11. Sistemas Escalonados o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo...
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11. Sistemas Escalonados11. Sistemas EscalonadosDizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o o número de coeficientes nulos antes do primeiro número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equaçãocoeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
....
....
............................................
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
O sistema é também chamado sistema triangular, pois a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas EscalonadosSistema triangular (escalonado) – forma matricial
Superior
Inferior
Podem ser solucionados com Resolução Retroativa
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados
Resolva o sistema:
Resolução:
Na 3ª equação: z = -5z = -5Na 2ª equação: 2y – (-5) = -12y – (-5) = -1 2y = -1 – 52y = -1 – 5 y = -3y = -3Na 1ª equação: 3x – (-3) + (-5) = 23x – (-3) + (-5) = 2 3x = 2 – 3 + 53x = 2 – 3 + 5 3x = 43x = 4 x = 4/3x = 4/3Logo, o conjunto solução será: Logo, o conjunto solução será: (-5, -3, 4/3)(-5, -3, 4/3)
S1 =
5
12
23
z
zy
zyx
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados
Resolva o sistema:
Resolução:
Primeiro perceba que este sistema tem mais variáveis que equações. Perceba ainda que a variável z não aparece no começo de nenhuma equação, ela será chamada de variável variável livrelivre.Para resolvermos este sistema, primeiro vamos atribuir um valor real arbitráriovalor real arbitrário para a variável livre:
z = z = , com , com ..Agora vamos calcular o valor de y na 2ª equação:
3y – 23y – 2 = 1 = 13y = 1 + 23y = 1 + 2 y = (1 + 2y = (1 + 2
S1 =
123
354
zy
zyx
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados
Resolva o sistema:
Agora que já conhecemos y e z, vamos calcular o valor de x:
Logo a solução do sistema será:
Essa solução é chamada de solução geral do sistemasolução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.POSSÍVEL E INDETERMINADO.
S1 =
123
354
zy
zyx
353
214
x
5
3
2134
x
3
15219
3
12
x
12
1310 x
com,,3
21,
12
1310
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados
Resolva o sistema:
Resolução:
Na 3ª equação: w = 2Agora perceba que este sistema tem duas variáveis livres (não aparecem no começo de nenhuma equação), vamos atribuir valores para elas:
t = t = e y = e y = , com , com e e Na 2ª equação:
Na 1ª equação:
S1 =
42
02
14
w
wtz
wtzyx
022 z
4 z
1244 x
2414 x4
1 x
11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados
Resolva o sistema:
Logo a solução do sistema será:
Essa solução é chamada de solução geral do sistemasolução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.POSSÍVEL E INDETERMINADO.
Se desejarmos soluções particulares para esse sistema, basta atribuir valores para e , por exemplo:
123
354
zy
zyx
ecom,2,,4,,
4
1
30 e 2,0,4,3,1
01 e
2,1,5,0,4
1
12. Sistemas Equivalentes12. Sistemas EquivalentesDois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes, e escrevemos:
SS11 ~ S ~ S22
Sendo dado um sistema, é possível realizar sobre ele uma série de operações elementares sem alterar seu resultadosem alterar seu resultado, ou seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, é que veremos a seguir.
723
241 yx
yxS
42
32 yx
yxS
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. ElementaresPROPRIEDADE 1:PROPRIEDADE 1:um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
20232
9
184
zyx
zyx
zyx
Sistema 1 Sistema 2
Exemplo:
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2:
x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
Sistema 1 Sistema 3
Exemplo:
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3:
x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.
PROPRIEDADE 2: PROPRIEDADE 2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
36228
9
20232
zyx
zyx
zyx
2)184( zyx
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
Exemplo:
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 4:
x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.
PROPRIEDADE 3: PROPRIEDADE 3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação, ou seja, MULTIPLICAR UMA MULTIPLICAR UMA EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.
9
2)20232(
zyx
zyx
184
49575
20232
zyx
zyx
zyx
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
Sistema 1 Sistema 3
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema LinearPodemos transformar um sistema escrito em sua forma normal para um outro equivalente, na forma escalonada, esse processo é chamado de ESCALONAMENTO DE UM ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEARSISTEMA LINEAR.
