+ B + C = 2R, por serem ângulos internos de um triângulo então P4P1P2 = C = R.

De forma semelhante prova-se que: P1P2P3 ≡ P2P3P4 ≡ P3P4P1 ≡ R (II). O resultado

(I) conjuntamente com (II) provam que P1P2P3P4 é um quadrado e a área do quadrado

V1V2V3V4, é a soma das áreas do quadrado P1P2P3P4, com as áreas dos triângulos

P1V2P2, P2V3P3, P3V4P4, P4V1P1, que é igual 4 vezes a área do triângulo , ou

seja, (a+b)2 = 4( (ab)) + c2. Desenvolvendo ambos os termos dessa última equação tem-

se a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 e daí a2 + b2 = c2.

A figura abaixo consiste em um quadrado de lados a + b, que contém, em seu

interior, um segundo quadrado de lado c.

37

As duas demonstrações apresentadas acima, nas suas versões mais simplificadas,

podem ser utilizadas no Ensino Fundamental e Médio, de forma a ilustrar os diversos

caminhos existentes para se chegar ao mesmo ponto. Elas envolvem conceitos e

resultados matemáticos que constam do currículo da Escola Básica tais como: razão e

proporção, semelhanças de triângulos e áreas. Não se justifica, portanto que o aluno

não as conheça e só tenha acesso à fórmula resultante desse teorema sem demonstração.

Abaixo, serão apresentadas outras demonstrações que surgiram ao longo do

tempo, por aficcionados pela Matemática pelo mundo todo e que merecem destaque

pela maneira pela qual atingiram o mesmo objetivo, de forma mais elaborada ou

diferenciada.

2.2.3 A demonstração do Presidente James Abram Garfield

No ano de 1981, o presidente James Abram Garfield governou os Estados

Unidos da América, por apenas quatro meses, tendo sido assassinado após este breve

período de tempo (LIMA, 1991, p.156). General e amante da Matemática,

especialmente da Geometria Plana, Garfield contribuiu com mais uma demonstração do

Teorema de Pitágoras.

Observe a figura abaixo.

Fonte: LIMA, Elon. Meu professor de Matemática, 1991 p.55

38

Em um trapézio, a sua área é calculada multiplicando-se a altura (a + b) pela

semi-soma das bases

2

ba. Da mesma forma, se pode obter a área do trapézio

calculando, separadamente, as áreas dos três triângulos retângulos que o compõem. Da

igualdade entre as áreas, tem-se que:

222222 cbacba2bba2a2

ab

2

cc

2

ba

2

ba)ba(

.

E, desta maneira, fica provado que, em um triângulo retângulo, o quadrado da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Sem dúvida alguma, tal demonstração, assim como a anterior, basearam-se no

conceito de áreas; entretanto elas são diferentes, pelo fato de terem trabalhado com

figuras planas distintas.

2.2.4 A Demonstração de Da Vinci

Um dos maiores gênios que a humanidade já conheceu, o italiano Leonardo Da

Vinci, também se destacou ao propor uma inovadora demonstração do Teorema de

Pitágoras, ainda no século XV.

Da Vinci também se baseou no princípio da comparação entre áreas, porém de

forma mais complexa e de difícil visualização. Utilizou as áreas dos quadriláteros

formados a partir de uma figura desenhada anteriormente para comprovar suas

equivalências e assim comprovar a relação existente entre os lados dos triângulos

retângulos.

A figura abaixo destaca dois triângulos retângulos congruentes (CFJ e GHI) e

três quadrados construídos sobre os lados do triângulo CFJ.

39

Fonte: LIMA, Elon. Meu professor de Matemática, 1991 p.55.

É fácil observar que os quadriláteros CFGH e CJIH são congruentes e, portanto,

possuem a mesma área. De maneira análoga, percebe-se que os quadriláteros ABDE e

AJFE são equivalentes. Com um pouco mais de atenção, chega-se à conclusão de que os

quatros quadriláteros supracitados são congruentes. Observe:

(i) Os segmentos FJ, JI, IG e GF são os lados de um mesmo quadrado e pertencem aos

quatro quadriláteros.

(ii) Os segmentos CF, HI, EF e DE são congruentes e também aparecem nos quatro

quadriláteros.

(iii) Os segmentos AB, AJ, CJ e GH são congruentes e, novamente, estão presentes nos

quatro quadriláteros.

(iv) Por último, percebe-se que os ângulos formados entre os referidos lados possuem a

mesma medida nos quatro quadriláteros.

40

Pelo exposto, conclui-se que os hexágonos ABDEFJ e CFGHIJ são equivalentes.

Sejam S1, S2, S3, S4 e S5 as áreas dos triângulos retângulos isósceles destacados abaixo,

observa-se que:

Fonte: LIMA, Elon. Meu professor de Matemática, 1991 p.55

2S4 + 2S5 + 2S1 + 2S2 = 2S1 + 2S2 + 2S3 , ou, de forma simplificada: 2S4 + 2S5 = 2S3.

Ou seja, a área do quadrado GFIJ é igual à soma das áreas dos quadrados CDEF

e ABCJ, o que, na verdade, é apenas mais uma das maneiras de se enunciar o Teorema

de Pitágoras.

Estes foram apenas alguns exemplos mais notórios de como se demonstrar o

Teorema de Pitágoras. Em seu livro “Meu Professor de Matemática e outras histórias”,

Elon Lages Lima comenta que o professor de matemática norte-americano Elisha Scott

Loomis conseguiu, em 1940, catalogar, ao todo, 370 demonstrações do Teorema de

Pitágoras, dividindo-as em algébricas (baseadas nas relações métricas) e provas

geométricas (envolvendo a comparação entre áreas).

41

A próxima seção mostra alguns aspectos que evidenciam a importância da

abordagem histórica nos conteúdos matemáticos da escola básica como um elemento

motivador da aprendizagem, segundo indica os PCN´s. O Teorema de Pitágoras tem um

papel destacado na história da geometria e é clássico dentro da matemática; além do

mais possibilitou diversas aplicações dentro e fora dos campos dessa ciência. Por essas

razões, os livros didáticos deveriam apresentar algum conteúdo histórico a respeito

desse teorema, mas como será visto nos próximos parágrafos, isso não ocorre.

2.3 ABORDAGEM HISTÓRICA DO TEOREMA DE PITÁGORAS:

OS PCN’S E OS LIVROS DIDÁTICOS

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), publicados inicialmente em 1997 e

complementados em 1998, mencionam propostas alternativas para o Ensino da

Matemática em sala de aula, tais como utilização de jogos, de softwares matemáticos e

da História da Matemática. Em relação a esta última alternativa, eles posicionam que os

“conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação

cultural, sociológica e antropológica de grande valor informativo”; portanto a História

da Matemática fornece, “nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade

cultural” (p. 42). Dessa forma, através dela é fácil compreender que:

“... a Matemática como uma criação humana, ao mostrar

necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes

momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os

conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o

professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e

valores mais favoráveis diante desse conhecimento”.(BRASIL,

PCN de Matemática, 1998).

Para D’Ambrosio (1996, p.12) a História da Matemática serve não apenas para

alunos e professores, mas para pais e o público em geral. Tal afirmação vai de encontro

ao fato de muitos julgarem que a História da Matemática se resume à narração de fatos e

42

passagens, datas e nomes associados a uma época da humanidade. Ainda segundo

D’Ambrosio, há uma série de fatores que ratificam a sua importância, como por

exemplo:

“Para situar a matemática como uma manifestação cultural de

todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os

costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal

diversificada nas suas origens e na sua evolução; para mostrar

que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas

formas de matemática desenvolvidas pela humanidade; para

destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da

Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade

Média e somente a partir do século XVII se organizou como um

corpo de conhecimentos, com um estilo próprio; e desde então foi

incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se

tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do

desenvolvimento cientifico, tecnológico e econômico.

(D’AMBROSIO, 1996 p.10)”.

