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1. (Ufu 2015) O gráfico da função de variável real 2y f(x) ax bx c, em que a, b e c são

constantes reais, é uma parábola. Sabe-se que a função y g(x) 2 f(x 1) apresenta o

gráfico que segue:

Nessas condições, o produto entre os valores da abscissa e da ordenada do vértice da

parábola representando f(x) é igual a

a) 18. b) 6,5. c) 9. d) 4,5.

Resposta: [D]

Gráfico de 2f(x) obtido de translação horizontal do gráfico de g(x) para a direita.

Do gráfico acima, podemos escrever:

2f(x) a (x 4) (x 2)

( 5) a(1 4) (1 2)

a 1

Daí, podemos escrever que:

22 x 2x 8

2f(x) x 2x 8 f(x)2

Portanto,

V

V

1x 1

1

1 2 8 9y f( 1)

2 2

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O produto pedido será dado por 9

( 1) 4,5.2

2. (Ufu 2015) Em função dos recentes problemas de escassez de água, uma prefeitura resolveu taxar o consumo de água nas residências segundo o que segue: para um consumo

mensal de até 310m , é cobrado um valor fixo de R$32,00; para um consumo mensal superior

a esse valor, é cobrado R$32,00, mais um acréscimo linear, proporcional a R$5,00 por 3m

consumido acima dos 310m .

Os moradores de uma residência consumiram 38m de água em abril e, devido a um

vazamento não percebido, houve uma elevação do consumo em maio. Esse consumo foi

superior a 310m e elevou em 0,025% o valor efetivamente pago pelo 3m de água em relação

ao que foi pago em abril. Elabore e execute uma resolução de maneira a determinar:

a) Qual foi o valor efetivamente pago por 3m de água em abril.

b) Quantos 3m de água foram consumidos em maio. Resposta:

a) O valor efetivamente pago por 3m de água em abril foi de 32

R$ 4,00.8

b) Seja f : a função dada por

32, se 0 x 10f(x)

32 (x 10) 5, se x 10

32, se 0 x 10,

5x 18, se x 10

em que f(x) é o valor a pagar por um consumo de 3x m de água.

Sabendo que o valor efetivo pago por 3m de água em maio foi 0,025% superior ao de abril,

segue que tal valor é igual a 1,00025 4 R$ 4,001. Em consequência, temos

3

4,001 5x 18 0,999x 18

x 18 m .

3. (Ufu 2015) Assuma que a função exponencial de variável real k tT f(t) r e , em que r e

k são constantes reais não nulas, representa a variação da temperatura T ao longo do tempo

t (em horas) com 0 t 4.

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Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, nessa ordem, uma progressão

geométrica de razão 1

4 e soma igual a

255,

128 então o valor de r é um número múltiplo de

a) 9. b) 5. c) 3. d) 7. Resposta: [C]

k

2k

3k

4k

f(1) r e

f(2) r e

f(3) r e

f(4) r e

Como a sequência é uma P.G., podemos escrever que:

kf(1) 1 1 re f(1)

f(2) 4 4 4

Portanto,

255 1 1 1 1 255 85 255f(1) f(2) f(3) f(4) r r r 6

128 4 16 64 256 128 256 128

Então, r é um número múltiplo de 3. 4. (Ufu 2015) Existe um grupo de n pessoas trabalhando em um escritório. Sabe-se que

existem 780 maneiras de selecionar duas dessas pessoas para compor uma comissão

representativa do grupo e a probabilidade de ser selecionado um homem desse grupo é 0,2

maior do que a probabilidade de escolha de uma mulher. Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar: a) Qual é o valor de n. b) Quantos homens existem no grupo.

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Resposta: a) Tem-se que

n n!780 780

2 2! (n 2)!

n (n 1) 40 39

n 40.

b) Seja h o número de homens no grupo. Logo, vem

h 40 h0,2 2h 40 8

40 40

h 24.

5. (Ufu 2015) Um modelo de piscina é formado por três partes, determinando três níveis d’água, conforme mostra o esquema a seguir.