1º passo: Escolhemos, para 1a equação, uma em que o coeficiente da 1a incógnita seja não nulo. Se possível fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.
2° passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais equações, usando as propriedades 1 e 2.
3º passo: Desprezamos a 1a equação e aplicamos os dois primeiros passos com as equações restantes.
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema ficar escalonado.
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex1) Resolva o sistema:
Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
142
62
92
zyx
zyx
zyx
142
62
92
zyx
zyx
zyx
Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:
142
62
92
zyx
zyx
zyx 2
92zyx
1233 zy2
1956 zy
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex1) Resolva o sistema:
Agora é só repetir o processo, só que usando a 2ª equação:
142
62
92
zyx
zyx
zyx
1956
1233
92
zy
zy
zyx
2
1233
92
zy
zyx
5 z
Finalmente, é só usar o processo da resolução retroativa e encontrar a solução do sistema:
5z 12533 y15123 y
33 y 1y
9521 x1019 x
0x 5,1,0S
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex2) Resolva o sistema:
Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
422
0233
13
tzyx
tzyx
tzyx
Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:
3
13 tzyx
310 tz2
247 tzy
422
0233
13
tzyx
tzyx
tzyx
422
0233
13
tzyx
tzyx
tzyx
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex2) Resolva o sistema:
Agora vamos trocar as posições das equações 2 e 3:
310
247
13
tz
tzy
tzyx
O sistema já está na forma escalonada. Perceba que ele apresenta uma variável livre (o t não aparece no começo de nenhuma equação) e portanto, ele é SPISPI:t 310 z
10
3
z
422
0233
13
tzyx
tzyx
tzyx
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex2) Resolva o sistema:
Já sabemos os valores de t e z:
310
247
13
tz
tzy
tzyx
t10
3
z
2410
37
y
422
0233
13
tzyx
tzyx
tzyx
10
20
10
4021710
y
y102040217
y
10
4133
110
33
10
4133
x
10
10
10
1093413310
x
109341331010 x
422610 x 2
5
2113
x
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex3) Resolva o sistema:
Resolução:
455
023
4
zyx
zyx
zyx
455
023
4
zyx
zyx
zyx
A última equação indica que o sistema é SPISPI, e pode ser abandonada.
1225
92
zy
zyx
3
4zyx
1225 zy
5
24410 zy
2
4zyx
1225 zy
000 zy
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex3) Resolva o sistema:
Atribuímos valores para a variável livre z:
4zyx
z
1225 y
455
023
4
zyx
zyx
zyx
5
122
y
45
122
x
5
20
5
51225
x
5122205 x
5
38 x
1225 zy
,
5
122,
5
38S
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex4) Resolva o sistema:
Resolução:
71210
153
84
yx
yx
yx
71210
153
84
yx
yx
yx
A última equação indica que o sistema é SISI.
690
3913
84
y
y
yx
3
84yx
3913 y
10
8752 y
4
S
14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex5) Resolva o sistema:
Resolução:
122
62
92
zyx
zyx
zyx
122
62
92
zyx
zyx
zyx
E agora, como fazemos se queremos usar 3 para eliminar -4?Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos a soma das duas em separado.a soma das duas em separado.
2
92zyx1233 zy
2
1954 zy
481212 zy
571512 zy
93 z
4
3
1233
92
zy
zyx
93 zO resto é com você!O resto é com você!
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema LinearConsidere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.
Observe que, além das incógnitas x e y, o sistema apresenta uma variável m. Tal variável é chamada de "parâmetro do "parâmetro do sistema"sistema".Discutir esse sistema em função do parâmetro m significa classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real assumido por assumido por mm. Para tanto, utilizaremos o que aprendemos com o Teorema de Cramer:
Para dirimir essa última dúvida, usaremos o que aprendemos com escalonamento de sistemas.