A História da Matemática também pode atuar como um fator motivacional as

aulas, pois segundo o autor acima citado (p.30-31) “torna-se cada vez mais difícil

motivar os alunos para uma ciência cristalizada. Não é sem razão que a história vem

aparecendo como um elemento motivador de grande importância.”

“Conhecer, historicamente, pontos altos da matemática de ontem

poderá, na melhor das hipóteses, e de fato faz isso, orientar no

aprendizado e no desenvolvimento da matemática de hoje.”

(D’AMBRÓSIO, 1996, p. 30).

Para Miguel (1997, p.75-94), há uma outra função para a História da Matemática,

que não a motivacional citada por D’Ambrosio. Miguel menciona que ela deve ser

utilizada pelo professor como um meio pedagógico adicional, cuja finalidade seja de

enriquecer o processo ensino-aprendizagem de matemática, propondo estudos histórico-

pedagógicos que podem ser entendidos como:

43

“um estudo que tende a mostrar como a História pode operar em

um nível temático especifico da Matemática na tentativa de

revelar todo o seu potencial sócio-cultural, humano e educativo

mais amplo. É uma reconstituição histórica (de um tema ou

tópico especifico da Matemática) que se faz pensando no aluno e

no educador matemático, e não no historiador ou no matemático

de oficio, isto é, é uma reconstituição histórica com fins

estritamente pedagógicos e que tenta ilustrar detalhadamente um

modo da História participar organicamente do ensino-

aprendizagem da Matemática. (MIGUEL, 1996 p.48)”

A autora Renata Alves Costa (2003), em seu artigo “O TEOREMA DE

PITÁGORAS SOB UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA: UMA ANÁLISE DE LIVROS

DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL NO BRASIL” faz uma

investigação sobre a presença da História da Matemática em relação ao Teorema de

Pitágoras em alguns livros didáticos adotados em diversas escolas no oitavo e nono anos

do ensino fundamental. São eles:

1. GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR, J. R. A Conquista da

Matemática: Nova. 8ª série. São Paulo: FTD, 1998.

2. IMENES, L. M. P., LELLIS, M. C. Matemática. São Paulo: Scipione. 1997. v.7.

3. IMENES, L. M. P., LELLIS, M. C. Matemática. São Paulo: Scipione. 1997. v.8.

4. NAME, M. A. Tempo de Matemática. Editora do Brasil. São Paulo, 1996.

5. BIANCHINI, E.; MIANI, M. Construindo Conhecimentos em Matemática. 8ª

série. São Paulo: Moderna, 2000.

6. LOGEN, A. Matemática em Movimento. 8ª série. São Paulo. Editora do Brasil,

1999.

7. MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: Idéias e Desafios. 8ª série. São Paulo:

Saraiva, 2000.

8. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade. 8ª série.São

Paulo; Atual, 2000.

9. GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A. B. S. PROMAT. 8ª

série. São Paulo; FTD, 1999.

44

10. CAVALCANTE, L. G.; SOSSO, J.; VIEIRA, F.; ZEQUI, C. Mais Matemática.

8ª série. São Paulo; Saraiva, 2001.

11. GUELLI, O. Matemática uma aventura do pensamento. 8ª série. São Paulo;

Ática, 2000.

12. NETO, S. P. Pensar Matemática. 8ª série. São Paulo; Scipione, 2001.

13. GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. Aprendendo Matemática. 8ª série. São Paulo;

FTD, 1999.

14. BIGODE, A. J. L. Matemática Hoje é Feita Assim. 8ª série. São Paulo; FTD,

2000.

A autora, no mesmo artigo, ainda apresenta um quadro comparativo para tornar

mais claro o enfoque histórico dado ao Teorema de Pitágoras em cada um dos livros

analisados:

Livro

Conteúdo histórico

apresentado sobre o

“Teorema de Pitágoras”

Exercícios Propostos

A Conquista da

Matemática: Nova.

Pouco.

O texto indica que o

“Teorema de Pitágoras” já era

conhecido pelos povos da

Mesopotâmia.

Possui poucos exercícios

contextualizados, apenas

um com caráter histórico

sobre o “Teorema de

Pitágoras” nas orientações

ao professor.

Matemática

v.7

Pouco.




Mesopotâmia.

Não apresentam caráter

histórico.

Matemática

v. 8

Não é apresentada nenhuma

abordagem histórica, visto

que já foi mencionado na 7a

série.


histórico.

45

Tempo de Matemática

È apresentado no final da

seção do capitulo referente ao

“teorema de Pitágoras” um

texto que o autor se refere à

história do “Teorema de

Pitágoras” como uma lenda.


histórico.

Construindo

Conhecimentos em

Matemática

Pouco.




Mesopotâmia.

Possui exercícios

contextualizados, apenas

um apresenta caráter

histórico sobre o “Teorema

de Pitágoras”.

Matemática em

Movimento

Pouco.

Indica que o “Teorema de

Pitágoras” já era conhecido

pelos povos da Mesopotâmia.


histórico.

Matemática: Idéias e

Desafios

Nenhum conteúdo histórico


Pitágoras” nesta obra.


histórico.

Matemática e

Realidade

Pouco. Apresentado no final

do capitulo. Indica que o



Mesopotâmia.


histórico.

PROMAT

Pouco e apresentado no final

do capitulo.




Apenas dois exercícios

apresentam caráter

histórico.

Mais Matemática

Muito pouco.





histórico.

46

Matemática: uma

aventura do

pensamento

Muito pouco.





histórico.

Pensar Matemática

Nenhum conteúdo histórico


Pitágoras”.


histórico.

Aprendendo

Matemática

Muito pouco.





histórico.

Matemática Hoje é

Feita Assim

Muito pouco e apresentado no

final do capitulo.





histórico.

Tabela 2 – Quadro comparativo entre os livros didáticos (Renata, p.8, 2003)

Pelo que exposto acima, os livros didáticos adotados não dão a devida

importância aos aspectos históricos acerca do Teorema de Pitágoras e muito menos

trabalham questões contextualizadas sobre aplicação do mesmo teorema, o que pode

dificultar sua aprendizagem e conseqüentemente levar à memorização por parte do

aluno.

Segundo Elon Lages de Lima (1991); trabalhar com teoremas em questões do

cotidiano do estudante ajuda a reforçar a idéia de que eles são, entre outros aspectos,

ferramentas a serem utilizadas na resolução de problemas e que diversos teoremas

foram surgindo para que estes fossem solucionados, como é o caso do Teorema de

Pitágoras.

De acordo com EVES (2004), ao não se mencionar fatos, ou até mesmo estórias

acerca dos matemáticos que foram destaques - cada um em sua época e de acordo com o

assunto a ser trabalhado em sala de aula; corresponde a apagar o passado de descobertas

47

e seus feitos que perduram até hoje; o que dificulta compreender que essas descobertas

não são isoladas no tempo; quem as descobriu devem ser tratados como personagens

importantes da construção da ciência.

No próximo capitulo serão vistas algumas das aplicações do Teorema de

Pitágoras dentro e fora dos campos da matemática. A finalidade é ressaltar que o ensino

desse teorema se justifica também pela importância de sua aplicabilidade, notadamente

nas ciências exatas, mas que não excluem as demais ciências como a biologia, por

exemplo; ou seja, não é sem propósito, que em algumas provas de vestibular e outros

concursos (como magistério e área fiscal), existam questões contextualizadas do

Teorema de Pitágoras. Oportunamente, no capitulo quatro dessa dissertação, serão

vistas algumas questões desse tipo que foram trabalhadas em sala de aula.

48

3 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

“Desde que Pitágoras provou aquele que talvez seja o

teorema mais importante da Matemática, essa disciplina tem tido

uma perspectiva bem clara do que está tentando realizar.

Pitágoras sabia, como se sabia desde o tempo dos egípcios, que

alguns dos triângulos clássicos eram triângulos retos, tal como o

triângulo de lados 3, 4 e 5. Percebendo que 32 + 42 = 52, ele pôde

generalizar isso para mostrar que, num triângulo reto, o

quadrado da hipotenusa era igual à soma dos quadrados dos dois

lados restantes. Ele tinha consciência do que queria provar e,

quando o provou, tinha consciência do que possuía”.

