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1

Quantidades Económicas de Encomenda

1. Taxa de Procura Constante

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Notação

• D – taxa de procura (unidades de produto / unidade de tempo)

• A – custo de encomenda (€ / encomenda)

• C – custo unitário do produto (€ / unidade de produto)

• r – taxa de posse (% / unidade de tempo)

• H – custo de posse = rC (€ /unidade de produto / unidade de tempo)

• CT – custo total por unidade de tempo (€ / unidade de tempo)

• Q – quantidade a encomendar por encomenda (unidades de produto)

• B – quantidade de produto que será entregue mais tarde

• b – custo por unidade de produto e por unidade de tempo em atraso

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1.1 Quantidade Económica de Wilson

Pressupostos:• A procura é contínua e tem uma taxa constante• O processo continua indefinidamente• Não existem restrições (nas quantidades, na

armazenagem, etc)• A taxa de entrega do fornecedor é infinita• Os custos não variam com o tempo• Não são permitidas rupturas de stocks• Não existem descontos de quantidade

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1.1 Quantidade Económica de Wilson

Modelo

Stocks

Q

Q/2

0tempo

Q

Stock médio

Custo de encomenda

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1.1 Quantidade Económica de WilsonPor cada ciclo de encomenda existe um custo de encomenda e um custo de posse associado à manutenção do stock médio ao longo do ciclo. Se se dividir o custo total ao longo do ciclo pela duração do ciclo obtém-se o custo total por unidade de tempo:

DQ

HDQQA

CT 21

ciclo do duraçãoposse custo encomenda custo +

=+

=

Simplificando:

QHQADCT

21

+=

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1.1 Quantidade Económica de WilsonO valor que minimiza o custo, Q*, obtém-se derivando CT em ordem a Q (quantidade a encomendar) e igualando a zero (i.e., encontrar qual a quantidade que corresponde ao ponto mínimo da curva de custos):

021

*0*)( 2 =+−⇔= H

QADQ

dQdCT

Resolvendo em ordem a Q* obtém-se:

HADQ 2* =

Refira-se que para a quantidade Q* os custos de posse e de encomenda são iguais.

2

7

1.1 Quantidade Económica de Wilson

Graficamente obtém-se:

CT

Q

QHQADCT

21

+=

QAD

QH21

HADQ 2* =

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1.2 Taxa de Entrega Finita

• Em situações reais é frequente que a quantidade encomendada não é entregue de uma só vez

• Vamos então assumir que a entrega da quantidade Q é efectuada a uma taxa de entrega P > D

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1.2 Taxa de Entrega Finita

Modelo

Stocks

Imax

Imax/2

0tempo

Imax

Stock médio

Produção e consumo àtaxa P-D

Consumo àtaxa D

Q/D Q/D

Tp

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1.2 Taxa de Entrega FinitaAtravés da figura anterior pode concluir-se:

HPDQIDPTI

PQTQPT

p

pp

)1()( maxmax −=⇔−=

=⇔=

Seguindo o procedimento anteriormente utilizado obtemos:

HPDADQ

)1(

2*−

=

Note-se que quando P ∞, Q* tende para HADQ 2* =

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1.3 Permitidas Rupturas; taxa infinita

• Admite-se agora que podem existir rupturas de stocks (por exemplo, por atraso na entrega das encomendas)

• Admite-se que a taxa de entrega é infinita

• O nível de stocks varia desde –B até Q-B. Os valores B e b representam, respectivamente, a quantidade de produto que será entregue mais tarde e o custo por unidade de produto e por unidade de tempo em atraso

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1.3 Permitidas Rupturas; taxa infinita

Modelo

Stocks

Q - B

0tempo

Q

Q/D

-B

TI=(Q-B)/D

TR=B/D

3

13

1.3 Permitidas Rupturas; taxa infinita

DBQTI

−=

TI e TR podem ser obtidos por:

DQ

bDBBH

DBQBQA

CT 21)()(

21 +−−+

=O custo total é dado por:

DBTR =

Simplificando:

bQ

BHQBQ

QADCT

22)( 22

+−

+=

14

1.3 Permitidas Rupturas; taxa infinita

Derivando em ordem a Q e B, igualando a zero e resolvendo o respectivo sistema de equações, obtém-se:

bbH

HADQ +

=2*

bHH

bADB

+=

2*

15

1.4 Descontos de quantidade

• É frequente surgirem situações em que os custos unitários dos produtos variam em função da quantidade adquirida

• Um exemplo de descontos de custo unitário em função da quantidade é o seguinte:

C3K2 ≤ Q < ∞C2K1 ≤ Q < K2

C10 ≤ Q < K1

Custo unitário do produtoQuantidade

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1.4 Descontos de quantidade

• No modelo base da quantidade económica não foi incluído no custo total por unidade de tempo qualquer termo para contabilizar o custo de aquisição do produto, uma vez que este se considerou constante relativamente à quantidade encomendada

• Se existirem descontos de custo unitário em função da quantidade encomendada, é necessário incluir um termo que contabilize os custos de aquisição:

)()(21)( QDCQQrC

QADQCT ++=

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1.4 Descontos de quantidade

• DC(Q) representa o custo de aquisição por unidade de tempo

• O custo unitário do produto C(Q) e o custo de posse rC(Q) dependem da quantidade encomendada

• O custo de encomenda não sofre alteração relativamente ao valor utilizado nos casos em que não existem descontos de quantidade

)()(21)( QDCQQrC

QADQCT ++=

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1.4 Descontos de quantidade

Modelo

CT(Q)

QK2K1

Q1*

Q2*

Q3*

C=C1

C=C2

C=C3

4

19

1.4 Descontos de quantidade

• As quantidades Q1*, Q2* e Q3* correspondem às quantidades económicas relativas a cada curva

• Neste caso as quantidades Q1* e Q3* não podem ser utilizadas para os custos unitários C1 e C3, respectivamente

• No caso de C=C3 a quantidade com menor custo e dentro dos limites é K2 e no caso de C=C1 a quantidade com menor custo e dentro dos limites é K1

• De entre as quantidades Q2*, K1 e K2 aquela que tiver menor custo será a quantidade económica global

• Refira-se que K1 podia ter sido excluído sem efectuar qualquer cálculo, pois a curva C=C1 é sempre superior àcurva C=C2 e, por consequência, o custo de K1 é sempre superior ao custo de Q2*

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1.4 Descontos de quantidade

O algoritmo a utilizar é o seguinte:1. Por ordem crescente do custo unitário Ci calcular a

respectiva quantidade económica de encomenda:

• Se a quantidade Q*i se encontrar dentro dos limites de utilização, Ki-1 < Q*i ≤ Ki avançar para o passo 2

• Se a quantidade Q*i se encontrar fora dos limites, atribuir a Q*ia quantidade que satisfaz os limites de utilização e que tem menor custo, isto é, Q*i = Ki-1

• Repetir o passo 1 para o custo unitário com valor imediatamente superior a Ci (note-se que Ci < Ci-1)

ii rC

ADQ 2* =

21

1.4 Descontos de quantidade

2. Calcular os custos totais relativos a cada uma das quantidades Q*i obtidas no passo 1. Q* será igual àquantidade Q*i que tiver o menor custo

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Quantidades Económicas de Encomenda

2. Taxa de Procura Variável

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2. Pressupostos gerais• A procura a ser satisfeita no período t (t=1, 2, ..., N) é dada

sob a forma D(t). O último horizonte de planeamento é o período N

• As necessidade de procura de cada período de tempo tdevem estar disponíveis no início do período t

• Os custos de encomenda não dependem da quantidade encomendada e não existem descontos de quantidade

• O prazo de entrega é conhecido com exactidão• Não existem rupturas• A quantidade global de cada encomenda é entregues duma

só vez• Será assumido que os custos de posse só se aplicam à

quantidade de stocks que continua em stock para o período seguinte

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2. Exemplo a considerar

• A procura de um produto durante os próximos 12 meses é a seguinte:

• O custo de encomenda é 5 400€ e o custo de posse por unidade de produto e por período de tempo é 40€