14
223
ymx
yx
SPDDse 0
SI
ou
SPI
Dse 0
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex1) Discutir o sistema:
Resolução:
Sabemos que, se: 04
23
mD
44
223
ymx
yx
Resolvendo: 0212 m
m2126m
O sistema é SPD.
Sabemos que, se: 04
23
mD O sistema é SPI ou SI.
Resolvendo: 0212 m
6mComo fazer para Como fazer para saber se é SPI ou SI?saber se é SPI ou SI?
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex1) Discutir o sistema:
Agora que sabemos que se m = 6m = 6 o sistema é SPI ou SI, substituiremos esse valor no sistema e em seguida faremos o seu escalonamento.
14
223
ymx
yx
146
223
yx
yx 2
223 yx
30 ySI
Resumindo temos:
SPDm 6
SIm 6
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex2) Discutir o sistema:
Resolução:
I. Sabemos que, se: 02
3
a
aaD
42
03
ayx
ayax
Resolvendo: 062 aa
60 aoua
O sistema é SPD.
II. Sabemos que, se: 02
3
a
aaD O sistema é SPI ou SI.
Resolvendo: 062 aa
60 aoua
06 aa
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex2) Discutir o sistema:
Vamos substituir a = 0a = 0:
42
03
ayx
ayax
402
000
yx
yx Observando a 1ª equação concluímos que o sistema é SPISPI.
Vamos substituir a = 6a = 6 e escalonar o sistema:
462
0186
yx
yx
Observando a 2ª equação concluímos que o sistema é SISI.
23
03
yx
yx 1
03yx
20 y
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex2) Discutir o sistema:
42
03
ayx
ayax
Resumindo temos:
SPDaoua 06
SPIa 0
SIa 6
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex3) Discutir o sistema:
Resolução:
I. Sabemos que, se: 02
11
aD
bayx
yx
2
2
Resolvendo: 02a2a
O sistema é SPD.
II. Sabemos que, se: 02
11
aD O sistema é SPI ou SI.
Resolvendo: 02a2a
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex3) Discutir o sistema:
Vamos substituir a = -2a = -2, e em seguida escalonar o sistema:
bayx
yx
2
2
byx
yx
22
2
Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja:
2
2yx
40 by
04b 4b SPI
04b 4b SIResumindo temos:
SIbea
SPIbea
SPDa
42
42
2
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex4) Discutir o sistema:
Resolução:
I. Sabemos que, se: 0
12
11
111
m
mD
12
2
0
zymx
mzyx
zyx
Resolvendo: 02 mm
10 moum
O sistema é SPD.
II. Sabemos que, se: 0
12
11
111
m
mD O sistema é SPI ou SI.
01 mm
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex4) Discutir o sistema:
12
2
0
zymx
mzyx
zyx
Resolvendo: 02 mm10 moum
Vamos substituir m = 0m = 0, e em seguida escalonar o sistema:
120
20
0
zyx
zyx
zyx 1
0zyx
22 zy
12 zy1
22
0
zy
zyx
10 zSI
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex4) Discutir o sistema:
12
2
0
zymx
mzyx
zyx
Resolvendo: 02 mm10 moum
Vamos substituir m = 1m = 1, e em seguida escalonar o sistema:
12
2
0
zyx
zyx
zyx 1
0zyx
202 zy
10 zy2
202
0
zy
zyx
00 zSPI
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex4) Discutir o sistema:
12
2
0
zymx
mzyx
zyx
Resumindo temos:
SPDmoum 10
SPIm 1
SIm 0
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex5) Discutir o sistema:
Resolução:
I. Sabemos que, se: 0
212
212
21
a
a
D
Resolvendo: 084 a
2a
O sistema é SPD.