(STEIN, 1000, p.47)

Para onde levou o Teorema de Pitágoras? Qual a sua conseqüência mais

importante? Essas perguntas não têm uma única resposta. Talvez uma de suas mais

importantes conseqüências tenha sido a descoberta de números que não podiam ser

escritos como a razão de dois inteiros - os números irracionais. Por exemplo; quando o

Teorema de Pitágoras é aplicado a um triângulo retângulo e isósceles de catetos iguais a

um, o resultado é um número irracional 2 .

Ao quebrar o conceito de que o conjunto de todos os números é finito, o

Teorema de Pitágoras criou condições matemáticas para a refutação do cosmos grego,

universo finito e hierarquizado.

Como poderia um número representado por infinitas casas decimais, que não

possuem um padrão de comportamento ou repetição, servir para medir um segmento?

Como entender e conciliar o finito e infinito? Como pensar uma quantidade que não tem

fim? É certo que, sempre que se pensa em um número, pode-se somar uma unidade e

assim obter um número maior ainda do que ele. Mas, da pura abstração humana,

Pitágoras gerou um fato concreto: não se pode medir o comprimento da diagonal de um

49

quadrado de lado um. Esse fato concreto, adicionado à abstração, levou a buscar o

infinito em outros campos e também em outras áreas.

Se a é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo e b e c são os

comprimentos de seus catetos, então a2 = b2 + c2. Eis em linhas gerais o Teorema de

Pitágoras. Isso já foi demonstrado de diversas formas diferentes em capítulos anteriores.

Mas é só isso? Claro que não!

O Teorema de Pitágoras vem sendo utilizado por diversos campos da

Matemática e inclusive fora dela. Por tal motivo é de grande importância que o aluno de

nono ano do ensino fundamental e qualquer outro aluno do ensino médio saiba utilizar

bem esta ferramenta em diferentes contextos. Diversas aplicações são derivadas a partir

do estudo do Teorema de Pitágoras. A seguir, é apresentada uma pequena amostra de tal

afirmação. 4

3.1 NO CAMPO DA MATEMÁTICA

3.1.1. Em Geometria Plana

a) Cálculo da diagonal do quadrado

Seja o quadrado de lado l decomposto em dois triângulos retângulos isósceles

pela diagonal d, conforme a figura abaixo.

4 As aplicações em Geometria são baseadas nas obras de IEZZI (1993), MORGADO (2002) e MACHADO (1982).

50

Ao aplicar o Teorema de Pitágoras, o aluno observa que:

2ldl2dlld 22222 , ou seja, a partir de agora, basta ter

conhecimento do comprimento do lado do quadrado para, rapidamente, obter a medida

de sua diagonal. Exemplo: Se o lado do quadrado medir 3 cm sua diagonal medirá

23 cm.

b) Cálculo da altura do triângulo eqüilátero

Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero de lado l e AH é a altura

relativa ao vértice A, de comprimento h. O triângulo ACH formado é retângulo, de

catetos medindo l/2 e h e sua hipotenusa mede l.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

2

3

4

3

422

2

2222

22

lh

lh

llhl

lh

Em relação a essa segunda aplicação, o aluno pode perceber a facilidade de

calcular a altura do triângulo equilátero conhecendo apenas a medida do seu lado.

Exemplo: dado um triângulo equilátero de lado 4 cm sua altura medirá 2 3 cm.

Deste ponto em diante, o aluno também passa a observar que pode calcular a

altura de outros polígonos, como retângulo, trapézio; calcular o comprimento das

diagonais do losango, conhecendo as medidas dos lados; enfim, há uma infinidade de

51

problemas cuja resolução mais eficaz é feita através da aplicação do teorema de

Pitágoras.

O próximo item trata de algumas aplicações na Trigonometria, tais como o

calculo de seno, cosseno e tangente de arcos notáveis, Relação Fundamental da

Trigonometria e a Lei dos Cossenos.

3.1.2 Em Trigonometria

a) Cálculo do Seno, Cosseno e Tangente dos arcos notáveis (30º, 45º e 60º)

No triângulo retângulo ABC abaixo, formado a partir de um quadrado, podem

ser obtidos os valores de seno, cosseno e tangente de 45º. Observe:

14545

2

245cos

245cos

2

245

245

oo

oo

oo

tgl

l

adjascentecateto

opostocatetotg

l

l

hipotenusa

adjascentecateto

senl

l

hipotenusa

opostocatetosen

De forma análoga, obtêm-se valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°,

tomando-se, agora, um triângulo equilátero de lado l:

52

Após as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo, verifica-se

facilmente algumas relações entre as linhas trigonométricas. Por exemplo, se a e b são

dois ângulos complementares, então sen a = cos b e sen b = cos a. Sendo assim:

ooo senl

l

sen 60cos2

130230 .

Da mesma forma,

ooo senl

l

l

hsen 30cos

2

3602

3

60 .

Ainda em relação aos ângulos complementares a e b, tgb

1tga , logo:

36030

160

3

330

2

3230 o

oooo tg

tgtgtg

l

l

tg .

b) Relação Fundamental da Trigonometria

Considere o ângulo x assinalado no triângulo retângulo ABC da figura abaixo.

Como sen x = a

b e cos x =

a

c, então:

53

2

222222 )(cos)(

a

cb

a

c

a

bxsenx

.

Como, pelo Teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2, então:

1coscos 222

222 xxsen

a

axxsen .

Esta relação acima é muito utilizada em todo o estudo de trigonometria. Outras

relações trigonométricas também são obtidas a partir do Teorema de Pitágoras, mas com

grau de importância um pouco menor se comparadas com a Relação Fundamental da

Trigonometria e são omitidas neste texto.

c) Lei dos Cossenos

Seja ABC um triângulo qualquer (figura abaixo) e BH a altura relativa ao lado

AC. Foram, então, formados os triângulos retângulos ABH e BCH. Aplicando-se o

Teorema de Pitágoras em ambos, obtém-se:

222 cmh , no triângulo ABH e 222 )( ambh no triângulo BCH.

54

Desenvolvendo a segunda equação: 2222 2 ambmbh . Como

222 cmh , então: 222 2 abmcb .

Entretanto, do triângulo ABH pode-se escrever que Âcmc

mÂ cos.cos . E

substituindo o valor de m na equação anterior, 222 cos.2 aÂbccb .

Tal procedimento pode ser repetido para um triângulo obtusângulo e o resultado

obtido será exatamente o mesmo, pois o cosseno de um ângulo obtuso corresponde ao

simétrico do seu complemento. Esta relação é conhecida como Lei dos Cossenos e

utilizada não somente na Trigonometria, mas também na Geometria Plana, Geometria

Analítica e Espacial e também pela Física, no estudo dos vetores que representam as

forças atuantes sobre os corpos.

A seguir serão apresentadas algumas aplicações na Geometria Analítica e na

Espacial que envolvem a distancia euclidiana entre dois pontos, calculo do modulo de

um vetor, a diagonal do cubo e altura do cone.

3.1.3 Em Geometria Analítica

a) Distância euclidiana entre dois pontos

Dados dois pontos A e B do plano cartesiano, pode-se calcular a distância entre

eles utilizando-se o Teorema de Pitágoras. Na figura abaixo, pode-se obter um triângulo

retângulo prolongando-se o segmento tracejado que determina a ordenada do ponto A

até que este encontre o segmento que determina a abscissa do ponto B. Os catetos do

triângulo assim formado são (x2 – x1) e (y2 – y1). Observe:

55

Pelo triângulo assim formado, tem-se 122

122 yyxxd . E, portanto,

2122

12 yyxxd .

b) Módulo de um vetor

Seja u= (a,b) um vetor de 2 e seu comprimento pode ser obtido facilmente

através da aplicação do Teorema de Pitágoras. Observe:

22222baubau

56

Vale lembrar que u representa o módulo, ou comprimento, do vetor u.

