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Sumário

• Teorema de Jevon

2

Igualdade de Jevon

• A isoquanta u(q1, q2) = k é uma equação que define de forma implícita a função:

q2 = f(q1)

• A restrição orçamental Despesa(q1, q2) = R é uma equação que define de forma implícita a função:

q2 = g(q1)

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Igualdade de Jevon

• Sendo que f e g são funções deriváveis,

• Então, no ponto óptimo,

• O declive da curva de indiferença é igual ao declive da recta orçamental.

f’(q1) = g’(q1)

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Igualdade de Jevon

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Igualdade de Jevon

• A taxa de substituição entre os bens

• É igual

• Ao custo de oportunidade– No caso dos bens serem comprados a dinheiro,

o custo de oportunidade (a inclinação da recta orçamental) é o racio dos preços:

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Igualdade de Jevon

• A recta orçamental será

R = p1.q1+p2.q2

q2 = R/p2 – p1/p2.q1

• Então a inclinação da recta orçamental será dada pela relação dos preços

b = – p1/p2

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Igualdade de Jevon

• Poderíamos aplicar os teoremas da função implícita para deduzir como a função de utilidade se relaciona com os preços.– A desenvolver em Mat. I.

• Mas vamos antes utilizar uma dedução gráfica.

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Igualdade de Jevon

• A inclinação da curva de indiferença é MENOS o racio dos AUMENTOS das quantidades:

• A inclinação da recta orçamental é MENOS o racio dos preços:

1

2

q

qICI

2

1

P

PIRO

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Igualdade de Jevon

• Então, no ponto óptimo teremos que as inclinações das duas funções são iguais:

2

1

1

2

p

p

q

q

10

Igualdade de Jevon

• Mas nós apenas temos u(q1,q2). Por manipulação algébrica, obtemos

2

1

1

2

1

2

qUqU

U

U

q

q

q

q

11

Igualdade de Jevon

• No limite, quando q10 e q20 temos

2

1

2

1

2

1

2

1

p

p

qUqU

p

p

qUqU

12

Igualdade de Jevon

• Podemos dar outra notação a este limite:

2

1

2

1

2

1

2

1

'

'

p

p

U

U

p

p

qUqU

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Igualdade de Jevon

• Esta igualdade é conhecida por teorema de Jevon

• Para todos os consumidores e todos os BS, a razão entre a utilidade marginal e o preço é constante

2

2

1

1 ''

p

U

p

U

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Igualdade de Jevon

• Esta igualdade aplica-se a todos os BS

n

n

p

U

p

U

p

U

p

U '...

'''

3

3

2

2

1

1

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Igualdade de Jevon

• Traduz que

• o custo marginal de obter uma unidade adicional (o preço) é igual ao

• benefício marginal de consumir essa unidade adicional (a utilidade marginal)

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Igualdade de Jevon

• Se a despesa fosse uma função ‘complicada’ (e.g., descontos com a quantidade) em termos genéricos seria

2

2

1

1

'

'

'

'

D

U

D

U

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Exercício 1

• O preço do BS1 é 1€/u e o preço do BS2 é 2€/u

• A utilidade é u(q1,q2) = q1+q2+q1.q2

• Sendo o rendimento 5€, quanto comprará o consumidor de cada BS?

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Exercício 1

• O cabaz óptimo terá que satisfazer

1) A igualdade de Jevonu(q1,q2) = q1+q2+q1.q2

2) A restrição orçamental

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Exercício 1

• igualdade de Jevon

1122

2

1

1

2

2

2

1

1

11

11''

pqpq

p

q

p

q

p

U

p

U

20

Exercício 1

• Recta orçamental

21

12

21

122

qq

qq

2121

2211

2552

..

qqqq

Rpqpq

21

Exercício 1

1

3

252121

25

2

1

2221

21

q

q

qqqq

qq

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Comportamento óptimo

• O que deve fazer o consumidor quando está num ponto em que a inclinação da função utilidade é diferente da inclinação da recta orçamental?

2

2

1

1

2

2

1

1 ''''

p

U

p

Uou

p

U

p

U

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Comportamento óptimo

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Comportamento óptimo

• Como a utilidade marginal é decrescente com a quantidade (?), deve-se

• aumentar o consumo do BSi em que Ui’/pi for maior.

• diminuir o consumo do BSi em que Ui’/pi for menor.

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Soluções de canto

• São situações em que o consumidor apenas adquire um dos BS

• Estas soluções acontecem em pontos que não são diferenciáveis

• Não se verifica a igualdade de Jevon

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Soluções de canto

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Soluções de canto

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Soluções de canto

• Será que se os BS forem substitutos perfeitos a solução óptima será sempre uma solução de canto?

• E se os BS forem complementares perfeitos a solução óptima nunca será uma solução de canto?