A primeira tem a forma da metade de um cilindro circular de raio 1m e altura 0,3m; a segunda

tem a forma de um paralelepípedo de 0,3m de comprimento, 2m de largura e 0,8m de altura,

e a terceira também tem a forma de um paralelepípedo, com 3m de comprimento, 4m de

largura e 2m de altura.

Suponha que a água dessa piscina esteja no nível da base do primeiro paralelepípedo (aquele

de 0,8m de altura). Quantos metros cúbicos de água são necessários para encher de água

essa piscina? a) 0,15 14,88π b) 0,15 10,08π c) 0,30 10,08π d) 0,30 14,88π

Resposta: [A]

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Sejam 1 2V , V e 3V os volumes de cada uma das partes da piscina e 4V o volume de água

inicialmente na piscina. 2

31

32

33

34

1 0,3V 0,15 m

2

V 0,3 2 0,8 0,48 m

V 3 4 2 24m

V 3 4 0,8 9,6m

ππ

Fazendo 1 2 3 4V V V V 0,15 14,88.π

6. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as

perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e

pistola pneumática 25%.

Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro

circular de 10m de altura e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem

rendimento teórico de 220m por litro e que são necessárias duas demãos.

Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.

Dado: Use 3,14.π

Resposta: Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão

aplicadas duas demãos, a área que receberá a tinta é igual a 22 2 2 (2 10) 301,44 m .π

Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria

de 301,44

15,07220

litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta

utilizada, segue que o resultado pedido é 15,072

20,0960,75

litros.

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7. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo

PQR tem ângulo reto no vértice R (3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está inscrito no

círculo de centro C(1,1). A área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a

a) 40.

b) 8 20.

c) 4 20. d) 80. Resposta: [C]

2 2PM MQ MR (3 1) (5 1) 20 (raios)

PQ 2 20

Portanto, a área do triângulo PRQ será dada por:

2 20 4A 4 20

2

8. (Ufu 2015) Uma máquina moderna usa um sistema de coordenadas cartesianas xOy para

representar a forma e a dimensão (mapear) dos objetos que serão cortados, furados etc.. Uma

chapa metálica delgada triangular é mapeada pelo triângulo de vértices A ( 3, 0), B (1, 4) e

C (5, 4) e será feito um furo circular de raio uma unidade de comprimento, com centro no

centro de massa dessa chapa (baricentro do triângulo). Para realizar esse procedimento com precisão, a máquina calcula a equação cartesiana do círculo. Elabore e execute um plano de resolução que conduza à determinação do centro de massa e da equação desse círculo. Resposta: O baricentro G do triângulo ABC é dado por

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3 1 5 0 4 ( 4)G , (1, 0).

3 3

Portanto, como o raio do círculo é igual a 1, segue-se que a equação pedida é

2 2 2 2 2(x 1) (y 0) 1 (x 1) y 1.

9. (Ufu 2015) Um lustre no formato cônico foi fixado ao teto por duas cordas linearmente

esticadas, AC, BC, conforme indica a figura a seguir.

Suponha que o triângulo ABC seja retângulo com altura 3

h CH m13

e 1

CB m4

e que, na

figura, r é o raio da região circular S, de forma que r é igual ao dobro de AB.

Nessas condições, a área de S, em 2m , é dada pela expressão:

a) 169

100π

b) 25

169π

c) 144

169π

d) 169

400π

Resposta: [A]

No BHC,Δ temos:

2 221 3 5

BH BH4 13 52

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No ABC,Δ temos:

22 1 5 13

BC AB BH AB AB4 52 20

Portanto, o raio da região circular será dado por:

13 13r 2

20 10

E a área da região será:

2213 169

A m .10 100

ππ

10. (Ufu 2015) O polinômio de variável real 3 2 2y p(x) x a x 9x a r é representado

graficamente conforme ilustra a figura a seguir, em que r, r e a são constantes reais e

encontram-se, nessa ordem, em progressão aritmética (P.A.).

Nessas condições, o valor de a é um número a) primo. b) ímpar. c) múltiplo de 5. d) divisível por 7. Resposta: [B]

Se ( r, r, a) formam uma P.A., podemos escrever que a 3r.