Também é possível verificar tal demonstração através do produto escalar,

calculado da seguinte forma, segundo Machado (p.16):

“Chamamos produto escalar (ou produto interno) de dois vetores

u = (x1, y1) e v = (x2, y2) do R2 ao número real x1x2 + y1y2.

Indicamos este número pelo símbolo u.v cuja leitura é u escalar

v”.

Note que:

222..,, ubabbaababauu e, portanto, 22 bau .

3.1.4 Em Geometria Espacial

a) Diagonal do Cubo

Observe, abaixo, o cubo de aresta a. Chamando de d a diagonal de qualquer uma

de suas faces, já foi mostrado anteriormente que 2ad (diagonal do quadrado). No

triângulo retângulo destacado, pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras. Então:

332 22222222 aDaDaaDadD .

57

Ou seja, dado um cubo de aresta a, sua diagonal é 3a . Por exemplo, uma caixa

d’água cúbica com 1 metro de aresta possui diagonal de comprimento mm 73,131 .

b) Cálculo da altura do cone

No cone circular reto da figura abaixo, sejam R o raio da base, h a altura e g a

sua geratriz. Facilmente observa-se que:

22222 RghgRh , o que não chega a ser apresentado como uma fórmula,

haja vista ser uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.

A próxima seção trata da aplicação do Teorema de Pitágoras na Física

relacionada às grandezas vetoriais.

3.2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA FÍSICA

Na Física são estudados dois tipos de grandezas: as escalares e grandezas

vetoriais. A escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando se conhece

apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como

exemplos de grandeza física escalar há a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a

58

temperatura de um corpo 37º, o volume de um reservatório, 2 m3, a energia, 250 J e

muitas outras. Nas operações com grandezas escalares, seguem-se as regras de

operações algébricas usuais (soma, subtração, multiplicação e divisão), e os cálculos são

arredondados, quando necessário (CALÇADA, 1998 p.141).

Quando se lê que “a velocidade do carro no momento da colisão era de 90

km/h”, não se pode afirmar que o mesmo estava rápido ou não, pois tal informação é

insuficiente para qualquer conclusão. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza

vetorial. Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário

saber não somente a sua intensidade (ou módulo), mas também a sua direção e o seu

sentido. Por isso são representadas por vetores. E quando se opera com a representação

de vetores no plano, a geometria plana se faz necessária. Imagine, por exemplo, um

veículo que parte de uma cidade A e sofre um deslocamento no sentido leste (d1),

chegando até uma cidade B e, em seguida, se desloca novamente no sentido norte, para

chegar até a cidade C (d2).

Fonte: CALÇADA, C.S. Física Clássica: Cinemática, 1985, p.143.

Nota-se facilmente que o deslocamento d1, de A para B, e o deslocamento d2, de

B para C, equivalem a um único deslocamento d, de A para C (figura 6). Desta forma, o

deslocamento d é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos d1 e d2, ou seja, d =

d1 + d2. Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. E para calcular o

59

módulo do vetor resultante (ou vetor soma), basta aplicar o Teorema de Pitágoras, haja

vista que os vetores d1, d2 e d formam um triângulo retângulo de catetos d1 e d2 e

hipotenusa d. Portanto 22d2

1d2d .

Ainda segundo Calçada (1998), na página 4, do volume II, a intensidade da força

resultante é, por diversas vezes, calculada através da aplicação direta do Teorema de

Pitágoras, tendo em vista o triângulo retângulo formado pelas componentes vetoriais.

Como cita o autor no exemplo:

“Um ponto material de massa m = 10 kg está sob a ação de

apenas duas forças como mostra a figura. Sabendo que F1 = 12 N

e F2 = 5 N, calcule o módulo da aceleração do ponto

material.(p.14)”.

A figura a que se refere o autor está disposta logo a seguir.

Fonte: CALÇADA, C.S. Física Clássica: Dinâmica, 1985, p.14.

A partir dela, o aluno deve aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o

módulo da força resultante (figura 7) e logo em seguida, a segunda Lei de Newton para,

então, finalizar o problema. Observe:

60

Fonte: CALÇADA, C.S. Física Clássica, 1985, p.143.

N13F169F512FFFF 2222

21

2

Como F = m.a segue que 13 = 10.a, e, portanto, a = 1,3 m/s2.

A seguir, outras aplicações do teorema de Pitágoras, mas ainda utilizando o

conceito de força resultante.

3.3 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA BIOLOGIA

O Teorema de Pitágoras é utilizado em outros campos que não sejam a

matemática e a física, como por exemplo, a biologia. Batscheletet (1978), em

Introdução à Matemática para Biocientistas, faz um resumo dos principais assuntos que

estes profissionais irão utilizar ao longo da sua carreira. Dentre eles, destaca-se o

Teorema de Pitágoras. A Matemática e a Biologia sempre estiveram muito próximas.

Como prova, o enfoque geométrico dos desenhos e proporções entre homens e animais,

a contagem, mesmo que de forma primitiva, de poções curativas, enfim, os números e

procedimentos sempre estiveram ligados à Biologia.

61

Abaixo, seguem algumas dessas aplicações citadas pelo autor nas páginas 462 e

463, do livro supracitado.

(i) O plano inclinado gerado pelo repouso dos corpos

Qual é a força que tenta puxar o corpo para baixo ao longo do plano e qual é a

força que pressiona o corpo contra o plano? Sendo F1 a força que empurra o corpo para

baixo (componente horizontal da força Peso) e F2 a força perpendicular ao chão

(componente vertical da força Peso), a soma desses vetores é a força gravitacional

representada por F(também chamada de força Peso), ou seja, F = F1 + F2. O módulo da

força F é calculado através da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

formado pelos vetores F1, F2 e F.

(ii) As alavancas promovidas pelos movimentos dos ossos do braço

Na figura abaixo são observadas as forças que agem sobre um braço. A força F é

decomposta em duas partes: uma componente F1, perpendicular ao antebraço; e uma

componente F2, paralela ao antebraço. A força F1 é chamada de força de cisalhamento.

62

Mais uma vez, para se calcular o módulo da força resultante F, aplica-se o

Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pelas componentes de F e a

própria força F.

Mas vale lembrar que em todos esses casos o Teorema de Pitágoras está

associado ao cálculo da força resultante que atua sobre os corpos nas diversas situações

descritas acima.

Após serem vistos alguns aspectos que mostram a importância do Teorema de

Pitágoras, tanto na suas abordagens histórica e de aplicações como também no seu

ensino; será relatada, no próximo capítulo, uma experiência feita com dois grupos de

alunos no que se refere a duas formas diferentes de demonstração do teorema e a análise

(superficial) de questões contextualizadas que foram aplicadas em um teste, sendo que a

partir da análise dessa experiência, serão levantadas algumas conclusões parciais desta

dissertação.

4 A EXPERIÊNCIA EM SALA

4.1 O PLANO DE AULA: DADOS E OBJETIVOS

Foi realizada uma atividade com um grupo de dezoito alunos do nono ano do

ensino fundamental de uma instituição particular de ensino, o Colégio Veríssimo, no

bairro de Jacarepaguá na cidade do Rio de Janeiro, com duração de seis tempos de aula,

na qual foram abordados os seguintes conteúdos da Geometria Plana: linhas

proporcionais, semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo.

Dentre os objetivos gerais da referida proposta das aulas, pretendeu-se comparar

os resultados obtidos em classe, através de algumas atividades ministradas sob duas

diferentes praticas docentes, que nesta dissertação, serão livremente denominadas

metodologia 1 e 2 respectivamente; cada uma seguindo um roteiro diferenciado de aula,

63

porém sendo avaliadas, uniformemente, ao final das atividades. Outro objetivo no

trabalho foi aplicar as relações métricas no triângulo retângulo, notadamente o Teorema

de Pitágoras, em problemas que envolviam situações do cotidiano.