II. Sabemos que, se: 0
212
212
21
a
a
D O sistema é SPI ou SI.
a48
322
122
2
zyx
zyax
bzyax
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex5) Discutir o sistema:
322
122
2
zyx
zyax
bzyax
Resolvendo: 084 a2a
Vamos substituir a = 2a = 2, e em seguida escalonar o sistema:
322
124
22
zyx
zyx
bzyx 2
bzyx 22
bzy 2123 bzy 300
1
Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja:
03 b 3b SPI 03 b 3b SI
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex5) Discutir o sistema:
322
122
2
zyx
zyax
bzyax
Resumindo temos:
SIbea
SPIbea
SPDa
32
32
2
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Alguns sistemas lineares apresentam número de equações número de equações diferente do número de incógnitasdiferente do número de incógnitas, nestes casos, não não poderemos usar o determinantepoderemos usar o determinante dos coeficientes do sistema, pois a matriz dos coeficientes não será quadrada e, portanto, não existirá o determinante. Então, vamos discutir o seguinte sistema em função do parâmetro real m, por meio apenas do escalonamentopor meio apenas do escalonamento.
Ex6) Discutir o sistema:
142
12
mzyx
zyx
Resolução:
142
12
mzyx
zyx 2
12 zyx
12 zm
02 m 2m SI
Vamos analisar a última equação:
02 m 2m SPI
15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear
Ex6) Discutir o sistema:
142
12
mzyx
zyx
É importante lembrar que esse sistema nunca será SPD, pois o número de equações não é igual ao número de incógnitas, logo ele não é um sistema normal.
Resumindo temos:
SPIm
SIm
2
2
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - DiscussãoComo um sistema linear homogêneo é formada por equações cujos termos independentes são todos nulos. Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, podemos escrever:Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada solução trivialsolução trivial..
Observe que para um sistema linear homogêneo de n equações com n incógnitas, teremos sempre:
Portanto, para discussão de um sistema linear homogêneo de n equações e n incógnitas é suficiente apenas o cálculo do é suficiente apenas o cálculo do determinante Ddeterminante D dos coeficientes das incógnitas, isto é:
0 zyx DDD
.,062
04,
023
04
032
etcyx
yx
zyx
zyx
zyx
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Observações Importantes:1.Sistema Homogêneo NUNCA SERÁ IMPOSSÍVELNUNCA SERÁ IMPOSSÍVEL;2.Se o número de equações for diferente do número de número de equações for diferente do número de incógnitas, o sistema será SPIincógnitas, o sistema será SPI.
PRÓPRIASoutrivialdaalémsoluçõesoutrasSPIDse 0
IMPRÓPRIAoutrivialsoluçãoapenasSPDDse 0
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex1) Discutir o sistema:
Resolução:
Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, podemos calcular D:
23
312
541
a
D
023
032
054
zayx
zyx
zyz
Como o sistema é homogêneo, só há duas possibilidades:
SPDDse 0 0133 a13
3a
1712
139
a
1213153 a
15613153 a
a133
Resolvendo:
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex1) Discutir o sistema:
023
032
054
zayx
zyx
zyz
SPIDse 0 0133 a13
3aResolvendo:
Resumindo temos:
0,0,013
3 TrivialSoluçãoSPDa
TrivialdaalémSoluçõesOutrasSPIa 13
3
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex2) Classificar e resolver o sistema:
Resolução:
Podemos também classificar e resolver por meio do escalonamento, é o que veremos a seguir:
0732
04
03
zyx
zyx
zyx
0732
04
03
zyx
zyx
zyx 4
03zyx
0135 zy
2
0135 zy
1
0135
03
zy
zyx
SPI00 z
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex2) Classificar e resolver o sistema:
Agora vamos resolvê-lo:
0732
04
03
zyx
zyx
zyx
0135
03
zy
zyx
z 0135 y
y513
5
13y
035
13
x
5
133
x
5
1315 x
5
2x
,5
13,
5
2S
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - DiscussãoEx3) Determine a, de modo que o sistema admita soluções próprias:
Resolução:
Soluções próprias, são as demais soluções, além da solução além da solução trivialtrivial, ou seja, o sistema deve ser SPIo sistema deve ser SPI:
02
02
0
azyx
zyx
azyx
PRÓPRIASoutrivialdaalémsoluçõesoutrasSPIDse 0
Então:
0
12
121
11
a
a
D 036 aa63
2
1a