MATEMÁTICA VAULA 24:

HIPÉRBOLE

EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 5

OSG.: 1035090/16

01. Temos o sistema:

y x x y I

x y II

= − → = +

− =

1

41 4 4

4 162 2

( )

( )

Substituindo (I) em (II), vem:( )4 4 4 163 8 0

0 4

8

3

20

3

2 2

2

y yy y

y xou

y x

+ − =+ =

= → =

= − → = −

Pontos de intersecção: (4, 0) e − −

20

3

8

3,

Resposta: D

02. Temos:4 32 8 52 04 32 8 524 8 8 524

2 2

2 2

2 2

x y x yx x y yx x y yx

− − + + =− − + = −− − − = −( ) ( )

( 22 2

2 2

2

8 16 8 16 52 64 164 4 4 4

4

1

− + − − + = − + −− − − = −

− − −

x y yx y

x y

) ( )( ) ( )

( ) ( 44

41

2) = −

Logo:( ) ( )y x

Hip rbole

− − − =4

4

4

11

2 2

é� ����� �����

Resposta: C

03. Temos:3 9 0

3 9

3 91

0

3

0

3

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

x y Hip rbole

x yx y

x y

− − = ( )− =

− =

− − − =

é

( )

( )

( )11

0 0Eixo real horizontal centro, ( , )=� ���� ����

a b c= = → =3 3 2 3,

Logo:

distância focal = F1F

2 = 2c = 4 3

Resposta: C

04. Temos:

Hip rbolex y

Eixo real horizontal

é :2 2

16 641− =

� �� ��

Para determinar as assíntotas, basta tomar:x y

y xy xouy x

Ass ntotas

2 2

2 216 64

42

2

=

==

= −

í

Resposta: E

OSG.: 103590/16

Resolução – Matemática V

05. Temos:

x2 – y2 = 1 (hipérbole)

( ) ( )

, ( , )

x y

Eixo real horizontal centro

− − − =

=

0

1

0

11

2

2

2

2

0 0� ���� �����

a b c= = → =1 1 2,

Lembrando que a excentricidade da hipérbole é dada pela razão c

a, concluímos:

excentricidade = c

a= 2

Resposta: C

06. Temos:

3 2 18 15 03 18 27 2 15 273 6 9 2 0 12

2 2

2 2

2 2

x y xx x yx x y

− − + =− + − = − +− + − − =( ) ( )

(( ) ( )

, ( , )

x y

Eixo real horizontal centro

− − − =

=

3

4

0

61

2 2

3 0� ���� ����

Resposta: B

07. Temos:

7 9 28 36 71 07 28 9 36 717 4 9 4 71

2 2

2 2

2 2

x y x yx x y yx x y y

− − + − =− − + =− − − =( ) ( )

77 4 4 9 4 4 71 28 367 2 9 2 63

2

9

2 2

2 2

2

( ) ( )( ) ( )

( ) (

x x y yx y

x

− + − − + = + −− − − =

− − yy

Hip rbole centro

− =

=

2

71

2

2 2

)

, ( , )é� ���� ����

Como o ponto (2, 2) está na reta y = x, a distância solicitada é zero.

Resposta: A

08. Temos:

x yx y x y

Eixo horizontalce

2 2

2 2 2

2

2

2

3 12

12 41

0

2 3

0

21

− =

− = → − − − =( )

( )

( )

nntro = ( , )0 0

� ���� ����

a b c= = → =2 3 2 4,

Logo:

i) eixo real = 2 4 3a ok= →ii) eixo imaginário = 2b = 4 → okiii) distância focal = 2c = 8 → ok

iv) excentricidade = c

a= =4

2 3

2 3

3

v) assíntotas → x y

x y ok2 2

12 43 3 0= → ± − = →

Resposta: D

OSG.: 103590/16

Resolução – Matemática V

09. Sistema (x e y tem o mesmo sinal)x y x yx y

⋅ = → ⋅ =+ =

12 14425

2 2

2 2

Então:t2 – 25t + 144 = 0, com raízes: x2 e y2

Resolvendo a equação em t, encontramos: t = 9 e t = 16

Podemos ter:

x e y eA C

2 29 16 3 4 3 4= = → − −Pontos: ( , ) ( , )� ��� ��

ou x e y eB D

2 216 9 4 3 4 3= = → − −Pontos: ( , ) ( , )� ��� ��

Grafi camente:y

A

B

C

D

x

Vejam m AB BC

m m ADAB BC

AD BC

que:� ��� � ���

� ��� � ���

� ��� � ��⋅ = − → ⊥= →

1�� ����� ��BC

Resposta: C

10. Hipérbole: x2 – 4x – 4y2 = 0Então:x x yx yx y

Eixo real hori

2 2

2 2

2 2

4 4 4 42 4 0 42

4

0

11

− + − =− − − =− − − =

( ) ( )( ) ( )

zzontal centro, ( , )= 2 0� ���� ����

Resposta: C

Raul: 11/04/16 – Rev.: AC10359016-pro-Aula 24 - Hipérbole