Em relação aos objetivos específicos do trabalho no que diz respeito ao

conteúdo matemático, podem-se destacar os seguintes:

(i) identificar, em um triângulo retângulo dado, a hipotenusa, os catetos,

as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa à

hipotenusa;

(ii) identificar, no triângulo retângulo, três triângulos retângulos

semelhantes;

(iii) reconhecer que as relações métricas são resultados decorrentes da

semelhança de triângulos;

(iv) enfatizar as principais relações métricas no triângulo retângulo;

(v) resolver exercícios acerca dos conteúdos citados nos itens anteriores

e

(vi) trabalhar com aplicações do Teorema de Pitágoras em diversos

campos da ciência.

O aluno do oitavo ano do ensino fundamental, em geral, quando tem seu

primeiro contato com Teorema de Pitágoras, não enxerga sua aplicação fora daquele

contexto. Já um aluno do ensino médio, pela idade um pouco mais avançada e pelos

anos de escola a mais, com a ajuda e o acompanhamento do professor é capaz de

empregá-lo com certa eficiência em outras situações que não envolvam apenas a

manipulação da fórmula do teorema ou suas aplicações diretas. E fazê-lo enxergar

diferentes aplicações dentro e fora do contexto da Matemática pode ajudá-lo em seu

aprendizado.

Para realizar as atividades programadas em sala de aula, foram utilizados como

recursos físicos o quadro branco, canetas coloridas, esquadro, lápis de escrever, régua,

borracha e uma lista de exercícios.

A seguir, será descrita a metodologia empregada nas atividades a fim de atingir

os objetivos pretendidos nas atividades.

64

4.2 A METODOLOGIA

O trabalho em sala de aula foi desenvolvido com a colaboração de dezoito

alunos do nono ano do ensino fundamental do Colégio Veríssimo (RJ), os quais são

aqui representados pelos números de 1 a 18. Os alunos foram divididos em dois

grupos de nove integrantes. Houve um encontro com cada um dos grupos,

respectivamente, nos dias 6 e 8 de julho de 2009.

Os dois dias de atividades com os grupos diferentes tiveram a mesma duração:

3 tempos de aula de 45 minutos cada um, perfazendo um total de 2h 15 min de aula.

A prática docente desenvolvida com o primeiro grupo foi chamada de

“metodologia 1”, que consistiu em seguir um roteiro idêntico ao que é adotado pelos

livros didáticos na demonstração do Teorema de Pitágoras que envolve semelhanças

de triângulos. Já com o segundo grupo de alunos, foi adotada a “metodologia 2”, que

buscou uma alternativa de demonstrar esse teorema a partir do cálculo de áreas de

quadrados, forma pela qual o Teorema de Pitágoras foi originalmente demonstrado. O

leitor encontrará, na página 63 deste trabalho, algumas das conclusões a respeito da

adoção das duas abordagens na demonstração do Teorema de Pitágoras.

No contexto desta dissertação, a prática docente denominada “metodologia 2,

envolvia uma maior participação dos alunos para o desenvolvimento das atividades e

teve como pano de fundo o pensamento de que a colaboração do aluno, produz um

efeito crítico perante o grupo, revelando a importância de se reconhecer e valorizar a

perspectiva ímpar de cada aluno. Quando o aprendiz dialoga, cada estudante fica

exposto a múltiplas perspectivas do ambiente, aprofundando seu entendimento por

meio da interação com os outros. O papel do professor também se desloca da figura

autoritária para a figura de um efetivo mentor.

No início da aula com o primeiro grupo, foi desenhado um triângulo retângulo

de tamanho 60 cm x 80 cm x 100 cm (catetos e hipotenusa) para que todos

observassem as características que seriam retiradas da figura. Traçou-se a altura

relativa à hipotenusa e, em seguida, foi pedido aos alunos que verificassem se havia

pares de triângulos semelhantes. Dentre os nove alunos presentes, sete acertaram a

resposta, enquanto os demais apenas se aproximaram da resposta desejada, mas não a

65

encontraram. A seguir, ocupando o outro lado do quadro, foram desenhados os pares

de triângulos semelhantes e montadas as proporções que envolviam os lados desses

triângulos. Verificaram-se as cinco relações iniciais e partiu-se, então, para a mais

importante de todas e objetivo do trabalho: o Teorema de Pitágoras. Foi pedido aos

alunos que somassem as duas equações previamente obtidas e comentassem o

resultado. Todos chegaram à fórmula esperada: a2 = b2 + c2, sendo a a hipotenusa do

triângulo retângulo e b e c os catetos. Tal demonstração já foi comentada no capítulo 2

desta dissertação.

Com o segundo grupo, o trabalho desenvolvido baseou-se no conceito de áreas,

seguindo a demonstração sugerida pelo próprio Pitágoras. Após recordarem o cálculo

de área de triângulo e de quadrado, com exercícios rápidos, os alunos aplicaram as

fórmulas a uma figura que havia sido construída no quadro (semelhante àquela

sugerida na demonstração por áreas, vista na página 24 dessa dissertação) e

concluíram que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um

triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa do

mesmo triângulo retângulo. Como a atividade foi acompanhada pelo professor e,

devido ao número reduzido de alunos, todos chegaram ao Teorema de Pitágoras por

um caminho diferente daquele seguido pelo primeiro grupo; alguns mais rapidamente

(4 alunos), outros nem tanto (5 alunos).

A segunda etapa da aula consistia na aplicação do teorema que havia sido

demonstrado. Seguiu-se, portanto, a resolução de quatro problemas:5 três deles

envolviam aplicações diretas do Teorema de Pitágoras no campo da geometria,

enquanto o último representava uma breve contextualização do teorema, envolvendo

uma situação da atualidade que recaía num triângulo retângulo. Os alunos tiveram

cerca de vinte minutos para resolvê-los com o acompanhamento do professor.

Conforme o esperado, os dois primeiros exercícios (primeira etapa da aula)

foram resolvidos por todos os alunos dos dois grupos, sem o surgimento de maiores

dificuldades. Já em relação às demais questões, apenas três estudantes, dois do

primeiro grupo e um do segundo, resolveram as duas, sendo que desses, dois

resolveram somente a terceira questão e um acertou apenas a quarta questão. O mau

desempenho dos alunos deveu-se provavelmente ao texto um pouco extenso, a forma 5 A lista dos exercícios resolvidos em sala encontra-se no anexo A, assim como o teste aplicado (Anexo B) ao final da aula.

66

através da qual foram apresentados os dados do problema e a dificuldade com relação

à interpretação de texto.

A última parte da aula consistia numa avaliação discursiva cujas questões serão

comentadas a seguir.

4.3 A ANÁLISE DA AVALIAÇÃO

Os alunos foram submetidos a um teste, contendo três questões ao todo, para

resolverem no prazo máximo de vinte minutos. As questões versavam sobre diversos

assuntos que envolviam a aplicação do Teorema de Pitágoras. O objetivo principal foi

verificar a capacidade de o aluno aplicar o Teorema de Pitágoras em questões

contextualizadas.

As próximas subseções apresentam cada uma das três questões do teste e são

feitas as suas resoluções comentadas.

4.3.1.1 Primeira questão

A primeira questão, retirada da prova do ENEM de 2001, aborda um assunto de

relevância nacional, especialmente após a descoberta da camada do Pré-sal, ao mesmo

tempo em que obriga o aluno a desenvolver cálculos muitas vezes cansativos e

propensos a erros. Observe o seu enunciado:

01. PETRÓLEO CAPIXABA ÓLEO LEVE BOM PARA DIESEL É o óleo descoberto em Golfinho (figura 1), que começará, em fase de teste, a ser produzido nos próximos meses. Esse óleo é importante porque é usado para produzir diesel, derivado do petróleo que o Brasil ainda importa por produzir óleo mais pesado. A falta, até agora, do óleo leve, é que não permite a auto-suficiência. Como o Brasil tem muito óleo pesado, exporta gasolina barata e compra diesel caro.