502201601205080140160120106030D(t)121110987654321t

5

25

2.1 Q.E. Baseada na taxa média de procura

• Encomenda-se para um número de períodos cuja quantidade esteja o mais próximo possível da quantidade económica obtida através da utilização da taxa média de procura:

• Usando a fórmula da quantidade económica obtemos:

• Assim, as quantidades encomendadas deverão ser próximas de 164

∑=

=12

1

)(121

t

tDD = 100 unidades/mês

16440

100*5400*22* ===H

DAQ

26

2.1 Q.E. Baseada na taxa média de procura

• Para determinar a quantidade de encomenda mais próxima do valor 164 calcular-se-ão as necessidades acumuladas para cada mês até encontrar dois valores que enquadrem 164. A quantidade a encomendar seráigual ao valor mais próximo.

1ª encomenda

120106030Procura

2201009030Procura

acumulada

4321Mês 100 e 220 enquadram o valor da quantidade económica, 164, sendo 220 o que mais se aproxima.Assim Q1 = 220.

27

2.1 Q.E. Baseada na taxa média de procura

2ª encomenda

140160Procura

300160Procura

acumulada

65Mês 160 e 300 enquadram o valor da quantidade económica, 164, sendo 160 o que mais se aproxima.Assim Q5 = 160.

As restantes encomendas seriam determinadas de uma maneira idêntica, pelo que teríamos:

502201601200130140160000220Enc.

502201601205080140160120106030D(t)

0000050000120130190Stock

121110987654321t

28

2.1 Q.E. Baseada na taxa média de procura

• O total de unidades em stock durante 12 meses foi:

• O número total de encomendas foi 8.

• O custo total é:– Custo de encomenda = 8 * 5 400.00€ = 43 200.00€– Custo de posse = 490 * 40.00€ = 19 600.00€– Custo total = 62 800.00€

190 + 130 + 120 + 50 = 490

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• A heurística de Silver-Meal selecciona a quantidade a encomendar baseando-se na seguinte função do custo total por unidade de tempo:

em que T representa o número de períodos de tempo para a qual a encomenda durará.

• Assume-se que CT(T) será uma função “bem comportada”, isto é, não terá mínimos locais. A heurística escolhe como valor óptimo de T o menor valor de T para o qual

2.2 Heurística de Silver-Meal

Custo de Enc. + Custo de Posse até ao fim do período T

TCT(T) =

CT(T+1) ≥ CT(T)30

2.2 Heurística de Silver-Meal

• Para determinar o valor de T avalia-se sucessivamente o valor de CT(T) para T=1, T=2 e assim sucessivamente até se encontrar um valor que satisfaça a condição anterior

CT (T)

T

T óptimoCusto mínimo

6

31

2.2 Heurística de Silver-MealAplicando ao exemplo anterior obtemos sucessivamente:

54001

)1(1 ==ACT

39002

40*6054002

)2()2(1 =+

=+

=HDACT

28663

)3(2)2()3(1 =++

=HDHDACT

57504

)4(3)3(2)2()4(1 =+++

=HDHDHDACT

Dado que CT(4)>CT(3) então T=3 satisfaz as condições e a 1ªencomenda deverá durar para 3 meses

Q1 = 30 + 60 + 10 = 100 32

2.2 Heurística de Silver-Meal

• Com vista a simplificar os cálculos necessários àavaliação de CT(T) utilizar-se-á a seguinte igualdade para T ≥ 2:

]*)1()1([1)( HTtDTCTT

TTCT tt −++−−

=

• Repetindo o processo até que toda a procura esteja satisfeita por encomendas obtém-se:

02701601200027016012000100Enc.

502201601205080140160120106030D(t)

050000501300001070Stock

121110987654321t

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2.2 Heurística de Silver-Meal

• O total de unidades em stock durante 12 meses foi:

• O número total de encomendas foi 7.

• O custo total é:– Custo de encomenda = 7 * 5 400.00€ = 37 800.00€– Custo de posse = 310 * 40.00€ = 12 400.00€– Custo total = 50 200.00€

70 + 10 + 130 + 50 + 50 = 310