Utilizando a soma dos produtos das raízes duas a duas, temos:

29r r r a ( r) a r 9 r 3

1

Como, a 0 e a 3r, concluímos que a 9, portanto um número ímpar.

11. (Ufu 2015) Um financiamento de R$10.000 foi contratado a uma taxa de juros

(compostos) de 3% ao mês. Ele será liquidado em duas parcelas iguais, a primeira vencendo

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em 60 dias e a segunda em 90 dias após a efetivação do contrato. O valor de cada parcela

desse financiamento é, aproximadamente, igual a Dados:

1(1 0,03) 1,03 2(1 0,03) 1,0609 3(1 0,03) 1,0927

1

10,9709

(1 0,03)

2

10,9426

(1 0,03)

3

10,9151

(1 0,03)

a) R$5226,00.

b) R$5383,00.

c) R$5387,00.

d) R$5282,00.

Resposta: [B]

Valor da dívida após 2 meses: 2

10.000 1,03 10.609

Valor da primeira prestação: x

Valor da segunda prestação (10.609 x) 1,03

Como as prestações são iguais, podemos escrever:

x (10609 x) 1,03

Resolvendo a equação acima concluímos que x é aproximadamente R$5.383,00.

12. (Ufu 2015) Um grande tanque de capacidade 500 litros contém, inicialmente, 100 litros de

uma solução aquosa de cloreto de sódio, cuja concentração é de 5 gramas por litro. Esse

tanque é abastecido com uma solução aquosa de cloreto de sódio, com concentração de 1

grama por litro, a uma vazão de 10 litros por minutos, e um mecanismo de agitação mantém

homogênea a solução no tanque.

A concentração no tanque é a razão entre a quantidade do cloreto de sódio (em gramas g) e o

volume de solução (em litros, ). Logo, a concentração no tanque, em g , no instante em que

ele começa a transbordar, é:

a) 9

5

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b) 10

5

c) 54

50

d) 4

5

Resposta: [A] Calculando, inicialmente, x a massa de sal na solução aquosa que se encontra no recipiente.

1L 5 g

100 L x

Portanto, x 500 g.

Deverão ser colocados mais 400 L da segunda solução aquosa para que o recipiente fique

cheio. Consideremos y a massa de sal em gramas na segunda solução aquosa.

1L 1g

400 L y

Portanto, y 400 g.

Logo, a concentração de sal na mistura será dada por:

L/g5

9

500

900

500

500400

13. (Ufu 2015) Os alunos do curso de Educação Física de uma instituição responderam a uma pesquisa que avaliou qual o seu esporte coletivo predileto: basquete, futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas uma opção. Os dados coletados foram parcialmente divulgados conforme indica o quadro a seguir.

Esporte Homens Mulheres Total

Futebol 130 70 200

Basquete 70

Vôlei

Total 268

Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das respostas das 3 opções, e que o

número de mulheres optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes por basquete.

Segundo essas informações, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a a) 14016. b) 222. c) 12312. d) 380.

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Resposta: [C]

Esporte Homens Mulheres Total

Futebol 130 70 200

Basquete 70 x = 90

Vôlei 114 1,2x = 108

Total 314 268 582

Se a média aritmética é 194, o total é 582, portanto o total de homens será 582 268 314.

O total de homens que preferem vôlei será dado por 314 130 70 114.

Na coluna das mulheres, temos 70 1,2x x 268 x 90 e 1,2x 108.

Portanto, o número de maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um homem e uma

mulher, é igual a 114 108 12312.

14. (Ufu 2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC

orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol

F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a

medida FAC 30 e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a

medição do ângulo FBC, obtendo 60 . Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.

De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto

inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente,

a) 2 3 e 3

3.2

b) 2 3 e 4 3.

c) 3 3 e 6 3.

d) 3 3 e 3. Resposta: [C]

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ˆAFB 30 AB BF 6 milhas.

No FBH:Δ FH 3 FH

sen60° FH 3 3 milhas6 2 6

No FHA:Δ 3 3 1 3 3

sen30° AF 6 3 milhasAF 2 AF