67

Além da ampliação da produção em terra, com novas tecnologias, e da entrada em produção do campo de Golfinho, no litoral de Aracruz, foram viabilizadas outras obras: 1) Estação Fazenda Alegre É um marco no tratamento de óleo pesado, cuja produção nos campos maduros foi viabilizada pela utilização dos equipamentos para injeção de vapor. 2) Terminal Norte Capixaba Receberá o óleo pesado de Fazenda Alegre e o óleo leve de Golfinho, separadamente, para serem embarcados nos navios que estão ancorados na monobóia. 3) Pólo de Gás - Viabilizado a partir da produção de gás do Campo de Peroá, que começa neste semestre. - Outra planta receberá o gás de Golfinho, a partir do próximo ano. - No pólo poderá ser produzido gás de cozinha e gás natural. - A Petrobrás já construiu o gasoduto de 56 km de Peroá até o Pólo de gás e construirá outro, de 120 km, de Golfinho até o mesmo pólo. ("A GAZETA". 10-07-2005. Modificado.) Os campos de petróleo de Peroá (P) e Golfinho (G) distam, respectivamente, 56 km e 120 km de um ponto A do litoral, o qual estamos supondo retilíneo (veja a figura 2). Os pontos A e B são os pontos do litoral que estão mais próximos, respectivamente, dos campos P e G. À distância do ponto A ao ponto B é de 88 km. Deseja-se construir no litoral um pólo de gás que fique situado à mesma distância dos campos P e G. Sendo assim, determine em que posição o pólo de gás deve ficar situado.

Resolução comentada

É importante observar, na figura abaixo, que o aluno é forçado a buscar um

ponto (T), eqüidistante dos pontos P e G, conforme se depreende do enunciado da

questão. Após ligar o ponto T encontrado aos aludidos pontos P e G, o aluno deve

68

perceber a formação de três triângulos retângulos, os quais servirão de ponto de partida

para a solução.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABG, APT e BGT, encontra-

se:

)2()88(:

)1(56:

665612088:

222

222

2222

xhyBGT

xyAPT

hhABG

Igualando as equações (1) e (2), tem-se:

665617677443136)88(56 222222 yyyhyy

Daí, segue que 11264y176 e, portanto, y = 64. Ou seja, o ponto T deve estar

localizado a 64 metros do ponto A e a 24 metros do ponto B.

Ainda sobre essa questão, vale destacar também que o aluno deve ser capaz de

resolver um sistema de equações do segundo grau, e para resolvê-lo; ele interrompe

inúmeras vezes a resolução da questão, ou seja, a dificuldade para resolver o sistema

de equações dificulta a resolução da questão que envolve a aplicação do Teorema de

Pitágoras.

69

4.3.1.2 Segunda questão

A segunda questão, de nível um pouco mais elevado por exigir do aluno um

grau de abstração maior, foi aplicada no vestibular da UFRJ, no ano de 2006, dentro do

conteúdo das disciplinas não-específicas.

02. Uma prateleira de um metro de comprimento e 4,4 cm de espessura deve ser encaixada entre duas paredes planas e paralelas. Por razões operacionais, a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada), para depois ser girada até a posição final, como indica a figura. Se à distância entre as paredes é de um metro e um milímetro, é possível encaixar a prateleira?


Para iniciar a sua resolução, o aluno deve estar familiarizado com o sistema

métrico decimal e ser capaz de operar com as unidades de comprimento sem muita

dificuldade. Dentro deste contexto, cabe ressaltar que, por diversas vezes, o aluno irá

se deparar apenas com operações envolvendo números decimais exatos.

Na figura abaixo, a prateleira foi desenhada de forma a permitir que seja notada

a existência de um triângulo retângulo em seu interior, cuja medida da hipotenusa (d) -

a ser calculada através do Teorema de Pitágoras - é crucial para a solução da questão.

Veja que, se (d) for maior ou igual à medida (c), será impossível encaixá-la no local

desejado.

70

Pelos dados do exercício, temos:

Comprimento da prateleira: C = 1 m = 100 cm

Espessura da prateleira: L = 4,4 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontra-se o seguinte:

36,100196d36,1910000d4,4100d 22222

Seja x a distância entre as paredes. De acordo com o problema, x = 1 m + 1 mm =

100,1 cm.

Para finalizar a questão, o aluno deveria observar que x2 = 10020,01.

E como x2 é maior que d2, logo a prateleira poderá ser encaixada naquele espaço.

4.3.1.3 Terceira questão

A terceira e última questão, retirada do vestibular unificado, antiga Cesgranrio,

de 1990, visava não somente à aplicação do Teorema de Pitágoras, como também ao

emprego de escala (proporcionalidade) e representação gráfica.

71

03. A malha quadriculada representa parte do diagrama do aeroporto de uma cidade, desenhado em escala. Legenda: T - Terminal de passageiros H - Hangar N - Cabeceira norte da pista pouso/decolagem S - Cabeceira sul da pista OBS.: Na malha quadriculada acima, o lado de cada quadrado corresponde a 400 metros. Um funcionário do aeroporto caminha do terminal de passageiros até o hangar e, depois, vai até a cabeceira sul da pista. Feito o percurso, comenta com um colega: "Pôxa! Estou pregado, andei uns _______ quilômetros hoje”. Considerando que o percurso total realizado foi o menor possível, em linha reta e sem obstáculos, qual o valor que melhor completa a frase atendendo aos dados do enunciado?


Também foi preciso trabalhar com transformação de unidades de comprimento,

porém em grau de dificuldade inferior, se comparada com a questão anterior. O

Teorema de Pitágoras será utilizado somente para calcular a distância que o

funcionário percorreu do hangar até a cabeceira sul da pista.

Observe a figura abaixo, na qual se reproduz a trajetória percorrida pelo

funcionário.

72

Para solucionar a questão, o aluno deveria calcular a medida do segmento SH.

No triângulo retângulo formado. Tem-se:

m4000SH

16000000SH576000010240000SH24003200SH 22222

Ou seja, o funcionário percorreu 4000 m + 1600 m = 5600 m. Sendo assim, a

resposta seria 5,6 km.

Pode se observar que as três questões acima lidavam com resolução de

problemas, o que não é simples para os alunos, em geral. Antes de comentar o

resultado obtido pelos estudantes na avaliação, julgou-se necessário, em alguns

parágrafos, transcorrer sobre alguns aspectos da resolução de problemas e ensino e

aprendizagem. Depois disso feito, retorna-se a análise de desempenho dos alunos.

Dentro do contexto de ensino e aprendizagem, tem-se que, a resolução de

problemas matemáticos é uma barreira que a maioria dos alunos enfrenta no

aprendizado da matemática, diante da dificuldade em identificar a operação que deve

ser utilizada para a sua resolução (LIMA, 1989).

Ao resolver um problema matemático, antes de fazer as “contas”, deve-se

interpretar, entender o que o problema deseja. Assim, pode-se dizer que a dificuldade

em resolver problemas matemáticos não é inerente à disciplina de matemática, mas

constitui-se numa dificuldade interdisciplinar, uma vez que o aluno que não interpreta

73

um problema, dificilmente fará uma interpretação de texto bem feita nas aulas de

português, por exemplo.

“Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar

ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática.

(...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você

quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver

problemas”. (POLYA, George. 1995, p.9)

São vários os fatores que levam um aluno a ter dificuldade em interpretar textos

ou problemas, dentre os quais o principal é a falta do hábito da leitura.

Para facilitar a resolução dos problemas matemáticos, segundo Polya (1995) é

preciso seguir alguns importantes passos:

• Leitura geral;

Em um primeiro momento, deve-se ler atentamente o problema e nada mais.

• Segunda leitura: resumir o enunciado;

Nessa segunda leitura, deve-se ler com mais atenção, pois dela o aluno irá

retirar os dados que julgar mais importantes e identificar a pergunta que o problema

propõe. Neste momento, entra a interpretação de texto, pois o aluno deverá entender o

problema para conseguir retirar dele seus elementos mais importantes.

• Identificar as operações;

Depois de separar os dados e conhecer o que o problema está perguntando

(saber o que deve ser calculado), deve-se identificar o melhor procedimento para se

encontrar a resposta, ou melhor, qual operação será utilizada na resolução desse

problema matemático, que pode ser uma ou várias e, neste último caso, pode-se

apresentá-las sob a forma de uma expressão numérica ou algébrica, dependendo da

situação.

• Efetuar as operações;

Depois de identificar as operações, deve-se resolvê-las, chegando-se, assim, ao

resultado final.

• Prova real.

Depois do resultado encontrado, a verificação acerca da sua validade revela-se

importante. Retorna-se ao problema matemático proposto e verifica-se se a solução

encontrada satisfaz a situação proposta. Tal procedimento muitas vezes não ressaltado

74

pelos professores, o que permite que os alunos encontrem respostas absurdas para

determinados problemas. Por exemplo, um aluno, na resolução do teste, encontrou

como resposta 40 km. Perguntado “Como um funcionário do aeroporto caminharia 40

km durante o seu trabalho?” o aluno sorriu e respondeu: “É mesmo, né!!!” (LIMA,

1991).

4.4 O DESEMPENHO DOS ALUNOS NA AVALIAÇÃO

Retornando ao teste aplicado, segue abaixo a tabela que foi desenvolvida para

ilustrar o desempenho dos alunos no mesmo:

Código Significado

0 Questão em branco

1 Acertou completamente a questão

2

Não soube identificar a figura e/ou aplicou de forma equivocada o teorema

de Pitágoras.

Exemplo: Na primeira questão, o aluno não localizava corretamente o

ponto T, o que acarretava triângulos retângulos diferentes daqueles que

deveriam ser formados.

3 Identificou corretamente a figura ser trabalhada, mas não soube aplicar o

teorema de Pitágoras

4

Identificou corretamente a figura a ser trabalhada, aplicou o teorema de

Pitágoras, mas não soube concluir, ou errou nos cálculos.

Exemplo: Na segunda questão, o aluno conseguia encontrar

36,100196d2 , mas não conseguia prosseguir.

Tabela 3: Quadro relativo ao código de correção atribuído a cada questão

A seguir, é apresentada a tabela que fornece o resultado de cada aluno nas três

questões do teste:

75

GRUPO IDENTIFICAÇÃO

DO ALUNO

QUESTÃO

01

QUESTÃO

02

QUESTÃO

03

1

1 4 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 0 2 4 5 2 0 1 6 3 1 1 7 1 1 1 8 1 1 1 9 2 4 1

2

10 4 2 3 11 0 3 3 12 0 2 1 13 2 0 1 14 1 1 1 15 0 0 3 16 4 0 4 17 2 2 2 18 4 3 1

Tabela 4: Quadro contendo o desempenho dos alunos no teste.

Uma análise rápida da tabela acima permite verificar que a primeira questão foi

a que apresentou maior grau de dificuldade por força do enunciado muito extenso, que

envolvia a uma ligação direta com a Geografia, enquanto a terceira questão foi a de

mais fácil resolução.

A seguir, são enunciadas as declarações emitidas por alguns dos alunos após o

fim do teste em relação à primeira questão.

- Poxa Professor, quando terminei de ler a questão não sabia nem do que tratava.

Outro, com discurso parecido, completou:

- Cansei só de ler a questão.

Após serem discutidas as três questões, perguntou-se aos alunos se haviam

notado alguma diferença entre as questões trabalhadas na lista de exercícios e as

questões do teste. Eis algumas das respostas:

- Com certeza, Professor. Essas (referindo-se ao teste) são bem mais complexas do

que as outras – aluno 5.

76

- Quando só tem Matemática é mais fácil. Já quando mistura com Geografia, ou com

situações do dia-a-dia, aí já era – aluno 15.

- Não consegui identificar o que a questão queria (referindo-se a segunda questão) e

por isso não sabia resolver – aluno 12.

É importante ressaltar as diferenças existentes entre os resultados obtidos com

os dois grupos escolhidos aleatoriamente pelo professor. Cabe lembrar que, com o

primeiro, o roteiro utilizado foi idêntico àquele adotado pelos diversos livros didáticos

(utilizam a prática tradicional), enquanto que, com o segundo, buscou-se uma

alternativa, ao se trabalhar com o Teorema de Pitágoras a partir do conceito de áreas.

Alguns aspectos observados na experiência com os alunos:

O primeiro grupo obteve um resultado melhor do que o segundo. Observando

a tabela acima, verifica-se que, enquanto quatro alunos do primeiro grupo

acertaram a primeira questão, apenas um aluno do segundo grupo teve o

mesmo êxito. Já em relação à terceira questão, a diferença é maior ainda: são

oito do primeiro contra quatro do segundo grupo.

O número de questões em branco do segundo grupo foi preocupante, o que

deveria ser estudado com mais profundidade para saber o motivo pelo qual

isso ocorreu.

Enquanto quatro alunos do primeiro grupo acertaram as três questões, apenas

um aluno do segundo grupo obteve o mesmo resultado.

A seguir, foi elaborado um gráfico de barras a partir do desempenho dos

alunos no teste aplicado. O objetivo do gráfico é facilitar a comparação entre os

resultados obtidos pelos dois grupos, questão por questão. Vale lembrar que o grupo 1

é composto pelos alunos do número 1 ao 9 e o grupo 2, do número 10 ao 18; e também

que o código 0 foi atribuído a questão em branco e o código 1 a questão certa:

77

Código 1

Código 0

0123456789101112131415161718

Questão 1 Questão 2 Questão 3

Gráfico 1 – Quantitativo de alunos por itens certos e errados.

No trabalho desenvolvido com primeiro grupo de alunos, a demonstração do

Teorema de Pitágoras foi por semelhanças de triângulos. Nesse caso, se algum

estudante não possuísse domínio, ou pelo menos conhecimentos básicos sobre

Semelhança de Triângulos, ele teria dificuldades em acompanhar a demonstração.

Enquanto que, com o segundo grupo, a demonstração, por trabalhar o cálculo de áreas

de quadrado e triângulo pode ser feita de forma mais rápida e participativa. Em

contrapartida, os alunos do segundo grupo sentiram mais dificuldade para resolver a

primeira questão do teste por não estarem familiarizados em observar vários triângulos

retângulos a partir de uma mesma figura. Fato que não ocorreu com o primeiro grupo

haja vista que, no momento em que constroem a proporção entre os lados dos

triângulos semelhantes, os alunos são “forçados” a visualizarem os lados homólogos

dos diferentes triângulos formados na figura.

Embora não sejam observações conclusivas; o trabalho desenvolvido com os

dois grupos e os respectivos resultados apurados evidenciam que práticas pedagógicas

diferenciadas resultam em aprendizados distintos, cada qual com as suas

peculiaridades. Não é correto afirmar que o primeiro grupo, por ter trabalhado de

acordo com o sugerido pelos livros didáticos e seguido pela maioria dos professores, é

melhor do que o segundo. Também não é verdade que o trabalho feito de forma

78

diferenciada atinge resultados mais concretos. Apesar de o resultado do teste mostrar

resultados distintos, apenas um trabalho mais específico e aprofundado poderia

concluir qual a melhor prática pedagógica a ser adotada.

De acordo com Lipman (1992, p. 47), o aluno pode armazenar os conceitos, as

imagens e até mesmo parte do que foi transmitido pelo professor, desde que haja uma

sintonia total entre os dois. Caso contrário, parte do que foi transmitido será perdida e

isso independe da prática adotada pelo professor. Ou seja, o resultado pode ter sido

influenciado por diversos fatores, inclusive pelas práticas diferenciadas. Com cada

grupo, as discussões geradas sobre o desenvolvimento do trabalho foram fundamentais

para ajudar a tomada de consciência do que realmente cada um pôde compreender.

Segundo Perrenoud (1997), citado por Santana (2000 p. 30), diferenciar é

romper com a pedagogia magistral – a mesma lição e os mesmos exercícios para todos

ao mesmo tempo – mas é, sobretudo uma maneira de por em funcionamento uma

organização de trabalho que integre dispositivos didáticos, de forma a colocar cada

aluno perante a situação mais favorável.

A seguir são apresentadas conclusões a respeito desse trabalho que mostram a

importância do Teorema de Pitágoras no ensino sob os pontos de vista de Historia da

Matemática, de suas diferentes demonstrações, aplicações e da prática docente em sala

de aula.

79

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O Teorema de Pitágoras é uma ferramenta muito importante na resolução de

problemas não só no ramo da Geometria Plana, como em várias outras partes da

Matemática, da Física e outras ciências. A importância a que se tem dado ao seu estudo

não traduz tal relevância e, muito menos a pouca referência histórica nos textos

didáticos o valoriza da maneira ideal.

No primeiro capítulo foi descrita uma trajetória do surgimento da Geometria na

qual estava inserido o Teorema de Pitágoras e seu inventor. A intenção foi valorizar a

história da Geometria enfatizando o período no qual o assunto se encaixa e que o

Teorema não se encontra isolado dentro da Geometria.

No sexto e sétimo anos do ensino fundamental os alunos tem um breve contato

com as áreas do retângulo, quadrado e triângulo. Para os alunos do nono ano o capítulo

“Áreas das figuras planas” é obrigatório no currículo escolar. Por isso o segundo

capítulo dessa dissertação sugere algumas diferentes formas de demonstrar o Teorema

de Pitágoras. Os professores poderiam utilizar pelo menos duas delas, a mais usual em

livros didáticos, que é feita por semelhança de triângulos, e outra que utiliza o conceito

de áreas, para enfatizar sua importância. Outra sugestão é que a demonstração pelo

cálculo de áreas seja apresentada na primeira série do ensino médio, quando é feita uma

revisão de Geometria Plana para, logo em seguida, iniciar a Trigonometria.

Já no terceiro capítulo, a experiência em sala de aula deixou claro que outros

caminhos diferentes do que tradicionalmente é seguido na maioria dos livros didáticos

podem ser experimentados para atingir o mesmo objetivo, que foi demonstrar o

Teorema de Pitágoras. Trabalhar como sugerem os livros didáticos nem sempre é forma

mais fácil para os alunos. Muitos estudantes, por sinal, têm ideias e raciocínios que

precisam ser desenvolvidos fugindo-se um pouco do abstrato e seguindo caminhos que

levam a formas concretas. Nesse sentido, as demonstrações do Teorema de Pitágoras

por áreas tornam tal caminho possível. A intenção não foi mostrar qual é a forma

correta, sob o ponto de vista docente, a ser seguida e sim abrir outras possibilidades que

80

possam valorizar cada vez mais a Geometria a fim de que ela possa atingir o maior

número de alunos possível.

Em suma, esse trabalho sugere algumas contribuições a respeito do Teorema de

Pitágoras no ensino de matemática que abrangem os seguintes aspectos: valorizar a

história da Geometria enfatizando o período no qual o assunto se encaixa, destacar a

vida de um ou vários matemáticos em questão; visualizar os diferentes caminhos através

dos quais se podem atingir o mesmo objetivo didático de compreensão do Teorema de

Pitágoras e sua importância, como por exemplo, as diferentes demonstrações, as

aplicações na matemática e em outras áreas e verificar a possibilidade de alternar as

práticas pedagógicas a serem adotadas pelos professores de Matemática.

81

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1984.

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TINOCO, L. Geometria Euclidiana por meio da resolução de problemas. Rio de

Janeiro: Projeto Fundão, 1999.

84

ANEXOS ANEXO A – LISTA DE EXERCÍCIOS

Lista de Exercícios – Professor Alex Coelho

01. Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,5 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m. 02. Um desfile de moda é feito sobre um palco retangular de comprimento MN = 24m e de largura AM = 6m. Certa modelo sai do ponto A, percorre a poligonal ABCDE e termina de desfilar no ponto E. Considerando-se que MB = BD = DN e que o triângulo BCD é isósceles, de base BD e altura 4 m, pode-se estimar que a distância, em metros, percorrida por essa modelo, durante seu desfile, é: a) 30 b) 38 c) 40 d) 44 e) 46

85

03. Na figura abaixo, em que os ângulos Â e B são retos, considere que um indivíduo esteja no ponto O e queira atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B.

Sabe-se que OC = 10.000 m, AB = 8.000 m e que a distância entre B e C é 25% do percurso que o indivíduo pretende fazer para atingir o ponto C. Suponha que, no trajeto entre A e B, exista um ponto D, de parada obrigatória. A partir desse ponto, a distância que ainda falta para chegar ao ponto C é 60% do caminho já percorrido. Determine a distância entre D e B. 04. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era: a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58

86

ANEXO B – TESTE DE SONDAGEM

Teorema de Pitágoras – Professor Alex Coelho Teste de Matemática

Nome: ______________________________________________________ 01. PETRÓLEO CAPIXABA ÓLEO LEVE BOM PARA DIESEL É o óleo descoberto em Golfinho (figura 1), que começará, em fase de teste, a ser produzido nos próximos meses. Esse óleo é importante porque é usado para produzir diesel, derivado do petróleo que o Brasil ainda importa por produzir óleo mais pesado. A falta, até agora, do óleo leve, é que não permite a auto-suficiência. Como o Brasil tem muito óleo pesado, exporta gasolina barata e compra diesel caro. Além da ampliação da produção em terra, com novas tecnologias, e da entrada em produção do campo de Golfinho, no litoral de Aracruz, foram viabilizadas outras obras: 1) Estação Fazenda Alegre É um marco no tratamento de óleo pesado, cuja produção nos campos maduros foi viabilizada pela utilização dos equipamentos para injeção de vapor. 2) Terminal Norte Capixaba Receberá o óleo pesado de Fazenda Alegre e o óleo leve de Golfinho, separadamente, para serem embarcados nos navios que estão ancorados na monobóia. 3) Pólo de Gás - Viabilizado a partir da produção de gás do Campo de Peroá, que começa neste semestre. - Outra planta receberá o gás de Golfinho, a partir do próximo ano. - No pólo poderá ser produzido gás de cozinha e gás natural. - A Petrobrás já construiu o gasoduto de 56 km de Peroá até o Pólo de gás e construirá outro, de 120 km, de Golfinho até o mesmo pólo. ("A GAZETA". 10-07-2005. Modificado.)

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Os campos de petróleo de Peroá (P) e Golfinho (G) distam, respectivamente, 56 km e 120 km de um ponto A do litoral, o qual estamos supondo retilíneo (veja a figura 2). Os pontos A e B são os pontos do litoral que estão mais próximos, respectivamente, dos campos P e G. À distância do ponto A ao ponto B é de 88 km. Deseja-se construir no litoral um pólo de gás que fique situado à mesma distância dos campos P e G. Sendo assim, determine em que posição o pólo de gás deve ficar situado. 02. Uma prateleira de um metro de comprimento e 4,4 cm de espessura deve ser encaixada entre duas paredes planas e paralelas. Por razões operacionais, a prateleira deve ser colocada enviesada (inclinada), para depois ser girada até a posição final, como indica a figura. Se à distância entre as paredes é de um metro e um milímetro, é possível encaixar a prateleira? 03. A malha quadriculada representa parte do diagrama do aeroporto de uma cidade, desenhado em escala. Legenda: T - Terminal de passageiros H - Hangar N - Cabeceira norte da pista pouso/decolagem S - Cabeceira sul da pista OBS.: Na malha quadriculada acima, o lado de cada quadrado corresponde a 400 metros.

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Um funcionário do aeroporto caminha do terminal de passageiros até o hangar e, depois, vai até a cabeceira sul da pista. Feito o percurso, comenta com um colega: "Pôxa! Estou pregado, andei uns _______ quilômetros hoje”. Considerando que o percurso total realizado foi o menor possível, em linha reta e sem obstáculos, qual o valor que melhor completa a frase atendendo aos dados do enunciado?

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